Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 2, 3 - Trịnh Văn Loan

Chương 2
PHÉP BIẾN ĐỔI Z

74


2.1. Định nghĩa
•

Biến đổi z của tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa như sau:

X(z) 



x(n)zn

n

X(z) là hàm phức của biến phức z. Định nghĩa như trên
là biến đổi z 2 phía. Biến đổi z 1 phía như sau:

X(z) 



 x(n)zn

n0

• Xét quan hệ giữa biến đổi z và biến đổi Fourier. Biểu diễn

biến phức z trong toạ độ cực
z = rejw

75


2.1. Định nghĩa

j
w
X(re ) 

x(n)(rejw)n

n


j
w
X(re ) 



n
x(n)r  ejwn




n 






Trường hợp đặc biệt nếu r = 1 hay |z|=1 biểu thức trên
trở thành biến đổi Fourier
X(z)
 X(ejw)
zejw
Biến đổi z trở thành biến đổi Fourier khi biên độ của biến z
bằng 1, tức là trên đường tròn có bán kính bằng 1 trong
mặt phẳng z. Đường tròn này được gọi là đường tròn đơn vị.

76


2.1. Định nghĩa

Đường tròn đơn vị

Im

z=ejw

j

Mặt phẳng z
w

1

Re

77


Điều kiện tồn tại biến đổi z
• Miền giá trị của z để chuỗi lũy thừa trong định
nghĩa biến đổi z hội tụ gọi là miền hội tụ.
• Áp dụng tiêu chuẩn Cô-si để xác định miền hội tụ
• Chuỗi có dạng



 un  u0  u1  u2  ...

sẽ hội tụ nếu

n0

1/n 1
|
thỏa mãn điều kiện nlim|u
n


X(z)  X1(z)  X2(z) 

1


n

x(n)zn 



 x(n)zn

n0

• Áp dụng tiêu chuẩn Cô-si cho X2(z)
n |1/n 1
lim|x(n)z
n

1/n|z1| 1
lim|x(n)|
n
78


Điều kiện tồn tại biến đổi z
Giả thiết

1/n R
lim|x(n)|
x

n

Vậy X2(z) hội tụ với các giá trị của z thỏa mãn
|z|>RxTương tự, X1(z) hội tụ với các giá trị của z thỏa mãn |z|với:
1
R x 
1/n
lim|x(

n)|
n

Miền hội tụ của biến đổi z: 0  Rx |z| Rx  
Im

Rx-

Rx+

Re
79


Ví dụ 1.
biến
X(z) 

Cho tín hiệu x(n)=u(n). Hãy xác định
đổi z và miền hội tụ.



 1.zn  1 1z1

n0

Ví dụ 2.

với |z|>1

Rx-=1 Rx+=

Cho tín hiệu x(n)=anu(n). Hãy xác
định biến đổi z và miền hội tụ.

X(z) 







an.zn 

n0

 (a.z1)n 

n0

Im

1
z

với |z|>|a|
1  az1 z  a

Rx-=|a| Rx+=
Điểm không: z = 0

a

Re

Điểm cực: z = a
Miền hội tụ không chứa điểm cực
80


x(n)
X(z)

Z
Z1

X(z)

Biến đổi z thuận

x(n)

Biến đổi z ngược

81


2.2. Phép biến đổi z ngược

1 zk 1dz  1 k=0
2pj 
0 k  0


Áp dụng định lý Cô-si

X(z) 



x(n)zn (1)

n

: đường cong khép kín bao gốc tọa độ trên mặt phẳng z
m1
z
Nhân (1) với
và lấy tích phân:

2pj

1 X(z)zm1dz  1
x(n)znm1dz



2pj 
2pj  n

1 X(z)zm1dz   x(n) 1 znm1dz

2pj 
2pj 
n
1 X(z)zm1dz  x(m)
2pj 

x(n)  1  X(z)zn1dz
2pj 
82


2.3. Một số tính chất của biến đổi z
 Tính tuyến tính

Z  X (z)
x1(n) 
1

Z  X (z)
x2(n) 
2

Z  X(z)
x(n)  ax1(n)  bx2(n) 

X(z) 



 ax (n)+bx (n) z
1

n=-


 a  x1(n)z
n

2

n

n



 b  x2 (n)z n
n

 aX1(z)  bX2 (z)
Miền hội tụ của X(z) ít nhất sẽ là giao của 2 miền hội tụ
của X1(z) và X2(z)
Rx- = max[Rx1-,Rx2-]
Rx+ = min[Rx1+,Rx2+]
83


2.3. Một số tính chất của biến đổi z
 Biến đổi z của tín hiệu trễ
Z
x(n) 
 X(z)
Z
x(n  n0 ) 
?

Z x(n  n0 ) 
Đổi biến m=n-n0



 x(n  n )z
0

n

Z xx(m) 





n

x(m)z(mn0 )

m

z

n0





x(m)z m

m

 zn0 X(z)
Z
x(n  n0 ) 
 zn0 X(Z)

84

Z x(n  n0 ) 



 x(n  n )z

n

0

n

85


2.3. Một số tính chất của biến đổi z
 Biến đổi z của tín hiệu trễ

x(n)

z-1

x(n-1)

x(n)

D

x(n-1)

86


2.3. Một số tính chất của biến đổi z
 Giá trị đầu của dãy
X(z)
Nếu x(n)=0 với n<0 thì x(0)  lim
z 
X(z) 



 x(n)z

n

n

 x(0)  x(1)

 Đảo trục thời gian
Z x(n) 





 x(n)z

n

n0

1
1
 x(2) 2  ...
z
z
Z x(n)  X(z),R x  | z | R x 
Z x(n)  ?

1
m
x(m)z

X


z
 
n
m
1
1
| z |
R x
R x


x(n)z

n





87


2.3. Một số tính chất của biến đổi z
 Vi phân của biến đổi z

dX(z)
  (n)x(n)zn1
dz
n
Nhân 2 vế với - z

dX(z)
z
  nx(n) zn  Z nx(n)
dz
n

 Biến đổi z của tổng chập

Y(z)=X(z).H(z)

y(n)=x(n)*h(n)

Y(z) 



 y(n)z

n

n

 

    x(k)h(n  k) z n
n k 



 

  x(k)   h(n  k)z n  
k 
n





 x(k)z

k 

k

 
n 
h(n)z

  X(z).H(z)
n

88


2.4. Một số phương pháp tính
biến đổi z ngược
 Khai triển thành các phân thức hữu tỷ đơn giản
P(z)
X(z) 

Q(z)
Ví dụ

Cho X(z) 

Ai

i1 z  zi
K

Ai  (z  zi )X(z) z z

i

1
1  3z

1

 2z

2

với |z|>2. Tìm x(n) ?

Mẫu số có 2 nghiệm theo z-1: z-1=1 và z-1=1/2

X(z) 

(z1

1/2
A1
A2
 1
 1
1
 1)(z  1 / 2) (z  1) (z  1 / 2)

A1  (z1  1).X(z)

z1 1

1

A2  (z1  1 / 2).X(z)

z1 1 / 2

 1
89


2.4. Một số phương pháp tính
biến đổi z ngược
 Khai triển thành các phân thức hữu tỷ đơn giản
X(z) 

1
1
2
1



z1  1 z1  1 / 2 1  2z1 1  z1

Biết rằng x(n)  anu(n)  X(z) 

1

1  az1

Vậy x(n)=2.2nu(n)-u(n)=u(n)[2n+1-1]

90


2.4. Một số phương pháp tính
biến đổi z ngược
 Khai triển theo phép chia
X(z) có dạng là tỷ số của 2 đa thức theo z. Tiến
hành phép chia đa thức để có từng mẫu của x(n)

Ví dụ

z1
X(z) 
1  1, 414z1  z2

91


2.4. Một số phương pháp tính
biến đổi z ngược
 Khai triển theo phép chia
z-1

1-1,414z-1+z-2

z-1 -1,414z-2+z-3

z-1+ 1,414z-2+ z-3- z-5-1,414 z-6…
1,414z-2-z-3
1,414z-2-2z-3+ 1,414z-4
z-3 - 1,414z-4
z-3 - 1,414z-4 + z-5
-5

z
X(z)   x(n)zn
- z-5 + 1,414z-6 – z-7
n
- 1,414z-6 + z-7
x(0)=0. x(1)=1. x(2)=1,414. x(3)=1. x(4)=0. x(5)=-1…
n<0 x(n)=0

92


Một số cặp biến đổi z thông dụng (1/2)
Tín hiệu

Biến đổi z

Miền hội tụ

(n)

1

Toàn mf z

u(n)
-u(-n-1)
(n-m)
anu(n)
-anu(-n-1)

1
1  z1
1
1  z1
z-m

1
1  az1
1
1  az1

|z|>1
|z|<1
Toàn mf z trừ 0 nếu m>0,
trừ  nếu m < 0
|z|>|a|

|z|<|a|
93


Một số cặp biến đổi z thông dụng (2/2)
Tín hiệu

nanu(n)

Biến đổi z

Miền hội tụ

az1

1  az 
1

2

|z|>|a|

az1
-nanu(-n-1)

1  az 
1

2

|z|<|a|

cos(Wn)u(n)

1  (cos W)z1
1  (2 cos W)z1  z2

|z|>1

sin(Wn)u(n)

(sin W)z1
1  (2 cos W)z1  z2

|z|>1

94


2.5. Ứng dụng biến đổi z để giải PT-SP
• Giải PT-SP: Biết PT-SP, biết tín hiệu vào, tính tín hiệu ra
Ví dụ

Cho PT-SP y(n) = x(n) + ay(n-1)
Biết: Điều kiện đầu y(-1) = K
Tín hiệu vào x(n) = ejwnu(n)
Hãy xác định tín hiệu ra

Lấy biến đổi z 1 phía PT-SP:



n
n
n
y(n)z


x(n)z

a
y(n

1)z



n0

n0

n 0

Áp dụng công thức tính biến đổi z 1 phía của tín hiệu trễ

Z y(n  n0 )  z

n0

n0

r
 Y(z)   y(r)z 
r 1



Z y(n  1)  z1Y(z)  y(1)
95


2.5. Ứng dụng biến đổi z để giải PT-SP
Y(z)=X(z)+az-1Y(z)+ay(-1)

X(z)  ay(1)
Y(z) 
1  az1

x(n) = ejwnu(n)

X(z) 

1
1  e jwz1

aK
1
Y(z) 

1
1  az
(1  az1 )(1  e jwz1 )
aK
a /(a  e jw ) e jw /(a  e jw )
Y(z) 



1
1
1  az
(1  az )
(1  e jwz1 )
Biến đổi z ngược

Đáp ứng với
điều kiện đầu

 n1
an1
e jw(n1) 
y(n)  a K 

u(n)
jw
jw 
ae
ae 

Đáp ứng
quá độ

Đáp ứng đối với
tín hiệu vào

96

2.6. Hàm truyền đạt của hệ TT-BB
y(n)=h(n)*x(n)

Y(z) =H(z).X(z)

Y(z)
H(z) 
 Z h(n) 
X(z)

H(z): Hàm truyền đạt


n
h(n)z


n

a) H(z) của hệ nhân quả
Hệ nhân quả nên h(n) = 0 với n < 0
1/n

| h(n)|
H(z) hội tụ với | z | Rh  nlim


H(z) 



 h(n)z

n

n 0

Miền hội tụ không chứa điểm cực, vậy:
Mọi điểm cực của hệ TT-BB nhân quả đều nằm trong
đường tròn có bán kính Rh  lim | h(n)|1 / n
n

97


2.6. Hàm truyền đạt của hệ TT-BB
b) H(z) của hệ ổn định
Hệ ổn định thì đáp ứng xung thỏa mãn

Hàm truyền đạt được xác định theo:

H(z)   h(n)zn
n



| h(n) |  

(1)

n

Nếu (1) thỏa mãn thì H(z) hội tụ ngay cả khi |z|=1

Miền hội tụ của H(z) chứa đường tròn đơn vị
thì hệ sẽ ổn định

98