ĐỀ vận DỤNG CAO TỔNG ôn

ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
Đề gồm 5 trang, 20 câu vận dụng cao
Thời gian làm bài: 90 phút
P/s. Có vài câu đề không phù hợp lắm chỉ mang tính tham khảo, mọi người có thể bỏ qua!
Câu 1. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0; 5 và có đồ thị như hình vẽ dưới.
y
4

3
2
1

O

1

2

5

3

x

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

Nghiệm đúng với mọi

 2019  m 

x   0; 5  ?

A. 2014

B. 2015

f 2  x   f  x   1  3x  10  2 x

C. 2016

D. 2017

Câu 2. Cho f '  x  .2 f  x   f  x   f '  x  .x  4x . Biết đồ thị hàm số f  x  đồng biến trên tập
R, f  0   0 . Tìm nghiệm của phương trình cos 3 f  x   4x 3  3x trên khoảng  0;   .
A.


2

B. 0

C.


3

D. 

Câu 3. Cho lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân tại A, ABC  , góc
giữa BC ' và ( ABC ) bằng . Gọi I là trung điểm của AA '. Biết rằng BIC  90 0. Tính giá trị

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

của biểu thức S  tan 2   tan 2 .
5
D. S  1
2
Câu 4. Cho đồ thị của hàm số f  x  , F  x  , f '  x  1  như hình vẽ. Tính giá trị của tích phân

A. S  2

B. S 

3
2

C. S 

f  0   f  1.5 



sin 3 x.cos xdx ?

f ' 1   F  1.5 

Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

Tạp chí và tư liệu toán học | 1

HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
y

2

 3

1

2

O

13 2
2

3

x

 1

3

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4


1
x3 
Câu 5. Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x  x 6  4x 5  16x 4   mx 2  
4
2 


2

8

đúng với mọi số thực x không âm?
B. 9

A. 10

C. 8

D. 7

Câu 6. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền bằng
6. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm của tam giác
ABC . Tổng bán kính của ba mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC , S.HCA bằng
144  . Thể tích hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

4 2

3
x2 y3 z3
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; 4  và đường thẳng d :
.


2
2
1
Điểm M chạy trên đường thẳng d và điểm N nằm trên tia đối của tia MA sao cho

A. 4 2

B.

2 3
3

C. 2 3

D.

2
. Gọi M là điểm
3
thay đổi trên CD , gọi    là mặt phẳng đi qua M , song song với AC và SD . Xác định và

đường kính AD  2 a ; SD  a 3 , góc giữa SD và AC là  với sin  

tính diện tích thiết diện khi    cắt hình chóp S.ABCD . Tìm giá trị lớn nhất Smax của diện

tích thiết diện đó.

3a2

5

2 a2 3
a2 3
A. Smax
B. Smax 
C. Smax 
5
5
Câu 9. Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình vẽ

2 | Chinh phục olmypic toán

D. Smax

4 a2

5

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

AM . AN  12 . Quỹ tích điểm N là đường cong có độ dài bằng bao nhiêu?

2

4
A.
B.
D.
C. 
3
3
3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn


ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
y
5

y

17
5

3

y

3
2
1

x

O

Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình sau có nghiệm là bao nhiêu?

e
A. 3

f 3  x   2 f 2  x  7 f  x   5


1 
 ln  f  x  
  m?
f  x  

C. 5

B. 4

D. 6

Câu 10. Cho 3 số thực x , y , z   1; 3 và thỏa mãn đồng thời xyz  9 . Giá trị lớn nhất của
biểu thức T  x 2  y 2  z 2  2  x log 3 x  y log 3 y  z log 3 z  là bao nhiêu?
A. 9 3 3  4 3 9

C. 8  3 3

B. 7

D. 9

Câu 11. Cho hàm số f  x    x  1  .P  x  , là một đa thức bậc 3, tất cả các hệ số đều là số
P 10
nguyên không âm, nhỏ hơn 3. Tìm số chữ số của 2019   , biết rằng f   9   3178

A. 3343.

B. 3344.

Câu 12. Cho f  x  liên tục trên

C. 3345.

D. 3346.

thỏa mãn f '  x   2 x  f  x  . Biết f  2   10; f  1   5 .

