Bài giảng Chương 3: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.91 MB, 67 trang )

CHƢƠNG 3:
ĐÁP ỨNG TẦN SỐ VÀ MẠCH LỌC TƢƠNG TỰ
Nội dung
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9

Đáp ứng tần số của hệ LT- TT- BB (LTIC)
Giản đồ Bode
Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số
Thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H(s)
Mạch lọc Butterworth
Mạch lọc Chebyshev
Biến đổi tần số
Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo
Tóm tắt

Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998
Lọc là lĩnh vực quan trọng trong xử lý tín hiệu. Chương 4 đã trình bày ý niệm lọc
lý tưởng. Trong chương này, ta thảo luận về các đặc tính và cách thiết kế mạch lọc thực
tế. Các đặc tính lọc của bộ lọc được đặc trưng bởi đáp ứng với sóng sin với các tần số từ
0 đến . Đặc tính này gọi là đáp ứng tần số của bộ lọc. Hảy bắt đầu với việc xác định đáp
ứng tần số của hệ LT – TT – BB.
Nhắc lại là với h(t ) , ta dùng ý niệm H ( ) cho biến đổi Fourier và H (s) cho biến

đổi Laplace. Đồng thời, khi hệ thống là nhân quả và ổn định tiệm cận, tất cả các cực của
H (s) đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Do đó, vùng hội tụ của H (s) bao gồm trục j,
và ta có được biến đổi Fourier H ( ) bằng cách thay s = j vào biến đổi Laplace H (s)
tương ứng. Do đó, H ( j ) và H ( ) biểu diễn cùng đặc tính khi hệ thống ổn định tiệm
cận. Trong chương này, ta sẽ tìm được lý do thuận tiện khi dùng ý niệm H ( j ) thay cho
H ( ) .
7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB
Phần này tìm đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin. Phần 2.4-3 cho thấy đáp ứng
của hệ LT – TT – BB với ngõ vào là hàm mủ không dừng f (t )  e st là hàm mủ không
dừng H ( s)e st . Như thế, cặp vào – ra của hệ thống là
e st  H (s)e st
Đặt s   j vào hệ thức trên, ta có:
e jt  H (s) e jt
 jt

 jt

e
 H ( j ) e
Cộng hai hệ thức trên, có:
2 cos t  H ( j)e jt  H ( j)e jt  2 Re[ H ( j)e jt ]

(7.1)
(7.2a)
(7.2b)
(7.3)

Viết H ( j ) theo dạng cực

H ( j )  H ( j ) e jH ( j )
Thì quan hệ (7.3) thành

(7.4)

cos t  H ( j ) cost  H ( j )]

Nói khác đi, đáp ứng y(t ) của hệ thống với ngõ vào cost là

y(t )  H ( j ) cos[t  H ( j )]

(7.5a)

Tương tự, đáp ứng với tín hiệu cos(t   ) là

y(t )  H ( j ) cos[t    H ( j )]

(7.5b)

Kết quả này có được khi cho s  j , chỉ đúng khi hệ thống ổn định tiệm cận do quan hệ
(7.1) chỉ đúng khi các giá trị s nằm trong vùng hội tụ của H (s) . Trường hợp hệ thống
không ổn định hay ở biên ổn định, vùng này không bao gồm trục ảo s  j .
Phương trình (7.5) cho thấy khi ngõ vào có tần số theo radian , thì đáp ứng cũng
là sin với cùng tần số . Ngõ ra có biên độ dạng sin là H ( j ) nhân với biên độ ngõ
vào, và có góc pha là góc pha tín hiệu vào dời đi góc H ( j ) (xem hình 7.1) Thí dụ, hệ
thống có H ( j10)  3 và H ( j10)  300 , thì hệ thống đã khuếch đại sóng sin có tần số

  10 theo tỉ lệ 3 và làm trễ góc pha đi 30 0 . Đáp ứng với tín hiệu vào 5 cos(10t  500 ) là
3x5 cos(10t  500  300 )  15 cos(10t  200 ) .

