Hàm riêng của toán tử sturm liouville trên khoảng hữu hạn và trên khoảng vô hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————-

Nguyễn Viết Đại

HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
STURM-LIOUVILLE TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN
VÀ TRÊN KHOẢNG VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hà Nội - 2019



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————-

Nguyễn Viết Đại

HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
STURM-LIOUVILLE TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN
VÀ TRÊN KHOẢNG VÔ HẠN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8460101.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Cán bộ hướng dẫn: TS. Đặng Anh Tuấn

Hà Nội - 2019



2

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn tới thầy Đặng Anh Tuấn . Thầy đã tận tình hướng dẫn để em có thể
hoàn thành luận văn này. Thầy không chỉ hướng dẫn em về mặt chuyên
môn toán, thầy còn dạy em nhiều điều trong cuộc sống. Những lời dạy bảo
của thầy giúp em nhìn đúng về mọi chuyện, giúp em vượt quá những khúc
mắc, những yếu đuối về mặt tâm lý mà tưởng chừng như không thể vượt
qua được. Em cũng xin lỗi thầy vì nhiều khi yếu đuối muốn bỏ cuộc, em đã
ngắt mọi liên lạc với thầy, nếu thầy không bao dung và vẫn luôn quan tâm
đến em thì em đã không thể tiếp tục được.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin cám ơn tới ông nội , ông bà ngoại, bố mẹ và
cậu mợ của em những người đã luôn thương yêu , quan tâm và che chở cho
em. Ngoài ra em cũng xin cảm ơn trung tâm anh ngữ ViViAn đã tận tình
chỉ dạy cho em để thi được bằng tiếng anh B1. Em xin cảm ơn anh Đỗ Duy
Hiếu đã nhận em vào làm ở trung tâm của anh để có tiền trang trải cuộc
sống trong suốt thời gian ở Hà Nội, em xin lỗi vì đã bỏ đi mà không nói lời
nào. Em xin cảm ơn Viện Toán đã kí hợp đồng với em trong 3 tháng, nếu
không có bản hợp đồng đó làm động lực để quay lại thì em sẽ không thể
nào vượt qua được tiếng anh B1. Cuối cùng em xin cảm ơn bạn Tô Thị Vân

Anh và bạn Nguyễn Đức Ngà, bạn Vân Anh đã liên lạc gọi em lại học tiếng
anh chuyên ngành, còn bạn Ngà đã hướng dẫn em các bước làm thủ tục bảo
vệ.
Hà Nội, ngày 8 tháng 12 năm 2018
Học viên

Nguyễn Viết Đại


3

LỜI MỞ ĐẦU
Từ đại số tuyến tính hữu hạn chiều, cho bất kỳ một ma trận đối xứng ta
đều tìm thấy một cơ sở trực chuẩn của không gian gồm toàn các vectơ riêng
của ma trận. Khi đó ta có khai triển duy nhất
n

v=

∑ (v, vk )vk

k =1

với vk là vectơ riêng được chuẩn hóa của ma trận A. Ngoài ra ta có đẳng
thức Pythagoras |v|2 = ∑nk=1 |(v, vk )|2 . Từ lý thuyết về chuỗi Fourier bất kì
một hàm f tuần hoàn chu kì 2π và khả vi liên tục trên R đều có khai triển
+∞

f (x) =

∑

k=−∞

( f , vk )vk ( x )

√
trong đó vk ( x ) = eikx / 2π là hàm riêng được chuẩn hóa ứng với giá trị
d2
2
riêng k của toán tử vi phân thường − 2 . Ngoài ra ta có đẳng thức Parseval
dx
∞
2
|| f ||22 = ∑+
−∞ |( f , vk )| . Chuỗi Fourier xuất hiện khi ta giải các phương trình
truyền nhiệt, dao động sợi dây, dao động màng mỏng,... bằng phương pháp
tách biến. Sự tương tự giữa các vấn đề của đại số tuyến tính và lý thuyết
các phương trình đã được các nhà toán học thấy từ rất lâu trước. Tuy nhiên
D.Hilbert là người đầu tiên hệ thống lại những tương tự này trong việc làm
về lý thuyết các phương trình tích phân, xem [5]. Một trong các kết quả
của việc làm này làm nảy sinh ra không gian Hilbert l2 và sau đó là không
gian Hilbert tổng quát. Xây dựng toán học cho không gian l2 và không gian
Hilbert trừu tượng dẫn đường cho sự phát triển mạnh mẽ về lý thuyết phổ
của các toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert. Lý thuyết phổ trừu
tượng này về cơ bản là hoàn thiện, định lý cơ sở của toàn bộ lý thuyết là
định lý khai triển phổ. Một toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert sẽ
được khai triển thông qua các phép chiếu phổ Eλ (còn gọi là họ phổ hoặc
giải thức đơn vị). Tuy nhiên trong trường hợp toán tử cụ thể thông tin về
tiệm cận giá trị riêng, hàm riêng và họ phổ là rất ít.

Trong luận văn này em đọc hiểu và trình bày chi tiết lại các kết quả về khai
triển hàm riêng của toán tử Sturm-Liouville cho hai trường hợp là khoảng
hữu hạn và nửa đường thẳng. Nội dung của luận văn gồm 3 chương
1. Chương 1: các kiến thức chuẩn bị


4
2. Chương 2: khai triển trên khoảng hữu hạn
3. Chương 3: khai triển trên nửa đường thẳng.
Nội dung chương 2 trình bày công thức tiệm cận về giá trị riêng và hàm
riêng của toán tử Sturm-Liouville, chứng minh sự tồn tại một dãy đếm
được các giá trị riêng bằng các cách khác nhau: sử dụng định lý Rouche,
lý thuyết dao động Sturm, phương pháp phương trình tích phân. Ngoài ra
trong chương 2 có các cách chứng minh khác nhau cho định lý khai triển
hàm riêng : phương pháp phương trình tích phân, phương pháp thặng dư
Cauchy. Ở cuối chương chỉ ra định lý căn bản , hội tụ điểm của khai triển
hàm riêng Sturm-Liouville là giống như hội tụ điểm của chuỗi Fourier thông
thường.
Nội dung chương 3, xây dựng hàm phổ ρ(λ) (còn gọi là độ đo phổ) từ đó
định nghĩa biến đổi Fourier tổng quát và thu được đẳng thức Parseval và
định lý khai triển ở dạng tương tự chương 2. Đồng thời chương 3 trình
bày phân loại giới hạn điểm, giới hạn tròn của toán tử Sturm-Liouville tuy
nhiên em chưa tìm hiểu về xuất phát điểm vật lý của khái niệm này. Ngoài
ra chương 3 trình bày biểu diễn tích phân của giải thức, chỉ rõ họ phổ Eλ
của toán tử Sturm-Liouville . Ở cuối chương chỉ ra ánh xạ f ( x ) → F (λ)
đặt tương ứng hàm f ( x ) ∈ L2 (0, ∞) với biến đổi Fourier tổng quát của nó
F (λ) ∈ L2ρ(λ) (−∞, +∞) là ánh xạ Unitary ( song ánh bảo toàn chuẩn).
Các kết quả mục 2.2 tham khảo trong [7] và [9], mục 2.3 tham khảo [4] và
[11], mục 2.4 và 2.5 tham khảo [4] và [9], mục 2.6 tham khảo [8] và [9],
chương 3 tham khảo [9], họ phổ Eλ trình bày trừu tượng có thể tìm đọc

trong [6] hoặc phụ lục [9].
Hà Nội, ngày 8 tháng 12 năm 2018
Học viên

Nguyễn Viết Đại


Mục lục
Lời mở đầu

3

1

Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Tính trù mật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Một số định lý của phương trình vi phân thường . . . . . . . .

7

1.3

Một số định lý của giải tích phức . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Một số kết quả về tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2

3

Khai triển trên khoảng hữu hạn

11

2.1

Giới thiệu và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng . . . . . 14

2.3

Phân bố không điểm của các hàm riêng . . . . . . . . . . . . . 24

2.4

Hàm Green, toán tử compact đối xứng . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5

Định lý khai triển và đẳng thức Parseval . . . . . . . . . . . . . 37

2.6

Chứng minh định lý khai triển bằng tích phân Cauchy . . . . 41

2.7

Hội tụ điểm của khai triển hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . 52

Khai triển trên nửa đường thẳng

57

3.1

Đẳng thức Parseval với nửa đường thẳng . . . . . . . . . . . . 57

3.2

Giới hạn điểm, giới hạn tròn

3.3

Biểu diễn tích phân của giải thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4

Tính trực giao của khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

93


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Tính trù mật

Ký hiệu C [ a, b] là không gian các hàm giá trị phức, liên tục trên khoảng
mở hữu hạn ( a, b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b. Không gian C [ a, b]
có tích vô hướng cho bởi:
b

( f , g) =

a

f ( x ) g∗ ( x )dx,

f , g ∈ C [ a, b],

ở đó g∗ ( x ) là liên hợp phức của g( x ). Cho D ( L) là tập con của C [ a, b] xác
định bởi
D ( L) = {y( x ) ∈ C2 [ a, b] : BCa (y) = BCb (y) = 0},
BCa (y) = y( a)cos(α) + y ( a)sin(α) = 0,
BCb (y) = y(b)cos( β) + y (b)sin( β) = 0

(α, β ∈ R),

trong đó C2 [ a, b] là không gian các hàm giá trị phức, khả vi liên tục cấp hai
trong ( a, b), khả vi liên tục cấp hai bên phải tại a và bên trái tại b. Khi đó ta
có khẳng định sau:
Bổ đề 1.1.1. ([2]) D ( L) là trù mật trong không gian C [ a, b] với chuẩn cảm sinh từ
tích vô hướng.


1.2. Một số định lý của phương trình vi phân thường

1.2

7

Một số định lý của phương trình vi phân
thường

Bổ đề 1.2.1 (Công thức Liouville). ([4]) Xét phương trình
y ( x ) + p( x )y ( x ) + q( x )y( x ) = 0,

với p( x ), q( x ) ∈ C [ a, b]. Giả sử y1 ( x ) và y2 ( x ) là hai nghiệm của phương trình.
Khi đó định thức W {y1 , y2 }( x ) = y1 ( x )y2 ( x ) − y1 ( x )y2 ( x ) Wronskian của
y1 ( x ) và y2 ( x ) được cho bởi công thức Liouville:
x

W {y1 , y2 }( x ) = c.exp

a

p(t)dt ∀ x ∈ [ a, b],

(1.2.1)

với c là hằng số.
Bổ đề 1.2.2 (Bất đẳng thức Gronwall-dạng vi phân). ([4]) Cho η (.) là một hàm
không âm, liên tục trên [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức vi phân
η (t) ≤ φ(t)η (t) + ψ(t), ∀t ∈ [0, T ],
trong đó φ(t), ψ(t) là các hàm không âm và liên tục trên [0, T ]. Khi đó:
η (t) ≤ e

t
0

φ(r )dr

t

[ η (0) +

0

ψ(s)ds], ∀t ∈ [0, T ].

Bổ đề 1.2.3 (bất đẳng thức Gronwall-dạng tích phân). ([4]) Cho ξ (t) là một
hàm không âm, liên tục trên [0, T ] và thỏa mãn theo t bất đẳng thức tích phân:
ξ (t) ≤ C1

t
0

ξ (s)ds + C2 ,

với các hằng số C1 , C2 ≥ 0. Khi đó:
ξ (t) ≤ C2 (1 + C1 teC1 t ), 0 ≤ t ≤ T.
Định lý 1.2.1 (định lý tồn tại duy nhất nghiệm ([9]) ). Nếu q( x ) là một hàm
liên tục trên [ a, b], với mỗi α ∈ R, λ ∈ C bài toán Cauchy:
y ( x ) + (λ − q( x ))y( x ) = 0,
ϕ( x0 , λ) = sin(α), ϕ x ( x0 , λ) = −cos(α),

( x0 ∈ [ a, b] cố định )

(1.2.2)

có một nghiệm duy nhất ϕ( x, λ), x ∈ [ a, b]. Với mỗi x cố định thuộc [ a, b] hàm
ϕ( x, λ) là một hàm nguyên của λ, tức là hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng
phức C.


8

1.3. Một số định lý của giải tích phức

1.3

Một số định lý của giải tích phức

Định lý 1.3.1 (Định lý duy nhất của hàm chỉnh hình). ([3]) Cho
f (z) thuộc H (Ω) là một hàm chỉnh hình trong miền Ω ⊂ C. Nếu f (z) triệt tiêu
trên một dãy của các điểm khác nhau mà dãy này có một điểm giới hạn trong Ω thì
f (z) đồng nhất bằng 0 trong Ω.
Hệ quả 1.3.2. Một hàm nguyên (hàm chỉnh hình trên C) không đồng nhất bằng 0
chỉ có nhiều nhất đếm được không điểm.
Bổ đề 1.3.1. ([3]) Giả sử hàm phức f (z) là hàm chỉnh hình tại điểm z0 , với z0 là
một không điểm cấp m của f (z). Khi đó f / f là hàm phân hình tại z0 , nhận z0 làm
cực điểm đơn và thặng dư của f / f tại điểm z0 là Res( f / f , z0 ) = m.
Hệ quả 1.3.3 (Nguyên lý Argument). ([3]) Cho f (z) thuộc H (Ω) là hàm chỉnh
hình trong miền Ω ⊂ C. Cho γ là đường cong đóng, đơn, trơn từng khúc, định
hướng dương sao cho phần trong của nó nằm hoàn toàn trong Ω. Giả sử f không
có không điểm nằm trên γ, khi đó số không điểm của f (tính cả bội) bên trong γ cho
bởi
f (z)
1
dz.
2πi γ f (z)
Định lý 1.3.4 (định lý Rouche). ([3]) Cho f , g ∈ H (Ω) và γ là một đường cong
đóng, đơn, trơn từng khúc, định hướng dương sao cho phần trong của nó nằm trong
Ω. Giả sử rằng
| f (z) − g(z)| < | f (z)| với mọi z ∈ γ.
Khi đó f và g có cùng số không điểm tính cả bội bên trong γ.

1.4

Một số kết quả về tích phân.

Bổ đề 1.4.1. ([1]) Nếu f ( x ) ∈ C [ a, b], g( x ) đơn điệu trên [ a, b] Khi đó tồn tại
ξ ∈ [ a, b] sao cho
b
a

b

ξ

f ( x ) g( x )dx = g( a)

a

f ( x )dx + g(b)

f ( x )dx.

(1.4.1)

ξ

Hệ quả 1.4.1 (định lý giá trị trung bình dạng Bonnet). ([1]) Cho
f ( x ) thuộc C [ a, b].


9

1.4. Một số kết quả về tích phân.

1. Nếu g( x ) ≥ 0 và g( x ) đơn điệu tăng trên [ a, b] thì tồn tại ξ ∈ [ a, b] sao cho
b
b
a f ( x ) g ( x ) dx = g ( b ) ξ f ( x ) dx.
2. Nếu g( x ) ≤ 0 và g( x ) đơn điệu tăng trên [ a, b] thì tồn tại ξ ∈ [ a, b] sao cho
b
ξ
a f ( x ) g ( x ) dx = g ( a ) a f ( x ) dx.
3. Nếu g( x ) ≤ 0 và g( x ) đơn điệu giảm trên [ a, b] thì tồn tại ξ ∈ [ a, b] sao cho
b
b
a f ( x ) g ( x ) dx = g ( b ) ξ f ( x ) dx.
4. Nếu g( x ) ≥ 0 và g( x ) đơn điệu giảm trên [ a, b] thì tồn tại ξ ∈ [ a, b] sao cho
b
ξ
a f ( x ) g ( x ) dx = g ( a ) a f ( x ) dx.
Bổ đề 1.4.2. ([12]) Giả sử f ∈ L(R). Khi đó với mọi

E

> 0 tồn tại δ > 0 sao cho

| f | ≤ nếu m( E) ≤ δ.

Sau đây là các định lý lựa chọn Helly, chúng được dùng trong chương 3.
Cho σ1 (λ), σ2 (λ), · · · là một dãy vô hạn của các hàm đơn điệu không giảm
xác định trên khoảng đóng hữu hạn [ a, b]. Giả sử rằng, tất cả chúng đều liên

tục trái, tức là σn (λ − 0) = σn (λ).
Định lý 1.4.2 (định lý lựa chọn Helly thứ nhất). (phụ lục [9]) Nếu dãy hàm
đơn điệu không giảm σn (λ) là bị chặn đều thì ta có thể tìm một hàm đơn điệu σ(λ)
và một dãy con σnk (λ) hội tụ điểm tới σ (λ) ở mọi điểm mà σ(λ) liên tục.
Định lý 1.4.3 (định lý lựa chọn Helly thứ hai). ( phụ lục [9]) Cho [ a, b] là một
khoảng hữu hạn và f là một hàm liên tục trên [ a, b]. Giả sử σn (λ) là dãy hàm đơn
điệu không giảm xác định trên [ a, b] hội tụ tới một hàm đơn điệu không giảm σ (λ),
xác định trên [ a, b], tại tất cả những điểm liên tục của σ(λ). Nếu, giả thiết thêm
lim σn ( a) = σ( a), lim σn (b) = σ(b)

n→∞

thì

n→∞

b

lim

n→∞ a

b

f (λ)dσn (λ) =

a

f (λ)dσ(λ).

Định lý lựa chọn Helly thứ hai được tổng quát lên khoảng vô hạn:
Định lý 1.4.4 (định lý lựa chọn Helly thứ ba). ( phụ lục [9]) Giả sử rằng dãy
các hàm đơn điệu không giảm σn (λ) xác định trên (−∞, +∞) hội tụ điểm tới một
hàm đơn điệu không giảm σ (λ), xác định trên (−∞, +∞), ở tất cả những điểm mà


10

1.4. Một số kết quả về tích phân.
σ (λ) liên tục và f (λ) là một hàm liên tục trên (−∞, +∞). Nếu với bất kỳ
cho trước có một số A = A( ) sao cho với mọi a, b > A, với mọi n ta có:
−a
−∞

| f (λ)|dσn (λ) ≤ ,

thì
lim

+∞

n→∞ −∞

∞
b

f (λ)dσn (λ) =

| f (λ)|dσn (λ) ≤
+∞

−∞

f (λ)dσ(λ).

>0


Chương 2
Khai triển trên khoảng hữu hạn
2.1

Giới thiệu và một số tính chất

Toán tử Sturm-Liouville là một toán tử vi phân thường L có dạng
L=

− d2
+ q ( x ),
dx2

trong đó q( x ) là hàm giá trị thực liên tục trên đoạn hữu hạn [ a, b]. Toán tử
tuyến tính L tác động lên không gian hàm như sau
L : D ( L) ⊂ C [ a, b] → C [ a, b]
y ( x ) → − y ( x ) + q ( x ) y ( x ).
Trong đó miền xác định của toán tử L là D ( L) cho bởi:
D ( L) = {y( x ) ∈ C2 [ a, b] : BCa (y) = BCb (y) = 0},
BCa (y) = y( a)cos(α) + y ( a)sin(α) = 0,
BCb (y) = y(b)cos( β) + y (b)sin( β) = 0,

(α, β ∈ R).

Định nghĩa 2.1.1. Nếu có một hàm khác hàm không y( x ) ∈ D ( L) sao cho
Ly( x ) = λy( x ) với λ ∈ C nào đó thì ta nói λ là giá trị riêng của L và hàm
y( x ) được gọi là hàm riêng ứng với giá trị riêng λ. Tập tất cả các giá trị riêng của
L được gọi là phổ điểm của L kí hiệu là σp ( L). Một giá trị riêng λ được gọi là đơn
nếu hai hàm riêng bất kì tương ứng với nó là phụ thuộc tuyến tính.


12

2.1. Giới thiệu và một số tính chất

Bổ đề 2.1.1 (công thức Green). ([9]) Nếu f , g ∈ C2 [ a, b] thì ta có công thức
Green:
b
a

( L f )( x ) g∗ ( x )dx =

b
a

f ( x )( Lg)∗ ( x )dx + W { f , g∗ }(b) − W { f , g∗ }( a).
(2.1.1)

Chứng minh. Sử dụng tích phân từng phần hai lần ta được
b
a

( L f )( x ) g∗ ( x )dx
b

=
a

(− f ( x ) + q( x ) f ( x )) g∗ ( x )dx

= W { f , g∗ }(b) − W { f , g∗ }( a) +
= W { f , g∗ }(b) − W { f , g∗ }( a) +

b
a
b
a

f ( x )(− g ( x ) + q( x ) g( x ))∗ dx
f ( x )( Lg( x ))∗ dx.

Định lý 2.1.1. ([9]) L là toán tử đối xứng , tức là D(L) trù mật trong C[a,b] và với
mọi f , g ∈ D ( L) ta có
b
a

( L f )( x ) g∗ ( x )dx =

b
a

f ( x )( Lg)∗ ( x )dx.

Chứng minh. Vì f , g ∈ D ( L) nên W{f,g*}(a)=W{f,g*}(b)=0. Từ công thức
Green ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.1.2. ([9]) Các giá trị riêng của L là thực. Các hàm riêng ứng với các giá
trị riêng khác nhau là trực giao với nhau, tức là nếu y( x, λ1 ) và y( x, λ2 ) là các
hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau λ1 và λ2 thì
b
a

y( x, λ1 )y( x, λ2 )∗ dx = 0.

Chứng minh. Giả sử y( x, λ) là một hàm riêng ứng với giá trị riêng λ. Từ tính
đối xứng của L ta có:
b
a

λy( x, λ)y∗ ( x, λ)dx =

b
a

y( x, λ)λ∗ y∗ ( x, λ)dx.

Vì vậy λ = λ∗ hay λ ∈ R.
Cũng từ tính đối xứng ta có:
b

λ1

a

y( x, λ1 )y∗ ( x, λ2 )dx = λ2∗

b
a
b

= λ2

a

y( x, λ1 )y∗ ( x, λ2 )dx
y( x, λ1 )y∗ ( x, λ2 )dx


2.1. Giới thiệu và một số tính chất
Vì vậy nếu λ1 = λ2 thì

b
a

13

y( x, λ1 )y( x, λ2 )∗ dx = 0.

Từ định lý 1.2.1 ta gọi ϕ( x, λ) và ψ( x, λ) là hai nghiệm của cùng phương
trình y ( x ) + (λ − q( x ))y( x ) = 0 thỏa mãn các điều kiện Cauchy như sau:
ϕ(0, λ) = sin(α), ϕ (0, λ) = − cos(α);

ψ(π, λ) = sin( β), ψ (π, λ) = − cos( β).

(2.1.2)
Khi đó ϕ( x, λ) và ψ( x, λ) thỏa mãn BC0 ( ϕ) = BCπ (ψ) = 0. Kí hiệu
W (λ) = ϕ( x, λ)ψ ( x, λ) − ψ( x, λ) ϕ ( x, λ)

(2.1.3)

là Wronskian của ϕ( x, λ) và ψ( x, λ). Từ công thức của Liouville ta có Wronskian của ϕ( x, λ) và ψ( x, λ) không phụ thuộc vào x chỉ phụ thuộc λ. Thay
x = 0 và x = π vào phương trình (2.1.3) ta được:
W (λ) = − BC0 (ψ) = BCπ ( ϕ).

(2.1.4)

Với mỗi x cố định ϕ( x, λ) và ψ( x, λ) là hàm nguyên theo λ do đó W (λ) cũng
vậy. Ta có khẳng định sau đây.
Định lý 2.1.3. ([7]) Gọi {λn }∞
n=0 là tập các không điểm của hàm nguyên W ( λ ).
Khi đó tập các giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville σp ( L) = {λn }∞
n=0 . Hơn
nữa, với mỗi λn các hàm ϕ( x, λn ) và ψ( x, λn ) là các hàm riêng ứng với giá trị
riêng λn và có một dãy β n = 0 sao cho
ψ( x, λn ) = β n ϕ( x, λn ).

(2.1.5)

Chứng minh. Cho λ0 là một không điểm của W (λ). Khi đó từ (2.1.2) và
(2.1.4), tồn tại β 0 = 0 sao cho ψ( x, λ0 ) = β 0 ϕ( x, λ0 ) với mọi x ∈ [ a, b].
Do đó các hàm ψ( x, λ0 ) và ϕ( x, λ0 ) là các hàm riêng ứng với giá trị riêng λ0 .
Ngược lại, cho λ0 là một giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville, y0 là một
hàm riêng tương ứng với λ0 . Khi đó BCa (y0 ) = BCb (y0 ) = 0.
Xét trường hợp sin(α) và cos(α) đều khác 0. Ta có y0 (0) = 0, ngược lại

y0 (0) = 0 thì y0 (0) = 0 theo định lý tồn tại duy nhất nghiệm y0 đồng nhất
bằng 0, mâu thuẫn với y0 là hàm riêng. Do nhân với hằng số nếu cần ta giả
sử y0 (0) = sin(α), khi đó y0 (0) = − cos(α). Theo định lý tồn tại duy nhất
nghiệm ta được y0 ( x ) = ϕ( x, λ0 ). Do đó
W (λ0 ) = BCb ( ϕ( x, λ0 )) = BCb (y0 ( x )) = 0.
Với các điều kiện biên khác lập luận tương tự.


2.2. Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng

14

Định lý 2.1.4. ([7]) Ta đặt
b

αn :=

a

ϕ2 ( x, λn )dx,

(2.1.6)

với λn là một giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville. Khi đó với mỗi n đẳng thức
sau xảy ra
β n α n = −W ( λ n ) ,
(2.1.7)
trong đó β n định nghĩa như trong (2.1.5) và W (λ) =
các không điểm của W (λ) là không điểm đơn.

d
W (λ). Khi đó ta thấy
dλ

Chứng minh. Do

−ψ ( x, λ) + q( x )ψ( x, λ) = λψ( x, λ), − ϕ ( x, λn ) + q( x ) ϕ( x, λn ) = λn ϕ( x, λn ),
nên ta có:
d
W {ψ( x, λ), ϕ( x, λn )} = (λ − λn )ψ( x, λ) ϕ( x, λn ).
dx
Lấy tích phân đẳng thức trên ta được:
b

(λ − λn )

a

ψ( x, λ) ϕ( x, λn )dx = W (λn ) − W (λ).

Cho λ → λn ta thu được
π
0

ψ( x, λn ) ϕ( x, λn )dx = −W (λn ).

Sử dụng (2.1.5) và (2.1.6) ta thu được (2.1.7). Ta có W (λn ) = 0 do αn , β n = 0.
Vì vậy λn là không điểm đơn của W (λ).

2.2

Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và
hàm riêng

Sau đây ta xét toán tử Sturm-Liouville L = −
Đặt cot(α) = −h, cot( β) = H, khi đó

d2
+ q( x ) với x ∈ [0, π ].
dx2

D ( L) = {y( x ) ∈ C2 [0, π ], BC0 (y) = BCπ (y) = 0},

(2.2.1)


15

2.2. Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng
trong đó
BC0 (y) = y (0) − hy(0) và BCπ (y) = y (π ) + Hy(π ).

(2.2.2)

Đầu tiên giả sử h, H = ∞. Gọi ϕ( x, λ) và ψ( x, λ) là các nghiệm của cùng
phương trình:
y ( x ) + (λ − q( x ))y( x ) = 0,
(2.2.3)
thỏa mãn các điều kiện ban đầu
ϕ(0, λ) = 1, ϕ (0, λ) = h;

(2.2.4)

ψ(0, λ) = 0, ψ (0, λ) = 1.

(2.2.5)

Khi đó ϕ( x, λ) và ψ( x, λ) thỏa mãn các ràng buộc như trong bổ đề dưới đây.
Bổ đề 2.2.1. ([9]) Cho λ = s2 . Khi đó
1
h
ϕ( x, λ) = cos(sx ) + sin(sx ) +
s
s
1
1
ψ( x, λ) = sin(sx ) +
s
s

x

sin{s( x − τ )}q(τ ) ϕ(τ, λ)dτ, (2.2.6)
0

x

sin{s( x − τ )}q(τ )ψ(τ, λ)dτ.

(2.2.7)

0

Chứng minh. Ta đi chứng minh ràng buộc (2.2.6). Do ϕ( x, λ) thỏa mãn
phương trình (2.2.3) nên
x

x

sin{s( x − τ )}q(τ ) ϕ(τ, λ)dτ =
0

sin{s( x − τ )} ϕ (τ, λ)dτ
0
x

+s

2

sin{s( x − τ )} ϕ(τ, λ)dτ.
0

Sử dụng tích phân từng phần hai lần ta có:
x

sin{s( x − τ )} ϕ (τ, λ)dτ
0
x

= −h sin(sx ) + sϕ( x, λ) − s cos(sx ) − s

2

ϕ(τ, λ) sin{s( x − τ )}dτ.
0

Từ đó ta thu được ràng buộc (2.2.6). Ràng buộc (2.2.7) được chứng minh
tương tự.


16

2.2. Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng

Mệnh đề 2.2.1. ([9]) Cho s = σ + it. Khi đó có s0 > 0 sao cho với |s| > s0 ta có
các ước lượng:
ϕ( x, λ) = O(e|t| x ), ψ( x, λ) = O(|s|−1 e|t| x ),

(2.2.8)

ϕ( x, λ) = cos(sx ) + O(|s|−1 e|t| x ),

(2.2.9)

chính xác hơn
sin(sx )
+ O(|s|−2 e|t|x ),
s
các ước lượng này xảy ra đều theo x ∈ [0, π ].

ψ( x, λ) =

(2.2.10)

Chứng minh. Đặt ϕ( x, λ) = e|t| x F ( x, λ). Khi đó từ (2.2.6) ta có:
F ( x, λ) = {cos(sx ) +
Do cos(sx )e−|t| x =

h
1
sin(sx )}e−|t| x +
s
s

x
0

sin{s( x − τ )}e−|t|( x−τ ) q(τ ) F (τ, λ)dτ.

e−(t+|t|) x + e(t−|t|) x
eiσx−tx + e−iσx+tx −|tx|
e
≤
≤ 1,
2
2

tương tự ta có:

| sin(sx )e−|t|x | ≤ 1,

| sin{s( x − τ )}e−|t|(x−τ ) | ≤ 1( với τ ≤ x ).

Vì vậy, ta được

|h|
1 x
+
|q(τ )|| F (τ, λ)|dτ
|s| |s| 0
x
1
|h|
+
sup |q(τ )|
| F (τ, λ)|dτ.
≤ 1+
|s| |s| τ ∈[0,π ]
0

| F ( x, λ)| ≤ 1 +

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân ta có:

| F ( x, λ)| ≤ C2 (1 + C1 xeC1 x ),
|h|
1
, C1 =
supτ ∈[0,π ] |q(τ )|.
|s|

|s|
Lấy s0 = max{|h|, π supτ ∈[0,π ] |q(τ )|}, khi đó với |s| > s0 ta có:
trong đó C2 = 1 +

| F ( x, λ)| ≤ 2(1 + e), ∀ x ∈ [0, π ] hay ϕ( x, λ) = O(e|t| x ) đều theo x.
Tiếp theo ta đi chứng minh (2.2.8) với hàm ψ( x, λ). Ta đặt
ψ( x, λ) = |s|−1 e|t| x f ( x, λ).


17

2.2. Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng
Từ (2.2.7) ta có:

|s|−1 e|t|x f ( x, λ) =

x

1
1
sin(sx ) +
s
s

0

sin{s( x − τ )}q(τ )|s|−1 e|t|τ f (τ, λ)dτ.

Vì vậy, ta được
1

|s|
sin(sx )e−|t| x +
s
s

f ( x, λ) =

x
0

sin{s( x − τ )}e−|t|( x−τ ) q(τ ) f (τ, λ)dτ.

Do đó, ta có:

| f ( x, λ)| ≤ 1 +

1
sup |q(τ )|
|s| τ ∈[0,π ]

x
0

| f (τ, λ)|dτ.

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân ta được:

| f ( x, λ)| ≤ 1 +

1

π
sup |q(τ )|. exp(π (
sup |q(τ )|)).
|s| τ ∈[0,π ]
|s| τ ∈[0,π ]

Lấy s0 = π supτ ∈[0,π ] |q(τ )|, với |s| > s0 ta có: | f ( x, λ)| ≤ 1 + e. Do đó ta
được f ( x, λ) = O(1), nên ψ( x, λ) = O(|s|−1 e|t| x ).
Thay (2.2.8) vào (2.2.6) ta được (2.2.9). Thật vậy, từ (2.2.6) ta có:
ϕ( x, λ) − cos(sx ) =
Vì

h
1
sin(sx ) +
s
s

x
0

sin{s( x − τ )}q(τ ) ϕ(τ, λ)dτ.

h sin(sx )
sin(sx )h/s
≤
h,
nên
= O(|s|−1 e|t|x ). Ngoài ra, ta có:
|

t
|
x
s
| s | −1 e
1
s

x
0

sin{s( x − τ )}q(τ ) ϕ(τ, λ)dτ ≤ |s|−1 e|t| x

π
0

|q(τ )|dτ.

Tóm lại ϕ( x, λ) − cos(sx ) = O(|s|−1 e|t| x ) đều theo x. Một cách tương tự thay
(2.2.8) vào (2.2.7) ta được (2.2.10).
Sau đây là định lý chính của mục này, ta đưa ra công thức tiệm cận cho
các giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Sturm-Liouville.
Định lý 2.2.1 (Công thức tiệm cận). ([9]) Xét toán tử Sturm-Liouville
L = −d2 /dx2 + q( x ) với D ( L) = {y ∈ C2 [0, π ] : BC0 (y) = BCπ (y) = 0}


18

2.2. Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng

và giả thiết q( x ) là hàm thực liên tục trên [0, π ] và h, H = ∞. Khi đó ( L, D ( L))
có một tập đếm được các giá trị riêng {λn }n≥0 sao cho với n đủ lớn có đúng một
√
sn = λn gần n, chính xác hơn
sn =

λn = n + O

1
n

(2.2.11)

Nếu giả thiết mạnh hơn, q( x ) là hàm thực khả vi liên tục cấp một trên [0, π ] ta có
công thức tiệm cận tốt hơn
λn = n +

sn =

c
+O
πn

1
n2

(2.2.12)

1 π
q(τ )dτ. Ngoài ra, ta có công thức tiệm

2 0
cận cho các hàm riêng đã được chuẩn hóa như sau

trong đó c = h + H + h1 với h1 =

vn ( x ) =

2
π

cos(nx ) +

trong đó β( x ) = −cx + h +

1
2

x
0

β( x )sin(nx )
n

+O

1
n2

,

(2.2.13)

q(τ )dτ.

Chứng minh. Nhắc lại, hàm ϕ( x, λ) là nghiệm của phương trình (2.2.3) thỏa
mãn điều kiện ban đầu (2.2.4) do đó ϕ( x, λ) thỏa mãn BC0 ( ϕ( x, λ)) = 0. Từ
định lý 2.1.3 các giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville là không điểm của
W (λ) = BCπ ( ϕ( x, λ)) = ϕ x (π, λ) + H ϕ(π, λ) = 0.

(2.2.14)

Với x = π, (2.2.9) trở thành:
ϕ(π, λ) = cos(sπ ) + O(|s|−1 e|t|π ).

(2.2.15)

Đạo hàm (2.2.6) theo x ta được:
ϕ x ( x, λ) = −s sin(sx ) + h cos(sx ) +

x
0

cos{s( x − τ )}q(τ ) ϕ(τ, λ)dτ.
(2.2.16)

Thay (2.2.9) vào (2.2.16) và sử dụng tích phân từng phần ta được:
ϕ x ( x, λ) = − s sin(sx ) + q1 ( x ) cos(sx )+
1 x
q(τ ) cos{s( x − 2τ )}dτ + O(|s|−1 e|t| x ),
2 0

(2.2.17)


2.2. Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng

19

1 x
q(τ )dτ.
2 0
Thế (2.2.15) và (2.2.17) (lấy tại x = π) vào (2.2.14) ta được:
trong đó q1 ( x ) = h +

W (λ) = −s sin(sπ ) + c cos(sπ ) + κ (s),

(2.2.18)

trong đó
c = H+h+
κ (s) =

1
2

π
0

1
2

π
0

q(τ )dτ,

q(τ ) cos{s(π − 2τ )}dτ + O(|s|−1 e|t|π ).

Ta xét Gδ := {s : |s − k | ≥ δ, k = 0, ±1, ±2, . . . }, với 0 < δ < 1/4 cố định.
Với mọi s ∈ Gδ , s = σ + it, ta sẽ chứng minh rằng tồn tại Cδ > 0 sao cho

|e|t|π | ≤ Cδ | sin(sπ )|.

(2.2.19)

Do | sin(sπ )| = | sin(s∗ π )| và | sin(sπ )| = | sin{(s + 1)π }| nên ta chỉ cần
chứng minh (2.2.19) trên tập
1 1
, t ≥ 0}.
Dδ := {s : |s| ≥ δ, σ ∈ − ,
2 2
Đặt η (s) = |e|t|π / sin(sπ )|, với s ∈ Dδ mà t ≤ 1 ta có η (s) là hàm liên tục
trên tập compact nên bị chặn trên đó, vì vậy |η (s)| ≤ Cδ . Với t ≥ 1 ta có

|η (s)| =

2
e|t|π
2
≤

≤ 4.
= 2iσπ −2tπ
sin(sπ )
1 − e−2tπ
e
e
−1

Như vậy ta đã chứng minh (2.2.19). Tiếp theo ta dễ thấy các bất đẳng thức
sau đây: (với t0 ∈ [0, π ] bất kì )

| cos(sπ )| ≤ e|t|π và | cos{s(π − 2t0 )}| ≤ e|t||π −2t0 | ≤ etπ .
Do đó với s ∈ Gδ ta có:

| cos(sπ )| ≤ Cδ | sin(sπ )| và | cos{s(π − 2t0 )}| ≤ Cδ | sin(sπ )|.

(2.2.20)

Như vậy từ (2.2.18), (2.2.19), (2.2.20) với s ∈ Gδ ta có:
1
W (λ) + s sin(sπ ) = s sin(sπ )(1 + O( )).
s

(2.2.21)


2.2. Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng

20

Trong s-phẳng xét các đường tròn γn := {s : |s| = n + 1/2}. Với δ < 1/4
ta có γn nằm trong Gδ . Ta đặt W1 (s) := W (λ). Với n đủ lớn và s ∈ γn , từ
(2.2.21) ta có:
|W1 (s) + s sin(sπ )| < |s sin(sπ )|.
Vì vậy theo định lý Rouche, bên trong γn số không điểm của W1 (s) (tính cả
bội) bằng số không điểm của s sin(sπ ) là 2n + 2. Như vậy số không điểm
của W (λ) hay số các giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville bên trong γn
là n + 1. Cho n chạy ra vô cùng ta thu được toán tử Sturm-Liouville có một
dãy vô hạn các giá trị riêng.
Với n đủ lớn chỉ có duy nhất một không điểm sn của W1 (s) gần n. Thật vậy
ta áp dụng định lý Rouche cho W1 (s), s sin(sπ ) trong hình tròn |s − n| ≤ δ.
Với n đủ lớn để |W1 (s) + s sin(sπ )| < | − s sin(sπ )| xảy ra trên biên của hình
tròn. Khi đó ta thu được số không điểm của W1 (s) bằng số không điểm của
s sin(sπ ) là bằng 1. Do δ là bé tùy ý ta được:
sn = n + δn với δn = o (1) khi n → ∞.

(2.2.22)

Thế (2.2.22) vào (2.2.18) ta được:
0 = W1 (s) = −(n + δn ) sin(n + δn )π + c cos(n + δn )π + κn ,
và hệ quả là −n sin(δn π ) + c cos(δn π ) + κn = 0. Từ đó ta thu được
sin(δn π ) = O(1/n) hay δn = O(1/n). Do đó sn = n + O(1/n).
Tiếp theo, ta giả thiết q( x ) khả vi liên tục trên [0, π ]. Thế (2.2.6) và (2.2.16)
lấy tại x = π vào (2.2.14) ta được:

(−s + B) sin(sπ ) + A cos(sπ ) = 0,

(2.2.23)

trong đó

π

A = h+H+

0

(cos(sτ ) −

H
sin(sτ ))q(τ ) ϕ(τ, λ)dτ,
s

π H
hH
+
{ cos(sτ ) − sin(sτ )}q(τ ) ϕ(τ, λ)dτ.
s
s
0
Bây giờ, xét với s giá trị thực (2.2.9) trở thành

B=

ϕ( x, λ) = cos(sx ) + O(1/s).

(2.2.24)
(2.2.25)

(2.2.26)

21

2.2. Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng
Thế (2.2.26) vào (2.2.24) ta được
π

A = h+H+

0

1
2

= h+H+

(cos(sτ ) − H sin(sτ )/s)q(τ ) cos(sτ )dτ + O(1/s)
π

0

q(τ )dτ +

1
2

π
0

cos(2sτ )q(τ )dτ + O(1/s).

Tương tự thế (2.2.26) vào (2.2.25) ta được
B=

1
2

π
0

sin(2sτ )q(τ )dτ + O(1/s).

Do q( x ) khả vi liên tục, tích phân từng phần ta được:
π
0

π

q(τ ) cos(2sτ )dτ = O(1/s),

0

sin(2sτ )q(τ )dτ = O(1/s).

Do đó, ta thu được
A = h+H+

1
2

π
0

q(τ )dτ + O(1/s) = c + O(1/s) và B = O(1/s). (2.2.27)

Từ (2.2.23) và (2.2.27) ta được
tan(sπ ) =

c + O(1/s)
.
s + O(1/s)

Viết lại sn = n + δn thế vào đẳng thức trên ta được
tan δn π =

c
+O
n

1
n2

.

Do đó ta thu được
c
c
δn =
+ O(1/n2 ) và sn = n +
+ O(1/n2 ).

πn
πn

(2.2.28)

Tiếp theo ta đặt ϕ( x, λn ) = ϕn ( x ). Ta sẽ viết công thức tiệm cận cho các
hàm riêng. Thay (2.2.26) vào (2.2.6) và sử dụng tính khả vi liên tục của q( x )
ta được
h
1 x
sin(sx ) +
sin{s( x − τ )} cos(sτ )q(τ )dτ + O(1/s)
s
s 0
h
sin(sx ) x
= cos(sx ) + sin(sx ) +
q(τ )dτ + O(1/s2 ).
s
2s
0

ϕ( x, λ) = cos(sx ) +

Thế (2.2.28) vào đẳng thức trên ta được:
cx
h
sin(nx )
sin(nx ) + sin(nx ) +
n

n
2n
β( x )
= cos(nx ) +
sin(nx ) + O(1/n2 ),
n

ϕn ( x ) = cos(nx ) −

x
0

q(τ )dτ + O(1/n2 )


22

2.2. Công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng
1
trong đó β( x ) = −cx + h +
2
Ta có
α2n :=

π
0

cos2 (nx )dx +

1

n

π
0

x
0

q(τ )dτ. Cuối cùng ta đi chuẩn hóa ϕn ( x ).

β( x ) sin(2nx )dx + O(1/n2 ) =

π
+ O(1/n2 ).
2

Từ đó ta được
vn ( x ) :=

2
β( x )
{cos(nx ) +
sin(nx )} + O(1/n2 ).
π
n

1
ϕn ( x ) =
αn

(2.2.29)

Chú ý:
Tiếp theo ta xét các kiểu điều kiện biên tách nhau kiểu khác, đầu tiên ta đi
xét trường hợp h = ∞, H = ∞( trường hợp h = ∞, H = ∞ có thể đưa về
trường hợp này bằng đổi biến t = π − x). Với trường hợp này ta có
BC0 (y) = y(0) và BCπ (y) = y (π ) + Hy(π ).
Ta có hàm ψ( x, λ) xác định bởi phương trình (2.2.3) và điều kiện ban đầu
(2.2.5) thỏa mãn BC0 (ψ( x, λ)) = 0. Các giá trị riêng của toán tử SturmLiouville khi đó sẽ là không điểm của hàm
(2.2.30)

W (λ) = BCπ (ψ( x, λ)) = ψx (π, λ) + Hψ(π, λ).
Đạo hàm (2.2.7) theo x ta được:
x

ψx ( x, λ) = cos(sx ) +

0

cos{s( x − τ )}q(τ )ψ(τ, λ)dτ.

(2.2.31)

Thế (2.2.7) và (2.2.31) lấy tại x = π vào (2.2.30) ta được:
π

cos(sπ ) +
H

0

cos{s(π − τ )}q(τ )ψ(τ, λ)dτ +

sin(sπ ) 1
+
s
s

π
0

(2.2.32)
sin{s(π − τ )}q(τ )ψ(τ, λ)dτ

= 0.

Sử dụng ước lượng (2.2.10) với s giá trị thực ta được:
cos(sπ ) +

1
s

π
0

cos{s(π − τ )}q(τ ) sin(sτ )dτ +

H sin(sπ )
+ O(1/s2 ) = 0.
s

(2.2.33)