CÂU CUỐI TRONG CÁC ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 6

TUYỂN TẬP CÁC CÂU KHÓ TRONG CÁC ĐỀ THI LỚP 6
Bài 1
Cho n điểm phân biệt ( n∈N, n≥2) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, kẻ các
đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng phân biệt.
Bài 2
Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a+b =c+d và a.b+1=c.d. Chứng tỏ rằng: c=d.
Bài 3
Tìm 3 số nguyên a, b, c thỏa mãn:

a + b = −4 b + c = −6 c + a = 12

;

;

Bài 4
Chứng minh tổng S = 1 + 4 + 42 + 43 + 44 + … + 42009 chia hết cho 5.
Bài 5
Cho:

A = 2 + 22 + 23 + ..... + 22013

và

B = 22014

So sánh A và B
Bài 6
Tính tổng M = (-1) + 2 + (-3) + 4+ (-5) +6 +...+ (-4025)+ 4026
Bài 7
Tìm ba số tự nhiên a, b, c nhỏ nhất khác 0 sao cho 64a = 80b = 96c.
Bài 8
Cho p là một số nguyên tố. Chứng minh rằng hai số 8p - 1 và 8p + 1 không đồng thời là
số nguyên tố.
Bài 9
Tìm hai số tự nhiên x và y biết:

6 x + 99 = 20. y

Bài 10
Tìm các số tự nhiên a và b biết: a.b = 360 và BCNN(a,b) = 60.


Bài 11
Cho số tự nhiên A gồm 4030 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 2015 chữ số 2. Chứng minh
rằng
Bài 12
Cho

A = 40 + 41 + 42 + ... + 42016

và

B = 4 2017 : 3

Tính B - A
Bài 13
Cho a là số tự nhiên lẻ, b là một số tự nhiên. Chứng minh rằng các

số a và ab + 4

nguyên tố cùng nhau.
Bài 14
Chứng tỏ rằng:

(7 n + 10)

và

(5n + 7)

là hai số nguyên tố cùng nhau

(n ∈ N )

.

Bài 15
Cho A=3+ 32 +33 +……+3100. Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A +3=3n
Bài 16
Tìm số tự nhiên n sao cho n + 3 chia hết cho n + 1.
Bài 17
E=

Cho

1 1 1
1
+ 2 + 2 + ... +
2
2 3 4
1502

. Chứng minh rằng

E <1

Bài 18
Tìm các số tự nhiên x và y biết 2x + 120 = 11y
Bài 19
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng

( p − 1) ( p + 1) M24

Bài 20
Cho p là một số nguyên tố. Chứng minh rằng hai số 8p - 1 và 8p + 1 không đồng thời là
số nguyên tố.

Hướng dẫn làm bài

TUYỂN TẬP CÁC CÂU KHÓ TRONG CÁC ĐỀ THI LỚP 6
Bài 1
Cho n điểm phân biệt ( n∈N, n≥2) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, kẻ các
đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng phân biệt.
Gọi các điểm là A1, A2,..., An.
Nối A1 với mỗi điểm còn lại ta được n- 1 đường thẳng.
Tương tự với các điểm A2, A3,..., An. Như vậy ta có tất cả n(n-1) đường thẳng, mà mỗi

đường thẳng được tính 2 lần. Do đó số đường thẳng phân biệt là

n(n − 1)
2

đường thẳng


Bài 2
Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a+b =c+d và a.b+1=c.d. Chứng tỏ rằng: c=d.
Từ a+b=c+d, suy ra a=c+d-b. Thay vào đẳng thức a.b+1=c.d ta được: (b-d)(b-c)=1
Tích của hai số nguyên bằng 1 khi và chỉ khi hai số đó cùng bằng 1 hoặc cùng bằng -1
nên b-d=b-c hay c=d
Bài 3

Tìm 3 số nguyên a, b, c thỏa mãn:
Ta có

a + b = −4 b + c = −6 c + a = 12

;

;

a + b + b + c + c + a = ( −4) + (−6) + 12

⇒ 2( a + b + c ) = 2

⇒ a +b + c =1

Vậy:

c = 1 − ( a + b ) = 1 − ( − 4) = 5
a = 1 − ( b + c ) = 1 − ( − 6) = 7
b = 1 − ( c + a ) = 1 − 12 = −11

Bài 4
Chứng minh tổng S = 1 + 4 + 42 + 43 + 44 + … + 42009 chia hết cho 5.
Ta có: S = 1 + 4 + 42 +43 + … + 42009
= (1 + 4) + (42 + 43) + … + (42008 + 42009)

= 5 + 42(1 + 4) + … + 42008(1 + 4)
= 5(1 + 42 + 44 + …+42008)
Vậy S chia hết cho 5.
Bài 5
Cho:

A = 2 + 22 + 23 + ..... + 22013
So sánh A và B

và

B = 22014

A = 2 + 22 + 23 + ..... + 22013
2A = 22 + 23 + 24 + ..... + 22014
2A = (2 + 22 + 23 + 24 + ..... + 22013 ) + 22014 − 2
2A = A + B - 2
A=B-2
Vậy A < B
Bài 6
Tính tổng M = (-1) + 2 + (-3) + 4+ (-5) +6 +...+ (-4025)+ 4026

Vì M = (-1) + 2 + (-3) + 4+ (-5) +6 +...+ (-4025)+ 4026

=[(-1) + 2]+ [(-3) + 4] + [(-5) +6] +...+ [(-4025)+ 4026]
=

1

+

1

+

1

+...+

1

Do tổng M có 4026 hạng tử nên sẽ có 2013 số 1
Vậy M = 2013
Bài 7
Tìm ba số tự nhiên a, b, c nhỏ nhất khác 0 sao cho 64a = 80b = 96c.
Đặt 64a = 80b = 96c = d. Do ba số tự nhiên a, b, c nhỏ nhất khác 0
khác 0 nhỏ nhất chia hết cho a, b, c
⇒

d = BCNN (64, 80, 96).

Ta có:
⇒

d=

64 = 26 ; 80 = 24.5; 96 = 25.3
26.3.5 = 960

⇒ a = 960 : 64 = 15; b = 960 : 80 = 12; c = 960 : 96 = 10

Bài 8

⇒d

là số tự nhiên


Cho p là một số nguyên tố. Chứng minh rằng hai số 8p - 1 và 8p + 1 không đồng thời là
số nguyên tố.
Xét p = 2 ta có 8p – 1 = 8.2 - 1 = 15 ( là hợp số) Suy ra điều phải chứng minh
- Xét p = 3 ta có 8p + 1 == 8.3 + 1 = 25 ( là hợp số) Suy ra điều phải chứng minh

- Xét p > 3. Do p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3
suy ra 8p không chia hết cho 3. Mà trong ba số tự nhiên liên tiếp 8p – 1, 8p, 8p +1
luôn tồn tại một số chia hết cho 3. Nên trong 2 số 8p – 1 và 8p + 1 luôn có 1 số chia
hết cho 3.
Hay 8p – 1 và 8p + 1 không đồng thời là số nguyên tố
Bài 9

Tìm hai số tự nhiên x và y biết:

6 x + 99 = 20. y

Với y là số tự nhiên thì 20. y luôn có chữ số tận cùng bằng 0

Do đó vế trái cũng phải có tận cùng bằng 0.
Mà nếu x là số tự nhiên khác 0 thì vế trái luôn có tận cùng bằng 5.
Suy ra x = 0. khi đó : Ta có :

60 + 99 = 20.y

20.y = 100
y=5
Vậy : x = 0 và y = 5 là các số tự nhiên cần tìm.
Bài 10
Tìm các số tự nhiên a và b biết: a.b = 360 và BCNN(a,b) = 60.
+ ƯCLN(a,b) = 360:60 = 6

+ a = 6.x ; b = 6.y Do a.b = 360
Ta có:
x

1

2

5

10

y

10

5

2

1

⇒

x.y = 10.


Do ú: a = 6.1 = 6



a = 6.5 = 30



b = 6.10 = 60, a = 6.2 = 12

b = 6.2 = 12, a = 6.10 = 60




b = 6.10 = 30
b = 6.1 = 6

Bi 11
Cho số tự nhiên A gồm 4030 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 2015 chữ số 2. Chứng minh rằng
A B là một số chính phơng.
Vậy A B là số

Gọi C = 11.....1

chính phơng.

2015 chữ số 1

Bi 12

Khi đó B = 2.C
Ta có A = 11 ..... 1

4030 chữ số 1

2015 chữ số 2015 chữ số 2015 chữ số
= C.

Do đó A B = C.
Mà

102015

Cho

= 11 ..... 1 00 ..... 0 + 11 ..... 1

102015

102015

+C

+ C 2.C = C.