Rõ ràng thì H ( j ) là độ lợi hệ thống, và đồ thị H ( j ) theo  là hàm của độ lợi
hệ thống theo tần số . Hàm này còn gọi là đáp ứng biên độ. Tương tự, H ( j ) là đáp
ứng pha và đồ thị của của H ( j ) theo  là cho thấy phương thức hệ thống thay đổi
pha của tín hiệu vào. Hai đồ thị trên, là hàm theo , còn gọi là đáp ứng tần số của hệ
thống. Ta thấy H ( j ) có chứa thông tin của H ( j ) và H ( j ) . Do đó, H ( j ) còn
được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Đáp ứng tần số cho thấy phương thức hệ
thống đáp ứng với các sóng sin với nhiều tần số khác nhau. Như thế, đáp ứng tần số biểu
diễn đặc tính lọc của hệ thống.
■ Thí dụ 7.1:
Tìm đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của hệ thống có hàm truyền
s  0,1
H ( s) 
s5
Đồng thời, tìm đáp ứng hệ thống y(t ) khi ngõ vào là (a) cos 2t (b) cos (10t – 500).
Trong trường hợp này
j  0,1
H ( j ) 
j  5
Viết theo dạng cực

H ( j ) 


 2  0.01
 
và H ( j )  tan 1    tan 1  
2
5
 0,1 
  25

Các đáp ứng biên độ và pha theo  được vẽ trong hình 7.1a. Các đồ thị này cung cấp đầy
đủ thông tin và đáp ứng tần số của hệ thống với các ngõ vào sin.
(a) Khi tín hiệu vào f (t )  cos 2t ,   2 và

H ( j 2) 

(2) 2  0,01
(2) 2  25

 0,372

 2 
2
H ( j 2)  tan 1    tan 1    87,10  21,80  65,30
5
 0,1 
Ta cũng tìm trực tiếp được đáp ứng tần số trong hình 7.1a tương ứng với  = 2.
Kết quả này có nghĩa là khi ngõ vào sin có tần số  = 2, thì độ lợi biên độ của hệ
thống là 0,372 và góc dịch pha là 65,30. Nói cách khác, biên độ ra là 0,372 lần biên độ
vào, và góc pha của ngõ ra là dịch pha của tín hiệu vào với 65,30. Như thế, đáp ứng
của hệ thống với ngõ vào cos 2t là
y(t )  0,372 cos(2t  65,30 )
Các ngõ ra và ngõ vào tương ứng được vẽ trong hình 7.1b.

(b) Khi tín hiệu vào là cos (10t – 500), thay vì tính các giá trị H ( j ) và H ( j )
như trong phần (a), ta đọc trực tiếp từ đồ thị của đáp ứng tần số vẽ trong hình
7.1a khi  = 10. Các giá trị này là:

H ( j10)  0,894 và H ( j10)  260
Như vậy, khi tín hiệu sin với tần số  = 10, biên độ tín hiệu sin ngõ ra là 0,894 lần
biên độ tín hiệu vào và góc pha tín hiệu ra dời so với góc pha tín hiệu vào là 26 0. Như
vậy, đáp ứng ngõ ra với tín hiệu vào cos (10t – 500) là
y(t )  0,894 cos(10t  500  260 )  0,894 cos(10t  240 )
Trường hợp tín hiệu vào là sin (10t – 500),
đáp ứng ra sẽ là 0,894sin (10t – 500+ 260 ) = 0,894sin (10t –240 ).

`
Đáp ứng tần số trong hình 7.1a cho thấy hệ thống là mạch lọc có đặc tính thông
cao, đáp ứng tốt với tín hiệu sin tần số cao ( lớn hơn 5) và triệt các tín hiệu tần số thấp
hơn ( thấp hơn 5). ■
 Thí dụ C7.1 dùng máy tính
Vẽ đáp ứng tần số của hàm truyền H ( s) 

s5
s  3s  2
2

num=[1 5];
den=[1 3 2];
w=.1:.01:100;
axis([log10(.1)log10(100) -50 50])
[mag, phase, w]=bode(num, den, w);
subplot(211), semilogx(w,20*log10(mag))
subplot(211),semilogx(w,phase)

■ Thí dụ 7.2:
Tìm và vẽ đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của
(a) khâu trễ lý tưởng T giây

(b) khâu vi phân lý tưởng
(c) khâu tích phân lý tưởng
(a) Khâu trễ lý tƣởng T giây. Hàm truyền khâu trễ lý tưởng là (phương trình 6-54)
H (s)  e  sT  H ( j )  e  jT nên

H ( j )  1 H ( j )  T
(7.6)
Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2a. Đáp ứng biên độ là hằng
(đơn vị) với mọi tần số. Góc dịch pha tăng tuyến tính theo tần số với độ dốc – T . Kết quả
này có thể được giải thích qua ghi nhận là nếu tín hiệu cost qua khâu trễ lý tưởng T
giây, thì ngõ ra là cos(t – T). Biên độ ngõ ra giống với biên độ ngõ vào với mọi giá trị
của . Do đó, biên độ đáp ứng ra (độ lợi) là đơn vị với mọi tần số. Hơn nữa, ngõ ra
cos (t  T )  cos(t  T ) có độ dịch pha – T so với ngõ vào cost. Do đó, đáp ứng
pha tỉ lệ tuyến tính với tần số , và độ dốc – T

(b) Khâu vi phân lý tƣởng: có hàm truyền (xem phương trình (6.55)
H (s)  s  H ( j)  j  e j / 2 , do đó

H ( j )   H ( j )   / 2

(7.7)

Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2b. Đáp ứng biên độ tăng tuyến
tính theo tần số, và đáp ứng pha là hằng (/2) với mọi tần số. Kết quả này được giải thích
từ nhận xét là nếu tín hiệu cost qua bộ vi phân lý tưởng, thí ngõ ra là
  sin t   cost   / 2. Do đó, biên độ sóng ra là  lần biên độ tín hiệu vào, tức là
biên độ đáp ứng (độ lợi) tăng tuyến tính theo tần số . Hơn nữa, sóng ra có dịch pha /2
so với sóng vào cost. Do đó, đáp ứng pha là hằng (/2) với tần số.
Bộ vi phân lý tưởng, có biên độ đáp ứng (độ lợi) tỉ lệ với tần số [ H ( j )   ],

nên các thành phần tần số cao được tăng cường (hình 7.2b). Mọi tín hiệu thực tế đều bị
nhiễm nhiễu, là tín hiệu có bản chất có băng thông rộng, nên tín hiệu có các thành phần
có tần số rất cao. Mạch vi phân có thể làm tăng phi tuyến biên độ nhiễu so với tín hiệu có
ích, nên trong thực tế không dùng được bộ vi phân lý tưởng.
(c) Bộ tích phân lý tƣởng: có hàm truyền là (phương trình (6.56))
1
1
 j 1  j / 2
, do đó
H ( s)   H ( j) 

 e
s
j  
1

H ( j ) 
H ( j )  

2
Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ ở hình 7.2c. Đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch
với tần số, còn độ dịch pha là hằng (–/2) theo tần số.
Kết quả này có thể giải thích với nhận xét là khi tín hiệu cost qua khâu tích phân
1
1


lý tưởng, ngõ ra là sin t  cos t   . Do đó, đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch

 

2
với , và đáp ứng pha là hằng số (–/2) theo tần số.

Do có độ lợi là 1/, bộ tích phân lý tưởng triệt các thành phần tần số cao nhưng
lại tăng cường các thành phần tần số thấp có  < 1. Do đó, các tín hiệu nhiễu (nếu không
chứa các thành phần tần số rất thấp) sẽ bị bộ tích phân loại bỏ. ■

 Bài tập E 7.1
Tìm đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB đặc trưng bởi
d2y
dy
df
 3  2 y (t ) 
 5 f (t )
2
dt
dt
dt
khi ngõ vào là sóng 20 sin(3t  350 )
Đáp số 10,23 sin(3t  61,910 ) . 
7.1-1 Đáp ứng xác lập với ngõ vào là tín hiệu sin nhân quả
Từ trước, ta chỉ mới bàn về đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB với ngõ vào sin
không dừng (bắt đầu từ t   ). Trong thực tế, ta cần quan tâm đến các ngõ vào là sóng
sin nhân quả (sóng sin bắt đầu từ t  0 ). Xét ngõ vào e jt u (t ) , bắt đầu từ t  0 , thay vì
t   . Trường hợp này F (s)  1 /( s  j) . Hơn nữa, phương trình (6.51) cho
là
đa
thức
đặc

tính
cho
bởi
H (s)  P(s) / Q(s) trong đó Q(s)
Q(s)  (s  1 )(s  2 ) (s  n ) . Do đó
Y ( s)  F ( s) H ( s) 

P( s )
( s  1 )(s  2 )  ( s  n )(s  j )