2

 x 
Tính  
 f '  x  dx
1
 f x 
6
6
A.  ln 2
B.  ln 2
5
5

Câu 13. Cho hàm số f  x  liên tục trên
2

4
 ln 2
5
và có đồ thị như hình vẽ.

D.

4
 ln 2
5

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

C.

Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

Tạp chí và tư liệu toán học | 3


HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
y

1

O

1

2

x

2

3
4

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
9.6

Đúng với mọi x 
A. 10

f x

  4  f 2  x   .9 x   m2  5m  .4

f x

là?
B. 4

C. 5

D. 9

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1; 1;0  , B  a; b; c  .Gọi
M , N , P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng

 P : x  2y  2  0

,  Q  : y  z  2  0 ,  R  : x  y  2 z  1  0 sao cho AM  2 MN  NP  PB . Giá trị của biểu

thức T  a  b  c tương ứng bằng
28
17
31
B. 
C.
D. 
A. 5
5
5
5
Câu 15. Khối  H  được tạo thành là phần chung khi giao nhau hai khối nón có cùng chiều
cao h, có các bán kính đường tròn đáy lần lượt là R và r sao cho đỉnh của khối nón này
1
2

biết rằng R và r thoả mãn phương trình X 2   x  y  X  xy  0  x , y   .
2

1
1
1
A.

B.
D.
h
h
h
C. h
48
16
12
Câu 16. Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới

4 | Chinh phục olmypic toán

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

trùng với tâm đường tròn đáy của khối nón kia. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối  H  ,


ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
y

6

2

4

x

2

O
2

4

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
A. 2

B. 3

1
3

 4


f
sin  sin x    m có nghiệm?
3

 3
D. 5

C. 4

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ ABC . A1 B1C 1 có tọa độ các
đỉnh A  1; 0; 2  , B  2; 1; 0  , C  3; 2; 2  và A1  1; 2; 3  . Gọi M là một điểm trên mặt phẳng

 A1 B1C1  . Diện tích toàn phần
trị nào sau đây?
A. 10

Stp của tứ diện MABC có giá trị nhỏ nhất gần nhất với giá

B. 12

C. 11

D. 13

Câu 18. Cho a là số thực, phương trình z2   a  2  z  2 a  3  0 có 2 nghiệm z1 , z2 . Gọi
M , N là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

bằng 120 , tính tổng các giá trị của a .
A. 6
B. 6

C. 4

D. 4

Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z  2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i ?
A. 4  2 3

B. 2  3

C. 4 

14
15

D. 2 

7
15

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H  là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu
diễn các số phức z thỏa mãn
Tính diện tích S của  H  .
A. S  32  6   

16
z
và
có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn  0; 1 .
16
z

B. S  16  4   

C. 256

Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

D. 64 

Tạp chí và tư liệu toán học | 5


HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019

HƯỚNG DẪN GIẢI
1. A

2. A

3. D

4. A

5. A

6. C

7. D

8. A

9. B

10. B

11. C

12. D

13. A

14. B

15. A

16. C

17. B

18. B

19. A

20. A

Câu 1. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0; 5 và có đồ thị như hình vẽ dưới.
y
4

3
2
1

O

1

5

3

2

x

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

 2019  m 
Nghiệm đúng với mọi x   0; 5  ?
A. 2014

f 2  x   f  x  2   1  3x  10  2 x

B. 2015

C. 2016

D. 2017

Để bất phương trình đúng với mọi x   0; 5  thì ta cần có

2019  m  max 
0 ;5 





f 2  x   f  x  2   1 
3x  10  2 x

3x  10  2 x  3 x  2 5  x 

Theo Cauchy – Schwarz ta có

 3  2  x  5  x   5

Dấu ”=” xảy ra khi x  3 . Nhìn vào đồ thị ta thấy rằng f  x   1 dấu ”=” xảy ra khi và chỉ

Ta có

3x  10  2 x



5

 5  m  2014

f x  f x  1
x  f x  1
Câu 2. Cho f '  x  .2 f  x   f  x   f '  x  .x  4x . Biết đồ thị hàm số f  x  đồng biến trên tập
R, f  0   0 . Tìm nghiệm của phương trình cos 3 f  x   4x 3  3x trên khoảng  0;   .

A.

f

2


2

2

B. 0

C.


3

D. 

Ta có f '  x  .2 f  x   f  x   f '  x  .x  4x  f  x   x. f  x   2 x 2  c .
2

Mặt khác f  0   0  c  0  f  x   x. f  x   2 x 2  0  1 
2

Có   x 2  4.2 x 2  9 x 2 .

6 | Chinh phục olmypic toán

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

khi x  3  x  1  x  5 .


ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
 x  3x

x
 f 1  x  
2
1
Ta tìm được 2 nghiệm của phương trình   là 
.
 f  x   x  3x  2 x
 2
2

Mà hàm số f  x  đồng biến trên tập R nên f  x   x .
cos 3 f  x   4x 3  3x  4 cos 3 f  x   3 cos f  x   4x 3  3x  4 cos 3 x  3 cos x  4x 3  3x .

Ta có h  x   4 cos x 3  3 cos x  h '  x   sin x  12 cos x 2  3  luôn đồng biến trên  0;  
Hàm số g  x   4x 3  3x  12 x 2  3 luôn đồng biến trên tập R nên để g  x   h  x  thì

cos x  x
Ta có y  cos x  x  y '   sin x  1

y '  0   sin x  1  0  sin x  1  x    k  k 
2

x


2

Chọn ý A.
Câu 3. Cho lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân tại A, ABC  , góc
giữa BC ' và ( ABC ) bằng . Gọi I là trung điểm của AA '. Biết rằng BIC  90 0. Tính giá trị
của biểu thức S  tan 2   tan 2 .
A. S  2

3
2
A'

B. S 

C. S 

5
2
B'

I

C'

A

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

D. S  1

B

M



C



Vì CC '   ABC  nên   BC ',  ABC   CBC ' Gọi M là trung điểm của BC .
Ta có AM  BC . Đặt BC  x thì AA '  BB '  CC '  x tan  và AB  AC 

x
2 cos 

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AIB ta có
2

2

x2
 x tan    x 
IB2  IA2  AB2  


tan 2   tan 2   1 .

 


4
 2   2 cos  

Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

Tạp chí và tư liệu toán học | 7


HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Vì BC  AM , BC  IA  BC   IAM   BC  IM. Do đó tam giác IBC vuông cân tại I .
Suy ra BI 2 

1
1
BC 2  x 2 . Từ đó suy ra
2
2

x2
1
tan 2   tan 2   1   x 2  S  tan 2   tan 2   1.

4
2
Câu 4. Cho đồ thị của hàm số f  x  , F  x  , f '  x  1  như hình vẽ. Tính giá trị của tích phân
f  0   f  1.5 



sin 3 x.cos xdx ?

f ' 1   F  1.5 

y

2

 3

1

2

13 2
2

O

x

3

 1

3

A. 0

C. 3

B. 1

D. 4

Đồ thị hàm số  1  cực đại khi x  2 nên 2 là đồ thị của đạo hàm hàm số  1  .
Chuyển dịch đồ thị hàm số  3  sang phải 1 đơn vị ta thấy có cắt trục Ox tại x  1 , đồng
thời tại đó đồ thị hàm số  2  cực đại 3 là đồ thị của đạo hàm  2  .
Suy ra đồ thị hàm số  1  ,  2  ,  3  lần lượt là đồ thị hàm số F  x  , f  x  , f '  x  1  .
Ta có f  0   f  1.5   f '  1   F  1.5  

f  0   f  1.5 



sin 3 x.cos xdx  0

f ' 1   F  1.5 


1
x3 
Câu 5. Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x  x 6  4x 5  16x 4   mx 2  
4
2 


2

8

đúng với mọi số thực x không âm?
A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

Ta có yêu cầu bài toán tương đương với:
1
1
x 8  x 6  4x 5  16x 4  m2 x 4  mx 5  x 6 , x  0
4
4
8
5
2
4
 x   m  4  x   16  m  x , x  0  x 4   m  4  x  16  m2  0, x  0
Vì  1  đúng với mọi x  0 nên đúng với x  0 . Thay x  0 vào  1  ta có

8 | Chinh phục olmypic toán

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Chọn ý A.

ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
16  m2  0  m   4; 4 

Ngược lại với m   4; 4  , xét hàm số f  x   x 4   m  4  x  16  m2 ta có

f '  x   4x 3   m  4  ; f '  x   0  x 

3

m 4
4

 m 4 
Khi đó min f  x   f  3
 , vậy  1  tương đương

0;  
4


4
 m4 
m4
m4
3
f  3

0


 16  m 2  0  m  4, , 3


  m  4 3
4 
4
 4 


Câu 6. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền bằng
6. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm của tam giác
ABC . Tổng bán kính của ba mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC , S.HCA bằng

144  . Thể tích hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

A. 4 2

B.

2 3
3

C. 2 3

D.

4 2
3

B

3
1

3 2

M

H
2

45
C

A

Ta có HB  HC  12  32  10  sin HBM 

1
10

Ba hình chóp S.HAB, S.HBC , S.HCA cùng có dạng cạnh bên SH vuông góc với các đáy

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

 HAB ,  HBC  ,  HCA  . Bán kính đường tròn đáy lần lượt là
HC



Rd HBC 



Rd HAB  Rd HAC 

2 sin HBM



10
5
1
2
10

HB

2 sin HAB
Tổng diện tích ba mặt cầu là



10
 5
2 sin 45

 2
 2

 2
h2 
h2 
h2 
144  4    Rd HAB    4    Rd HBC    4    Rd HCA  
4 
4 
4 



2
2



h2 
h2 
h2 
 144  4   5    4   52    4    5    h  2 2
4 
4 
4 




 

 

Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

Tạp chí và tư liệu toán học | 9


HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019

Thể tích khối chóp là VSABC



1 3 2
 
3
2



2



2
2 3
3

x2 y3 z3
.



2
2
1
Điểm M chạy trên đường thẳng d và điểm N nằm trên tia đối của tia MA sao cho

Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; 4  và đường thẳng d :

AM . AN  12 . Quỹ tích điểm N là đường cong có độ dài bằng bao nhiêu?

2
4
A.
B.
D.
C. 
3
3
3

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d , dễ dàng tìm được H  0; 1; 2  .
Dựng một đường thẳng vuông góc với AN tại N cắt AH tại K . Khi đó hai tam giác
vuông AHM và ANK đồng dạng với nhau.
AM.AN 12

4
AH
3
4
 1 5 4

Suy ra điểm K cố định và thỏa mãn: AK  AH  K   ;  ; 
3
 3 3 3
 AH . AK  AM . AN  12  AK 

Nhận thấy rằng N  mp  A , d  ; ANK  90; AN  AM  quỹ tích điểm N là cung tròn
giới hạn bởi đường thẳng d và đường tròn đường kính AK (nằm trong mặt phẳng chứa
A và d ).

Độ dài đường cong chứa N chính là độ dài cung tròn PQ như hình vẽ.
A

2
I
1
P

1

H M

Q
N

K

120
120
4
.

.2 .R 
.2 .2 
360
360
3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn
2
đường kính AD  2 a ; SD  a 3 , góc giữa SD và AC là  với sin   . Gọi M là điểm
3
thay đổi trên CD , gọi    là mặt phẳng đi qua M , song song với AC và SD . Xác định và

 Độ dài cung PQ là PQ 

tính diện tích thiết diện khi    cắt hình chóp S.ABCD . Tìm giá trị lớn nhất Smax của diện
tích thiết diện đó.

10 | Chinh phục olmypic toán

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Ta có: IH  1, IP  IQ  2 . Suy ra: HIP  HIQ  60  PIQ  120


ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
A. Smax 

3a2
5

B. Smax 

2 a2 3
5
S

C. Smax 

a2 3
5

D. Smax 

R

P

Q

F

K

A

4 a2
5

D

N



E

O
B

M

C

Kẻ MN //AC  N  AB  ; NP//SD  P  SA  ; MQ//SD  Q  SC  .
Gọi O  AC  BD ; E  MN  BD ; F  PQ  SO ; R  EF SD .
Khi đó thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPRQ , trong đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Nhận thấy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD  2 a

 ACD  90
OB BC 1
BO 1


 
 .

 AC  a 3 và
OD AD 2
BD 3


BC  CD  a
DM
 0  x  1 . Khi đó MN  x.AC , MQ   1  x  .SD .
DC
Suy ra SMNPQ  MN .MQ.sin   x  1  x  .SD. AC.sin 

Đặt x 

OK BO 1
1

  OK  SD .
SD BD 3
3
FR SF DE DM
x
Lại có



 x  FR  x.OK  SD
OK SO DO DC
3
Do góc giữa RE và PQ bằng  nên

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

Dựng OK //SD  K  SB  

1
1
x2
PQ.RF.sin   MN .RF.sin   SD.AC.sin 
2
2
6
5x 

 SMNPQ  SPRQ  x  1   .SD.AC.sin   *  .
6 

SPRQ 

Vậy SMNPRQ

2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Từ  *  suy ra SMNPRQ

5x 
5x  1  5 x
5x 
1
5x  3

1     1    x1  
6 
6  4 6

6 
4
6  10


3
3
2 3a2
 .SD.AC.sin   .a 3.a 3. 
10
10
3
5

Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

Tạp chí và tư liệu toán học | 11


HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

5x
5x
3
 1
x .
6
6
5

3a2
5
Câu 9. Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình vẽ
y
Vậy Smax 

5

y

17
5

3

y

3
2
1

x

O

Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình sau có nghiệm là bao nhiêu?

e
A. 3

f 3  x   2 f 2  x  7 f  x   5


1 
 ln  f  x  
  m?
f  x  

C. 5

B. 4

D. 6

Nhìn đồ thị ta thấy rằng 1  f  x   5 , đặt t  f  x  , giả thiết trở thành
et

3

 2 t 2 7 t  5

 1
 ln  t    m
 t

Xét g  t   t 3  2t 2  7t  5, g '  t   3t 2  4t  7  0t  1  g  1   g  t   g  5   1  g  t   145

Để phương trình đầu có nghiệm thì e  ln 2  m  e 145  ln

26
5

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4

Câu 10. Cho 3 số thực x , y , z   1; 3 và thỏa mãn đồng thời xyz  9 . Giá trị lớn nhất của
biểu thức T  x 2  y 2  z 2  2  x log 3 x  y log 3 y  z log 3 z  là bao nhiêu?
A. 9 3 3  4 3 9

B. 7

C. 8  3 3

D. 9

Ta có x  2  x  1  log 3 x  1   x  1   x  2 log 3 x  1 
2

Khảo sát hàm số f  x   x  2 log 3 x  1 trên đoạn  1; 3 ta có
f ' x   1 

2
2
2
 2 
 2 
0x
; f  1   f  3   0; f 
 2 log 3 


  1  0, 27
x ln 3
ln 3
 ln 3  ln 3
 ln 3 

12 | Chinh phục olmypic toán

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

1
1
26
Mặt khác h  t   t  , h '  t   1  2  0t   1; 5  2  h  t  
t
t
5
3
2
 1
Vậy hàm u  t   et  2 t 7 t  5  ln  t   đồng biến với x   1; 5
 t


ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
 f  x   x  2 log 3 x  1  0x   1; 3
 x 2  2  x  1  log 3 x  1   x  1   x  2 log 3 x  1   0x  1; 3
 x 2  2 x log 3 x  2 log 3 x  1

 T   x 2  2 x log 3 x    y 2  2 y log 3 y    z 2  2 z log 3 z   2  log 3 x  log 3 y  log 3 z   3
 T  2 log 3 xyz  3  2 log 3 9  3  7

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 số bằng 3 và một số bằng 1.
Câu 11. Cho hàm số f  x    x  1  .P  x  , là một đa thức bậc 3, tất cả các hệ số đều là số
P 10
nguyên không âm, nhỏ hơn 3. Tìm số chữ số của 2019   , biết rằng f   9   3178.

A. 3343.

B. 3344.

C. 3345.

D. 3346.

Đặt P  x   ax  bx  cx  d. (Với a , b , c , d là các số nguyên dương)
3

2

Suy ra f  x    x  1  P  x   ax 4   a  b  x 2   b  c  x 2   c  d  x  d
 f   x   4 ax 3  3  a  b  x 2  2  b  c  x   c  d  .

Vì f   9   0 kết hợp với điều kiện a , b , c , d không âm ta có thể chọn được:
a  1;b  0;c  1; d  0. Từ đó suy ra P  10   1012.
P 10
Vậy nên số chữ số của 2019   là  1012.log 2019   1  3345.

Câu 12. Cho f  x  liên tục trên

thỏa mãn f '  x   2 x  f  x  . Biết f  2   10; f  1   5 .

2

 x 
Tính  
 f '  x  dx
1
 f x 
6
6
A.  ln 2
B.  ln 2
5
5
2

2
x 
Xét I   

1
 f x 

2

C.

4
 ln 2
5

D.

4
 ln 2
5

u  x 2
du  2 xdx


f '  x  dx . Đặt 
f ' x 

1
dv  f x 2 dx  v   f  x 
 


2

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

2 2x
2 2x
x2
1

I

dx    
dx
f x 1 1 f x
5 1 f x

Có f '  x   2 x  f  x  



2

1

f ' x 
f x



2 f ' x 
2 2x
2
2x
1
dx  
dx   dx
1 f x
1 f x
1

f x
 
 

2
2x
ln 10
4
dx  1  ln f  x   1 
 1  ln 2  I   ln 2
1
f x
ln 5
5

Chọn ý D.
Câu 13. Cho hàm số f  x  liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ.

Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

Tạp chí và tư liệu toán học | 13


HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
y

1

O

1

x

2

2

3
4

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
9.6

Đúng với mọi x 

f x

  4  f 2  x   .9 x   m2  5m  .4

là?
C. 5

B. 4

A. 10

f x

Đặt t  f  x  . Quan sát đồ thị ta thấy f  x   2x 

D. 9
 t  2

Bất phương trình đã cho được viết lại như sau
t

2t

3
3
9.6t   4  t 2  .9t   m2  5m  .4t , t  2  9      4  t 2     m2  5m
2
2
t

3
3
Xét hàm số g  t   9      4  t 2   
2
2
t

2t

2t

2t

3
3
3
3
3
Có g '  t   9.   . ln    2t.    2  4  t 2    . ln  0, t  2
2
2
2
2
2
Từ đó suy ra max g  t   g  2   4
  ; 2 

Vì m   m  1; 2; 3; 4 nên tổng tất cả các giá trị của tham số m là 10.
Chọn ý A.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1; 1;0  , B  a; b; c  .Gọi
M , N , P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng

 P : x  2y  2  0

,  Q  : y  z  2  0 ,  R  : x  y  2 z  1  0 sao cho AM  2 MN  NP  PB . Giá trị của biểu

thức T  a  b  c tương ứng bằng
28
B. 
A. 5
5

14 | Chinh phục olmypic toán

C.

17
5

D. 

31
5

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Yêu cầu bài toán tương đương với m2  5m  4  1  m  4


ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
B  a; b ; c 

A  1; 1;0 
M

N

P
Ta có thể đặt AM  2 MN  NP  PB  2 d  AM  NP  PB  2 d, MN  d

5x A  2 x B 2 a  5

x M  5  2  7

 MA  2 d
5y  2 y B 2b  5

 5 MA  2 MB  0   y M  A

Nhận thấy 
52
7
 MB  5d

5 z A  2 zB 2 c

 zM  5  2  7

2a  5
2b  5
Lại có M   P   x M  2 y M  2  0 
 2.
 2  0  2 a  4b  1  0
7
7
4 x A  3x B 3 a  4

xN  4  3  7

NA  3d

4 y  3 y B 3b  4

 4 NA  3NB  0   y N  A

Tương tự: 
43
7
NB  4 d

4 zA  3 zB 3c

 zN  4  3  7


3b  4 3c
  2  0  3b  3c  10  0
7
7
3x A  4 x B 4 a  3

xP  3  4  7

 PA  4 d
3 y  4 y B 4b  3

 3 PA  4 PB  0   y P  A

Tương tự: 
34
7

 PB  3d

3 z A  4 z B 4c

 zP  3  4  7


Lại có N   Q   y N  zN  2  0 

4 a  3 4b  3
4c

 2.  1  0  4 a  4b  8c  7  0
7
7
7
34
53
49
Giải hệ  1  ,  2  ,  3  suy ra: a   ; b   ; c  
15
60
20
28
Suy ra T  a  b  c   .
5
Câu 15. Khối  H  được tạo thành là phần chung khi giao nhau hai khối nón có cùng chiều

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

Lại có P   R   xP  y P  2 zP  1  0 

cao h, có các bán kính đường tròn đáy lần lượt là R và r sao cho đỉnh của khối nón này
trùng với tâm đường tròn đáy của khối nón kia. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối  H  ,
1
2

biết rằng R và r thoả mãn phương trình X 2   x  y  X  xy  0  x , y   .
2

1
1
1
A.
B.
D.
h
h
h
C. h
48
16
12

Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

Tạp chí và tư liệu toán học | 15


HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019

R

r
Giả sử R  r . Ta có hình minh hoạ như trên.
Gọi a là bán kính đường tròn giao tuyến, b là khoảng cách từ tâm đường tròn giao tuyến
đến tâm đường tròn có bán kính R.
Sử dụng các tam giác đồng dạng, ta suy ra

Mặc khác V H 

 a b
 r  h
R
b
Rh
r
Rr
 
b
a b
.

a
h

b
r
h


b
R

r
h
R

r
 
 R
h
1
1
1
 a2 b  a2  h  b   a 2 h .
3
3
3

Xét phương trình ẩn X : X 2   x  y  X  xy  0  x , y  0  có
2



 X   x  y   4xy  2 xy
4



4

 4xy  0, x , y 

1
2

2

1
SX   x  y   0
Theo vi-ét: 
, x , y 
2

 PX  xy  0
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt là R và r.

x  y

xy
Rr
1
1
4


 , x , y  .
2
2
R  r x  y

2
x  y 4

2

Suy ra V( H ) 

1
1 1
1
1
ha2  h   
h , x , y  .
3
3 4
48
2

1
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  . Vậy max V H  
h .
2
48
Câu 16. Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới

16 | Chinh phục olmypic toán

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Theo bất đẳng thức AM – GM , a 

2


ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
y

6

2

4
2

O

x

2

4

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
A. 2
Vì 0  sin x  1  0 

B. 3

1
3

 4


f
sin  sin x    m có nghiệm?
3

 3

C. 4

D. 5



sin x  .
3
3


 


Trên đoạn 0;  hàm số sin luôn tăng nên suy ra sin 0  sin  sin x   sin
3
3


 3

3
4




Hay 0  sin  sin x  

sin  sin x    0; 2 
3
3
 2
3

1  4

  4 
Nhìn vào đồ thị ta thấy f 
sin  sin x      ; 2 
3  3
3
  3 
4
m2
3
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ ABC . A1 B1C 1 có tọa độ các

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

Để phương trình đầu có nghiệm thì 

đỉnh A  1; 0; 2  , B  2; 1; 0  , C  3; 2; 2  và A1  1; 2; 3  . Gọi M là một điểm trên mặt phẳng

 A1 B1C1  . Diện tích toàn phần
trị nào sau đây?
A. 10

Stp của tứ diện MABC có giá trị nhỏ nhất gần nhất với giá

B. 12

C. 11

D. 13

Ta có  ABC  : x  y  z  3  0; d  A1 ;  ABC    3 ; AB  6 ; AC  2 2 ; BC  14
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng  ABC  . Theo pytago và công thức
diện tích ta có Stp  SABC  SMAB  SMCB  SMCA

Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

Tạp chí và tư liệu toán học | 17


HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
6. a 2  3  14. b 2  3  8. c 2  3
2 3

2
6 a 2  18  14b 2  42  8c 2  24
2 3
2



2 3

6 a  14b  8c

 
2

18  42  24



2

2
Trong đó a , b , c lần lượt là khoảng cách từ H đến các cạnh AB, BC , CA và
6 a  14b  8c  2SABC  4 3

Câu 18. Cho a là số thực, phương trình z2   a  2  z  2 a  3  0 có 2 nghiệm z1 , z2 . Gọi
M , N là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc

bằng 120 , tính tổng các giá trị của a .
A. 6
B. 6

C. 4

D. 4

Vì O , M , N không thẳng hàng nên z1 , z2 không đồng thời là số thực, cũng không đồng
thời là số thuần ảo  z1 , z2 là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình





z2   a  2  z  2 a  3  0 . Do đó, ta phải có:   a 2  12 a  16  0  a  6  2 5 ; 6  2 5 .


2a
 a 2  12 a  16

i
 z1 

2
2
Khi đó, ta có 
.
2a
 a 2  12 a  16

i
 z1  2 

2
 OM  ON  z1  z2  2 a  3 và MN  z1  z2   a 2  12 a  16 .

Tam giác OMN cân nên MON  120 


OM 2  ON 2  MN 2
 cos 120
2OM.ON

a2  8a  10
1
   a2  6 a  7  0  a  3  2
2  2a  3
2

Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là 6 .
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z  2 .

C. 4 

B. 2  3

A. 4  2 3
Gọi z  x  yi,  x , y 

 . Theo giả thiết, ta có

Suy ra 2  x , y  2 .
Khi đó, P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i  2

P2



 x  1

2

 y2 



1  x

D. 2 

7
15

z  2  x2  y 2  4 .

 x  1
2

14
15

2

 y2 

 y2  y  2

 x  1

2

 y2  y  2

  2 2 1  y

2





2y .

Dấu “  ” xảy ra khi x  0 .

18 | Chinh phục olmypic toán

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i ?

ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA
Xét hàm số f  y   2 1  y 2  2  y trên đoạn  2; 2  , ta có

f y 

2y
1 y

2

1 

2y  1  y2
1 y

2

; f y  0  y 

1
.
3

 1 
Ta có f 
  2  3 ; f  2   4  2 5 ; f  2   2 5 .
 3
1
Suy ra min f  y   2  3 khi y 
.

 2 ; 2 
3





Do đó P  2 2  3  4  2 3 . Vậy Pmin  4  2 3 khi z 

1
i.
3

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H  là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu
diễn các số phức z thỏa mãn
Tính diện tích S của  H  .
A. S  32  6   
Giả sử z  x  yi  x , y 
Vì

z
16
và
có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn  0; 1 .
16
z

B. S  16  4   

 .Ta có

16 y
y
16x
16
16
z
x
 2
 2
i.

 i;

2
16 16 16
x  y2
x  yi x  y
z

16
z
và
có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn  0; 1 nên
16
z

0 

0 



0  x  16
0  x  16
y
x
0  y  16
 1; 0 
1
0  y  16
16
16



.

2
2
2
2
16 y
16 x
x

8

y

64

0

16
x

x

y




 1; 0  2
1
x2  y2
x  y2
0  16 y  x 2  y 2
 x 2  y  8 2  64




y
16 C

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

D. 64 

C. 256

B

E

I

16
O

J

A

x

Suy ra  H  là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông cạnh 16 và hai hình tròn C 1  có
tâm I 1  8; 0  , bán kính R1  8 và C 2  có tâm I 2  0; 8  , bán kính R2  8 .

Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

Tạp chí và tư liệu toán học | 19


HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2019
Gọi S  là diện tích của đường tròn C 2  .
1
1

1


Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là: S1  2  S  SOEJ   2  ..82  .8.8  .
2
4

4


Vậy diện tích S của hình  H  là

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

1
1

S  16 2  .82  2.  ..82  .8.8   256  64   32   64  192  32   32  6    .
2
4


20 | Chinh phục olmypic toán

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg