Bài giảng xử lý tín hiệu số đh kỹ thuật công nghệ thái nguyên

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



Chơng

1
Tín hiệu v hệ thống rời rạc
I. Mở đầu
Tín hiệu số l tín hiệu đợc biểu diễn bằng một dãy số. Xử lý tín hiệu số bao hm
mọi phép xử lý các dãy số để có đợc các thông tin cần thiết nh phân tích, tổng hợp, mã
hoá, đặc biệt l loại bỏ giao thoa tín hiệu, loại bỏ nhiễu, nhận đợc phổ tín hiệu, biến đổi
tín hiệu sang dạng mới phù hợp hơn. Nhìn chung, các hệ thống xử lý tín hiệu phức tạp đều
dựa trên các phép xử lý cơ bản sau:
1. Tích chập.
2. Tơng quan, bao gồm hai loại: tự tơng quan v tơng quan chéo. Hm tơng
quan chéo dùng để đo mức độ tơng tự nhau giữa hai tín hiệu. Nó đợc dùng để phân tích
phổ chéo, phát hiện tín hiệu trên một nền nhiễu nh việc phát hiện tín hiệu phản hồi
trong kỹ thuật rada, tìm mẫu tơng đồng nhau trong nhận dạng, đo độ trễ.
3. Lọc số: l một thao tác cơ bản, thờng đợc sử dụng nhằm khử nhiễu, chọn băng
thông.
4. Các phép biến đổi rời rạc: cho phép biểu diễn tín hiệu rời rạc trong không gian
tần số hoặc chuyển đổi giữa thời gian v tần số. Phổ của tín hiệu có thể nhận đợc bằng
cách phân nhỏ nó thnh các thnh phần tần số.
5. Điều chế. Tín hiệu số thờng không đợc truyền đi trên đờng di hoặc lu trữ
với số lợng lớn. Tín hiệu thờng đợc điều chế để lm cho đặc tính tần số của nó phù hợp
với các đặc tính của đờng truyền hoặc của phơng tiện lu trữ nhằm lm giảm tối thiểu
méo, nhằm sử dụng băng tần một cách có hiệu quả hoặc nhằm đảm bảo tín hiệu có một số
tính chất mong muốn.
Xử lý tín hiệu số ngy cng đợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực m trớc đây tín

hiệu tơng tự đợc dùng l chính; ngay cả trong những lĩnh vực rất khó hoặc không thể áp
dụng với tín hiệu tơng tự. Xử lý tín hiệu số có những điểm u việt sau:
1. Độ chính xác cao: độ chính xác phụ thuộc vo số bits dùng để biểu diễn tín hiệu
số.
2. Sao chép trung thực nhiều lần.
3. Tính bền vững: các hệ thống xử lý tín hiệu số không bị ảnh hởng bởi nhiệt độ
hay thời gian nh các hệ thống tơng tự.
4. Tính linh hoạt v mềm dẻo: chức năng xử lý của các hệ thống xử lý tín hiệu số
hon ton có thể can thiệp bằng phần mềm, do đó đảm bảo tính linh hoạt v mềm dẻo.
I.1. Các định nghĩa
a. Tín hiệu
Tín hiệu l biểu diễn vật lý của thông tin.
Ví dụ:
- Các tín hiệu nhìn thấy l các sóng ánh sáng mang thông tin tới mắt ta.

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

1


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



- Các tín hiệu nghe thấy l các sự biến đổi của áp suất không khí truyền thông tin
tới tai.
b. Biểu diễn toán học của tín hiệu
Về mặt toán học, tín hiệu đợc biểu diễn bởi một hm của một hoặc nhiều biến độc
lập.

Ví dụ: Tín hiệu của tai nghe Sa(t) l hm một biến số (biến thời gian t), đợc biểu diễn
nh sau:

Sa(t)

0

t

Hình 1.1. Tín hiệu tai nghe.
c. Định nghĩa tín hiệu liên tục
- Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của một tín hiệu l liên tục, thì tín
hiệu đó đợc gọi l liên tục.
Dựa vo biên độ, tín hiệu liên tục đợc phân thnh thnh tín hiệu tơng tự v tín
hiệu lợng tử hoá.
+. Tín hiệu tơng tự:
Nếu biên độ của tín hiệu liên tục l liên tục thì tín hiệu đó đợc gọi l tín hiệu
tơng tự.
+. Tín hiệu lợng tử hoá:
Nếu biên độ của tín hiệu liên tục l rời rạc thì tín hiệu đó đợc gọi l tín hiệu lợng
tử hoá.
Ví dụ: Biểu diễn các tín hiệu tơng tự v tín hiệu lợng tử hoá nh các hình 1.2a v 1.2b
Xd(t)

xa(t)
99
69
39
9
0

t

0

t

(a)
(b)
Hình 1.2. tín hiệu tơng tự (a) v tín hiệu lợng tử hoá (b).
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

2


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



d. Định nghĩa tín hiệu rời rạc
- Nếu tín hiệu đợc biểu diễn bởi hm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó đợc gọi
l tín hiệu rời rạc.
Dựa vo biên độ, tín hiệu rời rạc đợc phân thnh tín hiệu lấy mẫu v tín hiệu số.
- Tín hiệu lấy mẫu
Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc l liên tục (không đợc lợng tử hoá) thì đó đợc
gọi l tín hiệu lấy mẫu, tín hiệu ny thu đợc nhờ lấy mẫu từ tín hiệu tơng tự.
- Tín hiệu số
Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc l rời rạc, thì tín hiệu đó đợc gọi l tín hiệu số.

xs(nTs)

xd(nTs)
99
69
39
9

0

n

n

0

(a)
(b)
Hình 1.3. tín hiệu lấy mẫu (a) v tín hiệu số (b).
II. Tín hiệu rời rạc
II.1. Biểu diễn tín hiệu rời rạc.
a. Biểu diễn toán học
Tín hiệu rời rạc đợc biểu diễn bằng một dãy các giá trị thực hoặc phức, nếu nó
đợc hình thnh bởi các giá trị thực, thì nó đợc gọi l tín hiệu thực; còn nếu đợc hình
thnh bởi các giá trị phức, thì đợc gọi l tín hiệu phức.
Ta đa vo các ký hiệu nh sau: xs(nTs): tín hiệu lấy mẫu; xd(nTs): tín hiệu số v
x(nTs): l tín hiệu rời rạc nói chung. Để tiện cho cách biểu diễn tín hiệu rời rạc, chúng ta
sẽ chuẩn hoá biến số độc lập nTs bởi chu kỳ lấy mẫu Ts (tơng ứng trong miền tần số,
chuẩn hoá theo tần số lấy mẫu Fs) nh sau:
x(nTs)

chuẩn hoá bởi Ts

x(n)

Cách biểu diễn toán học tín hiệu rời rạc x(n) cụ thể nh sau:

Math Equation
x (n ) =
0

N1 n N 2
n < N1 and n > N 2

(1.2.1)

b. Biểu diễn đồ thị
Ví dụ:
Biểu diễn toán của một tín hiệu rời rạc nh sau:

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

3


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số


n

1
x (n ) = 4
0

0n4
n < 0 and n > 4

Biểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc trên nh hình 1.4.

x(n)

1
0,5
-1 0

1

2

3

4

5

n

Hình 1.4. Biểu diễn đồ thị tín hiệu rời rạc.
II.2. Một số dãy cơ bản.
a. Dãy xung đơn vị.

