Bài giảng Xử lý tín hiệu nâng cao (Advanced signal processing) - Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trên miền Z

Xử lý tín hiệu nâng cao
-Advanced signal processingChương 3
Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc
trên miền Z


Phép biến đổi Z
Phép biển đổi Z hai phía
+∞

X ( z ) = ZT [ x(n)] =

∑ x ( n) z

−n

n = −∞

Z là một biến phức
miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z: tập hợp các giá
trị của Z để cho X(z) hội tụ.


Miền hội tụ
Ví dụ: xét tính hội tụ của dãy anu(n) với a ≠ 0.

∞

X ( z) = ∑ a z

n −n

0

n

z
a
= ∑  =
z−a
0  z 
∞

Hội tụ khi |a/z| < 1 hay khi |z| > |a|


Miền hội tụ

Mặt phẳng Z
r=a

Re[z]


Điểm cực, điểm không
Điểm cực (pole): là điểm mà tại đó X(z)=∞
Điểm không (zero): là điểm mà tại đó X(z)=0
Như vậy nếu ta biểu diễn X(z) dưới dạng phân số thì:
các điểm cực là nghiệm của đa thức mẫu số
các điểm không là nghiệm của đa thức tử số.

Điểm cực, điểm không
Biến đổi Z dạng hữu tỉ
Rất hữu ích để phân tích hệ LTI RRTG
Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất nào
đó
chỉ cần quan tâm trên vị trí của các điểm
zero-pole


Điểm cực, điểm không
Các cách biểu diễn biến đổi Z dạng hữu tỉ:
Dạng mũ âm:

M

N(z) b 0 + b1z −1 + ... + b M z − M
X(z) =
=
=
−1
−N
D(z) a 0 + a 1z + ... + a N z
Dạng mũ dương:

−k
b
z
∑ k
k =0

N

∑a

−k
z
k

k =0

b1 M −1
bM
z + z + ... +
b0
b0
aN
a1 N −1
N
z + z + ... +
a0
a0
M

N(z) b 0 N −M
X(z) =
= z
D(z) a 0
Dạng zero & pole:

b

G= 0
a0

M

( z − zk )
∏
z
z
z
z
...
z
z
−
−
−
(
)(
)
(
)
1
2
M
X(z) = Gz N − M
= Gz N − M kN=1
( z − p1 )( z − p2 ) ... ( z − p N )
(z − p )

∏

Độ gợi (gain)

k =1

k


Điểm cực, điểm không
Trong matlab ta sử dụng hàm:
tf2zp để tìm các điểm cực, điểm không,
zplane để biễn diễn kết quả trên mặt phẳng z


Hàm tf2zp
[Z,P,K] = TF2ZP(NUM,DEN) tìm các điểm
cực, điểm không và độ gợn:
(z − z1)(z − z2)...(z − zn)
H(s) = K
(z − p1)(z − p2)...(z − pn)

num và den: là các hệ số của H(z)
z: là vector chứa các điểm không
p: là vector chứa các điểm cực
k: là độ gợn


Điểm cực, điểm không
Trong matlab ta sử dụng hàm:

tf2zp để tìm các điểm cực, điểm không,
zplane để biễn diễn kết quả trên mặt phẳng z

Ví dụ

1

0.5
Imaginary Part

a= [1,2,3];
b=[4,5,6];
[z,p,k]=tf2zp(b,a)
zplane(b,a)

1.5

0

-0.5

-1

-1.5
-1.5

-1

-0.5

0
Real Part

0.5

1

1.5


Hàm zp2tf
[NUM,DEN] = ZP2TF(Z,P,K) hình thành hàm
truyền đạt
num và den: là các hệ số của H(z)
z: là vector chứa các điểm không
p: là vector chứa các điểm cực
k: là độ gợn
NUM ( s )
H(s) =
DEN ( s )


Điểm cực, điểm không
Ví dụ: Tìm dạng hữu tỉ và vẽ giản đồ zero-pole cho
X(z):
Zeros: Zk=0.8ej2πk/M , k=1..M
Poles: M pole tại 0
M=8;
1
0.8

0.6

Imaginary Part

0.4
0.2
8

0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1

-0.5

0
Real Part

0.5

1

a=0.8;
p=zeros(M,1);
z=zeros(M,1);
for k=1:M,
z(k,1)=a*exp((j*2*pi*k)/M);

end;
[num,den]=zp2tf(z,p,1);
disp(num);
disp(den);
zplane(z,p);