Khai triển đa thức cho vế phải, gọi các hệ số tương ứng với n thừa số
(s  1 )(s  2 ) (s  n ) là k1 , k 2 , . . ., k n . Hệ số tương ứng thừa số cuối (s  j ) là
P(s) / Q(s) s j  H ( j ) . Do đó,
n

Y ( s)  
i 1

ki
H ( j )

,
s  i s  j

n

Và

y(t )   ki e it u (t )  H ( j )e jt u (t )

(7.9)

i 1

= thành phần quá độ ytr (t ) + thành phần xác lập yss (t )
Đối với hệ ổn định tiệm cận, các thừa số chế độ e it giảm theo thời gian, do đó, gồm
thành phần thường được gọi là thành phần quá độ. Thừa số cuối H ( j )e jt tồn tại mãi
mãi, còn được gọi là thành phần xác lập của đáp ứng, được cho bởi:
yss (t )  H ( j )e j t u(t )
Từ phương pháp tìm phương trình (7.5a), ta thấy khi hệ có ngõ vào sin nhân quả
cos t , đáp ứng xác lập được cho bởi:
yss (t )  H ( j ) cos[t  H ( j )]u(t )
(7.10)
Tóm lại, H ( j ) cos[t  H ( j )]u(t ) là đáp ứng tổng với ngõ vào là sóng sin không
dừng cos t , và còn được gọi là đáp ứng xác lập với cùng ngõ vào tại t  0 .

Giản đồ Bode
Giúp vẽ đáp ứng tần số dễ dàng hơn khi dùng tỉ lệ logarithm. Đồ thị đáp ứng biên
độ và pha là hàm theo  theo trục logarithm được gọi là giản đồ Bode. Từ tính tiệm cận
của đáp ứng biên độ và pha, ta vẽ được các giản đồ này dễ dàng hơn, hay cả với hàm
truyền bậc cao.
Xét hệ thống có hàm truyền
K ( s  a1 )( s  a2 )
(7.11a)
H ( s) 
s( s  b1 )( s 2  b2 s  b3 )
7.2

Trong đó thừa số bậc hai (s 2  b2 s  b3 ) được giả sử là nghiệm phức liên hợp. Sắp xếp lại

(7.11a) theo dạng:
s
 s

  1  1
Ka a
 a1  a2

H ( s)  1 2
(7.11b)
2
b1b3  s

 s
b2
s  1  s  1
 b1  b3 b3



j 
j 
1 
1 

a
a
Ka1a2
1 
2 


H ( j ) 
b1b3



j
b2 j ( j ) 2 



j  1 
1  b  b 
b
1 
3
3



(7.11b)

Phương trình cho thấy là H ( j ) là hàm phức theo . Đáp ứng biên độ H ( j ) và đáp
ứng pha H ( j ) là:

H ( j ) 

Ka1a2
b1b3

1

j
j
1
a1
a2

j
b2 j ( j ) 2
j 1 
1

b1
b3
b3

(7.12a)

Và

 b2 j ( j ) 2 



j 
j 
j 







H ( j )  1 
  1  a   j  1  b   1  b  b  (7.12b)
a
1 
2 
1 
3
3





Phương trình (7.12b) cho thấy hàm pha gồm chỉ tổng của 3 dạng thừa số: (i) góc
j
pha của j, lệch pha 900 với mọi giá trị của . (ii) pha của thừa số bậc một 1 
, và
a
(iii) pha của các thừa số bậc hai.
 b2 j ( j ) 2 
1 


b3
b3 


Ta có thể vẽ đồ thị ba hàm pha cơ bản của  trong tầm từ 0 đến , rồi dùng các đồ
thị, ta dựng được hàm pha của bất kỳ hàm truyền nào từ phép cộng các đáp ứng cơ bản.
Chú ý là nếu thừa số nằm ở tử số, thì góc pha mang dấu cộng, còn khi nằm ở mẫu số thì

góc pha mang dấu trừ. Điều này cho phép vẽ dễ dàng hàm pha H ( j ) theo . Phép
tính H ( j ) bao gồm các phép tính nhân và chia nhiều thừa số khác nhau. Khi chuyển
việc vẽ H ( j ) sang vẽ log H ( j ) , ta chuyển được các phép nhân, chia thành các phép
tính cộng và trừ.
Có thể vẽ theo trục logarithm với đơn vị là decibel (dB), thí dụ giá trị log của biên
độ là 20 log10 H ( j ) (dB). Các đồ thị (log biên độ và pha) dựng theo phương pháp gọi là
giản đồ Bode. Hàm truyền trong phương trình (7.12a) là biên độ theo log là:

20 log H ( j )  20 log

Ka1a2
j
j
 20 log 1 
 20 log 1 
 20 log j
b1b3
a1
a2

j
b2 j ( j ) 2
 20 log 1 
 20 log 1 


b1
b3
b3

(7.13)

Thừa số 20 log( Ka1a2 / b1b3 ) là hằng số. Ta thấy biên độ log là tổng của bốn dạng thừa số
cơ bản là (i) hằng số, (ii) cực hay zêrô ở gốc ( 20 log j ), (iii) cực hay zêrô bậc một

20 log[1  j / a] , và (iv) cực hay zêrô ở dạng phức

20 log[1  jb



/ b3  ( j) 2 / b3 ] .
Ta vẽ được bốn dạng cơ bản này theo  rồi dùng chúng để dựng đồ thị biên độ log của
hàm truyền bất kỳ. Hảy thảo luận với từng thừa số:
2

1. Hằng số ka1a2 / b1b3
Biên độ log của thừa số này cũng là hằng số, 20 log( Ka1a2 / b1b3 ) . Góc pha trong
trường hợp này là zêrô
2. Cực (hay zêrô) ở gốc
Biên độ theo log
Cực dạng này tăng theo thừa số  20 log j , có thể viết thành

 20 log j  20 log 
Hàm này được vẽ theo . Tuy nhiên, có thể đơn giản hơn khi dùng tỉ lệ log cho biến .
Định nghĩa biến mới u theo

(7.14)
u  log 
Vậy
(7.15a)
 20 log   20u
Hàm biên độ log  20u được vẽ theo u trong hình 7.3a. Đây là đường thẳng có độ dốc
 20 và qua trục u tại u = 0. Tỉ lệ của  (u = log) cũng xuất hiện trong hình 7.3a. Đồ thị
dạng semilog được dùng để vẽ, nên ta có thể vẽ trực tiếp  trên giấy semilog. Tỉ lệ 10
được gọi là decade và tỉ lệ 2 gọi là octave. Ta thấy là tỉ lệ 2 (octave) theo tỉ lệ  là bằng
0,3010 (là log10 2 ) theo tỉ lệ của u.
Chú ý là khi u tăng đồng đều, tương đương với tăng đồng đều tỉ lệ . Do đó, một đơn vị
theo trục u tương đương với một decade trong tỉ lệ . Tức là đồ thị biên độ có độ dốc
 20dB / decade hay  20(0,3010)  6,02dB / octave (thường gọi là 6dB/octave). Tuy
nhiên, đồ thị biên độ qua trục  tại  = 1, do u  log10   0 khi  = 1.

Trường hợp zêrô tại gốc, thừa số biên độ - log là 20log. Đây là đường thẳng qua
  1 và có độ dốc là 20dB/decade (hay 6dB/octave). Đường thẳng này là ảnh phản
chiếu qua trục  của đồ thị cực qua gốc vẽ đường gián đoạn trong hình 7.3a.

Pha

Hàm pha tương ứng với cực tại gốc là  j (xem phương trình 7.12b). Do đó:
(7.15b)
H ( j )  j  900
0
Pha là hằng số (- 90 ) với mọi , vẽ trong hình 7.3b. Khi zêrô ở gốc, góc pha là
j  900 . Đây là ảnh phản chiếu của giản đồ pha khi có cực ở gốc và vẽ thành đườn
gián đoạn trong hình 7.3b.
3. Cực (hay zêrô) bậc một

Biên độ log

j
. Ta hảy tìm hiểu về tác
a
động tiệm cận của hàm này với các giá trị cực trị của  (<<a và >>a).

Biên độ log do có cực bậc một tại – a là  20 log 1 

(a) Khi <j
 20 log 1  0
a
Do đó, hàm biên độ log tiệm cận 0 khi < 20 log 1 

(7.16)

(b) Với >>a, ta có
j
 
(7.17a)
 20 log 1 
 20 log 
a
a
(7.17b)
 20 log   20 log a
 20u  20 log a