Trong miền n, dãy xung đơn vị đợc định nghĩa nh sau:

1 n = 0
0 n 0

(n ) =

(1.2.2)

b. Dãy nhẩy đơn vị.
Trong miền n, dãy nhảy đơn vị đợc định nghĩa nh sau:

1 n 0
u (n ) =
0 n < 0

(1.1.3)

c. Dãy chữ nhật.
Trong miền n, dãy chữ nhật đợc định nghĩa nh sau:

1 0 n N1
rect N (n ) =
0 n < 0 and n > N1

(1.2.4)

d. Dãy hm mũ thực.
Trong miền n, dãy hm mũ thực đợc định nghĩa nh sau:

a n 0 n
e( n ) =
0 n < 0

(1.2.5)

Dãy ny tăng hoặc giảm tuỳ thuộc vo tham số a lớn hơn hay nhỏ hơn 1. nh hình 1.5(a
v b)

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

4


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



e(n)

e(n)
1

1
0

0

n

n

(a). a<1
(b). a>1
Hình 1.5. Biểu diễn đồ thị dãy hm mũ thực.

e. Dãy sin.
Trong miền n, dãy sin đợc định nghĩa nh sau:
s(n) = sin(0n).
Đồ thị của s(n) đợc biểu diễn trên hình 1.6, với 0 =

sin(

(1.2.6)

2
8

2
n)
8

1

0

4

8

n

-1
Hình 1.6. Biểu diễn đồ thị dãy sin.
II.3. Các phép toán đối với tín hiệu rời rạc.
a. Tổng của hai dãy.
Định nghĩa: Tổng của hai dãy nhận đợc bằng cách cộng từng đôi một các giá trị
mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập.
b. Tích của hai dãy.
Tích của hai dãy nhận đợc bằng cách nhân từng đôi một các giá trị mẫu đối với
cùng một trị số của biến độc lập.

y(n)

x(n)

+

x(n) +y(n)

c. Tích với hằng số.
Tích của một dãy với một hằng số nhận đợc bằng cách nhân tất cả các giá trị mẫu
của một dãy với chính hằng số đó.

y(n)
x(n)
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

x(n).y(n)

5


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số


d. Trễ (phép dịch)

Ta nói rằng dãy x2(n) l dãy lặp lại trễ của dãy x1(n) khác nếu ta có:
x2(n) = x1(n-n0):
với mọi n, n0 nguyên.
Ví dụ trên hình 1.7 biểu diễn đồ thị hai dãy x1(n) v x2(n), với x2(n) = x1(n-1).

x1(n)

x2(n)

1
0

1
1

2

3

4

n

0

2

3

4

5

6 n

Hình 1.7. Biểu diễn tín hiệu trễ.
III. Các hệ thống tuyến tính bất biến
Do tính khả hiện của hệ thống tuyến tính bất biến về cả lý thuyết v thực hnh,
nên trong giáo trình ny, chúng ta chỉ hạn chế nghiên cứu các hệ tuyến tính bất biến.
III.1. Các hệ thống tuyến tính
a. Định nghĩa
Một hệ thống tuyến tính đợc đặc trng bởi toán tử T (lm nhiệm vụ biến đổi dãy
vo x(n) thnh dãy ra y(n)) thoả mãn nguyên lý xếp chồng, tức l:
T[ax1(n) + bx2(n)] = aTx1(n) + bTx2(n) = ay1(n) + by2(n)
(1.3.1)
trong đó: a, b l các hằng số, y1(n) l đáp ứng của kích thích x1(n) v y2(n) l đáp ứng của
kích thích x2(n).
b. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính.
Một dãy bất kỳ x(n) có thể đợc biểu diễn bằng tổng:

x (n ) =

x (k ) (n k )

k =

Với hệ thống tuyến tính, ta có:



y(n ) = T[x (n )] = T x (k ) (n k ) = x (k )T[ (n k )]
k =
k =

(1.3.2)

Nếu ký hiệu hk(n) l đáp ứng của hệ thống với kích thích (n-k), có nghĩa: hk(n) =
T[(n-k)].

Vo (n-k)

Ra

T
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

T[(n-k)] = hk(n)

6

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



Cuối cùng ta có: y(n ) =



x (k )h

k =

k

(n ) . Đáp ứng hk(n) đợc gọi l đáp ứng xung của

hệ thống tuyến tính.
Nhận xét:
- Các hệ thống tuyến tính đợc đặc trng hon ton bởi đáp ứng xung của nó.
- hk(n) l hm của k v n, nh vậy ở các giá trị k khác nhau sẽ cho ta các đáp ứng
xung khác nhau, hệ thống tuyến tính ny sẽ phụ thuộc vo biến k, nếu k l biến thời
gian, thì ta có hệ thống tuyến tính phụ thuộc thời gian.
Sau đây chúng ta sẽ khảo sát hệ thống tuyến tính bất biến theo k.
III.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến.
a. Định nghĩa.
Nếu y(n) l đáp ứng của kích thích x(n), thì hệ thống tuyến tính gọi l tuyến tính
bất biến (TTBB) khi y(n-k) l đáp ứng của kích thích x(n-k): (k nguyên).

Ví dụ: Hệ thống y(n) = 2x(n) +3x(n-1) l hệ thống TTBB.
b. Tích chập.
Khi hệ thống l TTBB thì ta có quan hệ sau:
T[(n)] = h(n)
T[(n-k)] = h(n-k) = hk(n).
v:

y( n ) =



x (k )h k (n ) =

k =



x (k )h (n k )

(1.3.3)

k =

Khi đó, hk(n) l đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính. Còn h(n) l đáp ứng xung
của hệ thống TTBB, không phụ thuộc vo k, tức l nếu biến l thời gian thì tại mọi thời
điểm khác nhau đáp ứng xung của hệ thống TTBB luôn l h(n). Nh vậy, đáp ứng xung
h(n) sẽ đặc trng hon ton cho một hệ thống TTBB.
v ta có quan hệ:

y( n ) =

x (k )h (n k ) = x (k ) * h (n )

(1.3.4)

k =

Quan hệ (1.3.3) đợc gọi l tích chập của x(n) v h(n).
Chú ý: Tích chập ny chỉ đúng với hệ thống TTBB, vì nó đợc định nghĩa chỉ cho hệ
thống ny.
Ví dụ:

n
1
4
0

Cho x(n) = rect5(n) v h ( n ) =

0n4
n < 0, n > 4

Tính tích chập x(n)*h(n).
Giải:
Từ công thức tích chập (1.3.3):

y( n ) = x ( k ) * h ( n ) =

x (k )h (n k )

k =

ta thực hiện các bớc:
- Đổi biến số n thnh k
x(k) = rect5(k)
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