Một số hàm liên quan
abs, angle: trả về các hàm thể hiện Mođun và Agumen của
một số phức
real, imag: trả về các hàm thể hiện phần thực và phần ảo của
một số phức
residuez: trả về các điểm cực và các hệ số tương ứng với
các điểm cực đó trong phân tích một hàm phân thức hữu tỷ ở
miền Z thành các thành phần là các hàm phân thức đơn giản,
ngược lại nếu đầu vào là danh sách các điểm cực và các hệ
số, hàm residuez sẽ trả về hàm phân thức hữu tỷ ở miền Z
poly: xây dựng một đa thức từ danh sách các nghiệm của nó
ztrans: trả về biến đổi Z của một hàm số được định nghĩa
theo công thức của một biểu tượng (symbol)


Một số hàm liên quan
iztrans: hàm ngược lại của hàm ztrans
zplane: thể hiện phân bố điểm cực và điểm không của một
hàm phân thức hữu tỷ lên mặt phẳng Z
freqz: trả về đáp ứng tần số của một hệ thống tại một số hữu
hạn các điểm rời rạc trên vòng tròn đơn vị khi biết hàm truyền
đạt của nó
clock: trả về thời gian thực hiện tại

etime: trả về thời gian tính bằng giây giữa 2 thời điểm


Ví dụ
Tìm biến đổi z của dãy x(n) = 2 u (n) bằng các cách:
n

Tính dựa trên định nghĩa
Kiểm tra lại bằng hàm ztrans trong Matlab.

Giải:
Theo định nghĩa ta có:

∞

X ( z) =

∑ x(n).z
n =−∞

−n

z
=
z−2

X(z) trong Matlab bằng hàm ztrans
• Trước hết, định nghĩa biến n bằng câu lệnh syms:

% Tim bien doi z

syms n positive
x=2.^n;
ztrans(x)


Một số tính chất của biến đổi Z

Tính tuyến tính:
Z [ a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1 X 1 ( z ) + a2 X 2 ( z );
ROC : ROC x1 ∩ ROC x2


Một số tính chất của biến đổi Z
Dịch mẫu – tính chất trễ:

Z [ x(n − n0 )] = z

− n0

X ( z );


Tính chất của biến đổi Z
Dịch mẫu – tính chất trễ:
Nếu:
Thì:

ZT
x ( n ) ←→
X (z),

ROC  X ( z )  : R x − < z < R x +

ZT
y ( n ) = x ( n − k ) ←→
Y ( z ) = z−k X ( z )

 ROC  X ( z )  \ 0, k > 0
ROC  Y ( z )  : 
ROC  X ( z )  \ ∞ , k < 0


Tính chất của biến đổi Z
Dịch tần số - Co giãn trong miền Z:
ZT
x ( n ) ←
→ X (z),

ROC  X ( z )  : R x − < z < R x +

ZT
⇒ a n x ( n ) ←
→ X ( a −1z ) ,

ROC  X ( z )  : a R x − < z < a R x +


Tính chất của biến đổi Z
Biến số đảo - Đảo thời gian:
ZT

x ( n ) ←→
X ( z ) , ROC  X ( z )  :
ZT
⇒ x ( −n ) ←→
X ( z −1 ) ,

R x− < z < R x+

ROC  X ( z −1 )  :

1
1
R x+
R x−

Ý nghĩa:
• ROC[X(z)] là nghịch đảo của ROC[X(z-1)]
• Nếu z0 ∈ ROC[X(z)] thì 1/z0 ∈ ROC[X(z-1)]


Tính chất của biến đổi Z
Dãy liên hợp phức:

ZT
x ( n ) ←→
X (z)
ZT
x * ( n ) ←→
X* ( z* )

ROC : ROCx

Phần thực:
1
ZT
 X ( z ) + X * ( z* ) 
Re  x ( n )  ←→

2

Phần ảo:
1
Im  x ( n )  ←→  X ( z ) − X* ( z* ) 
2j
ZT


Một số tính chất của biến đổi Z
Tích của hai dãy:

1
−1
Z [ x1 (n) x2 (n)] =
X 1 (v) X 2 ( z / v)v dv
∫
2πj C
ROC : ROC x1 ∩ ROC x2

Một số tính chất của biến đổi Z
Tích chập:

Z [ x1 ( n ) * x2 ( n )] = X 1 ( z ) X 2 ( z )
ROC : ROC x1 ∩ ROC x2


Ví dụ
Ví dụ:
X1(z)=2+3z-1+4z-2
X2(z)=3+4z-1+5z-2+6z-3
Cần tính X3=X1X2

=>

X3=6+17z-1+34z-2+43z-3+38z-4+24z-5

Ngoài ra chúng ta cũng có thể sử dụng phép
nhân chập.
x1(n)={2,3,4} và x2(n)={3,4,5,6}


Ví dụ
Ta sử dụng matlab để tính nhân chập:
x1=[2,3,4];
x2=[3,4,5,6];
x3=conv(x1,x2)
x3 =
6

17

34

43

38

24

Như vậy X3=6+17z-1+34z-2+43z-3+38z-4+24z-5