BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC

BTTN Hàm số liên tục 1

DẠNG 1
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Phƣơng pháp:
 Tìm giới hạn của hàm số y  f ( x) khi x  x0 và tính f ( x0 )
 Nếu tồn tại lim f ( x) thì ta so sánh lim f ( x) với f ( x0 ) .
x  x0

x  x0

Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
2. lim f ( x)  l  lim f ( x)  lim f ( x)  l .
x  x0

x  x0

x  x0

 f ( x) khi x  x0
3. Hàm số y  
liên tục tại x  x0  lim f ( x)  k .
x  x0
khi x  x0
k
4.

Hàm

 f1 ( x) khi x  x0

f ( x)  
 f 2 ( x) khi x  x0

số

liên

tục

tại

điểm

x  x0

khi

và

chỉ

khi

lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)  f1 ( x0 ) .

x  x0

x  x0

Chú ý:

 f ( x) khi x  x0
liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi
khi x  x0
k

 Hàm số y  

lim f ( x)  k .

x  x0

 f ( x) khi x  x0
liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi
 g ( x) khi x  x0

 Hàm số y  

lim f ( x)  lim g ( x) .

x  x0

x  x0

Câu 1. Cho hàm số f  x  
A.

3.

x2 1

2
và f  2   m  2 với x  2 . Giá trị của m để f  x  liên tục tại x  2 là:
x 1

B.  3 .

C.  3 .

2
Câu 2. Cho hàm số f  x   x  4 . Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f  x  liên tục tại x  2 .

D. 3


BTTN Hàm số liên tục 2

(II) f  x  gián đoạn tại x  2 .
(III) f  x  liên tục trên đoạn  2; 2 .
A. Chỉ  I  và  III  .

B. Chỉ  I  .

C. Chỉ  II  .

D. Chỉ  II  và  III 


x2  1

 3
Câu 3. Cho hàm số f  x    x  x  6

b  3
A.

x  3; x  2
x  3; b 

B.  3 .

3.

 II  f  x  liên tục tại
f  x 
 III  lim
x 1

C.

2 3
.
3

D. 

2 3
.
3

x 1
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
x 1

Câu 4. Cho hàm số f  x  

 I  f  x  gián đoạn tại

. Tìm b để f  x  liên tục tại x  3 .

x  1.
x  1.

1
2

A. Chỉ  I  .

B. Chỉ  I  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D. Chỉ  II  và  III  .

 2x  8  2

Câu 5. Cho hàm số f  x   
x2
0


x  2

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

x  2

f  x  0 .
 I  xlim
2


 II  f  x  liên tục tại

x  2.

 III  f  x  gián đoạn tại

x  2.

A. Chỉ  I  và  III  .

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  .

D. Chỉ  I 

 4  x 2
Câu 6. Cho hàm số f  x   

1

 I  f  x  không xác định tại

x  3.

2 x  2
x2

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:.


BTTN Hàm số liên tục 3

 II  f  x  liên tục tại

x  2.

f  x  2
 III  lim
x2
A. Chỉ  I  .

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D. Cả  I  ;  II  ;  III  đều sai.

 sin 5 x


Câu 7. Cho hàm số f  x    5 x
a  2
A. 1 .

x0

. Tìm a để f  x  liên tục tại x  0.

x0

B. 1 .

C. 2 .

D. 2.

 x  12 , x  1

Câu 8. Cho hàm số f  x    x 2  3 , x  1 . Tìm k để f  x  gián đoạn tại x  1 .
k 2
, x 1


A. k  2 .

B. k  2 .

C. k  2 .

D. k  1 .

 x 2
khi x  4

Câu 9. Cho hàm số f ( x)   x  4
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
1

khi x  4
 4

A. Hàm số liên tục tại x  4
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x  4
C. Hàm số không liên tục tại x  4
D. Tất cả đều sai

 x 2  3x  2
 2 khi x  1

Câu 10. Cho hàm số f ( x)  
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
x 1
3 x 2  x  1
khi x  1