7


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



nk
0 nk 4
1
h (n k ) =
4
0
n k < 0, n k > 4
0k4
k < 0, k > 4

1

x (k ) =
0

Vì

Nên ta có: Tổng k chỉ cần tính từ 0 đến 4 v n chỉ xác định từ 0 đến 8.
- Với n = 0 ta có: y(0) =

4

x (k )h (k ) =1.1 + 1.0 + 1.0 + 1.0 + 1.0 = 1
k =0
4

x (k )h (1 k ) =1.0,75 + 1.1 + 1.0 + 1.0 + 1.0 = 1,75

- Với n = 1 ta có: y(1) =

k =0

- Với n = 2 ta có: y( 2) =

4

x (k)h (2 k ) =1.0,5 + 1.0,75 + 1.1 + 1.0 + 1.0 = 2,25
k =0

- Với n = 3 ta có: y(3) =

4

x (k )h (3 k) =1.0,25 + 1.0,5 + 1.0,75 + 1.1 + 1.0 = 2,5
k =0

- Với n = 4 ta có: y( 4) =

4

x (k )h (4 k ) =1.0 + 1.0,25 + 1.0,5 + 1.0,75 + 1.1 = 2,5
k =0

- Với n = 5 ta có: y(5) =

4

x (k )h (5 k ) =1.0 + 1.0 + 1.0,25 + 1.0,5 + 1.0,75 = 1,5
k =0

- Với n = 6 ta có: y(6) =

4

x (k )h (6 k ) =1.0 + 1.0 + 1.0 + 1.0,25 + 1.0,5 = 0,75
k =0

- Với n = 7 ta có: y(7) =

4

x (k )h(7 k ) =1.0 + 1.0 + 1.0 + 1.0 + 1.0,25 = 0,25

k =0

- Với n = 8 ta có: y(8) =

4

x (k )h (8 k ) =1.0 + 1.0 + 1.0 + 1.0,25 + 1.0 = 0
k =0

Cuối cùng, ta có y(n) đợc biểu diễn bằng đồ thị sau:

x(n)

y(n) = x(n)*h(n)

1
0

h(n)

1

n

2,5
1,5
1

0

1

n

0

1 2

3 4

5

6

7

8

n

Hình 1.8. Đồ thị đáp ứng ra của hệ thống TTBB
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

8


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số

c. Các tính chất của tích chập
- Tích chập có tính chất giao hoán.
y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n).
Chứng minh: Từ biểu thức: y(n ) =

(1.3.5)

+

x (n k )h (k ) .

k =

Thay biến: n - k = l k = n - l; k : - -> l : + v k : + -> l : -




x (n l)h (l) =

l = +

+

h(l)x (n l)



y(n) = h(n)*x(n).

l =

- Tích chập có tính kết hợp.
y(n) = x(n)*[h1(n) * h2(n)] = [x(n)*h1(n)]*h2(n).
(1.3.6)
Quan hệ (1.3.6) cho thấy việc mắc nối tiếp hai hệ thống TTBB có đáp ứng xung
h1(n) v h2(n) sẽ tơng đơng với một hệ thống TTBB có đáp ứng xung l tích chập của
h1(n) v h2(n).
Chứng minh:


x (n ) * [h 1 (n ) * h 2 (n )] =

x (k )[h (n k ) * h
1

k =

=



x (k )[h

k =

=

(n k ) * h 1 (n k )]



x (k ) h

k =

=

2





( n k )]

2

l =

2


(l)h 1[(n k ) l]

x(k )h [(n l) k]h
1

l = k =

2

(l)

= [x (n ) * h 1 (n )]* h 2 (n )

- Tích chập có tính phân phối.
y(n) = x(n)*[h1(n) + h2(n)] = [x(n)*h1(n)] + [x(n)*h2(n)]
(1.3.7)
Quan hệ (1.3.7) cho thấy việc mắc song song hai hệ thống TTBB có đáp ứng xung
h1(n) v h2(n) sẽ tơng đơng với một hệ thống TTBB có đáp ứng xung l tổng của h1(n) v
h2(n).
Chứng minh:

x (n ) * [h 1 (n ) + h 2 (n )] =



x (k )[h (n k ) + h
1

k =

=



x (k )h 1 (n k ) +

k =

2

(n k )]



x (k )h

k =

2

(n k )

= [x (n ) * h 1 (n )] + [x (n ) * h 2 (n )]
Ví dụ: Cho ba hệ thống tuyến tính bất biến h1(n), h2(n) v h3(n), theo sơ đồ sau (hình 1.9):

h1(n)

+

h3(n)

h2(n)
Hình 1.9. Sơ đồ hệ thống TTBB
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

9


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số


n
1
Với: h 1 ( n ) = 2
0

0n2

h2(n) =

1
(n 1) + u (n 2) u (n 6)
2

v h3(n) = rect11(n). Tính h(n) của hệ thống.
Giải: Từ sơ đồ của hệ thống ta có đáp ứng xung của hệ thông xác định nh sau:
h(n) = [h1(n) + h2(n)]*h3(n). Biểu diễn các đáp ứng xung dạng đồ thị nh sau (hình

1.10):

h1(n)
1
0,5
0 1 2
h2(n)

n

0 1 2 3 4 5 6
h1(n)+h2(n) = rect6(n)

n

1

0 1 2 3 4 5 6
h3(n)=rect11(n)

n

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6

n

h(n)

5
4
3
2
1
0

1

2 3 4

5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15 16

n

Hình 1.10. Biểu diễn đáp ứng xung của hệ thống.

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

10


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số


III.3. Hệ nhân quả.

a. Định nghĩa

Một hệ thống TTBB gọi l nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở một thời điểm bất kỳ
chỉ phụ thuộc vo kích thích của nó trong quá khứ hoặc hiện tại (độc lập ở các thời điểm
tơng lai).
b. Đáp ứng xung của hệ nhân quả.
Định lý:
Đáp ứng xung của hệ nhân quả phải bằng 0 (h(n) = 0) với mọi n < 0.
Chứng minh:
Giả sử ta có hai kích thích x1(n) v x2(n): x1(n) = x2(n)
với nvới nn0.
x1(n) x2(n)
Ta có đáp ứng ra của hệ thống TTBB:

y1 ( n ) =
y 2 (n ) =



x (k )h (n k )

k =

1



x

k =

2

(k )h (n k )

Nếu hệ ny l hệ nhân quả thì ta có: y1(n) = y2(n) với n < n0. Biến đổi tổng trên ta đợc:

y1 ( n ) =
y 2 (n ) =

n 0 1



k =

k =n 0

n 0 1



k =

k =n 0

x 1 (k )h (n k ) + x 1 (k )h (n k )
x 2 (k )h (n k ) + x 2 (k )h (n k )

Với k < n0 ta có:

y1 ( n ) y 2 ( n ) =
=





x (k )h (n k ) x

k =n 0

1

k =n 0



[x (k ) x

k =n 0

1

2

2

(k )h (n k )

( k ) ]h ( n k )

