Phương pháp mới xác định hệ số dẫn nhiệt và hệ số dẫn nhiệt độ các vật liệu ẩm

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557)

PHƯƠNG PHÁP MỚI XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN NHIỆT
VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT ĐỘ CÁC VẬT LIỆU ẨM

A NEW METHOD TO DETERMINE THERMAL CONDUCTIVITY
AND THERMAL DIFFUSIVITY COEFFICIENTS
OF WET MATERIALS
Trần Văn Phú1, Nguyễn Hay2, Lê Quang Huy3,
1

Trường Đại học Thành Tây, 2 Trường Đại học Nông Lâm TP Hồ Chí Minh,
3
Trường Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng

Tóm tắt:

Trên cơ sở nghiệm của bài toán dẫn nhiệt và khuếch tán ẩm với điều kiên
loại 2 đối xứng, các tác giả đề xuất một phương pháp mới xác định đồng
thời hệ số dẫn nhiệt và hệ số dẫn nhiệt độ của vật liệu ẩm.

Abstract:

Based on the solution of heat conduction and moisture diffusion problem
under symmetric boundary conditions of the second kind, the authors
propose a new method to simultaneously determine thermal conductivity
and thermal diffusivity coefficients of wet materials.

1. MỞ ĐẦU

Xác định các thông số nhiệt vật lý của

vật liệu nói chung như nhiệt dung
riêng, hệ số dẫn nhiệt... có 2 nhóm
phương pháp: phương pháp ổn định và
phương pháp không ổn định [5,6].
Trong kỹ thuật sấy, do dẫn nhiệt và
khuếch tán ẩm xảy ra trong quá trình
không ổn định ban đầu nên các thông
số nhiệt vật lý nói chung và hệ số dẫn
nhiệt cũng như hệ số dẫn nhiệt độ nói
riêng của các vật liệu này chỉ được xác
định theo phương pháp không ổn định

52

[6]. Trong bài báo này chúng tôi đề
xuất một phương pháp mới cho phép
đồng thời xác định cả hai hệ số: hệ số
dẫn nhiệt và hệ số dẫn nhiệt độ của vật
liệu ẩm ở một nhiệt độ và độ ẩm trung
bình ban đầu nào đó. Trong các ấn
phẩm tiếp theo chúng tôi sẽ đăng tải
ứng dụng của phương pháp này để xác
định hệ số dẫn nhiệt độ và hệ số dẫn
nhiệt độ của phấn hoa và một số vật
liệu khác.
Cở sở toán học của phương pháp do
chúng tôi kiến nghị là hai nghiệm giải

SỐ 7 - 2014

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557)

tích gần đúng của bài toán dẫn nhiệt
và khuếch tán ẩm trong một tấm phẳng
vơi điều kiện biên loại 2 đối xứng khi
Fourier đủ bé. Vì vậy, trước khi xây
dựng phương pháp mới xác định hai hệ
số này chúng ta xem xét mô hình vật lý
và mô hình toán học của bài toán
sau đây.

3. MÔ HÌNH TOÁN HỌC

Mô hình toán học xác định trường nhiệt
độ và trường thế dẫn ẩm không thứ
nguyên trong nửa tấm phẳng có dạng
[3,8]:
1
 2 1
 22
 a11

a
12
Fo
X 2
X 2

(1)

 2
 2 1
 22
 a 21

a
22
Fo
X 2
X 2

(2)

1 ( X ,0)   2 ( X ,0)  0

(3)

2. MÔ HÌNH VẬT LÝ

Giả sử có một tấm phẳng vật liệu ẩm
chiều dày 2R với độ ẩm và nhiệt độ ban
đầu đã biết tương ứng bằng w0 và t0.
Khi  > 0 trên hai mặt của tấm phẳng
duy trì một dòng nhiệt không đổi
J1 W/m2. Do tốc độ khuếch tán ẩm bé
hơn rất nhiều so với tốc độ dẫn nhiệt
[3,6] nên khi Fourier đủ bé chúng ta có
thể xem hệ số dẫn nhiệt và hệ số dẫn
nhiệt độ được xác định trong thời thời

gian đó là giá trị của hai hệ số nói trên
ứng với độ ẩm ban đầu w0. Để xác định
trường nhiệt độ cũng như nhiệt độ
trung bình trong thời gian đủ bé ta đặt
trong nửa tấm phẳng n cặp nhiệt cách
đều nhau. Khi đó bằng thực nghiệm
chúng ta dễ dàng đo được nhiệt độ t1,
t2,…, tn. Trong đó nhiệt độ t1 là nhiệt
độ trên bề mặt tiếp xúc với nguồn nhiệt
phẳng J1 và nhiệt độ tn là nhiệt độ ở
tâm của tấm phẳng. Giả sử khi thời
gian  =  n nhiệt độ tn bắt đầu tăng lên,
nói cách khác với  =  n thì chiều dày
thấm nhiệt [1,6] bằng một nửa chiều
dày tấm phẳng R. Từ mô hình thực
nghiệm này chúng ta dễ dàng xác định
được nhiệt độ t1 và nhiệt độ trung bình
ttb ở thời điểm  =  n .

SỐ 7 - 2014





1 (1, Fo)
 Ki1  const
X

(4)

 2 (1, Fo)
 Ki2  PnKi1  const (5)
X
1 (0, Fo)  2 (0, Fo)

0
X
X

(6)

Trong (1) ÷ (6):

T ( x, )  T0
T0
không thứ nguyên;
1 ( X , Fo) 

là nhiệt độ

 2 ( X , Fo) 

 ( x , )   0
là thế dẫn ẩm
0

không thứ nguyên;
x
là tọa độ không gian và

R
a
Fo  2 là thời gian không thứ
R
nguyên;
X 

J1R
là tiêu chuẩn Kirpichev của
T0
dòng nhiệt;
Ki1 

53


TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557)

Ki2 

J2R

 m 0

là tiêu chuẩn Kirpichev

của dòng ẩm.

Trở lại mô hình toán học (1) ÷ (6), nếu
đặt vecter thế ( X , Fo ) và bi vecter

dòng Ki(Fo) tương ứng bằng:

a11  1  LuKoPn , a12   LuKo ,
a 21   LuPn , a 22  Lu

( X , Fo)  (1 ( X , Fo), 2 ( X , Fo)) (11)

Trên đây chúng ta đã sử dụng các tiêu
chuẩn đồng dạng sau: Lu - tiêu chuẩn
Luikov,  - tiêu chuẩn biến pha,
Ko - tiêu chuẩn Kochovich và Pn - tiêu
chuẩn Pasnov.

Thì theo [6,8] trong đại số Jordan riêng
hệ phương trình (1)  ( 2) với các điều
kiện đơn trị (3)  (6) được viết lại dưới
dạng vecter ma trận sau:

Trong mô hình toán học (1) ÷ (6),
chúng ta đã tính đến ảnh hưởng qua lại
giữa quá trình dẫn nhiệt và khuếch tán
ẩm trong lòng vật liệu thể hiện bởi hai
hệ số chéo a12 và a21. Ảnh hưởng của
dẫn nhiệt đến quá trình khuếch tán ẩm
trên bề mặt được thể hiện bởi tiêu
chuẩn Pasnov Pn. Ngược lại, nếu bỏ
qua ảnh hưởng qua lại giữa dẫn nhiệt
và khuếch tán ẩm hay các hệ số chéo
a12, a21 và tiêu chuẩn Pn bằng nhau và
bằng không thì từ (1) ÷ (6) chúng ta sẽ

có hai mô hình toán học của hai hiện
tượng dẫn nhiệt và khuếch tán ẩm riêng
rẽ nhau với điều kiện biên loại 2.
Chẳng hạn khi đó mô hình toán học của
bài toán dẫn nhiệt thuần túy với điều
kiện biên loại 2 có dạng:

( X , Fo)
 2 ( X , Fo)
A
Fo
X 2

(13)

 ( X ,0 )  0

(14)

1  2 1

Fo X 2

(7)

1 ( X ,0)  0

(8)



1 (1, Fo)
 Ki1  const
X

1 (0, Fo)
0
X

54

(9)
(10)

Ki  ( Ki1 , PnKi1  Ki2 )



(1, Fo)
 Ki
X

(0, Fo)
0
X

(12)

(15)
(16)

Trong phương trình (13) A là ma trận
vuông với các hệ số aij cho trong hệ
(1) ÷ (2) với i, j = 1,2. Đến đây chúng
ta có thể rút ra mấy nhận xét sau đây:
Trước hết chúng ta thấy rằng phương
trình dưới dạng vecter ma trận (13) với
điều kiện đơn trị (14)  (16) có dạng
dẫn nhiệt với điều kiện biên loại 2 đối
xứng. Về hình thức hệ phương trình
(13) với các điều kiện đơn trị
(14)  (16) hoàn toàn tương tự như
phương trình (7) với điều kiện đơn trị
(8)  (10) . Do đó, nghiệm chính xác
cũng như gần đúng dưới dạng vecter
ma trận của bài toán (13)  (16) hoàn
toàn có thể thu được nhờ phương pháp
biến đổi tích phân, chẳng hạn biến đổi
tích phân Laplace [3,4,8] như bài toán
dẫn nhiệt thuần túy (7)  (10) . Tất

SỐ 7 - 2014


TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557)

nhiên, các nghiệm này chứa hàm ma
trân vuông A. Khi đó nhờ định lý
Sylvester chúng ta có thể chuyển
nghiệm dưới dạng vecter ma trận về

dạng giải tích thông thường [6,8].
Hơn nữa, phân bố nhiệt độ
1 ( X , Fo) và phân bố thế dẫn ẩm
 2 ( X , Fo) có dáng điệu hoàn toàn
như nhau nhưng chúng khác nhau một
hệ số nào đó. Sự tương tự này không
chỉ đối với bài toán truyền nhiệt truyền
chất với điều kiện biên loại 2 mà chúng
tôi [6,7,8] cũng đã chứng minh sự
tương tự này cho bài toán trao đổi nhiệt
ẩm với điều kiện biên loại 3. Chính sự
tương tự này giữa phân bố nhiệt độ
1 ( X , Fo) và phân bố thế dẫn ẩm
 2 ( X , Fo) trong bài toán truyền nhiệt
truyền chất với điều kiện biên loại 3 mà
từ năm 2007 chúng tôi [8] đã đề xuất
một phương pháp mới xác định thời
gian sấy.

đến ảnh hưởng qua lại giữa dẫn nhiệt
và khuếch tán ẩm hoặc không tính đến
ảnh hưởng đó thì nghiệm của bài toán
dẫn nhiệt với điều kiện biên loại 2 đối
xứng đóng một vai trò quan trọng trong
việc xác định các đặc trưng nhiệt vật lý.
Vì vậy dưới đây chúng ta thảo luận
nghiệm của bài toán này.
4. NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
DẪN NHIỆT THUẦN TÚY VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 2 ĐỐI

XỨNG TRONG TẤM PHẲNG

Bằng phương pháp đơn giản nghiệm
ảnh trong biến đổi tích phân Laplace
trong [6] chúng tôi đã giải bài toán
(7)  (10) với điều kiện Fo đủ bé.
Nghiệm giải tích gần đúng với điều
kiện đơn trị nói trên của bài toán này có
dạng:

( X , Fo)  KiFo(1  X ), Fo

(17)

Ở đây:

Trở lại bài toán truyền nhiệt truyền chất
của vật liệu ẩm với điều kiện biên loại
2 trên đây chúng ta thấy rằng, khi tính
 1
(1  X ), Fo   
 Fo


(1  X ) 2
(1  X ) 2  
exp


exp




4 Fo
4 Fo  


(18)

Mặt khác, theo [4] nghiệm giải tích chính xác của bài toán (7)  (10) bằng:


(2n  1)  X
(2n  1)  X 
( X , Fo)  2 Ki Fo  ierfc
 ierfc

2 Fo
2 Fo 
n 1 

(19)

Cũng theo [4] khi Fo đủ bé, cụ thể khi Fo  0.3 chuỗi trong nghiệm (19) có thể chỉ
lấy số hạng thứ nhất với n = 1. Khi đó, nghiệm (19) gần đúng bằng:

1 X
1 X 
( X , Fo)  2 Ki Fo ierfc
 ierfc


2 Fo
2 Fo 

SỐ 7 - 2014

(20)

55


TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557)

Trong nghiệm (19) và (20) hàm đặc
biệt ierfc bằng:


ierfcx =  erfcd 
x



2x



1



exp( x 2 )



 exp(

2

)d

(21)

x

Hàm đặc biệt ierfcx với x = 0  2 cho
trong [4].
Do tính chất đặc biệt của các hàm
 ( x, Fo) và ierfcx sẽ thảo luận dưới
đây chúng ta sẽ sử dụng nghiệm (17) để
tính nhiệt độ trung bình tích phân và
nghiệm (20) để xác định nhiệt độ tại bề
mặt của tấm phẳng.

1 (1, Fo) 

5.1. Nhiệt độ trên bề mặt vật
liệu (X =1) tại thời điểm

 =n

Thay X = 1 vào nghiệm (20) ta được:


1
1 (1, Fo)  2 Ki1 Fo ierfc
 ierfc0
Fo



(22)
Theo [4] khi Fo đủ bé, chẳng hạn khi
Fo = 0,5 thì ierfc(1/0,5) = ierfc2 =
1
0,0010. Trong khi đó ierfc0 
=



0,5642. Nói cách khác khi Fo đủ bé ta
1
luôn có ierfc 0 ierfc
. Do đó,
Fo
nhiệt độ trên bề mặt vật liệu (X = 1)
gần đúng bằng:

56



Ki1 Fo

(23)

5.2. Nhiệt độ trung bình tích
phân trong tấm phẳng tại thời
điểm

 =n

Tích phân từ -1 đến +1 nghiệm (17) ta
được nhiệt độ trung bình tích phân ở
thời điểm    n bằng:
 tb ( Fo) 

1
  1  X 
KiFo
1
exp 
dX

X 1 Fo
  2 Fo 

Đặt y  (1  X ) và  y  (1  X ) , khi
đó:
1

5. PHƯƠNG PHÁP MỚI XÁC
ĐỊNH HỆ SỐ DẪN NHIỆT VÀ HỆ
SỐ DẪN NHIỆT ĐỘ

2

1
 (1  X ) 
exp 
dX
Fo
 2 Fo 



1
2





2

1
 ( y) 
exp 
 dy
Fo
 2 Fo 

Khi đó nhiệt độ trung bình tích phân
được viết lại dưới dạng biến số mới ± y
bằng:
2
   y 
KiFo
1
 tb ( Fo) 
exp  
dy

y  2 Fo
  2 Fo 

(24)
Theo [2] hàm

   y 
exp 

Fo
  2 Fo 
1

khi Fo càng bé thì giá trị của nó càng
“tập trung” xung quanh trục -2 và +2.
Do đó, khi Fo đủ bé một cách gần đúng
ta có:

SỐ 7 - 2014


TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557)

2


2

   y 
exp 
dy  1 (25)
Fo
  2 Fo 
1

Như vậy, nhiệt độ trung bình tích phân
(24) gần đúng bằng:
 tb ( Fo) 

1
KiFo
4

(26)

5.3. Các công thức xác định hệ
số dẫn nhiệt và hệ số dẫn
nhiệt độ

J R
a
, Ki1  1
vào các
2
T0
R
đẳng thức (23) và (26) và giải hệ
phương trình với 2 ẩn số là hệ số dẫn
nhiệt  và hệ số dẫn nhiệt độ a ta tìm
được hai công thức cho phép ta xác
định đồng thời hai đại lượng này khi
 n:
Thay Fo 



4 J 1 R1 ( )
t 0 12tb (1, )

a

8 R 2 12tb ( )
12 (1, )

(28)

Cuối cùng có thể thấy rằng, hai công
thức (27) và (28) không những cho

phép chúng ta xác định đồng thời hai
đặc trưng quan trong và quan hệ của
chúng với nhiệt độ của các vật liệu nói
chung mà còn có thể thiết lập mối quan
hệ này với không chỉ nhiệt độ mà cả
với độ ẩm của các loại vật liệu sấy nói
riêng.
Chúng tôi đã ứng dụng thành công mô
hình (27) và (28) và đã xác định được
hệ số dẫn nhiệt và hệ số dẫn nhiệt độ
cũng như quan hệ của chúng với nhiệt
độ và độ ẩm của một vài vật liệu sấy.
Kết quả cụ thể sẽ công bố trong các bài
báo tiếp theo.

(27)

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

Bio M., Các nguyên lý biến phân trong trao đổi nhiệt, NXB Năng lượng, M. 1975
(tiếng Nga).

[2]

Greber G., Erk S., Các cơ sở của học thuyết về trao đổi nhiệt, NXB Tài liệu tham
khảo nước ngoài, M., 1958 (tiếng Nga).

[3]

Luikov A.B., Mykhailov I.A., Lý thuyết truyền nhiệt truyền chất, NXB Năng lượng,
M., 1969 (tiếng Nga).

[4]

Luikov A.B., lý thuyết dẫn nhiệt, NXB Cao đẳng, M., 1967 (tiếng Nga).

SỐ 7 - 2014

57


TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG (ISSN: 1859 – 4557)

[5]

Vertogratsky A.B., và các cộng sự, Phương pháp và thiết bị xác định đồng thời các
đặc trưng nhiệt vật lý của các vật liệu dạng tấm phẳng, Tạp chí Vật lý kỹ thuật, T6,
N3, 1979 (tiếng Nga).

[6]

Trần Văn Phú, Dịch chuyển nhiều cấu tử trong các quá trình công nghệ và các
phương pháp xác định các đặc trưng nhiệt-ẩm của các sản phẩm thực phẩm và các
vật liệu ẩm khác, Luận án TSKH, Riga 1988 (tiếng Nga).

[7]

Trần Văn Phú, Kỹ thuật sấy, NXB Giáo dục, Hà Nội 2010.

[8]

Trần Văn Phú, Những vấn đề chọn lọc của lý thuyết truyền nhiệt truyền chất và các
phương pháp xác định thời gián sấy, Bài giảng cao học Trường Đại học Bách Khoa,
Hà Nội 2012.

Giới thiệu tác giả:
Tác giả Trần Văn Phú bảo vệ luận án tiến sĩ năm 1975 ở Ucraina,
tiến sĩ khoa học năm 1988 ở Latvia, giáo sư năm 2001. Tác giả hiện
là Trưởng Ban Thanh tra giáo dục Trường Đại học Thành Tây.
Hướng nghiên cứu chính là truyền nhiệt truyền chất và kỹ thuật sấy.

58

SỐ 7 - 2014