Bài giảng xử lý tín hiệu số

MỤC LỤC
CHƯƠNG I: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC............................................................3
1.1 Mở đầu..........................................................................................................................3
1.1.1 Phân loại tín hiệu...................................................................................................3
1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing)..............................................6
1.2 Tín hiệu rời rạc.............................................................................................................7
1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc.......................................................................................7
1.2.2 Các tín hiệu rời rạc................................................................................................8
1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc.......................................................................11
1.3 Hê thống tuyến tính bất biến......................................................................................15
1.3.1 Hệ thống tuyến tính.............................................................................................15
1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến...............................................................................17
1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả...........................................................21
1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định..................................................................24
1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.............................................................25
1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính.........................................................................25
1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng......................................................26
0 với n còn lại.........................................................................................................28
1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra).....................................................28
1.4.4 Hệ thống số không đệ quy...................................................................................29
1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến.............................................................29
1.5 Tương quan chéo của các tín hiệu..............................................................................31
1.5.1 Tương quan chéo.................................................................................................31
1.5.2 Hàm tự tương quan..............................................................................................31
CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN Z.....33
2.1 Mở đầu ...................................................................................................................33
2.2 Biến đổi Z (ZT)..........................................................................................................33
2.2.1 Định nghĩa...........................................................................................................33
2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z......................................................................................34
2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng............................................................................37
2.3 Biến đổi Z ngược........................................................................................................38

2.3.1 Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư................................................38
0 với n < 0..................................................................................................................40
2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa......................................................40
2.3.3 Phương pháp khai triển thành tổng của các phân thức tối giản...........................41
2.4 Các tính chất của biến đổi Z.......................................................................................42
2.4.1 Tính chất tuyến tính.............................................................................................42
2.4.2 Tính chất trễ.........................................................................................................43
2.4.3 Tính chất nhân với hàm mũ an............................................................................44
2.4.4 Đạo hàm của biến đổi Z ( tính đạo hàm của n.x(n) )...........................................45
2.4.5 Tích chập của hai dãy..........................................................................................45
2.4.6 Tương quan của hai tín hiệu................................................................................46
2.4.7 Dãy liên hợp phức...............................................................................................47
2.4.8 Định lý giá trị ban đầu.........................................................................................48
2.4.9 Tích của hai dãy..................................................................................................48
2.5 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z....................................................................48
2.5.1 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc...................................................................48
2.5.2 Hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi
phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng................................................................49
2.5.3 Các phần tử thực hiện hệ thống tuyến tính bất biến............................................50
2.5.4 Phân tích hệ thống trong miền Z.........................................................................51

1


2.5.5 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng nhờ biến đổi Z......................53
2.6 Độ ổn định của hệ thống.............................................................................................54
2.6.1 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến................................................54
2.6.2 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả............................55
2.6.3 Tiêu chuẩn ổn định Jury......................................................................................56
CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU......................................................58

RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC...................................................................58
3.1 Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc....................................................................58
3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Transform)...............................................58
3.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier............................................................................60
3.1.3 Biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform) ........................................61
3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier..............................................................................62
3.2.1 Tính chất tuyến tính.............................................................................................62
3.2.2 Tính chất trễ.........................................................................................................63
3.2.3 Tính chất trễ tần số..............................................................................................64
3.2.4 Tích chập của hai dãy..........................................................................................65
3.2.5 Tính chất đối xứng..............................................................................................66
3.2.6 Tương quan giữa hai tín hiệu..............................................................................66
3.2.7 Quan hệ Parseval.................................................................................................66
3.2.8 Tích của hai dãy..................................................................................................67
3.2.9 Vi phân trong miền tần số...................................................................................68
3.2.10 Tính chất đảo biến số.........................................................................................68
3.3 So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z......................................................................68
3.3.1 Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z......................................................68
3.3.2 Đánh giá hình học X(ejw) trên mặt phẳng Z.......................................................69
3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục................................................70
3.4.1 Đáp ứng tần số.....................................................................................................70
3.4.2 Các bộ lọc số lý tưởng.........................................................................................71
3.5 Lấy mẫu tín hiệu.........................................................................................................75
3.5.1 Định lý lấy mẫu...................................................................................................75
3.5.2 Tần số Nyquist.....................................................................................................77
CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG......................................................78
RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC.....................................................................78
4.1 Mở đầu........................................................................................................................78
4.2 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N.........................78
4.2.1 Các định nghĩa.....................................................................................................78

4.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn
. .79
có chu kỳ N.........................................................................................................79
4.3 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài .................81
hữu hạn .....................................................................................................................81
4.3.1 Các định nghĩa.....................................................................................................81
4.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều ................81
dài hữu hạn........................................................................................................82
4.3.3 Khôi phục biến đổi Z và biến đổi Fourier từ DFT..............................................83
4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT).........................................................................84
4.4.1 Mở đầu.................................................................................................................84
4.4.2 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian ...............................................87
4.4.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số.....................................................91
4.4.4 Tình FFT ngược..................................................................................................92
.................................................................................................................................................. 92

2


CHƯƠNG I: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
1.1 Mở đầu
1.1.1 Phân loại tín hiệu
1.1.1.1 Định nghĩa tín hiệu