Vì với k n0 ta có: x1(k) x2(k); mặt khác với n < n0 thì y1(n) = y2(n). Do đó, h(n-k) =
h(m) = 0 với m = n - k < 0.
- Đối với hệ TTBB v nhân quả, dạng chung của công thức tính tổng chập sẽ đơn
giản thnh:

y( n ) =



n



k =

k =

k =0

x (k )h (n k ) = x (k )h (n k ) = x (n k )h (k )

(1.3.8)

- Nếu đáp ứng xung có độ di hữu hạn N thì:
N

y( n ) = x ( n k ) h ( k )

(1.3.9)

k =0

III.4. Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định.
a. Định nghĩa:
Một hệ thống đợc gọi l ổn định, nếu v chỉ nếu với dãy đầu vo hữu hạn, ta có
dãy đầu ra hữu hạn.
b. Định lý:
Một hệ thống TTBB l ổn định khi v chỉ khi đáp ứng xung của nó thoả mãn điều
kiện sau:
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

11


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số


S=



h (n ) <

(1.3.10)

n =

Chứng minh: Ta cần chứng minh điều kiện cần v đủ để hệ thống ổn định.
- Điều kiện đủ: nếu với x(n) bị chặn với mọi n m ta có:

S=



h (n ) <

thì y(n) < với mọi n.

n =






k =

k =

k =

Ta có: y( n ) =

h ( k ) x ( n k ) y( n ) = h ( k ) x ( n k ) h ( k ) x ( n k )

Nh vậy, nếu kích thích x(n) bị hạn chế, thì ta có: x(n) M <: với mọi n (n). Khi

đó: y(n ) M



h (k )

k =



Theo giả thiết, nếu:

h (k ) <

thì : y( n ) < với mọi n.

k =

- Điều kiện cần: theo định nghĩa hệ ổn định, ta phải có y(n) < với mọi n. Do đó điều kiện
cần có thể đợc chứng minh tại một mẫu n no đó m y(n) không bị chặn với giả thiết tổng
không bị chặn.
Ta xét mẫu n = 0.


y( n ) =

x (k )h (n k ) :

n = 0 y(0) =

k =



x (k )h ( k )

k =

Giả sử cho tác động x(0) = 1 nếu h(-n) > 0 v ngợc lại: x(0) = -1 nếu h(-n) < 0.
Khi đó: y(0) =





k =

k =

x (k )h (k ) = h (k ) = . Do vậy tín hiệu ra không bị chặn nếu

không thoả mãn điều kiện (1.2.10).
Ví dụ:
Với hệ có đáp ứng xung dạng h(n) = an.u(n).
Ta thấy: đáp ứng xung của hệ h(n) = 0 với n < 0; do đó đây l hệ nhân quả. Để xét tính ổn
định ta có:

S=

n =

n =0

h ( n ) = a .
n

Chuỗi luỹ thừa ny sẽ hội tụ v S = 1/(1-a) với a<1. Nó sẽ phân kỳ nếu a> 1. Do
vậy hệ chỉ ổn định nếu a<1.
IV. Các phơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
IV.1. Phơng trình sai phân tuyến tính
Về mặt toán học, kích thích vo x(n) v đáp ứng ra y(n) của hầu hết các hệ thống
tuyến tính thoả mãn một phơng trình sai phân tuyến tính sau:
N

M

k =0

r =0

a k ( n ) y( n k ) = b r ( n ) x ( n r )

(1.4.1)

Trong đó N, M nguyên dơng, N l bậc của phơng trình sai phân. Trong phơng
trình ny, tập hợp các hệ số ak(n) v br(n) sẽ biểu diễn ton bộ hnh vi của hệ thống với

một giá trị n cho trớc.
IV.2. Phơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

12


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số


a. Dạng tổng quát

Trong chơng trình, đối tợng nghiên cứu l các hệ thống TTBB. Các hệ thống ny
có dãy vo v ra của hệ thống liên hệ với nhau bởi một phơng trình sai phân tuyến tính
hệ số hằng bậc N nh sau:
N

a
k =0

M

k

y( n k ) = b r x ( n r )

(1.4.2)

r =0

Khi đó, tập hợp các hệ số ak v br đặc trng cho hệ thống TTBB.
Từ (1.4.2), nếu a0 0 thì ta có:
M

N

r =0

k =1

y( n ) = b' r x ( n r ) a ' k y( n k )
b
a
b' r = r ; a ' k = k
a0
a0

(1.4.3)

Ví dụ:
Xét phơng trình sai phân bậc nhất: y(n) = ay(n-1) + x(n). Tìm đáp ứng xung của
hệ thống với điều kiện đầu y(n) = 0 với n <0.
Giải:
Giả thiết kích thích l dãy xung đơn vị: x(n) = (n). khi đó đáp ứng ra chính l đáp
ứng xung của hệ thống: y(n) = h(n).
- Với điều kiện đầu: y(n) = 0
với
n<0 ta có:
h(n) = 0

với
n < 0.
(1)
h(0) = ah(-1) + (0) = a.0 + 1 = 1.
h(1) = ah(0) + (1) = a.1 + 0 = a.
h(2) = ah(1) + (2) = a.a + 0 = a2.
(2)
h(3) = ah(2) + (3) = a.a2 + 0 = a3.

h(n) = ah(n-1) + (n) = an.
Kết hợp (1), (2) ta có: h(n) = an u(n). Đây l hệ thống nhân quả.
b. Nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính (PTSPTT) hệ số hằng.
Các bớc giải hệ PTSPTT hệ số hằng:
1. Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất
Phơng trình sai phân thuần nhất có dạng:
N

a k y( n k ) = 0

(1.4.4)

k =0

Thông thờng, nghiệm của (1.4.4) có dạng mũ: y0(n) = n. Thay vo (1.4.4) ta đợc:
(1.4.5)
a0N + a1N -1 + a2N - 2 +aN-1 + aN = 0
Phơng trình ny gọi l phơng trình đặc trng của hệ thống, đa thức ở vế trái gọi l đa
thức đặc trng bậc N.
Phơng trình đặc trng sẽ có N nghiệm, các nghiệm có thể l thực hoặc phức. Nếu
các nghiệm trùng nhau, ta có nghiệm bội. Nếu các hệ số ai của phơng trình l thực thì các

nghiệm phức sẽ l các cặp liên hợp.
Gọi i : i = [1, N] l các nghiệm đơn, ta sẽ có nghiệm tổng quát của phơng trình sai
phân thuần nhất dới dạng sau:

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

13


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



N

y 0 (n ) = A1 1n + A 2 2n + ... + A N Nn = a k kn

(1.4.6)

k =1

trong đó: Ai l các hằng số đợc xác định theo các điều kiện đầu.
2. Tìm nghiệm riêng của phơng trình sai phân không thuần nhất.
Nghiệm riêng yp(n) thờng đợc chọn giống nh dạng của x(n).
3. Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân.
Nghiệm tổng quát của PTSPTT sẽ l tổng của nghiệm tổng quát của PTSPTT
thuần nhất v nghiệm riêng của PTSPTT.
y(n) = y0(n) + yp(n).
(1.4.7)

4. Tìm các hệ số nhờ các điều kiện đầu.
Ví dụ: Giải phơng trình sai phân sau: y(n) + 2y(n-1) = x(n), với điều kiện đầu y(-1) = 0 v
x(n) = n.
Giải:
- Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất: y(n) + 2y(n-1) = 0
quát y0(n) có dạng: n. Thay vo ta đợc (*) :
n + 2n-1 = 0 n-1( +2 ) = 0 = -2.
Nh vậy phơng trình đặc trng chỉ có một nghiệm đơn 1 = -2.

y0(n) = A11n = A1(-2)n
- Tìm nghiệm riêng, dạng giống x(n) = n:
yp(n) = Bn + C
trong đó: B v C l các hằng số cần xác định.
Thay vo PTSPTT ta đợc:
Bn + C + 2B(n-1) + 2C = n 3Bn + 3C - 2B = n.

1
3

Đồng nhất các hệ số ta đợc: B = ;


y p (n ) =

C=

(*)

, nghiệm tổng

(a)

2
9

n 2
+
3 9

(b)

- Tìm nghiệm tổng quát y(n):

n
3

2
9

y(n) = y0(n) + yp(n) = A1 ( 2) n + ( + )

(c)

- Xác định hệ số A1:
Theo giả thiết, y(-1) = 0. Thay vo (c) ta đợc:

2
1 2
+ ) = 0 A1 =
3 9

9
1
2
Vậy nghiệm của PTSPTT l: y( n ) = n + 1 ( 2) n
3
9
y(1) = A1 (2) 1 + (

[

]

IV.3. Đáp ứng xung hữu hạn v vô hạn
Trong thực tế kỹ thuật, ngời ta thờng phân biệt hai trờng hợp của đáp ứng
xung: hệ có đáp ứng xung hữu hạn v hệ có đáp ứng xung vô hạn. Ta sẽ khảo sát các hệ
trên ứng với các trờng hợp PTSPTT hệ số hằng sau:
N

Từ PTSPTT hệ số hằng của hệ:

a
k =0

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

M

k

y( n k ) = b r x ( n r )

r =0

14


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



M

br
x (n r ) ;
r =0 a 0

y( n ) =

+. Nếu N = 0, thì phơng trình trở thnh:

h (n ) =

Đặt:

a0 0.

M
bn
; Ta sẽ có: y( n ) = h ( r ) x (n r )
a0

r =0

Đây chính l tích chập giữa h(n) v x(n) khi h(n) l nhân quả v có chiều di hữu
hạn: L[h(n)] = M+1; h(n) chính l đáp ứng xung của hệ thống không đệ quy hay hệ thống
có đáp ứng xung chiều di hữu hạn (FIR system).
+. Nếu N 0, thì phơng trình trở thnh:
M

N

r =0

k =1

y( n ) = b' r x ( n r ) a ' k y( n k )

a0 0.

;

b
a
b' r = r ; a ' k = k
a0
a0

Trong quan hệ trên ta thấy rằng br v ar l các hằng số, vậy hệ thống ny có đáp
ứng ra phụ thuộc vo kích thích ở thời điểm hiện tại v quá khứ v vo cả đáp ứng ra ở
thời điểm quá khứ.
Nếu giải phơng trình trên với x(n) = (n) để xác định đáp ứng xung h(n) ta sẽ thấy

đáp ứng xung của hệ thống ny có chiều di vô hạn. Hệ thống ny đợc gọi l hệ thống đệ
quy hay hệ có đáp ứng xung di vô hạn (IIR system).
IV.4. Các phần tử thực hiện hệ thống TTBB.
Nhờ có PTSPTT hệ số hằng, chúng ta có thể thực hiện trực tiếp các hệ thống số
bằng các phần tử sau:
a. Các phần tử thực hiện.
Các phần tử trên đợc biểu diễn nh trong các hình sau:

x(n)

y(n) = x(n-1)
D

x(n)

a

Phần tử trễ

y(n)= a.x(n)
Phần tử nhân với hằng số

x1(n)

M

y( n ) = x i ( n )

x2(n)

i =1

+

Phần tử cộng

xn(n)
Hình 1.11. Các phần tử cơ bản.
b. Phơng trình sai phân của các hệ thống.
M

- Hệ thống không đệ quy:

y( n ) = b 0 x ( n ) + b r x ( n r )
r =1

- Hệ thống đệ quy:

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

M

N

r =1

k =1

y( n ) = b 0 x ( n ) + b r x ( n r ) + ( a k ) y( n k )

15


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



N

y( n ) = b 0 x ( n ) + ( a k ) y( n k )

- Hệ thống đệ quy thuần tuý:

k =1

c. Thực hiện các hệ thống rời rạc
Một hệ thống TTBB nhân quả v ổn định l hệ thống thực hiện đợcc về mặt vật
lý, cho dù l hệ thống đó l không đệ quy, đệ quy hay đệ quy thuần tuý.
Dựa vo phơng trình sai phân hệ số hằng của từng hệ thống ny, ta có thể xây
dựng sơ đồ khối tổng quát của chúng nh sau (hình 1.12):
M

y( n ) = b 0 x ( n ) + b r x ( n r )
r =1
1
4
4244
3

- Hệ thống không đệ quy:

F1 [x ( n 1),..., x ( n M ) ]

y( n ) = b 0 x ( n ) +

- Hệ thống đệ quy

M

N

b r x ( n r ) + ( a k ) y( n k )

r =1
k =1
1
42
4 43
4 1
442443

F1 [x ( n 1),..., x ( n M ) ]

F2 [y ( n 1),..., y ( n N ) ]

N

y( n ) = b 0 x ( n ) + ( a k ) y( n k )
k =1

1
442443

- Hệ thống đệ quy thuần tuý

F2 [ y ( n 1),..., y ( n N ) ]

y(n)

x(n)

+
b0

F[x(n-1), x(n-2),, x(n-M)]

F[x(n), x(n-1), x(n-2),, x(n-M)]
Hình 1.12a. Hệ thống không đệ quy

y(n)

x(n)

+

+

b0

F1[x(n-1), x(n-2),, x(n-M)]

F2[y(n-1), y(n-2),, y(n-N)]

F[y(n-1),, y(n-N), x(n), x(n-1), x(n-2),, x(n-M)]
Hình 1.12b. Hệ thống đệ quy
Ví dụ: Cho phơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng:
y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + b2x(n-2) + b5x(n-5)
Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống mô tả bởi phơng trình ny.
Giải:
Đây l hệ thống không đệ quy: N = 0, M = 5. Sơ đồ của hệ thống nh sau:
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

16


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



D

D

D

D

D

x(n)
b1

b2

b5

b0

+

+
y(n)

V. tơng quan của các tín hiệu
V.1. Mở đầu
Trong việc xử lý tín hiệu, chúng ta luôn cần phải so sánh các tín hiệu với nhau,
chẳng hạn nh trong kỹ thuật rađa, rađa sẽ phát tín hiệu tìm mục tiêu l x(n), tín hiệu
ny nếu gặp mục tiêu sẽ phản xạ trở lại nhng bị trễ đi một thời gian D = n0Ts (Ts l chu
kỳ lấy mẫu), độ suy giảm của tín hiệu với hệ số A, tức l tín hiệu nhận đợc l A.x(n - n0).
Ngoi tín hiệu phản xạ ny còn có các tín hiệu nhiễu cộng can thiệp (n). Vậy tín hiệu tổng
cộng m rađa nhận đợc sẽ l:
y(n) = ax(n - n0) + (n).
Nếu không có mục tiêu thì :
y(n) = (n).
So sánh hai tín hiệu x(n) v y(n) ta sẽ phát hiện đợc có mục tiêu hay không, từ đó
có thể xác định đợc vị trí cũng nh tính chất của mục tiêu. Một phơng pháp so sánh
thờng đợc sử dụng nhất đó l tơng quan, sẽ trình by dới đây.
V.2. Tơng quan chéo v tự tơng quan
a. Tơng quan chéo

Giả sử ta có hai dãy x(n) v y(n), tối thiểu một trong hai dãy có năng lợng hữu
hạn. Tơng quan chéo của x(n) v y(n) đợc định nghĩa nh sau:

rxy (n ) =



x ( m) y( m n )

(1.5.1)

m =

b. Tự tơng quan
Trong định nghĩa về tơng quan chéo, nếu x(n) = y(n) thì quan hệ trên trở thnh tự
tơng quan. Tự tơng quan đợc định nghĩa nh sau:

rxx (n ) =



x ( m) x ( m n )

(1.5.2)

m =

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

17

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



chơng

2
Phép biến đổi Z
I. Mở đầu
Trong chơng 1, chúng ta đã khảo sát tín hiệu v hệ thống rời rác trong miền biến
số độc lập tự nhiên. Đây l cách khảo sát trực tiếp, tuy nhiên trong nhiều trờng hợp cách
ny gặp khó khăn v nói chung hiệu quả không cao.
Ngoi phơng pháp ny, chúng ta có thể dùng nhiều phơng pháp khảo sát gián
tiếp khác thông qua các kỹ thuật biến đổi. Các biến đổi ny lm nhiệm vụ chuyển miền
biến số độc lập tự nhiên sang các miền khác v nh vậy tín hiệu v hệ thống rời rạc sẽ
đợc biểu diễn trong các miền mới với các biến số mới. Mỗi cách biến đổi sẽ có những
thuận lợi riêng của nó, tuỳ từng trờng hợp cụ thể m ta ứng dụng chúng. Sau khi đã
khảo sát xong tín hiệu v hệ thống rời rạc trong miền các biến số mới ny, nếu cần thiết
chúng ta lại có thể dùng các phép biến đổi ngợc để đa chúng về miền biến số độc lập tự
nhiên.
Các phơng pháp khảo sát gián tiếp nói chung sẽ lm đơn giản rất nhiều những
khó khăn m ta gặp khi sử dụng phép khảo sát trực tiếp. Một trong các phơng pháp khảo
sát gián tiếp thờng đợc sử dụng l phép biến đổi Z m ta sẽ nghiên cứu trong nội dung
của chơng ny.
Phép biến đổi Z đóng vai trò nh phép biến đổi Laplace trong việc phân tích tín
hiệu v hệ thống liên tục.
Quan hệ giữa miền tự nhiên n v miền Z đợc minh hoạ nh hình 2.1 sau:

ZT
miền Z

miền n
IZT

Hình 2.1. Quan hệ giữa miền n v miền Z
II. Phép biến đổi Z (ZT - Z Transform)
II.1. Định nghĩa phép biến đổi Z hai phía v một phía
a. Biến đổi Z hai phía.
Định nghĩa. Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) đợc định nghĩa nh sau:

X ( Z) =



x (n ) Z

n

(2.2.1)

n =

ZT
Ký hiệu: ZT[x(n)] = X(Z), hay x ( n )
X( Z)

trong đó Z l biến số phức.

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

18


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



Nh vậy biến đổi Z l biến đổi việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong miền biến số độc
lập tự nhiên thnh việc biểu diễn tín hiệu X(Z) trong miền phức Z v X(Z) l một hm
phức.
Biến đổi Z l một chuỗi luỹ thừa vô hạn, nó chỉ tồn tại với các giá trị của Z m tại
đó chuỗi hội tụ.
Ví dụ: Tìm biến đổi Z của các tín hiệu có chiều di hữu hạn sau:
x1(n) = (n)
x2(n) = 2(n+2) +(n) + 3(n-1)
Giải: X1 ( Z) =

X1 ( Z) =



(n ) Z

n

= 1.Z 0 = 1

n =


[2 (n + 2) + (n) + 3 (n 1)]Z

n

= 2 Z 2 + 1.Z 0 + 3.Z 1

n =

Nhận xét:
- X1(Z) tồn tại với mọi giá trị của Z, tức l trong ton bộ mặt phẳng Z. Khi đó ta nói
ZT[x1(n)] hội tụ trong ton mặt phẳng Z.
- X2(Z) tồn tại với mọi giá trị của Z, trừ Z = 0 v Z = , tức l ZT[x2(n)] hội tụ trong
ton mặt phẳng Z, trừ gốc 0 v điểm vô cực .
b. Biến đổi Z một phía
Định nghĩa. Biến đổi Z một phía của dãy x(n) đợc định nghĩa nh sau:


X1 ( Z) = x (n ) Z n

(2.2.2)

n =0

Ký hiệu: ZT1[x(n)] = X1(Z)
Chú ý:
- Biến đổi Z một phía không biểu diễn đợc tín hiệu x(n) đối với miền biến số độc
lập âm.

- Đối với tín hiệu nhân quả thì biến đổi Z một phía l duy nhất, vì tín hiệu nhân
quả bằng không với n < 0.
Ví dụ: Tìm biến đổi Z một phía của các tín hiệu có chiều di hữu hạn sau:
x1(n) = (n)
x2(n) = 2(n+2) +(n) + 3(n-1)
Giải:


X11 ( Z) = (n ) Z n = 1.Z 0 = 1 tồn tại với mọi giá trị của Z
n =0



X12 ( Z) = [2 (n + 2) + (n ) + 3 (n 1)]Z n = 1.Z 0 + 3.Z 1 = 1 + 3Z 1 tồn tại với mọi giá trị
n =0

của Z, trừ Z = 0.
c. Mặt phẳng Z
Mặt phẳng phức Z đợc tạo bởi trục tung ứng với trục ảo v trục honh l trục thực
nh hình 2.2

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

19


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số

Im[Z]
r

0

Re[Z]

Hình 2.2. Mặt phẳng Z
Biểu diễn Z trong các hệ toạ độ nh sau:
Z = Re[Z] + j.Im[Z]
(2.2.3)
j
hoặc trong toạ độ cực:
Z = z.e
(2.2.4)
Trong mặt phẳng Z cần nói đến vòng tròn đơn vị, l vòng tròn ứng với Z=1. Đây
l vòng tròn đặc biệt quan trọng trong việc đánh giá các đặc tính của hệ thống số dựa vo
các vị trí của điểm cực, điểm không đối với vòng tròn đơn vị; m ta sẽ khảo sát trong nội
dung tiếp theo.
II.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Z
a. Miền hội tụ của biến đổi Z
Định nghĩa 1:
Tập hợp các giá trị của Z m tại đó chuỗi X ( Z) =



x (n ) Z

n

= ZT[x (n )] hội tụ đợc

n =

gọi l miền hội tụ của biến đổi Z (hai phía).
Định nghĩa 2:
Tập hợp các giá trị của Z m tại đó chuỗi X1 ( Z) =



x (n ) Z

n

= ZT1 [x (n )] hội tụ

n =0

đợc gọi l miền hội tụ của biến đổi Z một phía.
Ví dụ: Cho tín hiệu rời rạc sau:

2 n
x (n ) =
0

with : n 2
other

Xác định biến đổi Z hai phía, một phía v xác định miền hội tụ.

Giải:
Tín hiệu x(n) l không nhân quả, có chiều di vô hạn: L[x(n)]=[-, 2] = v đợc
biểu diễn trên hình 2.3a sau:

x(n)

Im[Z]

r=

4
2
1
-2

Re[Z]
0

(a)

2

n

Miền hội

(b)
Hình 2.3. Biểu diễn x(n) (a) v miền hội tụ của X(Z) (b).

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

20


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



- Xác định biến đổi Z hai phía.


x (n ) Z n =

Ta có: X ( Z) =

n =

2

2 n Z n = 4Z 2 + 2Z 1 + 1 +

n =

1

2

n

Z n

n =



X ( Z) = 4 Z 2 + 2 Z 1 + 1 + 2 m Z m = X 2 ( Z) + X1 ( Z)

Đổi biến m = - n ta có:

m =1



X1 ( Z) = 2 m Z m =

trong đó:

m =1

1

2 Z
1 2 1 Z

với Z<2

X 2 ( Z) = 4 Z 2 + 2 Z 1 + 1
X ( Z) = 4 Z 2 + 2 Z 1 + 1 +

Vậy:

với Z 0.
1

2 Z
1 2 1 Z

với Z<2 v Z 0.

Hình 2.3b biểu diễn miền hội tụ của X(Z0 trong mặt phẳng Z, l hình tròn Z<2,
trừ gốc toạ độ.
- Xác định biến đổi Z một phía.
Ta có: X1 ( Z) =



2

n =0

n =0

x (n )Z n = 2 n Z n = 4Z 2 + 2Z 1 + 1

Miền hội tụ l ton bộ mặt phẳng Z trừ gốc toạ độ.
b. Tiêu chuẩn Cauchy (Côsi)
Một chuỗi có dạng:

x (n ) = x (0) + x (1) + ... + x (n ) + ...

(2.2.5)

n =0

hội tụ nếu thoả mãn điều kiện:
(2.2.6)

limx(n)1/n < 1
n
c. áp dụng tiêu chuẩn Cauchy

Để áp dụng tiêu chuẩn Cauchy chúng ta có thể phân chuỗi X(Z) hai phía thnh hai
chuỗi nh sau:

X1 ( Z) =



x (n ) Z n =

n =

1



n =

n =0

x (n )Z n + x (n )Z n = X1 (Z) + X 2 (Z)

- Xét chuỗi X2(Z):

limx(n)Z-n1/n

=

limx(n)1/n Z-1

n
Đặt

Rx-=

n

limx(n) 1/n
n

áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi X2(Z) ta có:
Rx-Z-1<1 Z> Rx- .
Vậy chuỗi X2(Z) sẽ hội tụ với Z> Rx-, tức miền hội tụ sẽ l miền ngoi vòng tròn
tâm gốc toạ độ có bán kính Rx- (hình 2.4).
- Xét chuỗi X1(Z), qua phép đổi biến m = - n:

X1 ( Z) =

1

x (n ) Z n =

n =

0



n =

m =0

x (n )Z n x (0) = x (m)Z m x (0)

Nếu x(0) l hữu hạn, ta xét giới hạn:

limx(-m)Zm1/m

m
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

=

limx(-m)1/m Z
m

21

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số


Đặt
Rx+ =

1/m -1
[limx(-m)
]
m

áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi X1(Z) ta có: Z< Rx+.
Vậy chuỗi X1(Z) sẽ hội tụ với Z< Rx+, tức miền hội tụ sẽ l miền trong vòng tròn
tâm gốc toạ độ có bán kính Rx+ (hình 2.4).
Cuối cùng, nếu Rx- < Rx+ thì miền hội tụ của biến đổi Z hai phía l một hình vnh khăn có
bán kính trong Rx- v bán kính ngoi Rx+ (hình 2.4).
Im(Z)
Miền hội tụ

RxRe[Z]

Rx+

Hình 2.4. Miền hội tụ của biến đổi Z hai phía.
Nhận xét:
- Vì Rx- v Rx+ đợc xác định từ x(n) vậy hai giới hạn ny đặc trng cho tín hiệu
x(n).
- Đối với tín hiệu nhân quả có chiều di vô hạn L[x(n)] =[0, ], miền hội tụ của biến

đổi Z hai phía X[Z] nằm ngoi vòng tròn bán kính Rx-.
- Đối với tín hiệu phản nhân quả có chiều di vô hạn L[x(n)] =[-, 0], miền hội tụ
của biến đổi Z hai phía X[Z] nằm trong vòng tròn bán kính Rx+.
- Nếu nếu Rx- Rx+ thì X(Z) không tồn tại.
- Chuỗi X ( Z) =



x (n ) Z

n

có tên l chuỗi Laurent, nó l một hm giải tích. Vì vậy

n =

trong miền hội tụ, biến đổi Z v tất cả các đạo hm của nó l hm liên tục của Z.
Ví dụ:

3
4

Cho chuỗi x ( n ) =

n

với mọi giá trị của n. Tìm biến đổi Z v miền hội tụ.

Giải:

ZT[x (n )] = X( Z) =



n

3 n
Z

n = 4

Ta có:
n
1
1

3

3
X ( Z) = Z 1 + Z 1

n = 4
n =0 4



n

Gọi:

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

22


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số


+. X1 ( Z) =

n



1
3
3 1
với Z 1 < 1
Z =

4
1 3 Z 1
n =0 4
4

Theo tiêu chuẩn Cauchy, xét với chuỗi X1(Z) ta có: R x =

Z>

3
, hay miền hội tụ l
4

3
.
4
3
m
Z
3
3
với : Z < 1
= Z = 4
3
4
m =1 4
1 Z
4
4
Theo tiêu chuẩn Cauchy, xét với chuỗi X2(Z) ta có: R x + = , hay miền hội tụ l
3
n

1

3 1 1
3 1

+. X 2 ( Z) = Z
Z
=




m =1 4
n = 4


1

Z<

m



4
.
3
Cuối cùng, ta có:

3
Z
4
3
1

, với < Z < l miền hội tụ.
+ 4
X(Z) = X1(Z) + X2(Z) =
3
3
3
4
1 Z 1 1 Z
4
4
II.3. Điểm cực v không
Trong thực tế chúng ta thờng gặp các biến đổi Z cho dới dạng một thơng số của
hai đa thức, nh vậy X(Z) l hm hữu tỷ của Z:

X( Z) =

N( Z)
D( Z)

Do đó tồn tại các giá trị (điểm) Z lm cho X(Z) bằng 0 hoặc vô định; các điểm ny
cần đợc kể đến trong các phép biến đổi, l các điểm không v điểm cực đợc xét dới đây.
a. Điểm không.
Tại các điểm Z = Z0r ta có X(Z0r) = 0 thì các điểm đó gọi l các không của X(Z).
b. Điểm cực.
Tại các điểm Z = Zpk ta có X(Zpk) = thì các điểm đó gọi l các cực của X(Z).
III. Phép Biến đổi Z ngợc.
Thông thờng khi chúng ta có biến đổi Z: X(Z) của một dãy no đó, tức l chúng ta
có biểu diễn của dãy x(n) trong miền Z, sau khi khảo sát gián tiếp dãy x(n) trong miền Z
thì ta cần phải đa nó trở về miền biên số độc lập tự nhiên, tức l tìm x(n) hay từ biến đổi
Z X(Z) của nó. Phép đổi Z ngợc sẽ cho phép thực hiện điều ny.

Phép biến đổi Z ngợc đợc xây dựng trên cơ sở của định lý Cauchy, một định lý
quan trọng trong lý thuyết biến số phức.
III.1. Định lý Cauchy.
Định lý Cauchy về tích phân trên đờng cong kín trong mặt phẳng phức đợc phát
biểu nh sau:

I=

1, n = 0
1
Z n 1dZ =

2j c
0, n 0

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

(2.3.1)

23


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



trong đó c l đờng cong khép kín bao quanh gốc toạ độ của mặt phẳng phức theo chiều
dơng (ngợc chiều kim đồng hồ).
III.2. Biến đổi Z ngợc

Theo định nghĩa của biến đổi Z ta có:

X ( Z) =



x ( m) Z

m

m =

- Nhân hai vế của quan hệ ny với

Z n 1
v lấy tích phân theo chiều di của một
2j

đờng cong kín c bao quanh gốc toạ độ v nằm trong miền hội tụ của X(Z), ta có:

1
1
n 1
X
(
Z
)
Z
dZ
=

x (m) Z m+ n 1dZ

2j c
2j c n =

- Đổi thứ tự của tổng v tích phân ở vế phải trong quan hệ trên:

1
1
n 1
X
(
Z
)
Z
dZ
x ( m)
=
Z m+ n 1dZ



2j c
2j c
m =

theo định lý Cauchy ta có:

1, ( m + n ) = 0 m = n
1

Z n +l1dZ =

2j c
0, (m + n ) 0 m n
Vậy với m = n ta có:

x (n ) =

1
X( Z) Z n 1dZ
2j c

(2.3.2)

biểu thức (2.3.2) chính l biểu thức của biến đổi Z ngợc.
Để tính biến đổi Z ngợc chúng ta có ba phơng pháp sau:
- Tính trực tiếp tích phân dùng lý thuyết thặng d (PP thặng d).
- Phơng pháp khai triển thnh chuỗi luỹ thừa theo Z hoặc Z-1.
- Phơng pháp khai triển thnh tổng các phân thức tối giản.
III.3. Phơng pháp thặng d
Theo lý thuyết thặng d của hm biến phức thì tích phân trong biểu thức biến đổi
Z ngợc có thể đợc đánh giá bằng tổng các thặng d sau:

x (n ) =

[

1
X( Z) Z n 1dZ = Re s X( Z) Z n 1
2j c

k

Z= Z pk

]

(2.3.3)

trong đó: +. Zpk l các điểm cực của X(Z)Zn-1 trong đờng cong kín c.
+. Thặng d tại điểm cực k: Zpk, bậc sk của X(Z)Zn-1 trong đờng cong kín c l:

[

Re s X( Z) Z n 1

Z= Zpk

] = lim

Z Z pk

[

1
d sk 1
X( Z) Z n 1 ( Z Z pk ) s k
(s k 1)! dZsk 1

]

(2.3.4)

]

(2.3.5)

đối với các điểm cực đơn:


Re s X( Z) Z n 1


Z= Zpk

[


n 1
= lim ZZpk X( Z) Z ( Z Z pk )


Ví dụ:
Cho: X ( Z) =

1
; miền hội tụ RC[X(Z)] : Z> 0,5. Tìm x(n).
1
1 Z 1
2

Ngô Nh Khoa - Photocopyable

24


BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số



Giải: - Xác định các điểm cực Zpk của X(Z)Zn-1 trong miền hội tụ Z> 0,5:

Zn

X ( Z) Z n 1 =

Ta có:

Z
1
2

1
2

n

Từ đây, với ta có Zp1= 0,5 l một cực đơn.
Để đơn giản, ta có thể chọn đờng cong c l đờng tròn bán kính R > 0,5. Nh vậy
ta có:

[

Re s X( Z) Z n 1

Z=0 , 5

1
2

] = lim

n

1
2

1
Zn
( Z 0,5) =
Z0 , 5
Z 0,5
2

n

n

Vậy x ( n ) = vơi .
Với n < 0, đặt n = -m (m > 0) ta sẽ có:

[

x (m) = Re s X( Z) Z m 1
k

Z= Zpk

]



1
= Re s
1
k
Zm (Z )
2




Z= Z pk



ở đây ta có một cực đơn tại Zp1= 0,5 v một cực bội bậc m tại Zp2 = 0.
Tính các thặng d tại các cực ta có:
- Tại cực đơn

[

Re s X( Z) Z n 1

Z=0 , 5

] = lim

Z= Zpk

] = lim

- Tại cực bội

[

Re s X( Z) Z n 1

=

Z 0 , 5

Z0



1
m
Z m ( Z 0,5) ( Z 0,5) = 2

1
d m1
(m 1)! dZ m1


1
m
Z m ( Z 0,5) Z



1 (1) m1 (m 1) !
= 2 m


m
(m 1)! (0,5)


Vậy với n < 0 ta có: x(n) = 0.
III.4. Phơng pháp khai triển thnh chuỗi luỹ thừa.
Trong miền hội tụ của X(Z) thì X(Z) l một hm gải tích của Z, nh vậy hon ton
có thể khai triển X(Z) thnh chuỗi luỹ thừa có dạng:

X ( Z) =

a

n =

n

Z n

theo định nghĩa ta có: X ( Z) =

(2.3.6)


x (n ) Z

n

. Cả hai chuỗi ny đều hội tụ trong miền hội tụ

n =

của X(Z), vậy đồng nhất hoá các hệ số của chuỗi cho ta:
x(n) = a(n)
Ví dụ:
Cho X ( Z) =

(2.3.7)

Z
. Tìm x(n) với miền hội tụ của X(Z) nh sau:RC[X(Z)] : Z>2

Z+2

Giải:
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

25