He phuong trinh on dai hoc cuc hot

Hệ phơng trình
1/ Dạng :
1 1 1
2 2 2
a x + b y = c (1)
a x + b y = c (2)



( I )
Trong đó
x , y là hai ẩn ; a
1
, a
2
, b
1
, b
2
, c
1
, c
2
là các số thực .
Nghiệm của hệ là cặp số (x , y) .
2/ Cách giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Có rất nhiều cách giải , trong đó có ba cách hay dùng là :
2.1. Phơng pháp cộng đại số : Dựa vào đặc điểm của hệ mà ta nhân hai vế của một phơng
trình hoặc cả hai phơng trình của hệ rồi cộng hoặc trừ vế với vế nhằm triệt tiêu một ẩn , ta
tìm đợc ẩn còn lại .
2.2. Phơng pháp thế : Rút một ẩn từ một phơng trình sau đó thế vào phơng trình còn lại .

2.3. Phơng pháp định thức cấp 2 ( Đặc biệt thích hợp với bài toán biện luận nghiệm của
hệ khi có tham số )
Các định thức nh sau :
D =
1 1
2 2
a b
a b
= a
1
b
2
a
2
b
1

D
x
=
1 1
2 2
c b
c b
= c
1
b
2
c
2

b
1
D
y
=
1 1
2 2
a c
a c
= a
1
c
2
a
2
c
1
* Nếu D 0 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất : x =
x
D
D
, y =
y
D
D
* Nếu D = 0 mà D
x
hoặc D
y
0 thì hệ (I) vô nghiệm .

* Nếu D = D
x
= D
y
= 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm .
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
1
Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phơng trình
Chú ý : Ta có thể dùng máy tính cá nhân để tìm ra nghiệm để kiểm tra kết quả .
3/ áp dụng
Bài 1 : Giải các hệ phơng trình sau :
1/
2x + 3y = 5
5x - y = 4



2/
x + 3y = -1
-2x + y = 3



3/
2x - 5y = -1
x + 3y = 5

Đáp số
1/ (1,1) 2/ (-
10
7
,
1
7
) 3/ (2 , 1)
Bài 2 : Giải và biện luận các hệ phơng trình sau :
1/
mx + 2y = m - 1
(m + 1)x + y = 3



2/
2
mx + 4y = m + 2
x + my = m



Gợi ý : Dùng cách 3 định thức
1/ Ta có các định thức
D =
m 2
m + 1 1
= - m 2
D
x

=
m - 1 2
3 1
= m 7
D
y
=
m m - 1
m + 1 3
= - m
2
+ 3m + 1
* Nếu D 0 m - 2 . Khi đó hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất :
2
m 7
x
m 2
m 3m - 1
y
m 2


=


+



=

+
* Nếu D = 0 m = - 2 . Khi đó D
x
= - 9 0 Hệ vô nghiệm .
* Kết luận :
+ Với m - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất .
+ Với m = - 2 thì hệ vô nghiệm .
2/ Hoàn toàn tơng tự (bạn đọc tự giải )
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
2
Hệ phơng trình
---------------------- *** ----------------------
1/ Dạng :
2 2
Ax + By + C = 0 (1)
ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 (2)



( I )
2/ Cách giải
B ớc 1 : Rút y theo x ở phơng trình bậc nhất (1) rồi thế vào phơng trình bậc hai (2) , ta đ-
ợc phơng trình bậc hai ẩn x có dạng : A
1
x
2
+ B
1
x + C

1
= 0 (*) .
B ớc 2 : Giải pt (*) tìm đợc x thế vào (1) ta tìm đợc y .
3/ Chú ý :
3.1.Số nghiệm của hệ ( I ) phụ thuộc vào số nghiệm của pt (*) .
Nếu pt (*) vô nghiệm thì hệ đã cho vô nghiệm .
Nếu pt (*) có nghiệm duy nhất x
0
thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
) .
Nếu pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thì hệ đã cho có 2 nghiệm phân biệt (x
1
; y
1
) và
(x
2
; y
2
) .
3.2. Hoàn toàn tơng tự ta có thể rút x theo y ở pt bậc nhất (1) rồi thế vào phơng trình bậc
hai (2) , ta đa về pt bậc hai ẩn y : A
1

y
2
+ B
1
y + C
1
= 0 (*)
4/ Bài tập áp dụng
Bài 1 : Giải các hệ phơng trình sau :
1/
2
x - y = 1 (1)
y + 2x - 5 = 0 (2)