A. Hàm số liên tục tại x  1

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục tại x  1

D. Tất cả đều sai

x

khi x  1
 cos
Câu 11. Cho hàm số 3. f  x   
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
2
 x 1
khi x  1

A. Hàm số liên tục tại tại x  1 và x  1 .
B. Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại điểm x  1 .


BTTN Hàm số liên tục 4

C. Hàm số không liên tục tại tại x  1 và x  1 .
D. Tất cả đều sai

2x  1 1
liên tục tại điểm x  0 .
x( x  1)

Câu 12. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x) 
A. 1

B. 2

Câu 13. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x) 

A. 1

C. 3
3

D. 4

2x  8  2
liên tục tại điểm x  0 .
3x  4  2

B. 2

C.

2
9

D.

1
9

x x2
khi x  1


Câu 14. Cho hàm số f ( x)   x  1
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
2 x  3
khi x  1

A. Hàm số liên tục tại tại tại x0  1

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục tại tại x0  1 .

D. Tất cả đều sai

 x 1 3 x 1
khi x  0

Câu 15. Cho hàm số 3. f ( x)  
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
x
2
khi x  0

A. Hàm số liên tục tại x0  0
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0  0
C. Hàm số không liên tục tại x0  0
D. Tất cả đều sai
 3 x 1
khi x  1

x


1
Câu 16. Cho hàm số f ( x)  
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
1
khi x  1
 3

A. Hàm số liên tục tại x  1

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục tại tại x  1

D. Tất cả đều sai

 x2  x  2
 2 x khi x  2

Câu 17. Cho hàm số f ( x)   x  2
 x2  x  3
khi x  2



BTTN Hàm số liên tục 5

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x0  2

B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm

C. Hàm số không liên tục tại x0  2

D. Tất cả đều sai

 x  2a khi x  0
Câu 18. Tìm a để các hàm số f  x    2
liên tục tại x  0
 x  x  1 khi x  0
A.

1
2

B.

1
4

C. 0

D. 1


4x  1 1
khi x  0
 2
Câu 19. Tìm a để các hàm số f ( x)   ax  (2a  1) x
liên tục tại x  0

3
khi x  0

A.

1
2

B.

1
4

C. 

1
6

D. 1

 3x  1  2
khi x  1

2
x

1
Câu 20. Tìm a để các hàm số f ( x)  
liên tục tại x  1
2

 a( x  2) khi x  1
 x  3
A.

1
2

B.

1
4

C.

3
4

D. 1


BTTN Hàm số liên tục 6

DẠNG 2
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
Phƣơng pháp:
+ Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
+ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các
điểm chia của các khoảng đó.
Câu 21. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I  f  x 
 II  f  x  

1

liên tục trên

x2 1

.

sin x
có giới hạn khi x  0.
x

9  x 2 liên tục trên đoạn  3;3 .

 III  f  x  

A. Chỉ  I  và  II  .

B. Chỉ  II  và  III  .

C. Chỉ  II  .

D. Chỉ  III  .

Câu 22. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I  . f  x 

x 1
liên tục với mọi x  1 .
x 1

 II  . f  x   sin x
 III  . f  x  

x
x

liên tục trên

.

liên tục tại x  1 .

A. Chỉ  I  đúng.

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D. Chỉ  II  và  III  .

 x2  3
,x 3

Câu 23. Cho hàm số f  x    x  3
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

2 3
,x 3


 I  . f  x  liên tục tại

x 3.

 II  . f  x  gián đoạn tại

x 3.


BTTN Hàm số liên tục 7

 III  . f  x  liên tục trên

.

A. Chỉ  I  và  II  .

B. Chỉ  II  và  III  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng.

Câu 24. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I  . f  x   x5 – x2  1 liên tục trên

 II  . f  x  
 III  . f  x  

1
x2 1

.

liên tục trên khoảng  –1;1 .

x  2 liên tục trên đoạn  2;   .

A. Chỉ  I  đúng.

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  II  và  III  .