Tín hiệu là sự biến thiên của biên độ theo thời gian của một đại lượng vật lý.
Với những tín hiệu không điện thì ta có các cảm biến (sensor) để biến đổi thành
tín hiệu điện.
Nhiễu: Do chính bản than mạch hoặc môi trường truyền phát sinh ra hoặc từ bên
ngoài thâm nhập vào
Ví dụ:

- Các tín hiệu nhìn thấy là các sóng ánh sáng chuyển tải thông tin màu sắc, hình
khối tới mắt chúng ta.
- Các tín hiệu nghe thấy là các sự biến đổi của áp suất không khí truyền thông tin tới
tai chúng ta.
1.1.1.2 Biểu diễn toán học của tín hiệu
Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến số
độc lập.
Ví dụ : Ta có tín hiệu microphone Sa(t) được biểu diễn trên hình 1.1
Sa(t)

t
n
Z

0

Hình 1.1

3


Từ hình 1.1 ta thấy Sa(t) là hàm một biến số, biến số này là thời gian t. Vì là hàm
của một biến nên ta còn gọi là tín hiệu một chiều.
1.1.1.3 Phân loại tín hiệu
Các tín hiệu trên thực tế được phân loại như sau:

TÍN HIỆU

Tín hiệu liên tục

Tín hiệu tương
tự

Tín hiệu rời rạc

Tín hiệu lượng
tử hóa

Tín hiệu lấy
mẫu

Tín hiệu số

1.1.1.3.1 Định nghĩa tín hiệu liên tục ( y=f(x) )
Nếu biến độc lập của sự biến đổi toán học của một tín hiệu là liên tục, thì tín
hiệu đó được gọi là tín hiệu liên tục.
Nhận xét: Như vậy theo định nghĩa tín hiệu liên tục, thì từ liên tục ở đây được
hiểu là liên tục theo biến số, còn xét theo hàm hay biên độ thì ta có tín hiệu tương tự
Và tín hiệu lượng tử hóa.
+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu tương tự nếu hàm (biên độ) của tín hiệu liên tục là
liên tục.
+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu lượng tử hóa nếu hàm (biên độ) của tín hiệu liên tục
là rời rạc.
Mỗi mức lượng tử được chỉ định một giá trị số 8(n) bit, kết hợp 8(n) bit có 256
(2n) mức hay giá trị. Qui ước bit đầu tiên dùng để đánh dấu giá trị âm hoặc dương
cho mẫu. Bảy bít còn lại biểu diễn cho độ lớn; bit đầu tiên chỉ nửa trên hay nửa
dưới của dãy, bit thứ hai chỉ phần tư trên hay dưới, bit thứ 3 chỉ phần tám trên hay
dưới và cứ thế.
4

Ví dụ: Chúng ta có hai tín hiệu liên tục có biến số là thời gian t được biểu diễn trên
hình 1.2a là tín hiệu tương tự và hình 1.2b là tín hiệu lượng tử hóa.
xa(t)

xa(t)
69
59
49
39
29
19
9

t

t

(a)

(b)

Hình 1.2: Hai tín hiệu liên tục có biến số là thời gian t
(a): Là tín hiệu tương tự

(b): Tín hiệu lượng tử hóa

1.1.1.3.2 Định nghĩa tín hiệu rời rạc
Nếu tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó được
gọi là tín hiệu rời rạc.

Nhận xét: Theo định nghĩa thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời rạc theo biến số.
Nếu dựa vào hàm hay biên độ, chúng ta cũng có tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số.
+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu lấy mẫu nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên
tục (không bị lượng tử hóa). Tín hiệu lấy mẫu rời rạc theo hàm, liên tục theo biến.
+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu số nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc.
Nhận xét: Như vậy tín hiệu số được gọi là tín hiệu rời rạc hóa cả về biến số và
biên độ. Còn tín hiệu tương tự là tín hiệu liên tục cả về biến số và biên độ.
Ví dụ : Chúng ta có hai tín hiệu rời rạc có biến số là thời gian t được biểu diễn trên
hình 1.3, thời gian t được rời rạc hóa với chu kỳ Ts. Hình 1.3 (a) là tín hiệu lấy mẫu
và (b) là tín hiệu số.

5


xs(n.Ts)

xd(n.Ts)

n.Ts

(a)

n.Ts

(b)

Hình 1.3

1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing)
Sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu (theo hình 1.4):

Xa(t)

Đưa qua

LPF

S&H

ADC
Xd(t)
Yd(t)

Ya(t)

LPF

DAC

DSP

Hình 1.4
Trong đó:
- LPF: Low Pass Fillter (Bộ lọc thông thấp).
- S&H: Sample And Hold (lấy và giữ mẫu)
- ADC: Analog Digital Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu tương tự - số)
- DAC: Digital Analog Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu số – tương tự)
Nhận xét:
- Tín hiệu tương tự ở đầu vào được chuyển sang dạng số nhờ một bộ chuyển đổi
tương tự - số ADC.

- Tín hiệu tương tự ở đầu ra được thiết lập lại nhờ bộ chuyển đổi số - tương tự
DAC.
6


Như vậy, tín hiệu của bộ biến đổi ADC là tín hiệu số X d(n), đó là tín hiệu của hệ
thống xử lý tín hiệu số DSP, DSP làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu số X d(n) và đưa ra tín
hiệu số Yd(n).

1.2 Tín hiệu rời rạc
1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc
Tín hiệu rời rạc có hai loại :
- Tín hiệu lấy mẫu, ký hiệu là xs(nTs)
- Tín hiệu số, ký hiệu là xd(nTs)
Bây giờ ta thống nhất ký hiệu chung tín hiệu rời rạc là x(nT s). Như vậy nTs là biến
độc lập, n là số nguyên. Ts là chu kỳ lấy mẫu. Để tiện cho biểu biểu diễn tín hiệu rời
rạc chúng ta chuẩn hóa biến số độc lập nTs như sau:
Chuẩn hóa với Ts=1

x(nTs)

x(n)

Có ba cách biểu diễn tín hiệu rời rạc hay dùng là :
- Biểu diễn bằng biểu thức toán học
- Biểu diễn bằng đồ thị
- Biểu diễn bằng liệt kê các phần tử.
1.2.1.1 Biểu diễn toán học
Tín hiệu rời rạc x(n) được biểu diễn dưới dạng toán học như sau:
Biểu diễn toán học

với N1 ≤ n ≤ N2

0

với n còn lại

x(n) =
n, N1, N2 là nguyên (còn các giá trị không nguyên ta không xét)
Ví dụ: Hãy cho cách biểu diễn toán học của một tín hiệu rời rạc nào đó.
1

với 0 ≤ n ≤ 3

0

với n còn lại

x(n) =
Ở đây N1 = 0, N2 = 3
1.2.1.2 Biểu diễn bằng đồ thị
7


Để tiện minh họa một cách trực quan, trong nhiều trường hợp chúng ta dùng
biểu diễn đồ thị.
Ví dụ: Hãy vẽ đồ thị tín hiệu rời rạc trong ví dụ trên
1

với 0 ≤ n ≤ 3

x(n) =

x (n )
1

0

với n còn lại
-1 0

1

2

3

n

4

Hình 1.5 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị
1.2.1.3 Biểu diễn bằng dãy số
Chúng ta biểu diễn bằng cách liệt kê các giá trị của x(n) thành một dãy số như
sau :
x(n)={…, x(n-1), x(n), x(n+1), …}
n
Để chỉ ra các giá trị của x(n) tại vị trí thứ n, ta dùng kí hiệu n , bởi vì khi dùng
biểu diễn này ta không biết đâu là x(n).
Vì tín hiệu rời rạc thực chất là các dãy số nên ta thường gọi là dãy x(n).

Ví dụ: Biểu diễn dãy sau bằng cách liệt kê các phần tử
x(n) =

1

với 0 ≤ n ≤ 3

0

với n còn lại

Giải :
x(n) = {…, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0,…} (đánh dấu gốc tín hiệu n0)
0

1.2.2 Các tín hiệu rời rạc
1.2.2.1 Dãy xung đơn vị
Kí hiệu: δ(n) (n là số nguyên )
Trong miền n, dãy xung đơn vị được định nghĩa như sau :

1
δ ( n) = 
 0

Khi n = 0
Khi n ≠ 0

Ví dụ: Biểu diễn δ(n) và δ(n-5) bằng đồ thị
Giải :
1

8
-2

-1

0

1

2

n


- Với δ(n):
- Với δ(n-5):

Hình 1.6: Biểu diễn δ(n) và δ(n-5) bằng đồ thị
Mở rộng có dãy xung đơn vị δ(n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :
Khi n = k
Khi n ≠ k

1
δ (n − k ) = 
 0

Trên hình 1.6 là đồ thị của các dãy xung đơn vị δ(n - 5)
1.2.2.2 Dãy nhảy đơn vị
Dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau trong miền n

 0
u ( n) = 
 1

Khi n < 0
Khi n ≥ 0

Đồ thị của dãy u(n) có dạng như hình vẽ sau :
u (n )

1
....
-1 0

1

2

3

....

Ví dụ : Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị

n

∞

1

1
....

-1 0 1 2 3 4 5 . . . .

....

n

∞

-3 -2 -1 0 1 . . . .

n

∞

Hình 1.7 Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị
Mở rộng có dãy nhảy đơn vị u(n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :
1
u (n − k ) = 
0

Khi n ≥ k
Khi n < k
9


1.2.2.3 Dãy chữ nhật
Trong miền n, dãy chữ nhật được định nghĩa như sau:

Khi n ∈ [ 0 , ( N − 1) ]

1
rect N (n) = 
 0

1

Khi n ∉ [ 0 , ( N − 1) ]

....

Đồ thị của rectN(n) có dạng như hình bên :

-1 0

1

2

n

....

(N -1 )

Mở rộng có dãy chữ nhật rectN(n-k) với k là số nguyên dương hoặc âm.