2/
2 2
9x - 16y = 144 (1)
x - y = 7 (2)





3/
2 2
x - y + 1 = 0 (1)
6x - 3y + 4x + 3 = 0 (2)

4/
2
x - y + 1 = 0 (1)
y + x - 2y - 1 = 0 (2)



Giải
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
3
Hệ gồm một phơng trình bậc nhất hai
và một phơng trình bậc hai
Hệ phơng trình
1/
Từ (1) y = x 1
Thế vào pt (2) , ta đợc pt : (x 1)
2
+ 2x 5 = 0 x
2
4 = 0
x = 2
x = - 2



+ Với x = 2 y = 1
+ Với x = - 2 y = - 3
Vậy nghiệm của hệ pt đã cho là : (2 ; 1) ; (- 2 ; - 3) .

2/
Từ (2) y = x
7

Thế vào pt (1) , ta đợc pt : 9x
2
- 16(x
7
)
2
= 144 7x
2
- 32
7
x + 256 = 0
x =
16 7
7
y =
9 7
7
Vậy nghiệm của hệ pt đã cho là : (
16 7
7
;
9 7
7
) .
3/ Bạn đọc tự giải
Đáp số : x = 0 ; x = 2/3

4/ Bạn đọc tự giải
Đáp số : x = - 1 ; x = 2
1/ Nhận dạng : Hệ đối xứng loại I đối với x và y là hệ thoả mãn khi ta thay x bởi y và
y bởi x thì các phơng trình của hệ không thay đổi .
2/ Ví dụ :
1/
2 2
x + y = 6
x + y = 26



2/
2 2
x + xy + y = - 1
x y + xy = - 2



Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
4
Hệ đối xứng loại I
Hệ phơng trình
3/
2 2
x + y + x + y = 8
xy(x + 1)(y + 1) = 12

4/
x y + y = 30
x x + y y = 35
x





3/ Cách giải hệ phơng trình đối xứng loại I
B ớc 1 : Phân tích các phơng trình của hệ để xuất hiện các biểu thức : tổng (x + y) và
tích xy .
B ớc 2 :
+ Đặt :
S = x + y
P = x.y



với ĐK : S
2
4P 0 (*)
+ Đa hệ đã cho về hệ chứa hai ẩn mới là S và P .
+ Xác định S và P thoả mãn ĐK (*) .
B ớc 3 : Khi đó x , y là nghiệm của phơng trình : t
2
St + P = 0
4/ Một số biểu thức đối xứng của x , y và cách phân tích
x
2

+ y
2
= (x + y)
2
2xy = S
2
2P
x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
xy + y
2
) = (x + y)[(x + y)
2
3xy] = S( S
2
3P )
x
2
y + xy
2
= xy(x + y) = PS
(x + a)(y + a) = xy + a(x + y) + a
2
= P + aS + a
2

5/ Bài tập áp dụng
Giải các phơng trình sau
1/
2 2
x + y = 6
x + y = 26



2/
2 2
x + xy + y = - 1
x y + xy = - 2



3/
2 2
xy + x + y = 4
x + y + xy = 2



4/
x y + y = 30
x x + y y = 35
x

5/
2 2
x + y + x + y = 8
xy(x + 1)(y + 1) = 12



6/
2
2 2
(x + y) = 4
x + y = 4



Giải
1/ Hệ pt đã cho
2
x + y = 6
(x + y) - 2xy = 26



( I )
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
5
Hệ phơng trình
Đặt :

S = x + y
P = x.y



với ĐK : S
2
4P 0 (*)
Khi đó hệ ( I ) trở thành :
2
S = 6
S - 2P = 26




S = 6
P = 5



(thoả mãn (*)) .
Vậy x , y là nghiệm của phơng trình : t
2
6t + 5 = 0
t = 1
t = 5

Kết luận : Nghiệm của hệ đã cho là : (1 ; 5) ; (5 ; 1) .
2/ Hệ pt đã cho
(x + y) + xy = - 1
xy(x + y) = - 2



( I )
Đặt :
S = x + y
P = x.y



với ĐK : S
2
4P 0 (*)
Khi đó hệ ( I ) trở thành :
S + P = - 1
SP = - 2




S = 1
P = - 2



hoặc

S = - 2
P = 1



(thoả mãn (*)) .
+
S = 1
P = - 2



x , y là nghiệm của phơng trình : t
2
t - 2 = 0
t = -1
t = 2




x = -1
y = 2



hoặc
x = 2
y = -1

.
+
S = - 2
P = 1



x , y là nghiệm của phơng trình : t
2
+ 2t + 1 = 0 t = - 1

x = -1
y = -1



.
Kết luận : Nghiệm của hệ đã cho là : (-1 ; 2) ; (2 ; -1) ; (-1 ; -1) .
3/ Hệ pt đã cho
2
(x + y) + (x + y) - xy = 4
xy + (x + y) = 2



( I )
Đặt :
S = x + y

P = x.y



với ĐK : S
2
4P 0 (*)
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
6
Hệ phơng trình
Khi đó hệ ( I ) trở thành :
2
S + S - P = 4
S + P = 2




S = - 3
P = 5



(loại) hoặc
S = 2
P = 0



(thoả mãn (*)) .

Nghiệm của hệ : (0 ; 2) ; (2 ; 0) .
4/ Hệ pt đã cho
3 3
xy( x + ) = 30
( x ) + ( y) = 35
y






2
xy( x + y) = 30
( x + y) ( x + y) 3 xy = 35








Đặt :
S = x + y
P = xy

với ĐK : S
2
4P 0 ; S 0 ; P 0 (*)
Khi đó hệ ( I ) trở thành :
2
SP = 30
P(S - 3P) = 35




S = 5
P = 6



Nghiệm của phơng trình là : (4 ; 9) ; (9 ; 4)
5/ Gợi ý :
2 2
x + y + x + y = 8
xy(x + 1)(y + 1) = 12




2 2
2 2
(x + x ) + (y+ y ) = 8
(x + x)(y + y) = 12

Đặt :
2
2
u = (x + x)
v = (y + y)




u + v = 8
uv = 12




u = 2
v = 6



hoặc
u = 6
v = 2



+

u = 2
v = 6




2
2
x + x = 2
y + y = 6




x = 1 x = - 2
y = -3 y= 2





+
u = 6
v = 2




2
2

x + x = 6
y + y = 2




x = - 3 x = 2
y = 1 y= - 2





Nghiệm của phơng trình là : (1;-3) ; (1;2) ; (-2;-3); (-2;2) ; (-3;1) ; (2;1) ; (-3;-2) ; (2;-2)
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
7
Hệ nửa đối xứng loại I
Hệ phơng trình
1/ Nhận dạng : Hệ đối nửa xứng loại I đối với x và y là hệ chứa các biểu thức :
hiệu (x y) và tích xy .
2/ Ví dụ :
1/
2 2
x - y + xy = 3
x + y = 5



2/
2 2

2x + 3xy - 2 y = - 1
x + y + x - y - xy = 3



3/ Cách giải hệ phơng trình nửa đối xứng loại I
B ớc 1 : Phân tích các phơng trình của hệ để xuất hiện các biểu thức : hiệu (x - y) và
tích xy .
B ớc 2 :
+ Đặt :
S = x - y
P = xy



+ Đa hệ đã cho về hệ chứa hai ẩn mới là S và P .
+ Xác định S và P .
B ớc 3 : Với S và P tìm đợc , ta tìm đợc x và y .
Chú ý
x
2
+ y
2
= (x y)
2
+ 2xy = S
2
2P .
x
3

y
3
= (x y)(x
2
+ xy + y
2
) = (x y)[ (x y)
2
+ 3xy] = S(S
2
+ 3P)
4/ áp dụng
Giải các hệ phơng trình sau :
1/
2 2
x - y + xy = 3
x + y = 5



2/
2 2
2x + 3xy - 2 y = - 1
x + y + x - y - xy = 3



Giải
2/ Hệ đã cho
2

2(x - y) + 3xy = - 1
(x - y) + (x - y) + xy = 3



( I ) Đặt :
S = x - y
P = xy



Hệ ( I ) có dạng :
2
2S + 3P = - 1
S + S + P = 3




2
2S + 3P = - 1
3S + 3S + 3P = 9



Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
8
Hệ phơng trình

2

2S + 3P = - 1
3S + S - 10 = 0




S = - 2 P =1
5 13
S = P
3 9




=

Tr ờng hợp 1 :
S = - 2
P = 1




x - y = - 2
xy = 1




x = y - 2

(y - 2)y - 1 = 0




2
x = y - 2
y - 2y - 1 = 0




y = 1+ 2 x 2 1
y = 1 - 2 x 2 1

=

=



Nghiệm là (
2
- 1 ;
2
+ 1) ; (-
2
- 1 ; 1 -
2
) .

Tr ờng hợp 2 :
5
S =
3
13
P = -
9







( làm tơng tự )
1/

2 2
x - y + xy = 3
x + y = 5




2
(x - y) + xy = 3
(x - y) + 2xy = 5

Đặt :
S = x - y
P = xy



( Bạn đọc tự giải nha !)
1/ Nhận dạng : Hệ đối xứng loại II đối với x và y là hệ thoả mãn khi ta thay x bởi y và
y bởi x thì phơng trình thứ nhất của hệ thành phơng trình thứ hai của hệ và ngợc lại .
2/ Ví dụ :
1/
2
2
x = y - y
y = x - x



2/
2 2
2 2
(x - 2) + y = 2
x + (y - 2) = 2



3/
2 2
2 2
2x - 3x = y - 2

2y - 3 = x - 2y



4/
2
2
2x + xy = 3x
2y + xy = 3y



3/ Cách giải hệ phơng trình đối xứng loại II
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
9
Hệ đối xứng loại II
Hệ phơng trình
B ớc 1 : Trừ từng vế của hai phơng trình và đặt nhân tử chung (x y ) bao giờ ta cũng đ-
ợc phơng trình tích : (x y)f(x , y) = 0
x = y (1)
f(x , y) = 0 (2)



B ớc 2 : Giải hệ cho từng trờng hợp (1) và (2)
4/ Bài tập áp dụng
Giải các hệ phơng trình sau :
1/
2
2

x = y - y
y = x - x



2/
2 2
2 2
(x - 2) + y = 2
x + (y - 2) = 2



3/
2 2
2 2
2x - 3x = y - 2
2y - 3y = x - 2



4/
2
2
2x + xy = 3x
2y + xy = 3y



5/

y
x - 3y = 4
x
x
y - 3x = 4
y







6/
2
2
2y
x =
1 - y
2x
y =
1- x







Giải

1/ Trừ từng vế hai phơng trình cho nhau ta đợc pt :
x y = y
2
y (x
2
x) (x y ) = (x y) (x y)(x + y) (x y)(x +
y) = 0

x - y = 0
x + y = 0




x = y
x = - y



Tr ờng hợp 1 : x = y . Thay vào (2) , ta đợc : x = x
2
x x
2
2x = 0

x = 2 y = 2
x = 0 y 0

=

Tr ờng hợp 2 : x = - y . Thay vào (1) , ta đợc : - x = x
2
x x
2
= 0
x = 0 y = 0
Vậy nghiệm của phơng trình là : (2;2) ; (0 ; 0) .
2/ Hoàn toàn tơng tự thì nghiệm của phơng trình là : (1 ; 1)
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
10
Hệ phơng trình
3/
2 2
2 2
2x - 3x = y - 2
2y - 3y = x - 2



Trừ từng vế hai phơng trình cho nhau ta đợc pt :
2x
2
3x (2y
2
3y) = y
2
2 (x
2

- 2) 3(x - y)(x + y) 3( x y) = 0
(x y)(x + y 1) = 0
x = y
x = 1 - y



Tr ờng hợp 1 : x = y , thay vào pt (2) ta đợc : 2y
2
3y = y
2
2 y
2
3y + 2 = 0

y = 1 x = 1
y = 2 x = 2





Tr ờng hợp 2 : x = 1 y , thay vào pt (2) ta đợc : 2y
2
3y = (1- y)
2
2
y
2
y + 1 = 0 ( vô nghiệm)

Vậy nghiệm của hệ là : (1;1) ; (2;2) .
4/ Tơng tự (bạn đọc tự giải)
5/
y
x - 3y = 4
x
x
y - 3x = 4
y







. ĐK :
x 0
y 0





(*)
Với đk (*) , hệ đã cho
2
2
x - 3xy = 4y (1)
y - 3xy = 4x (2)

( Đến đây bạn đọc tự giải , phải chú ý điều kiện (*) ) .
6/
2
2
2y
x =
1 - y
2x
y =
1- x







ĐK :
2
2
x 1
1- x 0
y 1
1- y 0

(*)
Với đk (*) , hệ đã cho
2
2
x - xy = 2y (1)
y - yx = 2x (2)




( Đến đây bạn đọc tự giải , phải chú ý điều kiện (*) )
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
11
Hệ phơng trình
1/ dạng :
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x + b xy + c y = d (1)
a x + b xy + c y = d (2)

2/ Ví dụ :
1/
2 2
2 2
2x + 3xy + y = 15
x + xy + 2y = 8



2/
2 2
2 2
3x + 5xy - 4y = 38
5x - 9xy - 3y = 15



3/
2 2
2
x - 4xy + y = 1
y - 3x = 4y



4/
2
2 2

x - xy 2
2x + 4xy - 2y 16

=

=

5/
2 2
2 2
x + 2xy + 3y = 9
2x + 2xy + y = 2



6/
2 2
2 2
2x - 4xy + y = - 1
3x + 2xy + 2y = 7



3/ Cách giải hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2
B ớc 1 : Nhân hai vế của (1) với d
2
, hai vế của (2) với d
1
, ta đợc hệ :

2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2 1 1 2
a d x + b d xy + c d y = d d (3)
a d x + b d xy + c d y = d d (4)




Trừ từng vế hai phơng trình (3) và (4) để khử hệ số tự do , ta đợc phơng trình :
(a
1
d
2
a
2
d
1
)x
2
+ (b
1
d
2
b
2
d
1
)xy + (c

1
d
2
c
2
d
1
)y
2
= 0 (*)
B ớc 2 : Nhận xét (0 ; 0) không phải là nghiệm của hệ đã cho nên ta chia hai vế của (*)
cho y
2
, ta đợc pt : (a
1
d
2
a
2
d
1
)
2
x
y

ữ

+ (b
1

d
2
b
2
d
1
)
x
y

ữ

+ (c
1
d
2
c
2
d
1
)y
2
= 0 (2*)
Nhận xét (2*) là phơng trình bậc hai ẩn là
x
y
. Giải tìm đợc mối quan hệ giữa x và y thế
vào một trong hai phơng trình đầu ta tìm đợc nghiệm .
4/ Bài tập áp dụng
Giải các hệ phơng trình sau :

Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
12
Hệ đẳng cấp bậc hai
Hệ phơng trình
1/
2 2
2 2
2x + 3xy + y = 15
x + xy + 2y = 8



2/
2 2
2 2
3x + 5xy - 4y = 38
5x - 9xy - 3y = 15



3/
2 2
2
x - 4xy + y = 1
y - 3x = 4y



4/
2

2 2
x - xy 2
2x - xy - y 16

=

=

5/
2 2
2 2
x + 2xy + 3y = 9
2x + 2xy + y = 2



6/
2 2
2 2
2x - 4xy + y = - 1
3x + 2xy + 2y = 7



Giải
1/ Hệ pt đã cho
2 2
2 2
16x + 24xy + 8y = 120
15x + 15xy + 30y = 120

Trừ vế với vế hai phơng trình ta đợc pt : x
2
+ 9xy 22y
2
= 0 (*)
Nhận xét (0 ; 0) không phải là nghiệm của hệ đã cho nên ta chia hai vế của (*) cho y
2
, ta
đợc :
2
x x
9 22 0
y y

+ =
ữ ữ


x
y
= 2 hoặc
x
y
= - 11
+ Tr ờng hợp 1 :
x
y

= 2 x = 2y . Thế vào phơng trình (2) của hệ ta đợc :
(2y)
2
+ (2y).y + 2y
2
= 8 8y
2
= 8 y
2


= 1
y = 1 x = 2
y = - 1 x = - 2





+ Tr ờng hợp 2 :
x
y
= - 11 x = - 11y . Thế vào phơng trình (2) của hệ ta đợc :
(- 11y)
2
+ (- 11y).y + 2y
2
= 8 112y
2
= 8 y

2
=
1
14

1
y =
14
1
y = -
14






Vậy nghiệm của hệ pt là : (1;2) ; (-1;-2) ; (
1
14
; -
11
14
) ; (-
1
14
;
11
14
)

3/
2 2
2
x - 4xy + y = 1
y - 3x = 4y



Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
13