102015

- C = C. (

102015

- 1)

- 1 = 99 ..... 9 = 9. 11 ..... 1 = 9. C
2015 chữ số

Nên A B = C. 9.C = 9.C2 =

2015 chữ số

( 3.C )

A = 40 + 41 + 42 + ... + 42016

2

= ...
v

B = 42017 : 3

Tớnh B - A
Ta cú :

4 A = 41 + 42 + 43 + ... + 4 2016 + 42017

4A A =

(41 + 4 2 + 43 + ... + 42016 + 4 2017 ) (40 + 41 + 42 + ... + 4 2015 + 4 2016 )

Suy ra : 3A =
M B =

42017 1

42017 : 3

nờn 3B =

42017


Suy ra 3B – 3A =

42017

-(

42017 − 1

)= 1. Do đó B- A =

Bài 13
Cho a là số tự nhiên lẻ, b là một số tự nhiên. Chứng minh rằng các

số a và ab + 4

nguyên tố cùng nhau.
Giả sử a và ab+4 cùng chia hết cho số tự nhiên d (d≠0).
Suy ra ab chia hết d, do đó : (ab+4)-ab = 4 chia hết cho d
→ d= 1; 2; 4.
Lại có a không chia hết cho 2; 4 vì a là lẻ.
Suy ra d = 1. Tức là a và ab+4 nguyên tố cùng nhau
Bài 14
Chứng tỏ rằng:

(7 n + 10)

và

(5n + 7)

là hai số nguyên tố cùng nhau

(n ∈ N )

Gọi d= ƯCLN(7n+10, 5n+7)
(5n + 7)Md
7(5n + 7)Md
⇒
⇒

(7 n + 10)Md
5(7 n + 10)Md

⇒ ( 5(7n + 10) − 7(5n + 7) ) Md ⇒ 1Md

ƯCLN(7n+10, 5n+7 )=1
Vậy 7n+10 và 5n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Bài 15
Cho A=3+ 32 +33 +……+3100. Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A +3=3n
Ta có :3A= 32 + 33 + …..+ 3100 +3101= A -3 +3 301
2A+3=3n nên 3101 -3+3=3n suy ra 3n =3101 nên n=101
Bài 16

Tìm số tự nhiên n sao cho n + 3 chia hết cho n + 1.
Có n + 3 = n + 1 + 2

.


Để n + 3 chia hết cho n + 1 thì 2 chia hết cho n + 1
⇒ n + 1 ∈ Ư(2) = {1; 2} ⇒ n ∈{0; 1}
Bài 17
E=

Cho

1 1 1
1
+ 2 + 2 + ... +
2
2 3 4
1502

. Chứng minh rằng

1
1

<
2
2 1.2
1
1
<
2
3
2.3
...
1
1

<
2
100 149.150

⇒E<

1
1
1
+
+ ... +
1.2 2.3

149.150

1 1 1
1
1
E < 1 − + + − ... +
−
2 2 3
149 150
1
E < 1−
150

⇒ E <1

Bài 18
Tìm các số tự nhiên x và y biết 2x + 120 = 11y
Nếu số tự nhiên x khác 0 thì 2x luôn là số chẵn.
Suy ra 2x + 120 luôn là số chẵn.
11y luôn là số lẻ với mọi số tự nhiên y.
Do đó x khác 0 không thỏa mãn bài toán.
Vậy x = 0.
Ta có 20 + 120 = 11y
121 = 11y

112 = 11y

E <1


y = 2.
Vậy x = 0; y = 2
Bài 19
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng

( p − 1) ( p + 1) M24

- Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ suy ra p – 1 và p + 1 là hai số chẵn liên
tiếp. Do đó p – 1 và p + 1 có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 nên (p - 1)(p
+ 4) chia hết cho 8 (1)
- Ta có p – 1; p ; p + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tòn tại một số chia hết cho 3 mà p là
số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, do đó p – 1 và p + 1 phải có một số
chia hết cho 3 nên (p -1)(p + 1) chia hết cho 3

(2).

M

- Từ (1) và (2) ta có (p - 1)(p + 1) 24

Bài 20
Cho p là một số nguyên tố. Chứng minh rằng hai số 8p - 1 và 8p + 1 không đồng thời là
số nguyên tố.
- Xét p = 2 ta có 8p – 1 = 8.2 - 1 = 15 (là hợp số) Suy ra điều phải chứng minh
- Xét p = 3 ta có 8p + 1 = 8.3 + 1 = 25 ( là hợp số) Suy ra điều phải chứng minh
- Xét p > 3. Do p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3
suy ra 8p không chia hết cho 3. Mà trong ba số tự nhiên liên tiếp 8p – 1, 8p, 8p + 1 luôn
tồn tại một số chia hết cho 3. Nên trong 2 số 8p – 1 và 8p + 1 luôn có 1 số chia hết cho 3.
Hay 8p – 1 và 8p + 1 không đồng thời là số nguyên tố