D. Chỉ  I  và  III  .

3  9  x
, 0 x9

x

,x0
Câu 25. Cho hàm số f  x   m
. Tìm m để f  x  liên tục trên  0;   là.
3


,x9
 x
A.

1
.
3

B.

1
.
2

C.

1
.
6

D. 1 .

x2 1
Câu 26. Cho hàm số f ( x)  2
.Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng nào sau đây?
x  5x  6

A.  3; 2  .

B.  2;   .

C.  ;3 .

D.  2;3 .

 x2  5x  6
khi x  2

Câu 27. Cho hàm số f  x    2 x3  16
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
 2  x khi x  2

A. Hàm số liên tục trên

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục trên  2 :  

D. Hàm số gián đoạn tại điểm x  2 .

 3 x 1
khi x  1

 x 1
Câu 28. Cho hàm số f ( x)  
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
 3 1 x  2
khi x  1
 x  2

BTTN Hàm số liên tục 8

A. Hàm số liên tục trên

B. Hàm số không liên tục trên

C. Hàm số không liên tục trên 1:  

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .


 tan x
, x  0  x   k , k 

Câu 29. Cho hàm số f  x    x
. Hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng
2
0
,x0
nào sau đây?


A.  0;  .



B.  ;  .

2



4

a 2 x 2
, x  2, a 
Câu 30. Cho hàm số f  x   
2
 2  a  x , x  2
B. 1 và –1 .

A. 1 và 2 .

 
C.   ;  .


4 4

D.  ;   .

. Giá trị của a để f  x  liên tục trên
C. –1 và 2 .

là:

D. 1 và –2 .

 x2

, x 1
 3
 2x
, 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Câu 31. Cho hàm số f  x   
1

x

 x sin x , x  0


A. f  x  liên tục trên

.

B. f  x  liên tục trên

\ 0 .

C. f  x  liên tục trên

\ 1 .

D. f  x  liên tục trên

\ 0;1 .

Câu 32. Cho hàm số f ( x) 

x2
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
x  x6
2

A. Hàm số liên tục trên
B. TXĐ : D 

\ 3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x  D và hàm số gián đoạn tại x  2, x  3

C. Hàm số liên tục tại x  2, x  3
D. Tất cả đều sai
2
Câu 33. Cho hàm số f ( x)  3 x  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên

1   1


;  
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x   ; 

3  3


1   1


  ;  

C. TXĐ : D   ;

2  2




BTTN Hàm số liên tục 9

 1 1 
;
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x   
.
3 3

Câu 34. Cho hàm số f ( x)  2sin x  3 tan 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A. Hàm số liên tục trên
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. TXĐ : D 




\   k ,k  
2
2


D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 



 k ,k 
4
2

 x 2  3x  2
khi x  1

x 1
Câu 35. Cho hàm số f  x   
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

a khi x  1

A. Hàm số liên tục trên

B. Hàm số không liên tục trên

C. Hàm số không liên tục trên 1:  

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .

 2x 1 1
khi x  0

Câu 36. Cho hàm số f  x   
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
x


0 khi x  0

A. Hàm số liên tục trên

B. Hàm số không liên tục trên

C. Hàm số không liên tục trên  0;  

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  0 .

2 x  1 khi x  0

Câu 37. Cho hàm số f ( x)  ( x  1)3 khi 0  x  2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

 x  1 khi x  2
A. Hàm số liên tục trên

B. Hàm số không liên tục trên

C. Hàm số không liên tục trên  2;  

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  2 .

2

2 x  x  1 khi x  1
Câu 38. Cho hàm số f ( x)  
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
3
x


1
khi
x

1



A. Hàm số liên tục trên

B. Hàm số không liên tục trên

C. Hàm số không liên tục trên  2;  

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .


BTTN Hàm số liên tục 10



 sin x khi x  2
Câu 39. Xác định a, b để các hàm số f  x   
liên tục trên
ax  b khi x  

2
2


a 
A. 


b

1


2

a 
B. 


b

2


1

a 
C. 


b

0


2

a 
D. 


b

0


 x3  3x 2  2 x
khi x( x  2)  0
 x( x  2)

khi x  2
Câu 40. Xác định a, b để các hàm số f ( x)  a
liên tục trên
b
khi x  0



 a  10
A. 
b   1

 a  11
B. 

b   1

a  1
C. 
b   1

 a  12
D. 
b   1

 3 x  2  2x 1
khi x  1

Câu 41. Tìm m để các hàm số f ( x)  
liên tục trên
x 1
3m  2
khi x  1

A. m  1

B. m 

4
3

C. m  2

D. m  0

 x 1 1
khi x  0

Câu 42. Tìm m để các hàm số f ( x)  
liên tục trên
x
2 x 2  3m  1 khi x  0

A. m  1

B. m  

1
6

C. m  2

D. m  0

 2x  4  3
khi x  2

Câu 43. Tìm m để các hàm số f ( x)  
liên tục trên
x 1
khi x  2
 2
 x  2mx  3m  2
A. m  1

B. m  

1
6

C. m  5

D. m  0


BTTN Hàm số liên tục 11

DẠNG 3
ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH
Phƣơng pháp :
 Để chứng minh phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số

y  f ( x) liên tục trên D và có hai số a, b  D sao cho f (a). f (b)  0 .
 Để chứng minh phương trình f ( x)  0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f ( x) liên tục

trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai 1 ) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho f (ai ). f (ai 1 )  0 .
Câu 44. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có nghiệm.
II. f  x  không liên tục trên  a; b và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 vô nghiệm.
A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I và II đúng.

D. Cả I và II sai.

Câu 45. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I  f  x

liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho

f c  0 .

 II  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và trên b; c 

nhưng không liên tục  a; c 

A. Chỉ  I  .

B. Chỉ  II  .

C. Cả  I  và  II  đúng.

D. Cả  I  và  II  sai.

3
2
Câu 46. Cho hàm số f  x   x –1000 x  0,01 . Phương trình f  x   0 có nghiệm thuộc khoảng nào

trong các khoảng sau đây?
I.  1;0  . II.  0;1 . III. 1; 2  .
A. Chỉ I.

B. Chỉ I và II.

C. Chỉ II.

D. Chỉ III.


BTTN Hàm số liên tục 12

DẠNG 1
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Phƣơng pháp:
 Tìm giới hạn của hàm số y  f ( x) khi x  x0 và tính f ( x0 )
 Nếu tồn tại lim f ( x) thì ta so sánh lim f ( x) với f ( x0 ) .
x  x0

x  x0

Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
2. lim f ( x)  l  lim f ( x)  lim f ( x)  l .
x  x0

x  x0

x  x0

 f ( x) khi x  x0
3. Hàm số y  
liên tục tại x  x0  lim f ( x)  k .

x  x0
k
khi
x

x
0

4.

Hàm

 f1 ( x) khi x  x0
f ( x)  
 f 2 ( x) khi x  x0

số

liên

tục

tại

điểm

x  x0

khi

và

chỉ

khi

lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)  f1 ( x0 ) .

x  x0

x  x0

Chú ý:

 f ( x) khi x  x0
liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi
khi x  x0
k

 Hàm số y  

lim f ( x)  k .

x  x0

 f ( x) khi x  x0
liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi
 g ( x) khi x  x0

 Hàm số y  

lim f ( x)  lim g ( x) .

x  x0

Câu 1.

x  x0

x2 1
2
Cho hàm số f  x  
và f  2   m  2 với x  2 . Giá trị của m để f  x  liên tục tại x  2
x 1

là:
A.

3.

Hƣớng dẫn giải:
Chọn A

B.  3 .

C.  3 .

D. 3

BTTN Hàm số liên tục 13

Hàm số liên tục tại x  2  lim f  x   f  2  .
x 2

x2 1
Ta có lim
 lim  x  1  1 .
x 2 x  1
x 2

m  3
Vậy m2  2  1  
.
m


3


Câu 2.

2
Cho hàm số f  x   x  4 . Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f  x  liên tục tại x  2 .
(II) f  x  gián đoạn tại x  2 .
(III) f  x  liên tục trên đoạn  2; 2 .
A. Chỉ  I  và  III  .

B. Chỉ  I  .

C. Chỉ  II  .

D. Chỉ  II  và  III 

Hƣớng dẫn giải:
ChọnB.
Ta có: D   ; 2   2;   .
lim f  x   lim x 2  4  0 .
x 2

x 2

f  2  0 .
Vậy hàm số liên tục tại x  2 .

Câu 3.


x2  1
 3
Cho hàm số f  x    x  x  6

b  3
A.

3.

x  3; x  2

x  3; b 

B.  3 .

Hƣớng dẫn giải:
ChọnD.
Hàm số liên tục tại x  3  lim f  x   f  3 .
x 3

lim
x 3

x2  1
1

.
3
x x6
3

f  3  b  3 .

. Tìm b để f  x  liên tục tại x  3 .

C.

2 3
.
3

D. 

2 3
.
3


BTTN Hàm số liên tục 14

Vậy: b  3 

Câu 4.

1
1
2
b 3

.
3
3
3

Cho hàm số f  x  

x 1
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
x 1

 I  f  x  gián đoạn tại

 II  f  x  liên tục tại
f  x 
 III  lim
x 1

x  1.
x  1.

1
2

A. Chỉ  I  .

B. Chỉ  I  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D. Chỉ  II  và  III  .

Hƣớng dẫn giải:
ChọnC.

D
lim
x 1

\ 1
x 1
1
1

 lim

x  1 x 1 x  1 2

Hàm số không xác định tại x  1. Nên hàm số gián đoạn tại x  1. .

Câu 5.

 2x  8  2

Cho hàm số f  x   
x2
0


x  2

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

x  2

f  x  0 .
 I  xlim
2


 II  f  x  liên tục tại

x  2.

 III  f  x  gián đoạn tại

x  2.

A. Chỉ  I  và  III  .

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  .

D. Chỉ  I 

Hƣớng dẫn giải:
ChọnB.

lim

x 2

2x  8  2
 lim
x 2
x2



2x  8  4
2x  8  2



x2

 lim
x 2



2 x2
2x  8  2

Vậy lim f  x   f  2  nên hàm số liên tục tại x  2. .
x 2



 0.


BTTN Hàm số liên tục 15

Câu 6.

 4  x 2
Cho hàm số f  x   
1

 I  f  x  không xác định tại
 II  f  x  liên tục tại

2 x  2
x2

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:.

x  3.

x  2.

f  x  2
 III  lim
x2
A. Chỉ  I  .

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D. Cả  I  ;  II  ;  III  đều sai.

Hƣớng dẫn giải:
ChọnB.

D   2; 2
f  x  không xác định tại x  3.
lim 4  x 2  0 ; f  2   0 . Vậy hàm số liên tục tại x  2.

x 2

lim f  x   lim 4  x 2  0 ; lim f  x   1 . Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi x  2. .

x 2

Câu 7.

x 2

x 2

 sin 5 x

Cho hàm số f  x    5 x
a  2

x0
x0

B. 1 .

A. 1 .

. Tìm a để f  x  liên tục tại x  0.
C. 2 .

D. 2.

Hƣớng dẫn giải:
ChọnB.
Ta có: lim
x 0

sin 5 x
 1 ; f  0  a  2 .
5x

Vậy để hàm số liên tục tại x  0 thì a  2  1  a  1 .

Câu 8.

 x  12 , x  1

Cho hàm số f  x    x 2  3 , x  1 . Tìm k để f  x  gián đoạn tại x  1 .
k 2
, x 1


A. k  2 .

B. k  2 .

Hƣớng dẫn giải:
Chọn A
TXĐ: D 

.