Khi n ∈ [ k , ( N + k − 1) ]

1
rect N (n − k ) = 
 0

Khi n ∉ [ k , ( N + k − 1) ]

Ví dụ: Biểu diễn rectN(n-2) và rectN(n+2) bằng đồ thị
Hình 1.8 Biểu diễn rectN(n-2)
1

và rectN(n+2) bằng đồ thị.
1.2.2.4 Dãy mũ thực

-1 0

1

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0

1

2

3

Dãy hàm mũ thực được định nghĩa như sau trong miền n :
an

với n ≥ 0

0

với n < 0

e(n) =
Dãy này tăng hay giảm phụ thuộc vào tham số a lớn hơn hay nhỏ hơn 1 như trên.
Hình

1.9

(a)

và

(b)

e(n)

trong

ví

dụ

e(n)

1

1

n

a<1 (a)

n

a>1 (b)

1.2.2.5 Dãy hình sin
10

dưới

đây

:

Dãy hàm sin có dạng như sau :
 2π
x(n) = sin 
 N


n  = sin ( ω 0 n )


với ω0 =

2π
N

Dãy sin(ω0.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần
hoàn với chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin(ω0.n) ở hình 1.10 dưới đây :
0 ,9 5
0 ,5 9
-1 0

-5

1

2

3

4

5

10

- 0 ,5 9
- 0 ,9 5

Hình 1.10 Đồ thị dãy sin(w0n) với N=10

1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc
1.2.3.1 Định nghĩa dãy tuần hoàn (dãy chu kì)
Một dãy x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kì N nếu :
x(n) = x(n+N) = x(n+kN) với n, k, N nguyên, N: chu kỳ tuần hoàn.
Giá trị nhỏ nhất của N thỏa mãn công thức được gọi là chu kì cơ bản. Nếu không
có giá trị nào của N để công thức trên thỏa mãn thì tín hiệu là không tuần hoàn.
Ta kí kiệu dãy tuần hoàn như sau : xp(n)
Ví dụ: Hãy vẽ một dãy tuần hoàn với chu kỳ N=4
Giải : Dãy xp(n) cho trên hình 1.11
xp(n)

n
0

Hình 1.11 Biểu diễn dãy tuần hoàn bằng đồ thị.
1.2.3.2 Định nghĩa dãy có chiều dài hữu hạn
Một dãy x(n) xác định với một số hữu hạn mẫu thì được gọi là dãy có chiều dài
hữu hạn (chiều dài của dãy tính bằng số mẫu có giá trị khác 0)
11

Ví dụ: Tính chiều dài của các dãy số (hay các tín hiệu rời rạc)
- L[δ(n)] = 1
- L[u(n)] = [0,+ ∞] = ∞
- L[rectN(n)] = [0,N-1] = N
- L[x(n)] = [-∞,+∞] = ∞
- L[e(n)] = ∞
1.2.3.3 Năng lượng và công suất của dãy
1.2.3.3.1 Năng lượng của dãy
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N: E x =

N −1

∑ x ( n)
n =0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):

Ex =

N

∑

x( n)

2

n =−N

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
Ex =

∞

∑ x(n)

2

n =0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:

Ex =

∞

∑ x (n)

2

n =−∞

1.2.3.3.2 Công suất trung bình của dãy
Công suất trung bình Px của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
Px =

Ex
N

=

1
N

N −1

∑ x ( n)

2

= x 2 ( n)

n =0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
Px =

Ex

(2 N + 1)

=

1

N

∑

(2 N + 1)

x (n)

2

= x 2 ( n)

n= − N

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
Px = Lim
N→ ∞

Ex
N

= Lim

N→ ∞

1

N −1

∑
N

2

x ( n ) = x 2 ( n)

n= 0

12

2


- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
Px = Lim

N→∞

Ex

(2 N + 1)

= Lim

N→∞

1

N

∑
(2 N + 1)

2

x( n) = x 2 (n)

n= − N

1.2.3.4 Các phép toán đối với tín hiệu rời rạc
1.2.3.4.1 Phép cộng hai dãy
Định nghĩa: Tổng của hai dãy thu được là một dãy bằng cách cộng đôi một giá
trị mẫu của các phần tử có cùng trị số của biến độc lập.
Ví dụ: Cho hai dãy x1(n) = rect3(n-1) và x2(n) = rect2(n-2)
Tìm và vẽ x3(n) = x1(n)+x2(n)
Giải :
- Vẽ x1(n) :

-

Vẽ x2(n) :

-

Vẽ x3(n) :

13


1.2.3.4.2 Phép nhân hai hai dãy
Tích của hai dãy thu được là một dãy thu được bằng cách đem nhân tương ứng
các phần tử có cùng trị số của biến độc lập.
Ví dụ : Cho hai dãy số x1(n) và x2(n) như ví dụ trên
Tính x3(n) = x1(n).x2(n)

Giải :
Vẽ x3(n)
x(n)

1

n
1

2

3

1.2.3.4.3 Phép nhân tín hiệu với một hằng số
Tích của một dãy với một hằng số là một dãy nhận được bằng cách nhân tất cả
các giá trị mẫu của dãy với chính một hằng số đó.
Ví dụ: cho x1(n) = rect3(n-1), tìm x2(n) = 2.x1(n)
Giải :
1

với 1 ≤ n ≤ 4

0

với n còn lại

x1(n) = rect3(n-1) =

với 1 ≤ n ≤ 4

2
14


⇒ x2(n) = 2.x1(n) = 2.rect3(n-1) =

0

với n còn lại

1.2.3.4.4 Phép trễ (dịch)
Dãy y(n) được gọi là trễ dịch lặp lại của x(n) nếu y(n)=x(n-n 0) với mọi n, n0
nguyên.
Ví dụ :
1-n/4 với 1 ≤ n ≤ 3
Cho x1(n) =

0

với n còn lại

Tìm y(n) = x(n-2) ?
Giải :
1-(n-2)/4

với 1 ≤ n ≤ 3

0

với n còn lại

?

y(n) = x(n-2) =

1.3 Hê thống tuyến tính bất biến
1.3.1 Hệ thống tuyến tính
1.3.1.1 Định nghĩa
Ký hiệu hệ thống:

Dãy vào

Dãy ra

x(n)

Hệ thống

y(n)

- Dãy vào được gọi là dãy kích thích (hoặc kích thích).
- Dãy ra được gọi là dãy đáp ứng của hệ thống với kích thích đang khảo sát.
1.3.1.2 Đặc trưng của hệ thống
Một hệ thống xử lý số được đặc trưng bởi toán tử T, toán tử T làm nhiệm vụ
biến đổi dãy vào thành dãy ra.

T

Ký hiệu: T[x(n)] = y(n) hoặc x(n)  y(n)
Ta có thể biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ :

x(n)

T

y(n)= T[x(n)]

T[x(n)]
1.3.1.3 Hệ thống tuyến tính
Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu toán tử T của nó thỏa mãn nguyên lý
xếp chồng, tức là :
15


Nguyên lý xếp chồng: Đáp ứng của hệ thống với tác động là tổng của các tín
hiệu bằng tổng các đáp ứng của hệ thống khi tác động đầu vào là từng tín hiệu riêng
lẻ.
Ta có:
T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] = a.y1(n) + b.y2(n)
Với mọi dãy tín hiệu đầu vào x1(n), x2(n) và a,b là hằng số
Trong đó: - y1(n) là đáp ứng của kích thích x1(n)
- y2(n) là đáp ứng của kích thích x2(n)
Nguyên lý xếp chồng có thể mở rộng đối với nhiều tín hiệu như sau:
M −1

x(n) =

∑

k =1

M −1

akxk(n)

T

y(n) =

∑

k =1

akyk(n)

Trong đó: yk(n) = T[xk(n)], k = 1, 2, …, M-1
Ví dụ: Kiểm tra tính chất bất biến của các hệ thống sau :
1. T[x(n)] = x(n)
2. T[x(n)] = x2(n)
Giải:
1. T[x(n)] = x(n)
⇔ T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.x1(n) +b.x2(n)

= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)
Vậy hệ thống là tuyến tính
2. T[x(n)] = x2(n)
⇔ T[a.x1(n) + b.x2(n)] = [a.x1(n) + b.x2(n)]2

= a2.x21(n) + b2.x22 (n) + 2.a.x1(n).b.x2(n)
# a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]
Vậy hệ thống không tuyến tính

1.3.1.4 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính
Một dãy bất kỳ x(n) có thể được biểu diễn tổng quát như sau :

Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi toán tử T (T thỏa mãn
nguyên lý xếp chồng), ta có thể viết :

16


 ∞

y(n) = T[x(n)] = T  ∑ x(k ).δ (n − k ) =
 k = −∞


∞

∑ T [ x(k ).δ (n − k )]

k = −∞

∞

=

∑ x(k ).T [δ (n − k )]

(vì x(k) độc lập với n)

k = −∞

Đặt h(n-k) = hk(n) = T[ δ ( n − k ) ]
δ(n- k)
⇒ y(n) =

T

T

T[δ(n- k)] = hk(n)
ư

∞

∑ x(k ).h(n − k )

k = −∞

Đáp ứng h(n-k) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính.

1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến
1.3.2.1 Định nghĩa :
Một hệ thống được gọi là một hệ thống tuyến tính bất biến nếu thỏa mãn hai
điều kiện sau :
- Hệ thống là tuyến tính
- Nếu lối vào của hệ thống là x(n), ta được lối ra là y(n) thì với lối vào là x(n-k), ta
thu được lối ra là y(n-k), hay T[x(n-k)] = y(n-k) nếu T[x(n)] = y(n)
Ví dụ: Hãy xét các hệ thống sau có phải là bất biến theo n hay không ?
1.T[x(n)] = 2.x(n)
2. T[x(n)] = n.x(n) (với n ∈ z)

Giải :
1.T[x(n)] = 2.x(n)
T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 2.[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.2.x1(n) +b.2.x2(n)
= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]
⇒ Hệ thống là tuyến tính.

Ta có: y(n) = T[x(n)] = 2.x(n)
⇒ y(n-k) = 2.x(n-k)

Mà T[x(n-k)] = 2.x(n-k)
⇒ y(n-k) = T[x(n-k)]

Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến.
2. T[x(n)] = n.x(n-k)
T[a.x1(n) + b.x2(n)] = n.[a.x1(n) +b.x2(n)] = a.n.x1(n) + b.n.x2(n)
17


= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]
⇒ Hệ thống là tuyến tính.

Ta có: y(n) = T[x(n)] = n.x(n)
y(n-k) = (n-k).x(n-k)
mà T[x(n-k)] = n.x(n-k)
⇒ y(n-k) # T[x(n-k)]

Vậy hệ thống không phải là hệ thống tuyến tính bất biến.
1.3.2.2 Công thức tính tích chập
Khi hệ thống của chúng ta là hệ thống tuyến tính và bất biến, thì ta có quan hệ :
T[ δ (n) ] = h(n)

T[ δ ( n − k ) ] = h(n-k) =hk(n)
⇒ y(n) =

∞

∞

∑

k = −∞

xkhk(n) =

∑ x(k ).h(n − k )

k = −∞

Như vậy, hk(n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính. Còn h(n) là đáp ứng
xung của hệ thống tuyến tính bất biến, lúc này h(n) sẽ phụ thuộc vào k, tức là nếu
biến là thời gian thì ở mọi thời điểm khác nhau, đáp ứng xung của hệ thống tuyến
tính bất biến luôn là h(n). Đến đây thì ta có thể nói rằng đáp ứng xung h(n) sẽ đặc
trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến.
x(n)

h(n)

y(n)

∞

Và ta có quan hệ : y(n) =

∑ x(k ).h(n − k ) = x(n)*h(n)

k = −∞

(1)

(1) là công thức tính tích chập của x(n) và h(n), tích chập được ký hiệu bằng dấu ‘*’
* Chú ý: Tích chập này chỉ đúng với hệ thống tuyến tính bất biến, vì nó được định
nghĩa chỉ cho hệ thống này.
Ví dụ: Cho x(n) =rect3(n) và
1- n/2

với 0 ≤ n ≤ 2

0

với n còn lại

h(n) =
Giải :

18


∞

Ta có: y(n) = x(n)*h(n) =

∑ x(k ).h(n − k )

k = −∞

1

với 0≤ k ≤2

x(k) = rect3(k) =

(ta biến đổi n thành k)
0

⇒ y(n) =

với k còn lại

2

∑ h( n − k )
k =0

* Nhận xét :
Với n<0 hoặc n ≥ 2 thì h(n) = 0 (giả thiết) ⇒ h(n-k) = 0 khi và chỉ khi n < k hoặc
n ≥ k+2
⇒ y(n) = 0 với n < 0 hoặc n ≥ 4
2

+ Với n = 0 thì y(0) =

∑ h(−k ) = h(0) + h(-1) + h(-2) =1 + 0 + 0 = 1
k =0

+ Với n = 1 thì y(1) = h(-1) + h(0) + h(1) = 0 + 1 +1/2 = 3/2
+ Với n = 2 thì y(2) = h(2) + h(1) + h(0) = 1/2
+ Với n =3 thì y(3) = h(3) +h(2) + h(1) =1/2
Vậy y(n) = δ (n) + (3 / 2).δ (n − 1) + (1 / 2).δ (n − 2) + (1 / 2).δ (n − 3)
1.3.2.3 Các tính chất của tích chập
Tích chập có các tính chất như sau:
- Tính chất giao hoán :
x(n)

y(n) =x(n) * h(n)

h(n)

y(n)

≡

h(n)

x(n)

Chứng minh:
∞

Ta có : x(n) * h(n) =

∑ x(k ).h(n − k )

k = −∞

Đặt m = n – k ⇔ k = n − m
Với k = - ∞ ⇒ m → +∞
Với k = + ∞ ⇒ m → −∞
⇒ x(n) * h(n) =

∞

∑ x(n − m).h(m) =

m = −∞

∞

∑ h(m).x(n − m) = h(n) * x(n)

m = −∞

Vậy y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n)
-Tính chất kết hợp
19

y(n)


y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)
y(n)

h1(n)
x(n)

≡

h2(n)
y1

h1(n)*h2(n)

y(n)

x(n)

Chứng minh :
∞

y(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] =
∞

=

∑

k = −∞

∑ x(k ).[h2(n − k ) * h1(n − k )]

k = −∞

∞

x (k ).[ ∑ h 2(l ).h1(n − k − l )] =
l = −∞

∞

=

∑ [ x(n − l ) * h(n − l )].h2(l )

l = −∞

∞

∞

∑ [ ∑ x(k ).h1(n − k − l )].h2(l )

l = −∞ k = −∞

∞

=

∑ h2.[ x(n − l ) * h1(n − l )]

l = −∞

= h2(n) * [x(n) * h1(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)

Vậy y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)
Ngoài ra, theo hình vẽ ta có :
y1 = x(n) * h1(n)
y(n) = y1 * h2(n) =[x(n) * h1(n)] * h2(n)
= x(n) * [h1(n) * h2(n)] = x(n) * h(n)
⇒ h(n) = h1(n) * h2(n) = h2(n) * h1(n)

-Tính chất phân phối
y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] = x(n) * h1(n) + x(n) * h2(n)
h1(n)

x(n)

y(n)
≡

+

y(n)

x(n)
h1(n)+h2(n)

h2(n)
Chứng minh :
∞

Ta có : y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] =

∑ x(k ).[h1(n − k ) + h2(n − k )]

k = −∞
∞

=
=

∑ [ x(k ).h1(n − k ) + x(k ).h2(n − k )]

k = −∞
∞

∞

k = −∞

k = −∞

∑ x(k ).h1(n − k ) + ∑ x(k ).h2(n − k )
20


= x(n) *h1(n) + x(n) * h2(n)
Vậy y(n) = x(n) * [h1(n) +h2(n)] = x(n) *h1(n) + x(n) * h(n)

1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả
1.3.3.1 Định nghĩa
Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở
thời điểm bất kỳ n = n 0 chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào trong quá khứ, tại thời điểm
hiện tại và không phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong tương lai.(tại các thời điểm

n > n0 ).
Nói một cách khác, một hệ thống nhân quả đáp ứng ra không bao giờ đi trước kích
thích của nó.
Hệ thống nhân quả luôn thỏa mãn điều kiện :
Nếu : Kích thích x(n) = 0 với mọi n < k
Thì : Đáp ứng y(n) = 0 với mọi n < k
1.3.3.2 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả
Định lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu và chỉ nếu
đáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn điều kiện sau:
h(n) = 0 với ∀n < 0 (1.1)
- Chứng minh điếu kiện cần : Ta cần chứng minh, nếu hệ thống là tuyến tính bất
biến thì đặc tính xung h(n) thỏa mãn điều kiên h(n) = 0 với mọi n < 0
Xét hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả với kích thích là x(n) = x1(n) x2(n)
Với giả thiết rằng: x1(n) = x2(n) với ∀ n < n0 (n0 là một hằng số) và
x1(n) # x2(n) với ∀ n ≥ n0
Hai đáp ứng ra của hệ thống tuyến tính bất biến:
∞

n 0 −1

k = −∞

k = −∞

k =n 0

∞

n 0 −1

∞

k = −∞

k = −∞

y1(n) = ∑ x1(k ).h(n − k ) =
y2(n) =

∑ x1(k ).h(n − k ) +

∑ x2(k ).h(n − k ) =

∑ x1(k ).h(n − k )

∑ x2(k ).h(n − k ) +

n 0 −1

y(n) = y1(n) –y2(n) =

∞

∑ x2(k ).h(n − k )

k =n 0

∑ [ x1(k ) − x2(k )].h(n − k ) +

k = −∞

∞

∑ [ x1(k ) − x2(k )].h(n − k )

k =n0

Vì x1(n) = x2(n) với mọi n < n0, nên [x1(k) – x2(k)] = 0 với mọi k < n0
∞

Nên y(n) = y1(n) – y2(n) =

∑ [ x1(k ) − x2(k )].h(n − k )

k =n0

21

(1.2)


Do hệ thống là nhân quả , nên nếu x1(n) – x2(n) = 0 với mọi n < n0
Thì ta có : y(n) = y1(n) –y2(n) = 0 với mọi n < n0

(1.3)

Vì x1(k) ≠ x2(k) với mọi k ≥ n0 nên (1.2) chỉ đúng với (1.3) nếu:
h(n - k) = 0 với mọi k ≥ n0

(1.4)

Đặt m = n – k, khi đó với ∀ k ≥ n0 và ∀ n < n0, thì m = n – k < 0, nên ta có thể
viết (1.4) dưới dạng : h(m) = 0 với ∀ m < 0
Vì m cũng là số nguyên nên có thể đổi lại biến m thành biến n :
h(n) = 0 với ∀ n < 0.
Đây cũng chính là (1.4), điều kiện cần của định lý đã được chứng minh.
- Chứng minh điều kiện đủ : Ta cần chứng minh, nếu hệ thống là tuyến tính bất
biến có đặc tính xung h(n) = 0 với mọi n < 0, thì hệ thống đó là nhân quả.
Vì đặc tính xung h(n) = 0 với mọi n < 0 nên đáp ứng ra của hệ thống là y(n) =
h(n) * x(n) = 0 với mọi n < 0. Nếu chứng minh được x(n) = 0 với mọi n < 0, thì theo
điều kiện (3) hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả.
Vì h(k) = 0 với mọi k < 0 nên ta có :
∞

∞

k = −∞

k =0

y(n) = ∑ h(k ).x(n − k ) = ∑ h(k ).x(n − k )

(1.5)

Vì đã có y(n) = 0 với mọi n < 0, trong khi h(k) ≠ 0 với mọi k ≥ 0, nên (1.5) chỉ
đúng nếu x(n - k) = 0 với mọi n < 0 và mọi k ≥ 0

(1.6)

Đặt m = n – k, khi đó với mọi n < 0 và k ≥ 0, thì m = n – k < 0, nên ta có thể

viết lại (1.6) dưới dạng : x(m) = 0 với mọi m < 0
Vì m cũng là số nguyên nên ta có thể đổi lại biến m thành n :
x(n) = 0 với mọi n < 0
Điều kiện đủ của định lý đã được chứng mịnh.
Như vậy định lý đã được chứng minh.
Ví dụ: Cho hai hệ thống
y1(n) = T[x(n)] = x(n+1) + x(n) + x(n-1)
y2(n) = T[x(n)] = x(n) + x(n-1)
Xét tính chất nhân quả của hai hệ thống tuyến tính bất biến trên.
Giải :
h(n) là nối ra của hệ thống khi nối vào là xung đơn vị δ (n)
Ta có : h1(n) = T1[ δ (n) ] = δ (n + 1) + δ (n) + δ (n − 1)
22


Do h(-1) = 1 ≠ 0 nên hệ thống tuyến tính bất biến không nhân quả
h2(n) = T2[ δ (n) ] = δ (n) + δ (n − 1)
Do h2(n) = 0 với mọi n < 0. Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến nhân quả.
1.3.3.3 Dãy nhân quả
Dãy x(n) được gọi là nhân quả, nếu x(n) = 0 với mọi n < 0
Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính nhân quả và lối vào x(n) là một dãy nhân
quả thì đầu ra được tính như sau :
y(n) = x(n) * h(n) =

∞

∞

k = −∞

k = −∞

∑ x(k ).h(n − k ) = ∑ h(k ).x(n − k )

Do x(k) = 0 với mọi k < 0
∞

Nên y(n) =

∑ x(k ).h(n − k ) , mà h(n - k) = 0 khi n – k < 0 ⇔

k = −∞

k>n

n

Vậy ta có công thức tính : y(n) =

∑ x(k ).h(n − k )
k =0

Ví dụ: Cho hệ thống tuyến tính bất biến có h(n) và x(n) như sau:
an

bn n ≥ 0

n≥0

h(n) =

x(n) =
0

Với

n<0

0 n<0

0
0 < b < 1 (a≠b)

Hãy tính y(n)?
Giải:
n

y(n) =

n

∑ x(k ).h(n − k ) = ∑
k =0

k=0

n

bk.an-k = an.

∑

k=0

(a-1b)k

an.= n ≥ 0
⇒ y(n) =

0

n<0

⇒ y(n) là nhân quả

Nhận xét: Hệ thống h(n) là nhân quả có kích thích vào x(n) nhân quả thì ta sẽ có
đáp ứng ra y(n) là nhân quả.
1.3.3.4 Tín hiệu và hệ thống phản nhân quả
Một hệ thống được goi là phản nhân quả nếu h(n) của nó thỏa mãn h(n) = 0 với
mọi n > 0.
Một dãy x(n) được gọi là phản nhân quả nếu x(n) = 0 với mọi n > 0
23


Ví dụ: Hệ thống nào là phản nhân quả trong các hệ thống có h(n) dưới đây:
(1) h1(n) = δ (n + 1) + δ (n + 2) + δ (n + 3)
(2) h2(n) = δ (n − 2) + δ (n − 1) + δ (n)
Giải:
(1) h1(n) = 0 với mọi n > 0, nên hệ thống là phản nhân quả.

(2) h2(n) = 0 với mọi n < 0, nên hệ thống là nhân quả.

1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định
1.3.4.1 Định nghĩa
Một hệ thống được gọi là ổn định nếu ứng với dãy vào giới hạn, ta có dãy ra giới
hạn, nghĩa là :
|x(n)| < ∞ với mọi n thì |y(n)| < ∞ với mọi n.
Ví dụ: Cho hai hệ thống : h 1(n) = rect4(n), h2(n) = u(n), giả sử lối vào của hai hệ
thống là x(n) = u(n). Hãy xét sự ổn định của hai hệ thống trên.
Giải:
Ta có:
1

với n ≥ 0

0

với n còn lại

x(k) = u(n) =
⇒ |x(n)| < ∞ với mọi n (vì x(n) = 0 hoặc = 1)

Ta sẽ tìm lối ra của h1(n), h2(n) rồi dựa vào định nghĩa để kết luận
∞

Ta có : y1(n) = x(n) * h1(n) =

∑ x(k ).h1(n − k )

k = −∞

=

3

3

k =0

k =0

∑ h1(k ).x(n − k ) = ∑ x(n − k )

= x(n) + x(n - 1) + x(n - 2) + x(n - 3)
y1(-1) = x(-1) + x(-2) + x(-3) + x(-4) = 0
y1(0) = x(0) + x(-1) + x(-2) +x(-3) = 1
y1(1) = x(1) + x(0) + x(-1) + x(-2) = 2
y1(2) = 3
y1(3) = 4
y1(n) = 4 với mọi n ≥ 4
Như vậy : |y(n)| < ∞ với mọi n
24


⇒ h1(n) = rect4(n) là đáp ứng xung của một thống ổn định.

Với h2(n) = u(n), ta thấy x(n) nhân quả, chiều dài vô hạn và h2(n) nhân quả
chiều dài vô hạn.
n

∑ x(k ).h2(n − k ) = n + 1

⇒ y2(n) = x(n) * h(n) =

k =0

⇒ y2(n) → ∞ khi n → ∞

Vậy ứng với x(n) giới hạn, ta có y2(n) không giới hạn ⇒ Hệ thống không ổn định.
1.3.4.1 Định lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định nếu và chỉ nếu đáp ứng
∞

xung h(n) của nó có S =

∑ | h( n) | < ∞

n = −∞

Ta có thể dựa vào đáp ứng xung để xét sự ổn định của hệ thống mà không cần
tính đáp ứng đầu ra y(n).
Ví dụ: Cho một hệ thống có h(n) = 3.u(n). Hãy xét sự ổn định của hệ thống .
Giải:
∞

Ta có: S = ∑ | h(n) | =
n = −∞

∞

∞

n = −∞

n =0

∑ | 3.u (n) | = ∑ | 3 | = ∞

⇒ Hệ thống là không ổn định.

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính
Ta có thể biểu diễn một hệ thống tuyến tính bằng phương trình sai phân tuyến
tính . Phương trình này thể hiện mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra hay mối quan
hệ giữa dãy vào và dãy ra. Dạng tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính:
N

∑

k=0

M

ak.y(n - k) = ∑ br.x(n - r)
r= 0

Trong đó: - ak = ak(n)
- br = br(n)
- N, M là các số nguyên dương.
- N: là bậc của phương trình sai phân.
Phương trình sai phân tuyến tính được viết dưới dạng khác như sau:

M

y(n) =

∑

r= 0

N

.x(n - r) -

∑

k =1

.y(n – k)

(a0 ≠0)
25