Phân tích ứng xử uốn dầm nhịp đơn sử dụng mô hình phần tử rời rạc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRÌNH MINH PHONG

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ UỐN DẦM NHỊP ĐƠN SỬ DỤNG
MÔ HÌNH PHẦN TỬ RỜI RẠC

Chuyên ngành:Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp
Mã ngành: 605820

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp.HCM, 01 – 2016


CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
Cán bộ hướng dẫn:

PGS.TS. Lương Văn Hải

Cán bộ chấm nhận xét 1:

TS. Hồ Đức Duy

Cán bộ chấm nhận xét 2:

TS. Vũ Tân Văn

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM, ngày
18 tháng 02 năm 2016.
Thành phàn Hội đồng đánh giá Luận vãn thạc sĩ gồm:
1. PGS.TS Bùi Công Thành

- Chủ tịch Hội đồng

2. TS. Nguyễn Vãn Hiếu

-

Thư ký

3. TS. Hồ Đúc Duy

- ủy viên (Phản biện 1)

4. TS.VŨ Tân Văn
- ủy viên (Phản biện 2)
5. PGS.TS Nguyễn Trung Kiên - ủy viên
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: TRÌNH MINH PHONG

MSHV: 12214088

Ngày, tháng, năm sinh: 02/08/1989

Nơi sinh: Trà Vinh

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp
Mã số: 605820
I. TÊN ĐỀ TÀI :Phân tích ứng xử uốn dầm nhịp đơn sử dụng mô hình phần tử
rời rạc
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
1. Sử dụng mô hình dầm rời rạc để phân tích ứng xửuốn của dầm nhịp đơn.
2. Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để thiết lập công thức tính toán các ví dụ số.
3. Kết quả của các ví dụ số sẽ đưa ra các kết luận quan trọng về ứng xử uốn của dầm
rời rạc.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: : 06/07/2015
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 08/01/2016
V.

HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:PGS.TS. LươngVăn Hải

Tp. HCM, ngày... tháng... năm 2016

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
(Họ tên và chữ ký)

PGS. TS. Lương Văn Hải
TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG
(Họ tên và chữ ký)


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn thạc sĩ Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp nằm trong hệ thống
bài luận cuối khóa nhằm trang bị cho học viên cao học khả năng tự nghiên cứu, biết cách
giải quyết những vấn đề cụ thể đặt ra trong thực tế xây dựng... Đó là trách nhiệm và niềm
tự hào của mỗi học viên cao học.
Để hoàn thành đề cương luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân, tôi đã
nhận được sự giúp đỡ nhiều từ tập thể và các cá nhân. Tôi xin ghi nhận và tỏ lòng biết ơn
đến tập thể và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó.
Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS.Lương Văn Hải.Thầy đã
đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài và Thầy góp ý cho tôi rất nhiều
về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu, cũng như cách tiếp cận
nghiên cứu hiệu quả.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Xây dựng Công Trình Dân Dụng Và
Công Nghiệp, trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã truyền dạy những kiến thức quý
giá cho tôi, đó cũng là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa

học và sự nghiệp của tôi sau này.
Đề cương Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của
bản thân, tuy nhiên không thể không có những thiếu sót. Kính mong quý Thầy Cô chỉ dẫn
thêm để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn.
Xin trân trọng cảm ơn.

Tp. HCM, ngày 08 tháng 01 năm 2016

Trình Minh Phong


iii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Luận văn này tập trung vào phân tích ứng xử uốn của dầm phần tử rời rạc. Đây là
mô hình đã được nghiên cứu trước đây, tuy nhiên gần đây được ứng dụng trong phân tích
phi cục bộ kết cấu.vấn đề phân tích tác động phi cục bộ kết cấu đã xuất hiện từ rất lâu,
tuy nhiên mô hình phi cục bộ truyền thống phân tích bởi nguyên lý của Eringen vẫn còn
nhiều nghịch lý. Gần đây hiện tượng này đã được cũng cố hơn với mô hình phần tử rời
rạc. Dầm phần tử rời rạc được mô hình bởi các đoạn phần tử cứng kết nối với nhau bằng
các lò xo xoay đàn hồi. Mối quan hệ giữa mô hình phần tử rời rạc và mô hình phi cục bộ
của Eringen được chứng minh cụ thể trong luận văn thông qua các quan điểm lý thuyết
đến các ví dụ số cụ thể.Theo lý thuyết phi cục bộ, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng sẽ
khác biệt so với định luật Hook và phụ thuộc một hệ số ảnh hưởng của quy mô nhỏ «0.
Mô hình này có thể phân tích hệ số vi mô nhỏeo trong kết cấu. Các kết quả phân tích ứng
xử uốn từ mô hình phần tử rời rạcthu được từ phân tích rời rạc kết cấu, trong khi đó kết
quả phi cục bộ dựa trên mô hình liên tục tương đương. Qua đó chỉ ra rằng mô hình phi
cục bộ của Eringen ảnh hưởng trên dầm Euler-Bemoulli có thể thu được từ mô hình dầm
phần tử rời rạc. Luận văn đưa ra nhiều thay đổi từ điều kiện biên, tải trọng tác dụng và
tiết diện dầm để so sánh kết quả ứng xử uốn của mô hình dầm phần tử rời rạc với phương

pháp phân tích phân tử hữu hạn truyền thống sử dụng chương trình SAP2000, và lý thuyết
phi cục bộ của Eringen. Qua đó cho thấy, mô hình dầm phần tử rời rạccho kết quả chính
xác hơn so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, và hoàn toàn phù hợp cho
tính toán ảnh hưởng phi cục bộ của kết cấu.


4

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy
PGS.TS. Lương Văn Hải.
Các kết quả ửong luận văn là đúng sự thật. Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc
thực hiện của mình.
Tp. HCM, ngày 08 tháng 01 năm 2016

Trình Minh Phong


MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ ........................................................................... i
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC sĩ ............................................................................ iii
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... iv
MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT ............................................................................... xi
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ...................................................................................... 1
1.1

Giới thiệu ........................................................................................................ 1

1.2

Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài ........................................... 3
1.2.1 Các công trình nghiên cứu trên thế giới ............................................... 3
1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước ................................................. 5

1.3

Mục tiêu và hướng nghiên cứu ....................................................................... 5

1.4

Cấu trúc luận văn ............................................................................................ ố

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .......................................................................... 7
2.1

Mô hình dầm Euler-Bemoulli phi cục bộ ....................................................... 7

2.2

Mô hình dầm phần tử rời rạc .......................................................................... 9

2.3

Độ cong của dầm khi xét ảnh hưởng phi cục bộ ........................................... 13
2.3.1 Dầm tựa đơn chịu tải phân bố ............................................................ 13
2.3.2 Dầm congxon chịu tải phân bố .......................................................... 15

CHƯƠNG 3. VÍ DỤ SỐ ........................................................................................... 18
3.1

Ví dụ 1: Phân tích dầm hai đầu tựa đơn chịu tải phân bố đều ...................... 20
3.1.1 Bài toán 1: So sánh chuyển vị lớn nhất của mô hình dầm phần
tử rời rạc hai đầu tựa đơn với SAP2000, giải tích và mô hình phi cục bộ
của Eringen ......................................................................................... 22
3.1.2 Bài toán 2: So sánh dạng chuyển vị và momen của mô hình
dầm phần tử rời rạchai đầu tựa đơn với SAP2000.............................. 24
3.1.3 Bài toán 3: So sánh chuyển vị của mô hình dầm phần tử rời
rạchai đầu tựa đơn với SAP2000 khi chiều dài dầm và tải trọng thay đổi
............................................................................................................ 26

3.2

Ví dụ 2: Phân tích dầm congxon chịu tải tập trung ở đầu tự do ................... 27


vi
3.2.1 Bài toán 4 : So sánh chuyển vị lớn nhất của mô hình dầm phần
tử rời rạc congxon chịu tải tập trung với SAP2000 và giải tích......... 30
3.2.2 Bài toán 5 : So sánh dạng chuyển vị và momen của mô hình
dầm phần tử rời rạc congxon chịu tải tập trung với SAP2000 ............ 31
3.3

Ví dụ 3: Phân tích dầm nhịp đơn hai đầu ngàm chịu tải phân bố đều ......... 33

3.3.1 Bài toán 6 : So sánh chuyển vị lớn nhất của mô hình dầm phần tử rời rạc
hai đầu ngàm với SAP2000, giải tích và mô hình phi
cục bộ của Eringen .............................................................................. 36
3.3.2 Bài toán 7 : So sánh dạng chuyển vị và momen của mô hình
dầm phần tử rời rạchai đầu ngàm với SAP2000 ................................. 38
3.3.3 Bài toán 8: So sánh chuyển vị của mô hình dầm phần tử rời rạc

hai đầu ngàm tải phân bố với SAP2000 khi chiều dài dầm và tải trọng thay
đổi........................................................................................................ 40
3.4

Ví dụ 4: Phân tích dầm nhịp đơn một đầu ngàm, một đầu khớp tải
phân bố đều ................................................................................................... 41
3.4.1 Bài toán 9 : So sánh chuyển vị lớn nhất của mô hình dầm rời
rạc một đầu ngàm một đầu khớp với SAP2000, giải tích và mô hình phi cục
bộ của Eringen .................................................................................... 43

3.4.2 Bài toán 10 : So sánh dạng chuyển vị và momen của mô hình dầm rời rạc
một đầu ngàm một đầu khớp với SAP2000,giải tích
và mô hình phi cục bộ của Eringen ..................................................... 45
3.4.3 Bài toán 11 : So sánh chuyển vị của mô hình dầm phần tử rời
rạc một đầu ngàm một đầu khớp tải phân bố với SAP2000 khi chiều dài
dầm và tải trọng thay đổi..................................................................... 47
3.5

Ví dụ 5: Phân tích dầm congxon chịu tải phân bố đều ................................. 48
3.5.1 Bài toán 12 : So sánh chuyển vị lớn nhất của mô hình dầm phần tử
rời rạc congxon chịu tải phân bố với SAP2000, giải tích và
mô hình phi cục bộ của Eringen.......................................................... 50
3.5.2 Bài toán 13 : So sánh dạng chuyển vị và momen của mô hình
dầm phần tử rời rạc congxon chịu tải phân bố với s AP2000 ............ 52


vii
3.5.3 Bài toán 14 : So sánh chuyển vị của mô hình dầm phần tử rời rạc
congxon chịu tải phân bố với SAP2000 khi chiều dài dầm và tải trọng
thay đổi ...............................................................................................54

3.6 Ví dụ 6: Phân tích dầm nhịp đơn gối tựa chịu tải phân bố đều tiết diện
thay đổi ..........................................................................................................55
3.6.1 Bài toán 15 : So sánh chuyển vị lớn nhất của mô hình dầm phần
tử rời rạcgối tựa chịu tải phân bố đều có tiết diện thay đổi với SAP2000
.............................................................................................................57
3.6.2 Bài toán 16 : So sánh dạng chuyển vị và momen của mô hình
dầm phần tử rời rạc gối tựa chịu tải phân bố đều có tiết diện thay đổi
với SAP2000 ........................................................................................58
3.6.3 Bài toán 17 : So sánh chuyển vị của mô hình dầm phần tử rời rạc có tiết
diện thay đổi chịu tải phân bố với SAP2000 khi chiều
dài dầm và tải trọng thay đổi ...............................................................60
CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ............................................................61
4.1 Kết luận ..........................................................................................................61
4.2 Kiến nghị ........................................................................................................62
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................63
PHỤ LỤC ..................................................................................................................67
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG.......................................................................................75


8

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
•

Hình 1.1.

Mô hình dầm gối tựa cổ điển .......................................................................1

Hình 1.2.

Mô hình dầm phần tử rời rạc ........................................................................2

Hình 2.1.

Dầm gối tựa với các trục tọa độ ...................................................................7

Hình 2.2.

Lực cắt và mômentrên phần tố dầm .............................................................8

Hình 2.3.

ứng suất trên mặt cắt ngang dầm ..................................................................8

Hình 2.4.

Mô hình dầm phần tử rời rạcvới hai đầu tựa đơn .......................................10

Hình 2.5.

Mô hình dầm phần tử rời rạcvới đầu ngàmmột đầu tự do ..........................15

Hình 2.6.

Lưu đồ tính toán .........................................................................................17

Hình 3.1.

Sơ đồ ví dụ 1 ..............................................................................................20

Hình 3.2.

Biểu đồ

so sánh chuyển vị lớn nhất của dầm tựa đơn .............................23

Hình 3.3.

Biểu đồ

so sánh dạng chuyển vị của dầm tựa đơn ..................................24

Hình 3.4.

Biểu đồ

so sánh momen của dầm tựa đơn ..............................................25

Hình 3.5.

Biểu đồ

so sánh độ võng của dầm tựa đơn khi L thay đổi ......................26

Hình 3.6.

Biểu đồ

so sánh độ võng của dầm tựa đơn khi q thay đổi ......................26

Hình 3.7.

Sơ đồ ví dụ 2 ..............................................................................................27

Hình 3.8.

Phân tích độ cứng lò xo C1 tại đầu ngàm ..................................................27

Hình 3.9.

Biểu đồ so sánh chuyển vị lớn nhất của dầm congxon chịu tải tập
trung .......................................................................................................... 30

Hình 3.10.

Biểu đồ

so sánh dạng chuyển vị của dầm congxon chịu tải tập trung....32

Hình 3.11.

Biểu đồ

so sánh momen của dầm congxon chịu tải tập trung.................32

Hình 3.12.

Sơ đồ ví dụ 3 ..............................................................................................33

Hình 3.13.

Biểu đồ

so sánh chuyển vị lớn nhất của dầm hai đầu ngàm ...................37

Hình 3.14.

Biểu đồ

so sánh dạng chuyển vị của dầm hai đầu ngàm.........................38

Hình 3.15.

Biểu đồ

so sánh momen của dầm hai đầu ngàm .....................................39

Hình 3.16.

Biểu đồ

so sánh độ võng của dầm hai đầu ngàm khi L thay đổi .............40

Hình 3.17.

Biểu đồ

so sánh độ võng của dầm hai đầu ngàm khi q thay đổi .............40

Hình 3.18.

Sơ đồ ví dụ 441 Hình 3.19. Biểu đồ so sánh chuyển vị lớn nhất dầm mộtđầu


9
ngàm,một đầu
khớp ......................................................................................................... 44
Hình 3.20. Biểu đồ so sánh dạng chuyển vị của dầm một đầu ngàm một đầu
khớp ......................................................................................................... 45
Hình 3.21. Biểu đồ so sánh momen của dầm một đầu ngàm một đầu khớp .................. 46
Hình 3.22. Biểu đồ so sánh độ võngdầm một đầu ngàm một đầu khớp có L
thay đổi..................................................................................................... 47
Hình 3.23.

Biểu đồ so sánh độ võngdầm một đầungàm một đầu khớp cóq thay
đổi ............................................................................................................ 47

Hình 3.24.

Sơ đồ ví dụ 5 ............................................................................................. 48

Hình 3.25.

Biểu đồ so sánh chuyển vị lớn nhấtcủa dầm

congxon tải phân bố

đều ............................................................................................................ 51
Hình 3.26.

Biểu đồ sosánh dạng chuyển vị của dầm congxon tải phân bố đều ........ 52

Hình 3.27.

Biểu đồ sosánh momen của dầm congxon tải phân bố đều ..................... 53

Hình 3.28.

Biểu đồ sosánh độ võng của dầm congxon khi L thay đổi ...................... 54

Hình 3.29.

Biểu đồ sosánh độ võng của dầm congxon khi q thay đổi ...................... 55

Hình 3.30.

Sơ đồ ví dụ 6 ............................................................................................. 55

Hình 3.31.

Biểu đồ sosánh chuyển vị lớn nhất của dầm tiết diện thay đổi ............... 57

Hình 3.32.

Biểu đồ sosánh dạng chuyển vị của dầm tiết diện thay đổi ..................... 58

Hình 3.33.

Biểu đồ sosánh momen của dầm tiết diện thay đổi ................................. 59

Hình 3.34. Biểu đồ so sánh độ võng của dầm có tiết diện biến đổi khi L thay
đổi ............................................................................................................ 60
Hình 3.35. Biểu đồ so sánh độ võng của dầm có tiết diện biến đổi khi q thay
đổi ............................................................................................................ 60


DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
•

Bảng 3.1.

Thông số của dầm ví dụ 1 ......................................................................... 20

Bảng 3.2.

So sánh chuyển vị lớn nhất dầm tựa đơn................................................... 23

Bảng 3.3.

So sánh dạng chuyển vị và momen uốn dầm tựa đơn ............................... 25

Bảng 3.4.

Thông số của dầm ví dụ 2 ......................................................................... 27

Bảng 3.5.

So sánh chuyển vị lớn nhất dầm congxon chịu tải tập trung ..................... 31

Bảng 3.6. So sánh dạng chuyển vị và momen uốn dầm congxon chịu tải tập

trung .......................................................................................................... 33
Bảng 3.7.

Thông số của dầm ví dụ 3 ......................................................................... 33

Bảng 3.8.

So sánh chuyển vị lớn nhất dầm hai đầu ngàm ......................................... 37

Bảng 3.9.

So sánh dạng chuyển vị và momen uốn dầm hai đầu ngàm ...................... 39

Bảng 3.10. Thông số của dầm ví dụ 4 ......................................................................... 41
Bảng 3.11. So sánh chuyển vị lớn nhất dầm một đầu ngàm một đầu khớp ................. 44
Bảng 3.12. So sánh dạng chuyển vị, momen uốn dầm một đầu ngàm một đầu
khớp .......................................................................................................... 46
Bảng 3.13. Thông số của dầm ví dụ 5 ......................................................................... 48
Bảng 3.14. So sánh chuyển vị lớn nhất dầm congxon tải phân bố đều ....................... 51
Bảng 3.15 So sánh dạng chuyển vị và momen uốn dầm congxon ................................. 53
Bảng 3.16. Thông số của dầm ví dụ 6 ......................................................................... 55
Bảng 3.17. So sánh chuyển vị lớn nhất của dầm tiết diện thay đổi ............................. 58
Bảng 3.18. So sánh dạng chuyển vị và momen uốn dầm tiết diện thay đổi ................ 59


xi

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element method)
FDM

Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite difference method)

FGM

Functional grade material

Ký hiệu
u

Th- năng đàn Mi

V

Thế năng ngoại lực

T
SV

Động năng
Năng lượng biến dạng ảo

ST

Thí năng ảo
Biến phân động năng

M

Mô men uốn

L

Chiều dài dầm

SV

Độ cứng lò xo
Mô đun young

c
E

A

Mô men quán tính
Diện tích tiết diện dằm

w

Chuyển vị ngang tại nút j

n

Số phần tử

a

Chiều dài 1 phần tử

1

j

CT

0

(O
X
z
w

ứng suất ban đầu
Số góc của dao động
Tọa độ dọc trục
Tọa độ tính từ trục trung hòa của dầm
Chuyển vị ngang
biến dạng dọc trục


xii

axx

ứng suất pháp

p

khối lượng riêng

lc

Chiều dài đặc trưng

e

0

Hệ số ảnh hưởng của chiều dài nhỏ


Tổng quan

1

CHƯƠNG 1.
TỔNG QUAN
1.1

Giói thiệu
Trong lý thuyết cơ học liên tục cổ điển, nghiên cứu các ứng xử của vật rắn, dưới

tác dụng của ngoại lực vật thể ở trạng thái cân bằng có xu hướng thay đổi hình dáng so
với trước khi chịu tác dụng của lực. Khi đó trong vật thể xuất hiện ứng suất để chống lại
sự biến dạng, tuy nhiên ứng suất tại một điểm được xác định bằng hàm số chỉ phụ thuộc
vào biến dạng tại điểm đó. Ví dụ Hình 1.1 mô tả một dầm gối tựa chiều dài L chịu tác
dụng tải tập trung.

Hình 1.1. Mô hình dầm gối tựa cổ điển
Đối với một vật liệu tuyến tính đồng nhất, ứng suất được xác định theo công thức:
<7 = E E

(1'1)

trong đó ÓT là ứng suất, E là môđun đàn hồi, £ là biến dạng.
Đen thế kỷ XVIII, lý thuyết cơ học phi cục bộ ra đời bởi nhà khoa học người Mỹ
Eringen (1921-2009) (1972)[1], trong đó giả thiết rằng ttạng thái ứng suất tại một điểm
chịu ảnh hưởng của sự biến dạng ở tất cả các điểm liên tục, hoàn toàn khác hẳn với lý
thuyết liên tục cổ điển cho rằng ứng suấttại một điểm chỉ phụ


Tổng quan

2

thuộc vào biến dạng tại điểm đó .Như vậy, trong cơ học phi cục bộ thì lực tương tác giữa
các phần tử và tỷ lệ chiều dài bên trong sẽ đượcđưa vào trong các mối quan hệ cấu thành
của một loại vật liệu đồng nhất và đẳng hướng như một tham số vật liệu.Trong trường
hợp vật liệu đàn hồi, đẳng hướng, quan hệ ứng suất biến dạng phi cục bộ được cho bởi:
(1.2)
dx2

trong đóơ là ứng suất pháp, £ là biến

dạng, E là mô đun Young, e0 là hệ số chiều dài nhỏ vàữlà chiều dài đặc trưng lấy bằng
chiều dài giữa 2 nguyên tử. Nếu cho e0 bằng 0 thì ta nhận được quan hệ ứng suất biến
dạng tuân theo cơ học cổ điển. Với việc đưa vào hệ số e0, lý thuyết này đã giải quyết

được vấn đề ảnh hưởng của quy mô chiều dài nhỏ đến ứng suất của vật thể. Tại thời điểm
này mô hình của Eringen đã được công nhận là mô phỏng được hiện trượng phi cục bộ
mà không có bất cứ sự tranh luận nào.
Trong những năm gần đây, lý thuyết phi cục bộ của Eringen đã được cũng cố hơn
bởi mô hình dầm rời rạc. Mô hình mô tả vật thể được liên kết với nhau bằng các lò xo
đàn hồi. Hình 1.2 mô tả một dầm phần tử rời rạcgối tựa đơn chịu tải tập trung.

1.2

Hình 1.2. Mô hình dầm phần tử rời rạc
Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài
Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các công trình nghiên cứu về lý

thuyết phi cục bộ liên tục đã xuất hiện khá nhiều trong những năm gần đây.


Tổng quan
1.2.1

3

Các công trình nghiên cứu trên thế giói
Lý thuyết cơ học phi cục bộ liên tục được chính thức khởi xướng từ nghiên cứu

của Eringen [1], ứng dụng của cơ học phi cục bộ cũng đã được chứng minh trong các
lĩnh vực truyền sóng đàn hồi [2], cơ học rạn nứt [3], sự truyền sóng trong vật liệu tổng
hợp [4], sức căng của bề mặt chất lỏng [5], Một chủ đề công nghệ đang rất được quan
tâm hiện nay là công nghệ Nano, trong đó cơ học liên tục phi cục bộ có thể đóng một vai
ưò quan họng trong việc phân tích. Hệ số chiều dài luôn đặt ra các vấn đề khó giải quyết
trong mô hình liên tục cổ điển. Mô hình liên tục phi cục bộ mở ra một phương pháp để

giải quyết hệ số quy mô nhỏ. Trong mô hình đàn hồi cổ điển ứng suất tại một điểm được
coi là xác định duy nhất bởi biến dạng tại điểm đó, trong khi đóở mô hình phi cục bộthì
trạng thái ứng suất tại một điểm được xác định bởi tất cả các biến dạng ở các điểm trong
vật thể. Năm 2003, mô hình phi cục bộ của Eringen lần đầu tiên được Peddieson ứng
dụng để nghiên cứu ứng xử uốn trên dầm Euler-Bemoulli [6]. Từ đó nhiều bài báo được
xuất bản về phân tích đàn hồi phi cục bộ.Phân tích mất ổn định và dao động cho phần tử
dạng dầm của Zhang et al. [8], Phân tích sự mất ổn định của ống nano carbon nhiều lớp
chịu ảnh hưởng của hiệu ứng quy mô nhỏ bởi Zhang et al. [9], Sự truyền sóng trong các
ống nano cacbon được nghiên cứu bởi Wang [10], Heữeche [11] và Li [12], Dựa trên cơ
sở lý thuyết cơ học phi cục bộ và lý thuyết dầm Timoshenko, mô hình dầm Timoshenko
phi cục bộ ra đời để nghiên cứu ảnh hưởng của tác động phi cục bộ đến biến dạng cắt,
quán tính quay và hệ số chiều dài nhỏ Reddy [ 13][13]; Reddy và Pang [14],
Nhưng trong lý thuyết phi cục bộ vẫn còn mang nhiều nghịch lý chưa được giải
quyết, ví dụ là hệ số ảnh hưởng qui mô nhỏ không ảnh hưởng đến dầm Nano congxon
chịu ảnh hưởng của tải tập trung, vấn đề này đã được Challamel và Wang [15] giới
thiệu.Ngay cả khi các mô hình phi cục bộ rất phát triển thì vấn đề tính toán hệ hiệu ứng
quy mô nhỏ vẫn rất khó khăn. Một số thí nghiệm được cung cấp bởi Lam et al. [16] để
tính toán hệ số này.
Trong những năm gần đây, cách tiếp cận hiện tượng phi cục bộ của Eringen đã
được củng cố hơn bởi cách lập luận rời rạc cơ học. Một mô hình phần tử rời rạc(mô hình
rời rạc) được nghiên cứu bao gồm các phần tử cứng được kết nối với nhau bằng các lo
xo đàn hồi, đôi khi có thể được xem như mô hình chuỗi Hencky. Mô hình rời rạc này
cho kết quả gần như tương đương với ảnh hưởng phi cục bộ của lý thuyết Eringen. Điều


Tổng quan

4

này đã được chứng minh gần đây trong việc phân tích uốn dọc và rung động của dầm

bởi Challamel trong nghiên cứu này dầm được mô hình bởi các phần tử lặp lại bao gồm
các đoạn cứng và các lò xo xoay đàn hồi, được sử dụng để thiết lập hệ số quy mô nhỏ e0.
Họ đã phát hiện ra rằng e0 có những giá trị khác nhau tuỳ thuộc vào loại phân tích dao
động, uốn dọc hay uốn ngang. Zhang et al. [17] và Duan et al. [18] đã khảo sát ảnh hưởng
của lực cắt trong mô hình rời rạc thiết lập mô hình tương đương với mô hình dầm
Timoshenko phi cục bộ.
Trong nghiên cứu của Challamel et al. [19] đã chỉ ra rằng các ứng xử uốn ngang,
uốn dọc và dao động của một dầm phần tử rời rạc có thể mô tả được vấn đề ứng xử phi
cục bộ của Eringen, trong đó phương pháp sai phân hữu hạn được sử dụng để phân tích
chính xác vấn đề rời rạc hóa kết cấu. Nghiên cứu này đã cũng cố hơn cho lý thuyết phi
cục bộ Eringen khi chỉ ra rằng ứng xử uốn của dầm congxon chịu tác dụng của tải tập
trung sẽ không bi ảnh hưởng bởi tác động phi cục bộ Eringen.
Dựa trên mô hình lưới dầm phần tử rời rạc,Zhang et al. [20] đã phát triển về mô
hình tấm phần tử rời rạc để tìm ra hệ số qui mô Eringen cho uốn dọc của tấm chữ nhật
phi cục bộ. Trong đó lưới dầm bao gồm các dầm kết nối với nhau bởi lò xo xoay và lò
xo xoắn. Hệ số quy mô Eringen có thể tìm được chính xác bằng cách so sánh mô hình
lưới dầm phần tử rời rạc và mô hình tấm phi cục bộ. Qua đó, nghiên cứu cho thấy, hệ số
quy mô e0 phụ thuộc vào uốn dọc, tỷ lệ các cạnh của tấm và điều kiện biên.
1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước
Ở Việt Nam, vấn đề này nghiên cứu lý thuyết phi cục bộ cũng đã có.
• Thái Hữu Tài [21] đã đề xuất lý thuyết biến dạng cắt phi cục bộ phân tích ứng xử
uốn và dao động của dầm Nano. Trong đó các phương trình chuyển động được
phát triển từ nguyên lý Hamilton, nghiên cứu này cho thấy có sự tương đồng với
lý thuyết dầm Euler-Bemoulli phi cục bộ ở các phương trình chuyển động, điều
kiện biên và kết quả ứng suất. Kết quả phân tích về chuyển vị, uốn dọc và dao
động cho dầm nhịp đơn được trình bày và so sánh với lý thuyết dầm phi cục bộ
của Timoshenko và Reddy.
• Trong luận văn thạc sỹ của Phạm Xuân Tùng [22] cũng đã phân tích mô hình dầm
phần tử rời rạc và phân tích hệ số ảnh hưởng quy mô nhỏ e0 dựa trên ứng xử dao

Tổng quan

5

động và mất ổn định của dầm.
1.3

Mục tiêu và hướng nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn tập trung phân tích ứng xử uốn của dầm phần tử rời rạcvới

các điều kiện biên và tải trọng khác nhau. Thông qua lý thuyết dẻo phi cục bộ của
Eringen, luận văn cho thấy mô hình dầm phần tử rời rạccó thể mô tả ứng xử uốn tốt hơn
so với phương pháp hữu hạn truyền thống. Để đạt được mục tiêu trên, các vấn đề nghiên
cứu trong phạm vi luận văn sẽ được thực hiện:
• Trình bày lý thuyết phi cục bộ của Eringen, ứng dụng của lý thuyết này để thành
lập các phương trình cơ bản xác định ứng suất và biến dạng.
• Đinh nghĩa mô hình dầm rời rạc, thành lập các phương trình vi phân biểu hiện
mối quan hệ giữa biến dạng chuyển vị.
• Thành lập lại phương trình điều chỉnh từ lý thuyết cơ học đàn hồi và lý thuyết
dầm Euler-Bemoulli, từ đó so sánh với mô hình dầm phần tử rời rạc.
• Đưa ra một số ví dụ về dầm nhịp đơn cơ bản để chứng minh sự tương thích của
mô hình dầm phần tử rời rạcvà lý thuyết phi cục bộ của Eringen ứng dụng trên
dầm Euler-Bemoulli.
• Thay đổi các điều kiện biên, tải trọng và tiết diện của dầm nhịp đơn trên mô hình
dầm phần tử rời rạcđể phân tích ảnh hưởng của hiện tượng phi cục bộ.
• Các kết quả thu được của luận án được phân tích, kiểm tra và so sánh với phương
pháp hữu hạn truyền thống sử dụng SAP2000.
• Phát triển thuật toán, sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để xây dựng chương
trình tính toánvẽ biểu đồ và phân tích kết quả.

1.4

Cấu trúc luận văn

Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:
Chương 1: giới thiệu tổng quan lý thuyết dầm phi cục bộ hiện nay, tình hình
nghiên cứu của các tác giả trên thế giới trong những năm gần dâycũng nhưmục tiêu và
hướng nghiên cứu của đề tài.
Chương 2: trình bày các công thức phần tử vi phân để phân tíchứng xử uốncủa
dầm ở mô hình dầm rời rạc và mô hình dầm Euler-Bemoulli phi cục bộ.
Chương 3: trình bày các ví dụ sốđược tính toán bằngngôn ngữ lập trình


Tổng quan

6

Matlabtrong một số điều kiện biên của dầm nhịp đơn, phân tích ứng xử uốn của dầm với
các điều biên này bằng mô hình dầm phần tử rời rạc.
Chương 4: đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến
nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai.
Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên
cứu của đề tài.
Phụ lục: một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toáncác ví dụ số trong
Chương 3.


Cơ sở lý thuyết

7

CHƯƠNG 2.
Cơ SỞ LÝ THUYẾT
Chương này gồm 3 phần thể hiện cụ thể lý thuyết phi cục bộ của Eringen ứng dụng trên
dầm Euler-Bemoulli và mô hình dầm phần tử rời rạc cùng với độ cong tương ứng của
mỗi mô hình, ứng xử phi cục bộ của một mô hình dầm phần tử rời rạcvề toán học tuân
theo phương trình sai phân hữu hạn. Từ đây ta có thể thiết lập được phương trình để
phân tích ứngxử của dầm (trong luận văn này chỉ phân tích ứng xử uốn của dầm).
2.1

Mô hình dầm Euler-Bernoulỉi phi cục bộ
Dạng tổng quát nhất của phương trình cấu thành quan hệ ứng suất biến dạng, áp

dụng lý thuyết phi cục bộ vào dầm Euler-Bemoulli xuất phát từ việc tích phân đoạn
dầm.Tích phân này mô tả những ảnh hưởng tương đối của biến dạng ở những điểm khác
nhau trên đoạn dầm đối với ứng suất tại một điểm xác định.
Hình 2.1 mô tả dầm gối tựa đơn với các trục tọa độ, dầm có chiều dài L , độ cứng
uốn £7 , và chịu tải trọng phân bố ạ . Hình 2.2 mô tả một phân tố vô cùng nhỏ của dầm,
hướng và chiều của lực cắtv và momen M ttên phân tố đó.

Hình 2.1. Dầm gối tựa với các trục tọa độ


Cơ sở lý thuyết

8

K+rdx

-ỉ-y

.M+.W'dr

Hình 2.2. Lực cắt và mômenửên phần tố dầm
Các phương trình cân bằng lực cắt, momen như sau:
v '+ ạ = 0 , M '+v = 0

(2.1a,b)

Kết hợp 2 phương trình (2. la,b):
(2.2)
Mô hình dầm Euler-Bemoulli ứng dụng với lý thuyết phi cục bộ của Eringen:
(2.3)
trong đóơlà ứng suất pháp,elà biến dạng, E là mô đun Young, e0 là hệ số chiều dài nhỏ
vàữlà chiều dài đặc trưng lấy bằng chiều dài giữa 2 nguyên tử.
Mối quan hệ giữa biến dạng và độ cong trong dầm Euler-Bemoulli:
e = - yv"

(2.4)

trong đó V là chuyển vị ngang của dầm.
Kết hợp (2.3) với (2.4):
cr-(eoa) ơ" = -Eyv"

(2.5)

Hình 2.3 biểu thị ứng suất ttên mặt cắt ngang của dầm, và momen tổng cộng:
ư

Hình 2.3. ứng suất ttên mặt cắt ngang dầm
và momen uốn

Từ đó có:
(2.6)


Cơ sở lý thuyết

9

Nhân phương trình (2.3) với - y dA và thực hiện tích phân trên diện tích A :
M - (e0a)2 M " = EIv"

(2.7)

trong đó:

I=

(2.8)

y2dA Phương trình (2.7) biểu thị mối
là momen quán tính của tiết diện íí
cắtAngang.
quan hệ momen độ cong của dầm Euler-Bernoulli phi cục bộ. Sử dụng với

(2.9)

phương trình (2.2) có thể viết lại như sau:
M = EIv" + (e0a)2 q

(2.10)

Thế phương trình (2.9) vào phương trình (2.1b) và (2.2):
V = — ịEỉv "'+ịe0a)2 q')
/V q - (e0a')2V = ------------------- - -------------

Eỉ

(2.11)

Phương trình (2.11) là phương trình biểu thị độ uốn trong dầm Euler-Bernoulli phi cục
bộ.
2.2

Mô hình dầm phần tử rời rạc

Một dầm phần tử rời rạcđược hiểu bao gồm n phần tử, mỗi phần tử có kích thước là a
và được nối với nhau bằng các lò xo đàn hồi có độ cứng c như Hình 2.4. Dầm chịu tác
dụng bởi lực dọc trục p và lực phân bố thẳng đứng q trên toàn bộ chiều dài L của dầm.
Dầm trên bao gồm n phần tử có kích thước là a, và chiều dài tổng cộng là L, do đó L =
n xa.


Cơ sở lý thuyết

10

1£

Hình 2.4. Mô hình dầm phần tử rời rạcvới hai đầu tựa đơn

Thế năng biến dạng đàn hồi của lò xo khi biến dạng quay:
2

(2.12)
- — là độ cứng của mỗi lò xo. a
trong đó Wị là chuyển vị thẳn&
X,
Công ngoại lực V của lực dọc p và lực phân bố q'.
f Wi+1 - wi
n
v

~ 2a )

= -ỵ 9*i

(2.13)

i=l

Động năng của hệ:
(2.14)
Áp dụng nguyên lý Hamilton:
t2

j s (U +v

(2.15)

'1

Thế (2.12), (2.13) và (2.14) vào (2.15), ta được:
p
EI
—(wi+1 - 2wi + WJ._j) + — (wi+2 - 4wi+1 + 6wi - 4wi_! + WJ. _2) +

ií -1

1-2

jUaw = qa (2.16) a a


Cơ sở lý thuyết

11

Ương đó: JU =— là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của dầm.
a

Có thể nhận thấy rằng (2.16) là phương trình sai phân hữu hạn của một dầm liên tục
Euler-Bemoulli. Do đó, mô hình dầm phần tử rời rạcvề toán học tuân theo phương trình
sai phân hữu hạn. Bằng các phương pháp xấp xỉ ta có thể giải quyết được vài toán ửên.
Mối quan hệ giữa mô hình rời rạc và liên tục như sau:
w (X

+ a ) = V ---------------- —w (X ) = ead*w(x)
to *'■

(2.17)

Với: õ = —
Sx

Công thức xấp xỉ như sau (theo Andrianov et al., 2006[35]):
] w (x ) = 4 sinh 2 (—ổx)w (x )

w

i-l + w/ + 1 - 2w.

(2.18)

và:
i+2 - 4wi

+

l + 6wi - 4wi-ỉ + wi-2 =

r 2ad

y

. ad „ . x . -ad-. . -2ad „ = I/ ~4e

w

x

+6-4e +e]w(x) = 16sinh4( — ổ )w(x)
Jt

(2.19)

Phương trình uốn của dầm được viết lại:
ổ 2 vv 16ei 2 ố a
—!“+—"—sinh õt2 a4

l

i/j
'

+ ——sinh
Áp dụng khai triển chuỗi và phép xấp xỉwPade
(theo Andrianov
etqal., 2010 [36]):(2.20)
vv =

a
22
2a

dt

4 sinh (— ổ ) = ------------ 7—— + ... von lc —
2 l-z2a2

,2 a

12

(2.21)
Thế (2.21) vào (2.20):
A(1-2Z2Ô2)Ô2 +£/Ô> + P(1-Z2Ô2)Ô2W

= (l-2Zc2ô2)ạ

(2.22)

Phương trình (2.22) là phương trình cấu thành ứng xử của mô hình phần tử rời rạc. •
Khi chỉ xét uốn dọc phương trình (2.22) thành:
^EI - PZ2 ) w "" EI + Pw " = 0

(2.23)

Phương trình (2.23) tương đương khi xét ứng xử của mô hình phi cục bộ Eringen áp
dụng ttên dầm Euler-Bemoulli chuyển động, dựa ttên:
M -Ỉ2CM " = Elw"

và M "" = -Pw"

(2.24)