Về một bài toán cân bằng tách và ứng dụng trong thị trường điện

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ VUI

VỀ MỘT BÀI TOÁN CÂN BẰNG TÁCH VÀ ỨNG
DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG ĐIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ VUI

VỀ MỘT BÀI TOÁN CÂN BẰNG TÁCH VÀ
ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG ĐIỆN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. Lê Dũng Mưu

Hà Nội - Năm 2018


Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Danh mục ký hiệu

1

Lời nói đầu

2

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . .

9

1.3

Toán tử chiếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .

14

Chương 2. Bài toán cân bằng tách và ứng dụng
2.1

Bài toán cân bằng

17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Bài toán tối ưu hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2

Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.3

Bài toán điểm bất động Kakutani . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.4

Cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác . . . . . . .

24

2.1.5

Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.6

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . .

26

2.2

Bài toán cân bằng tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3

Ứng dụng vào bài toán sản xuất điện . . . . . . . . . . . . . . .

41

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46

i


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS. TSKH.
Lê Dũng Mưu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các
thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại
học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN, cũng như quý thầy cô
tham gia giảng dạy khóa cao học 2016 - 2018 đã có công lao giảng dạy tôi trong
suốt thời gian học tập tại Trường.
Nhận dịp này, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,

bạn bè và đồng nghiệp đã luôn bên tôi cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2018
Học viên

Đỗ Thị Vui

ii


Danh mục ký hiệu
domf

Miền hữu dụng của song hàm f

EP (f, C) Bài toán cân bằng liên kết f và C
liminf

Giới hạn cận dưới đúng

limsup

Giới hạn cận trên đúng

max

Giá trị lớn nhất

min

Giá trị nhỏ nhất

NC (x)

Nón pháp tuyến của C tại x ∈ C

∂f (x)

Dưới vi phân của f tại x

P rC (x)

Hình chiếu của x lên C

proxf (x)

Toán tử gần kề của f

SEO

Bài toán cân bằng tách

SF P

Bài toán chấp nhận tách

Sol(f, C)

Tập nghiệm của bài toán cân bằng

1


Lời nói đầu
Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng ., . và chuẩn . tương
ứng. Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng của H và song hàm f : C × C → R sao
cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Trong luận văn này, chúng ta xét bài toán cân
bằng EP (f, C) sau đây
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Bài toán cân bằng EP (f, C) còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan để ghi nhận
sự đóng góp của ông trong lĩnh vực này.
Bất đẳng thức này được sử dụng lần đầu tiên bởi Nikaido và Isoda (1955)
cho trò chơi bất hợp tác. Sau công bố của Blum và Oettli (1994)(xem phần tài
liệu trích dẫn [6]), bài toán cân bằng EP (f, C) đã thu hút được nhiều chú ý
của các nhà nghiên cứu và một số lượng lớn các bài viết đã được công bố. Điểm
thú vị của bài toán cân bằng EP (f, C) ở chỗ, mặc dù có một công thức rất
đơn giản nhưng nó bao hàm lớp các bài toán quan trọng như bài toán tối ưu
hóa, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash
trong lý thuyết trò chơi không hợp tác, bài toán điểm bất động, . . . Chính vì
vậy bài toán cân bằng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn trong vật
lý, trong ngành kỹ thuật, lý thuyết trò chơi, trong vận tải, kinh tế, hệ thống
mạng điện, . . .
Một số phương pháp giải được đề xuất cho bài toán cân bằng, trong đó
phương pháp chiếu thường được sử dụng. Tuy nhiên, đối với bài toán cân bằng
đơn điệu, phương pháp một phép chiếu có thể không hội tụ. Để khắc phục
nhược điểm này, phương pháp đạo hàm tăng cường (hai phép chiếu) được đề
xuất đầu tiên bởi Korpelevich (1976) cho bài toán điểm yên ngựa được mở rộng
cho bài toán cân bằng giả đơn điệu.
2

Gần đây phương pháp chiếu dưới vi phân không chính xác được phát triển
cho bài toán song hàm cân bằng tiền đơn điệu trong không gian Euclid hữu
hạn chiều. Phương pháp này chỉ dùng một phép chiếu tại mỗi vòng lặp, nhưng
vẫn đảm bảo tính hội tụ. Nói ngắn gọn, tại mỗi vòng lặp k, xk+1 được định
nghĩa như phép chiếu xấp xỉ của xk − αk gk lên C trong đó gk là xấp xỉ đường
chéo dưới đạo hàm của hàm lồi f (xk , .) tại xk . Với cách chọn cỡ bước αk phù
hợp, dãy lặp hội tụ tới nghiệm của bài toán cân bằng EP (f, C).
Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert hữu hạn chiều được giới
thiệu đầu tiên bởi Censor và Elving (1994) cho mô hình bài toán ngược, nó
được xuất phát từ việc tái tạo và khôi phục lại hình ảnh y tế (Byrne 2002).
Gần đây, người ta phát hiện ra rằng bài toán này có thể được sử dụng để điểu
chỉnh cường độ bức xạ.
Về mặt toán học, bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert thực có
thể phát biểu như sau: cho H1 và H2 là hai không gian Hilbert thực và C ⊆ H1 ,
Q ⊆ H2 là các tập lồi, đóng, khác rỗng, A : H1 → H2 là toán tử tuyến tính bị
chặn. Bài toán chấp nhận tách được định nghĩa như sau
Tìm x∗ ∈ C sao cho Ax∗ ∈ Q ∀y ∈ C.
Bài toán chấp nhận tách được ký hiệu là SF P .
Gần đây, bài toán này trong đó C và Q là các tập nghiệm của bất đẳng
thức biến phân và tập điểm bất động được nghiên cứu và một số thuật toán
sử dụng phép chiếu kết hợp với ánh xạ gần kề, điển hình như Kraikaew và
Saejung (2014)(xem phần tài liệu trích dẫn [6]), Lopezetal (2012), Moudafi
(2011)(xem phần tài liệu trích dẫn [6]), Moudafi và Thakur (2014) và Tang et
al. (2014)(xem phần tài liệu trích dẫn [6]) và trong các Luận án Tiến sĩ của
Trần Việt Anh [1], Đặng Xuân Sơn [5] và nhiều tác giả khác.
Trong luận văn này, ta xét trường hợp mở rộng phương pháp của Santos
và Scheimberg (2011) cho bài toán chấp nhận tách với C là tập nghiệm của
bài toán cân bằng tiền đơn điệu trong H1 và Q là tập nghiệm của bài toán lồi
trong H2 . Về mặt toán học, bài toán được phát biểu như sau

Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C và g(Ax∗ ) ≤ g(u) ∀u ∈ H2 ,
3


trong đó g là hàm lồi nửa liên tục dưới trên H2 . Thuật toán được đề xuất bởi
nhóm tác giả Lê Dũng Mưu, Lê Hải Yến và Nguyễn Thị Thanh Huyền, là sự
kết hợp của phép chiếu trong phương pháp của Santos và Scheimberg (2011)
cho bài toán cân bằng với sơ đồ lặp Mann - Kranoselskii cho toán tử gần kề
được xác định bởi bài toán tối ưu hóa, thuật toán đảm bảo hội tụ mạnh. Để
minh họa cho bài toán, ta xét một mô hình cần bằng với chi phí môi trường
tối thiểu phát sinh trong sản xuất điện.
Luận văn gồm hai chương. Chương một chúng ta nhắc lại một số kiến thức
cơ bản về không gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi và toán tử chiếu trong không
gian Hilbert. Chương hai, phần đầu chúng ta tìm hiểu về bài toán cân bằng
với lớp các bài toán con của nó, sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. Tiếp
theo, chúng ta tìm hiểu về bài toán chấp nhận tách với một trường hợp suy
rộng là bài toán cân bằng tách. Thuật toán cho bài toán cân bằng tách và ví
dụ trong sản xuất điện trong tài liệu [6] được trình bày chi tiết.
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2018
Học viên

Đỗ Thị Vui

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả được sử
dụng trong chương tiếp theo của luận văn. Phần đầu chương trình bày về một

số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, hàm lồi và dưới vi phân của hàm
lồi. Mục tiếp theo liên quan tới toán tử chiếu trong không gian Hilbert và các
tính chất của nó. Phần cuối chương nói về một số bổ đề, kết quả được sử dụng
trong chứng minh các kết quả của chương tiếp

1.1

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 (Xem [3]). Cho H là không gian trên trường K. Tích vô
hướng xác định trên H được định nghĩa như sau
., . : H × H → K
(x, y) → x, y ,
thỏa mãn các điều kiện sau đây
a) x, y = y, x ∀x, y ∈ H;
b) x + y, z = x, z + y, z ∀x, y, z ∈ H;
c) λx, y = λ x, y ∀x, y ∈ H, λ ∈ K;
d) x, x ≥ 0 ∀x, y ∈ H và x, x = 0 ⇐⇒ x = 0.
Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y. Cặp H, ., .
gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita).
5

được


Từ định nghĩa, ta thấy rằng tích vô hướng ., . chính là dạng song tuyến
tính xác định dương trên H. Khi đó, H được gọi là không gian tiền Hilbert
thực.
Định lý 1.1.1 (Xem [3]). Cho H là không gian tiền Hilbert. Với mọi x, y ∈ H,
ta luôn có bất đẳng thức sau

x, y

2

≤ x, x y, y .

Nhận xét 1.1.1 (Xem [3]). Bất đẳng thức ở Định lý 1.1.1 được gọi là bất
đẳng thức Schwarz, trong bất đẳng thức Schwarz đấu ” = ” xảy ra khi và chỉ
khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
Định lý 1.1.2 (Xem [3]). Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó, x =
1

x, x 2 , x ∈ H xác định một chuẩn trên H.
Một không gian tiền Hilbert, xem như không gian định chuẩn, có thể đầy
đủ hoặc không đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.2 (Xem [3]). Một không gian tiền Hilbert và đầy đủ với chuẩn
cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.1. Ta xét một số ví dụ về không gian Hilbert
a) Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng x, y =

n

xi yi , trong
i=1

đó x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn .
b) Xét không gian
∞
2

|xn |2 < +∞ .

l = x = (xn )n ∈ K :
n=1

Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn x =
∞

kiểm tra rằng x, y =

∞

|xn |2 . Dễ dàng
n=1

xi yi xác định một tích vô hướng trong l2 và nó

n=1
∞

cảm sinh chuẩn x =

|xn |2 . Vậy l2 là một không gian Hilbert.

n=1

6


c) Cho (X, A, µ) là một không gian độ đo và E ∈ A. Xét không gian

L2 (E, µ) = f : E → R :

|f |2 dµ < ∞ .
E

2

2

|f | dµ

Ta đã biết, L (E, µ) là không gian Banach với chuẩn f =

1
2

.

E

Hơn nữa, với f, g ∈ L2 (E, µ), từ bất đẳng thức Holder về tích phân, ta có
2

|f g|dµ ≤
E

|f | dµ

1
2

2

|g| dµ

1
2

< +∞.

E

E

Ta dễ dàng kiểm tra được
f, g =

f gdµ
E

xác định một tích vô hướng trong L2 (E, µ) và L2 (E, µ) là một không gian
Hilbert thực.
Tiếp theo là một số tính chất cơ bản của không gian Hilbert.
Định lý 1.1.3 (Xem [3]). Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó, ., . :
H × H → R là một hàm liên tục.
Chứng minh. Cho {xn }, {yn } là hai dãy trong không gian tiền Hilbert H lần
lượt hội tụ đến x0 , y0 . Khi đó, ta có
| xn , yn − x0 , y0 | ≤ | xn , yn − xn , y0 | + | xn , y0 − x0 , y0 |
= | xn , yn − y0 | + | xn − x0 , y0 |
≤ xn

yn − y0 + y0

xn − x0 .

Theo giả thiết, (xn ) hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số
M > 0 sao cho xn ≤ M với mọi n ∈ N.
Vì vậy, ta có
| xn , yn − x0 , y0 | ≤ M yn − y0 + y0
Cho n → ∞, theo giả thiết, ta có
lim | xn , yn − x0 , y0 | = 0

n→∞

7

xn − x0 .


hay
lim xn , yn = x0 , y0 .

n→∞

Do đó, tích vô hướng là một hàm liên tục.
Định lý 1.1.4 (Xem [3]). Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta
luôn có bất đẳng thức hình bình hành sau đây
x+y

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

.

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có
x+y

2

= x + y, x + y = x

2

+ x, y + y, x + y 2 ,

x−y

2

= x − y, x − y = x

2

− x, y − y, x − y 2 .

Cộng vế với vế của hai đẳng thức trên ta thu được đẳng thức cần phải chứng
minh.
Hệ quả 1.1.1 (Xem [3]). Giả sử H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈
H. Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius
2 x−y

2

+ x−z

2

=4 x−

y+z
2

2

+ y + z 2.

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức hình bình hành cho hai vectơ x − y và

x − z ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.1.5 (Xem [3]). Giả sử (H, . ) là một không gian định chuẩn trên
trường K, trong đó đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H
x+y

2

+ x−y

2

=2

x

x+y

2

2

2

.

+ x−y

2

+ y

Khi đó, với trường K, ta đặt
x, y = p(x, y) =

1
4

,

thì ., . là một tích vô hướng trên H và ta có
x, x = x

2

∀x ∈ H.

Định lý 1.1.6 (Xem [3]). Với mọi không gian tiền Hilbert H đều tồn tại một
không gian Hilbert H chứa H sao cho H là một không gian con trù mật trong
H.
8


Định nghĩa 1.1.3 (Xem [3]). Cho H là một không gian Hilbert. Dãy {xn } ⊂ H
được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu với mọi y ∈ H, ta có
lim xn , y = x, y .

n→∞

Định lý 1.1.7 (Xem [3]). Cho H là không gian Hilbert. Khi đó
i) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H và dãy {yn } hội tụ mạnh đến y ∈ H

thì dãy số { xn , yn } hội tụ đến x, y ;
ii) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H và dãy { xn } hội tụ đến x thì dãy
{xn } hội tụ mạnh đến x.

1.2

Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 (Xem [3]). Cho H là không gian Hilbert. Một tập C ⊂ H
được gọi là tập lồi nếu với mọi a, b ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1], ta có
λa + (1 − λ)b ∈ C.
Định lý 1.2.1 (Xem [3]). Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân
với một số thực, tức là, nếu C và D là hai tập lồi trong H thì C ∩ D, αC + βD
cũng là các tập lồi.
Định nghĩa 1.2.2 (Xem [3]). Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (vectơ)
x1 , x2 , . . . , xn nếu
k

k

λj xj , λj ≥ 0, j = 1, k,

x=
j=1

λj = 1.
j=1

Mệnh đề 1.2.1 (Xem [3]). Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp
lồi của các điểm của nó. Tức là, C lồi khi và chỉ khi

k

∀k ∈ N, ∀λ1 , . . . , λk :

k

λj = 1, ∀x1 , . . . , xk ∈ C ⇒
j=1

λj xj ∈ C.
j=1

Mệnh đề 1.2.2 (Xem [3]). Nếu A, B, C là các tập lồi đóng trong H, thì các
tập sau là lồi
A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B},
9


αA + βB := {x : x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R},
A × C := {x ∈ H × H : x = (a, c), a ∈ A, c ∈ C}.
Định nghĩa 1.2.3 (Xem [3]). Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là
giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng.
Như vậy, theo định nghĩa tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một hệ hữu
hạn các bất phương trình tuyến tính. Dạng tường minh của tập lồi đa diện
được cho như sau
C := {x ∈ H : aj , x ≤ bj , j ∈ I, |I| < +∞}.
Mệnh đề 1.2.3 (Xem [3]). Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi.
Chứng minh. Giả sử {Aα }α∈I là họ các tập lồi. Cần chứng minh A = ∩α∈I Aα
là một tập lồi.
Thật vậy, với mọi x1 , x2 ∈ A ⇒ x1 , x2 ∈ Aα , ∀α ∈ I. Do Aα lồi nên với mọi

λ ∈ [0, 1], ta có
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.
Theo định nghĩa, A = ∩α∈I là một tập lồi.
Định nghĩa 1.2.4 (Xem [3]). Một tập C ∈ H được gọi là nón nếu với mọi
x ∈ C và với mọi λ > 0 thì λx ∈ C. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là
nón và là một tập lồi.
Định nghĩa 1.2.5 (Xem [3]). Cho C ⊂ H, x0 ∈ C . Nón pháp tuyến (ngoài)
của tập C tại x0 được định nghĩa như sau
NC (x0 ) := {w : w, x − x0 ≤ 0 ∀x ∈ C}.
Định nghĩa 1.2.6 (Xem [3]). Cho hai tập C, D ∈ H, ta nói siêu phẳng
H := {x : v, x = λ}
i) tách hai tập C và D nếu
v, a ≤ λ ≤ v, b ∀a ∈ C, b ∈ D;

10


ii) tách chặt C và D nếu
v, a < λ < v, b ∀a ∈ C, b ∈ D;
iii) tách mạnh C và D nếu
sup v, a < λ < inf v, b ∀a ∈ C, b ∈ D.
a∈C

b∈D

Tiếp theo là những định lý cơ bản nhất của giải tích lồi.
Định lý 1.2.2 (Xem [3]). Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong H sao
cho C ∩ D = ∅. Khi đó, tồn tại siêu phẳng tách C và D.
Định lý 1.2.3 (Xem [3]). Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong H sao
cho C ∩ D = ∅. Giả sử có ít nhất một tập compact. Khi đó, hai tập C và D có

thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng.
Cho H là không gian Hilbert thực và f : H → R ∪ {+∞}. Tập
domf := {x ∈ H : f (x) < +∞}
được gọi là miền hữu hiệu của hàm f . Ta nói f là hàm chính thường nếu
domf = ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ H.
Định nghĩa 1.2.7 (Xem [3]). f : H → R ∪ {+∞} được gọi là hàm lồi nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
với mọi x, y ∈ domf và mọi λ ∈ (0, 1).
Định lý 1.2.4 (Xem [3]). Cho f và g là hai hàm lồi trên tập lồi C và D tương
ứng. Khi đó, các hàm số αf + βg, ∀α, β ≥ 0; max{f, g} cũng lồi trên C ∩ D.
Một hàm lồi có thể không liên tục tại một điểm trên biên miền xác định
của nó, tuy nhiên nó liên tục tại mọi điểm trong của tập đó theo định lý sau
Định lý 1.2.5 (Xem [3]). Một hàm lồi f xác định trên tập lồi C thì f liên tục
tại mọi điểm trong của C.

11


Tính chất sau đây đặc trưng cho một hàm lồi khả vi và thuận lợi để kiểm
tra tính lồi của một hàm số. Ta kí hiệu f (a) hoặc

f (a) là đạo hàm của f tại

a.
Định lý 1.2.6 (Xem [3]). Cho f : C → R là một hàm khả vi trên tập lồi, mở
C. Điều kiện cần và đủ để f lồi trên C là
f (x) +

f (x), y − x ≤ f (y) ∀x, y ∈ C.

Nếu f khả vi hai lần thì điều kiện cần và đủ để f lồi trên C là với mọi x ∈ C,
ma trận Hessian H(x) của f tại x xác định không âm, tức là
y T H(x)y ≥ 0 ∀x ∈ C, y ∈ Rn .
Như vậy, một dạng toàn phương xT Qx là một hàm lồi khi và chỉ khi Q xác
định không âm. Một dạng toàn phương là một hàm lồi chặt khi và chỉ khi ma
trận của nó xác định dương.
Tính khả vi của một hàm lồi giữ vai trò quan trọng trong các phương pháp
tối ưu hóa. Lớp các hàm lồi có những tính chất khả vi rất đẹp mà các lớp khác
không có. Giả sử f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi. Ta có các khái niệm sau
Định nghĩa 1.2.8 (Xem [3]). Cho hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục
dưới đối với E ⊂ H tại một điểm x, nếu như với mọi dãy {xk } ⊂ E, xk → x,
ta có
lim inf f (xk ) ≥ f (x).
k→∞

Hàm f được gọi là nửa liên tục trên đối với E tại x nếu −f nửa liên tục dưới
đối với E tại x, hay là mọi dãy {xk } ⊂ E, xk → x thì
lim sup f (xk ) ≤ f (x).
k→∞

Hàm f được gọi là liên tục đối với E tại x nếu như nó vừa nửa liên tục trên
và nửa liên tục dưới đối với E tại x.
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới đối với E trong A nếu nó liên tục dưới
đối với E tại mọi điểm thuộc A. Tương tự, ta cũng nói như vậy đối với hàm
nửa liên tục trên và hàm liên tục. Khi f liên tục (nửa liên tục) tại một điểm x
đối với toàn không gian thì ta nói đơn giản f liên tục (nửa liên tục) tại x.
12


Định nghĩa 1.2.9 (Xem [3]). Cho f : H → R ∪ {+∞},

> 0. Một vectơ

w ∈ H được gọi là −dưới đạo hàm của f tại x0 ∈ H nếu
w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) + ∀x ∈ H.
Tập hợp tất cả các −dưới đạo hàm gọi là −dưới vi phân của hàm f tại x0 ,
được kí hiệu là
∂ f (x0 ) := {w ∈ H w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) + ∀x ∈ H}.
Định nghĩa 1.2.10 (Xem [3]). Cho f : H → R ∪ {+∞},

> 0. Một vectơ

w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của f tại x0 ∈ H nếu
w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) ∀x ∈ H.
Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm gọi là dưới vi phân của hàm f tại x0 , được kí
hiệu là
∂f (x0 ) := {w ∈ H w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) ∀x ∈ H}.
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0 ) = ∅.
Với λ > 0 và f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi chính thường, ta có tính chất
∂(λf )(x0 ) = λ∂f (x0 ) với mọi x0 ∈ H. Đối với dưới vi phân của tổng hai hàm
lồi ta có định lý Moreau - Rockafellar
Định lý 1.2.7 ((Moreau - Rockafellar) Xem [3]). Cho f1 , f2 : H → R ∪ {+∞}
là hai hàm lồi chính thường Khi đó
∂(f1 + f2 )(x) ⊃ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) ∀x ∈ H.
Ngoài ra, nếu một trong hai hàm f1 , f2 liên tục tại điểm thuộc miền hữu hiệu
của hàm kia thì
∂(f1 + f2 )(x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x) ∀x ∈ H.
Sau đây là một số ví dụ điển hình về hàm khả dưới vi phân
Ví dụ 1.2.1. Giả sử a ∈ H và hàm f : H → R cho bởi f (x) =
mọi x ∈ H. Khi đó, với mọi x0 ∈ H, ta có

∂f (x0 ) = {x0 − a}.
13

1
x−a
2

2

với


Ví dụ 1.2.2. Giả sử δC : H → R ∪ {+∞} là hàm chỉ của C

0
nếu x ∈ C,
δC (x) :=
+∞ nếu x = C.
Khi đó, với mọi x0 ∈ C, ta có
∂δC (x0 ) = NC (x0 )
trong đó
NC (x0 ) = {p ∈ H : p, x − x0 ≤ 0 ∀x ∈ C}
là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 .

1.3

Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, ta xét
hình chiếu của một phần tử x ∈ H lên C.

Định lý 1.3.1 (Xem [3]). Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất y ∈ C sao cho
x − y = min x − z .
z∈C

Khi đó, điểm y ∈ C được gọi là hình chiếu của x trên C và được ký hiệu là
PC (x).
Định nghĩa 1.3.1 (Xem [3]). Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H, ánh xạ PC : H → C xác định bởi
x − PC (x) = min x − z
z∈C

được gọi là toán tử chiếu trên C.
Ví dụ 1.3.1. Giả sử a, b ∈ Rn , a = 0. Xét nửa không gian C ⊂ Rn và mặt
phẳng K ⊂ Rn cho bởi
C = {x ∈ Rn : a, x − b ≤ 0},
K = {x ∈ Rn : a, x − b = 0}.
14


Khi đó, toán tử chiếu lên C và K lần lượt


x
PC (x) =
a, x − b

a
x −
2

a


x
Pk (x) =
a, x − b

a
x −
2
a

cho bởi
nếu a, x − b ≤ 0,
nếu a, x − b > 0,
nếu a, x − b = 0,
nếu a, x − b = 0.

Ví dụ 1.3.2. Giả sử a ∈ Rn , R > 0 và hình cầu C xác định bởi
C = {x ∈ Rn : x − a ≤ R}.
Khi đó, toán tử chiếu lên C cho bởi


x
PC (x) =
R

(x − a)
a +
x−a

nếu x − a ≤ R,
nếu x − a > R.

Bổ đề sau cho ta một số tính chất của toán tử chiếu lên tập lồi đóng khác
rỗng C trong không gian Hilbert thực H,
Bổ đề 1.3.1 (Xem [3]). Cho x ∈ H và y ∈ C, khi đó
(i) y = PC (x) khi và chỉ khi
x − y, z − y ≤ 0 ∀z ∈ C.
(ii) y = PC (x) khi và chỉ khi
x−y

2

≤ x−z

2

− z−y

2

∀z ∈ C.

(iii)
PC (x) − PC (y)

2

≤ PC (x) − PC (y), x − y ∀x, y ∈ H.

Do đó, ánh xạ PC (.) là không giãn, tức là
PC (x) − PC (y) ≤ x − y ∀x, y ∈ H.
Tiếp theo là một số bổ đề phục vụ chứng minh sự hội tụ của thuật toán
trong Chương 2.
15


Bổ đề 1.3.2 (Xem [3]). Với mỗi x, y, z ∈ H và 0 ≤ a ≤ 1, ta có
ax + (1 − a)y − z

2

≤a x−z

2

+ (1 − a) y − z 2 .

Bổ đề 1.3.3 (Xem [3]). Cho {vk } và {δk } là các dãy số thực không âm thỏa
∞

mãn vk+1 ≤ vk + δk với

δk ≤ +∞. Khi đó, dãy {vk } hội tụ.
k=1

Bổ đề 1.3.4 (Xem [3]). Cho H là không gian Hilbert thực, {ak } là dãy số thực
thỏa mãn 0 < a < ak < b < 1 với mọi k = 1, 2, . . . và {vk }, {ωk } là hai dãy
trong H thỏa mãn

lim sup vk ≤ c, lim sup ωk ≤ c,
k→+∞

lim

k→+∞

Khi đó lim

k→+∞

k→+∞

ak vk + (1 − ak )ωk = c, với c > 0.

vk − ωk = 0.

16


Chương 2
Bài toán cân bằng tách và ứng dụng
Trong chương này, chúng ta tìm hiểu về bài toán cân bằng và các lớp bài
toán liên quan. Tiếp theo là bài toán chấp nhận tách và một trường hợp mở
rộng của bài toán chấp nhận tách là bài toán cân bằng tách. Ta tìm hiểu thuật
toán cho bài toán cân bằng tách và xét ví dụ ứng dụng trong sản xuất điện.

2.1

Bài toán cân bằng

Trước khi trình bày về bài toán cân bằng, ta tìm hiểu một số khái niệm liên
quan đến song hàm f . Cho C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng trong không gian
Hilbert H
Định nghĩa 2.1.1 (Xem [1]). Ánh xạ F : C → H được gọi là
1. γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho
F (x) − F (y), x − y ≥ γ x − y

2

≥ 0 ∀x, y ∈ C;

2. đơn điệu trên C nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;
3. γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ C, ta có
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ γ x − y 2 ;
4. giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C, ta có
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0.
17


Ví dụ 2.1.1. Cho ánh xạ F : C → Rn với F (x) = Ax. Khi đó
1. Nếu A là ma trận vuông, đối xứng, nửa xác định dương thì F đơn điệu
trên C.
2. Nếu A là ma trận vuông, đối xứng, xác định dương trên C thì F γ-đơn
điệu mạnh trên C.
Định nghĩa 2.1.2 (Xem [1]). Song hàm f : C × C → R được gọi là
1. γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho
f (x, y) + f (y, x) ≤ −γ x − y

2

∀x, y ∈ C;

2. đơn điệu trên C nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 ∀x, y ∈ C;
3. γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ C, ta có
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ −γ x − y 2 ;
4. giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C, ta có
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0.
Chú ý rằng nếu ánh xạ F là γ-đơn điệu mạnh (đơn điệu, γ-giả đơn điệu
mạnh, giả đơn điệu) trên C thì song hàm
f (x, y) := F (x), y − x
cũng γ-đơn điệu mạnh (đơn điệu, γ-giả đơn điệu mạnh, giả đơn điệu) trên C.
Ngoài ra, các khái niệm đơn điệu của toán tử và của song hàm có các mối quan
hệ như sau
. tính đơn điệu mạnh kéo theo tính đơn điệu và tính đơn điệu kéo theo tính
giả đơn điệu;

18


. tính đơn điệu mạnh kéo theo tính giả đơn điệu mạnh và tính giả đơn điệu
mạnh kéo theo tính giả đơn điệu.
Tuy nhiên, tính giả đơn điệu không suy ngược ra được tính đơn điệu hay giả
đơn điệu mạnh, đồng thời ta cũng không có kết quả nào về mối quan hệ giữa
tính đơn điệu và tính giả đơn điệu mạnh. Các ví dụ sau chỉ ra điều này.
Ví dụ 2.1.2. Xét trong R2 , C := R2 , cho

A=

0

1

−1 0

.

Xét song hàm
f (x, y) := Ax, y − x .
Dễ thấy, f (x, y)+f (y, x) = 0 ∀x, y ∈ C nên f đơn điệu trên C nhưng không
đơn điệu mạnh trên C và do đó không giả đơn điệu mạnh trên C.
Xét song hàm
g(x, y) := x

2

AT x, y − x .

Song hàm g giả đơn điệu trên C, tuy nhiên nó không giả đơn điệu mạnh và
cũng không đơn điệu. Thật vậy, lấy x = (1, 1), y = (0, 1), ta có
g(x, y) + g(y, x) = 1 > 0.
Ví dụ 2.1.3. Cho 0 < r < R, đặt C = B(r) := {x ∈ H : x ≤ r} và song
hàm f xác định bởi
f (x, y) := h(x, y) + (R − x )g(x, y),
trong đó h và g thỏa mãn các điều kiện sau
i) h(x, y) ≤ 0 ∀x, y ∈ C và g là β-đơn điệu mạnh trên C,
ii) ∃y 0 ∈ C sao cho


h(0, y 0 ) + h(y 0 , 0) = 0,
Rg(0, y 0 ) + (R − y 0 )g(y 0 , 0) > 0.

19


Để chỉ ra f giả đơn điệu mạnh trên C, ta giả thiết f (x, y) ≥ 0. Khi đó,
do h(x, y) ≤, ta suy ra g(x, y) ≥ 0. Do tính đơn điệu mạnh của g, kéo theo
g(y, x) ≤ −β x − y 2 . Từ đó, theo định nghĩa của f (y, x) ta có
f (y, x) = h(y, x) + (R − y )g(y, x) ≤ −(R − r)β y − x

2

∀x, y ∈ C.

Do đó, f giả đơn điệu mạnh hệ số (R − r)β trên C.
Song hàm f không giả đơn điệu trên C vì theo giả thiết ii) ta được
f (0, y 0 ) + f (y 0 , 0) = h(0, y 0 ) + Rg(0, y 0 ) + h(y 0 , 0) + (R − y 0 )g(y 0 , 0) > 0.
Một ví dụ cụ thể về các hàm g và h thỏa mãn điều kiện i) và ii) là
g(x, y) := x, y − x + m( y

2

− x 2 ) với m > 0

và
h(x, y) := (x − y)T A(y − x)
với A : H → H là một toán tử tuyến tính thỏa mãn h(x, y) ≤ 0 với mọi
x, y ∈ C.

Dễ thấy g là song hàm đơn điệu mạnh với mọi m > 0. Hơn nữa, ta có
Rg(0, y) + (R − y )g(y, 0) = [mR − (m + 1)R + (m + 1) y ] y

2

= [(m + 1) y − R y 2 ].
R−r
Do đó, nếu m >
thì điều kiện ii) được thỏa mãn với mọi y 0 ∈ C =
r
R
và (y 0 )T Ay 0 .
B(r) với y 0 >
m+1
Ngày nay, trong xu thế hội nhập của thế giới và mối liên quan mật thiết
của các đối tác, một phương án tối ưu có thể tốt cho đối tác này nhưng lại
không thỏa mãn đối tác khác. Ta xét mô hình có nhiều đối tác tham gia, trong
đó mỗi đối tác đều có một hàm lợi ích riêng. Giả sử mỗi quyết định của đối
tác này phụ thuộc vào chiến lược của đối tác khác. Thông thường lợi ích của
đối tác hay mâu thuẫn, thậm chí đối kháng nhau. Trong trường hợp này, một
phương án tối ưu cho tất cả các đối tác thường là không tồn tại. Khi đó, người
ta nghĩ đến một phương án mang tính cân bằng để "thu hút" được mọi đối
tác, theo nghĩa nếu bất kỳ một đối tác nào đó ra khỏi điểm cân bằng, thì đối
20


tác đó sẽ bị thua thiệt. Ta sẽ hiểu rõ thêm về khái niệm cân bằng khi xét bài
toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác, sẽ trình bày dưới đây. Một
cách hình thức ta sẽ mô tả bài toán cân bằng như sau: Cho C là tập con lồi,
đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và f : C × C → R là song

hàm phi tuyến. Bài toán cân bằng liên kết f và C, viết tắt EP (f, C), được
phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C,
trong đó f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Chúng ta gọi các song hàm thỏa mãn tính
chất này là song hàm cân bằng trên C. Như thường lệ, ta sẽ gọi C là tập chấp
nhận được và f là song hàm cân bằng của bài toán EP (f, C).
Về mặt hình thức, bài toán này khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm nhiều
lớp bài toán liên quan thuộc khá nhiều lĩnh vực, ví dụ như bài toán tối ưu hóa,
bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash
trong lý thuyết trò chơi không hợp tác, bài toán điểm bất động, . . .
2.1.1

Bài toán tối ưu hóa

Xét bài toán
min{ϕ(x)|x ∈ C}.
Đặt
f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x).
Hiển nhiên
ϕ(x) ≤ ϕ(y) ∀y ∈ C ⇔ f (x, y) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Như vậy, bài toán tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài toán EP (f, C).
2.1.2

Bất đẳng thức biến phân
n

Cho F : C → 2R là một ánh xạ đa trị (tức là mỗi x ∈ C, giá trị F (x) là
một tập hợp trong Rn ). Xét bài toán
Tìm x∗ ∈ C, v ∗ ∈ F (x) sao cho v ∗ , y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ C.

(VI)

Ta có thể minh họa bất đẳng thức biến phân (VI) dưới góc độ mô hình kinh tế
như sau. Giả sử C là một tập hợp các chiến lược (tập ràng buộc) các phương
21