C. k  2 .

D. k  1 .

BTTN Hàm số liên tục 16

Với x  1 ta có f 1  k 2
Với x  1 ta có

lim f  x   lim  x 2  3  4 ; lim f  x   lim  x  1  4 suy ra lim f  x   4 .
2

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

2
Vậy để hàm số gián đoạn tại x  1 khi lim f  x   k  k 2  4  k  2 .
x 1

Câu 9.

 x 2
khi x  4

Cho hàm số f ( x)   x  4
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

1

khi x  4
 4

A. Hàm số liên tục tại x  4
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x  4
C. Hàm số không liên tục tại x  4
D. Tất cả đều sai
Hƣớng dẫn giải:
ChọnC.
Ta có : lim f ( x )  lim
x 4

x4

x 2
1
1
 lim
  f (4)
x  4 x4 x  2 4

Hàm số liên tục tại điểm x  4 .

 x 2  3x  2
 2 khi x  1

Câu 10. Cho hàm số f ( x)  
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

x 1
3 x 2  x  1
khi x  1

A. Hàm số liên tục tại x  1

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục tại x  1

D. Tất cả đều sai

Hƣớng dẫn giải:
ChọnC.

 ( x  1)( x  2) 
lim f ( x)  lim 
 2  2
x 1
x 1
x 1


lim f ( x)  lim  3 x 2  x  1  3  lim f ( x)

x 1

x 1

Hàm số không liên tục tại x  1 .

x 1


BTTN Hàm số liên tục 17

x

khi x  1
 cos
Câu 11. Cho hàm số 3. f  x   
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
2
 x 1
khi x  1

A. Hàm số liên tục tại tại x  1 và x  1 .
B. Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại điểm x  1 .
C. Hàm số không liên tục tại tại x  1 và x  1 .
D. Tất cả đều sai
Hƣớng dẫn giải:
ChọnB.
Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại điểm x  1 .

2x  1 1
liên tục tại điểm x  0 .
x( x  1)

Câu 12. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x) 
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hƣớng dẫn giải:
ChọnA.

2x 1 1
2x
 lim
1
x 0
x( x  1)
x( x  1) 2 x  1  1

Ta có : lim f ( x)  lim
x 0



x 0



Vậy ta chọn f (0)  1
Câu 13. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x) 

A. 1

3

2x  8  2
liên tục tại điểm x  0 .
3x  4  2

B. 2

C.

2
9

Hƣớng dẫn giải:
ChọnC.
Ta có : lim f ( x)  lim
x 0

x 0

Vậy ta chọn f (0) 

3

2
.
9



2
3



3x  4  2



(2 x  8)2  2. 3 2 x  8  4





2
9

D.

1
9


BTTN Hàm số liên tục 18

x x2
khi x  1


Câu 14. Cho hàm số f ( x)   x  1
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
2 x  3
khi x  1

A. Hàm số liên tục tại tại tại x0  1

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục tại tại x0  1 .

D. Tất cả đều sai

Hƣớng dẫn giải:
ChọnC.
Ta có: f (1)  1 và lim f ( x)  lim  2 x  3  1
x 1

x 1

x x2
x2  x  2
lim f ( x)  lim
 lim
x 1
x 1
x 1 ( x  1)( x  x  2)
x 1
lim

x 1

x2
3

x x2 2

Suy ra lim f ( x)  lim f ( x)
x 1

x 1

Vậy hàm số không liên tục tại x0  1 .

 x 1 3 x 1
khi x  0

Câu 15. Cho hàm số 3. f ( x)  
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
x
2
khi x  0

A. Hàm số liên tục tại x0  0
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0  0
C. Hàm số không liên tục tại x0  0
D. Tất cả đều sai
Hƣớng dẫn giải:
ChọnC.

Ta có: f (0)  2

lim f ( x)  lim
x 0

x 0

 1  3 x 1 
x  1  3 x 1
 lim 1 

x 0
x
x



1


 lim 1  3
  2  f (0)
x 0
 1 x 1  x 1 


BTTN Hàm số liên tục 19

Vậy hàm số liên tục tại x  0 .
 3 x 1

khi x  1

x

1
Câu 16. Cho hàm số f ( x)  
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
1
khi x  1
 3

A. Hàm số liên tục tại x  1

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục tại tại x  1

D. Tất cả đều sai

Hƣớng dẫn giải:
ChọnC.
Ta có : lim f ( x)  lim
x 1

x 4

3

x 1
1

1
 lim
  f (1)
3
2
x  1 x 4 x  3 x  1 3

Hàm số liên tục tại điểm x  1 .

 x2  x  2
 2 x khi x  2

Câu 17. Cho hàm số f ( x)   x  2
 x2  x  3
khi x  2

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x0  2

B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm

C. Hàm số không liên tục tại x0  2

D. Tất cả đều sai

Hƣớng dẫn giải:
ChọnC.

 ( x  1)( x  2)


 2x  4
Ta có : lim f ( x)  lim 
x2
x 2
x2


lim f ( x)  lim  x 2  x  3   5  lim f ( x)

x  2

x2

x2

Hàm số không liên tục tại x0  2 .

 x  2a khi x  0
Câu 18. Tìm a để các hàm số f  x    2
liên tục tại x  0
 x  x  1 khi x  0
A.

1
2

Hƣớng dẫn giải:

B.

1
4

C. 0

D. 1


BTTN Hàm số liên tục 20

ChọnA.
2
Ta có : lim f ( x)  lim ( x  x  1)  1
x 0

x 0

lim f ( x)  lim(
x  2a)  2a


x 0

x 0

Suy ra hàm số liên tục tại x  0  a 

1
.
2


4x  1 1
khi x  0
 2
Câu 19. Tìm a để các hàm số f ( x)   ax  (2a  1) x
liên tục tại x  0
3
khi x  0


1
2

A.

B.

1
4

C. 

1
6

D. 1

Hƣớng dẫn giải:
ChọnC.

Ta có : lim f ( x)  lim
x 0

 lim
x 0

x 0

4x 1 1
x  ax  2a  1

4

 ax  2a  1 



4x  1  1

Hàm số liên tục tại x  0 



2
2a  1

2
1
3 a  .
2a  1

6

 3x  1  2
khi x  1

2
x

1
Câu 20. Tìm a để các hàm số f ( x)  
liên tục tại x  1
2
 a( x  2) khi x  1
 x  3
A.

1
2

B.

1
4

Hƣớng dẫn giải:
ChọnC.
Ta có : lim f ( x)  lim




x 1

x 1

lim f ( x)  lim

x 1

x 1

3x  1  2 3

x2 1
8

a( x 2  2) a

x3
2

C.

3
4

D. 1


BTTN Hàm số liên tục 21

Suy ra hàm số liên tục tại x  1 

a 3
3
 a .
2 8
4


BTTN Hàm số liên tục 22

DẠNG 2
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
Phƣơng pháp:
+ Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
+ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các
điểm chia của các khoảng đó.
Câu 21. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I  f  x 
 II  f  x  

1

liên tục trên

x2 1

.

sin x
có giới hạn khi x  0.
x

9  x 2 liên tục trên đoạn  3;3 .

 III  f  x  

A. Chỉ  I  và  II  .

B. Chỉ  II  và  III  .

C. Chỉ  II  .

D. Chỉ  III  .

Hƣớng dẫn giải:
ChọnB.
Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.
2
Hàm số: f  x   9  x liên tục trên khoảng  3;3 . Liên tục phải tại 3 và liên tục trái tại 3 .
2
Nên f  x   9  x liên tục trên đoạn  3;3 .

Câu 22. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I  . f  x 

x 1

liên tục với mọi x  1 .
x 1

 II  . f  x   sin x
 III  . f  x  

x
x

liên tục trên

.

liên tục tại x  1 .

A. Chỉ  I  đúng.

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D. Chỉ  II  và  III  .

Hƣớng dẫn giải:


BTTN Hàm số liên tục 23

Chọn A
Ta có  II  đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

x
, khi x  0
x  x
Ta có  III  đúng vì f  x    
.
x  x
 , khi x  0
 x
Khi đó lim f  x   lim f  x   f 1  1.
x 1

x 1

Vậy hàm số y  f  x  

x
x

liên tục tại x  1 .

 x2  3
,x 3

Câu 23. Cho hàm số f  x    x  3
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
2 3
,x 3


 I  . f  x  liên tục tại

x 3.

 II  . f  x  gián đoạn tại
 III  . f  x  liên tục trên

x 3.
.

A. Chỉ  I  và  II  .

B. Chỉ  II  và  III  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng.

Hƣớng dẫn giải:
Chọn A
Với x  3 ta có hàm số f  x  

Với x  3 ta có f



 

x2  3
liên tục trên khoảng ; 3 và

x 3

 

x2  3
2 3 f
3 x 3

3  2 3 và lim f  x   lim
x 3

x

tại x  3 ,  2 
Từ 1 và  2  ta có hàm số liên tục trên

.

Câu 24. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I  . f  x   x5 – x2  1 liên tục trên

.



3;  , 1 .

 3  nên hàm số liên tục

BTTN Hàm số liên tục 24

 II  . f  x  
 III  . f  x  

1
x2 1

liên tục trên khoảng  –1;1 .

x  2 liên tục trên đoạn  2;   .

A. Chỉ  I  đúng.

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  II  và  III  .

D. Chỉ  I  và  III  .

Hƣớng dẫn giải:
Chọn A
Ta có  I  đúng vì f  x   x5  x 2  1 là hàm đa thức nên liên tục trên

.

Ta có  III  đúng vì f  x   x  2 liên tục trên  2;   và lim f  x   f  2   0 nên hàm số
x 2

liên tục trên  2;   .

3  9  x
, 0 x9

x

,x0
Câu 25. Cho hàm số f  x   m
. Tìm m để f  x  liên tục trên  0;   là.
3

,x9
 x
A.

1
.
3

B.

1
.
2

C.

1
.

6

D. 1 .

Hƣớng dẫn giải:
Chọn A
TXĐ: D   0;   .
Với x  0 ta có f  0   m .
Ta có lim f  x   lim
x 0



x 0



1
1
3 9 x
 .
 lim
x 0 3  9  x
6
x

Vậy để hàm số liên tục trên  0;   khi lim f  x   m  m 
x 0

Câu 26. Cho hàm số f ( x) 

A.  3; 2  .

1
.
6

x2 1
.Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng nào sau đây?
x 2  5x  6

B.  2;   .

C.  ;3 .

D.  2;3 .


BTTN Hàm số liên tục 25

Hƣớng dẫn giải:
Chọn A

 x  3
2
Hàm số có nghĩa khi x  5 x  6  0  
.
 x  2
Vậy theo định lí ta có hàm số f  x  

x2  1

liên tục trên khoảng  ; 3 ;  3; 2  và
x2  5x  6

 2;   .
 x2  5x  6
khi x  2

Câu 27. Cho hàm số f  x    2 x3  16
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
 2  x khi x  2

A. Hàm số liên tục trên

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục trên  2 :  

D. Hàm số gián đoạn tại điểm x  2 .

Hƣớng dẫn giải:
ChọnD.
TXĐ : D 

\ 2

x2  5x  6
 Với x  2  f ( x) 
 hàm số liên tục
2 x3  16

 Với x  2  f ( x)  2  x  hàm số liên tục

 Tại x  2 ta có : f (2)  0
lim f ( x)  lim  2  x   0 ;

x  2

x 2

lim f ( x)  lim

x 2

x 2

( x  2)( x  3)
1

 lim f ( x)
2
2( x  2)( x  2 x  4)
24 x2

Hàm số không liên tục tại x  2 .

 3 x 1
khi x  1

 x 1
Câu 28. Cho hàm số f ( x)  

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
3
1

x

2

khi x  1
 x  2
A. Hàm số liên tục trên

B. Hàm số không liên tục trên

C. Hàm số không liên tục trên 1:  

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .