018 đề HSG toán 7 huyện anh sơn 2015 2016

UBND HUYN ANH SN GIO DC THI HC SINH GII LP 7 CP HUYN
V O TO
Mụn: Toỏn
CHNH THC
Nm hc: 2015-2016
Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )
Bài 1 : Cho biểu thức A =

x 1
x 1

.

a. Tính giá trị của A tại x =

16
25
và x =
.
9
9

b. Tìm giá trị của x để A =5.
Bài 2 : Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần l-ợt độ dài từng
hai đ-ờng cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là :5 : 7 : 8.
Bi 3: (1,5 im) Cho t l thc

a c
.
b d

Chng minh rng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).
Bi 4: (4,5 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A; K l trung im ca BC. Trờn tia
i ca tia KA ly D , sao cho KD = KA.
a. Chng minh: CD // AB.
b. Gi H l trung im ca AC; BH ct AD ti M; DH ct BC ti N .
Chng minh rng: ABH = CDH.
c. Chng minh: HMN cõn.
Cõu 5. (1,0 im)
a. Cho ba s dng 0 a b c 1 chng minh rng:

a
b
c


2
bc 1 ac 1 ab 1

b. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
Cõu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
nguyên nào?

14 x
; x Z . Khi đó x nhận giá trị
4x


ĐÁP ÁN
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).

Giải:
a.

3  2 5 9
:   .
4 3 9 4
3  2 5 9 3 1 9
:     : 
4 3 9 4 4 9 4
3 9 9 36
= .   9
4 1 4 4

b.

1 1
45  1  1  1   

  
19  2  3  4   



0,75đ
0,75đ

1

1

1 1
45  1  1  1   
45
1
   


19  2  3  4   
19 1  1


2 14
3
45 26 19
=   1
19 19 19

c.

1,0đ

1,0đ

5.415.99  4.320.89
5.210.619  7.2 29.27 6
5.415.99  4.320.89
5.2 2.15.32.9  2 2.320.23.9
=
5.210.619  7.2 29.27 6 5.210.219.319  7.2 29.33.6
2 29.318 5.2  32

 29 18
2 .3 5.3  7 
10  9
1
=

15  7
8





01đ
01đ
0,5đ

Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16

0,25đ

-12x – 20 = 16

0,25đ

-12x = 16 + 20 = 36

0,50đ

x = 36 : (-12) = -3

0,50đ

1
2

b. Tìm x, biết: 3 : 2 x  1 =
1
2

21
22

Nếu x  . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)

0,25đ


1
2

3 : 2x  1 =

21
22

7

21
: (2x – 1) =
22
2

0,25đ

7 21
7 22 11
= . 
2 22
2 21 3

2x – 1 = :

11
14
+1=
3
3

0,25đ

14
7
1
:2= >
3
3
2

0,25đ

2x =
x=

0,25đ

1
2

Nếu x  . Ta có:
1
2

3 : 2x  1 =

0,25đ

21
22

7
21
: (1 - 2x) =
22
2

0,25đ

8
11
-1=
3
3

0,25đ

-2x =
x=

8
4 1
: (-2) =  
3
3 2

Vậy x =

0,25đ

7
4
hoặc x = 
3
3

c. Tìm x, y, z biết :

0,25đ

2x  y 3 y  2z
và x + z = 2y

5
15

Từ x + z = 2y ta có:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0

0,25đ

hay 2x – y = 3y – 2z

0,25đ

Vậy nếu:

2x  y 3 y  2z

thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5  15).
5
15

Từ 2x – y = 0 suy ra: x =

1
y
2

Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y.  x + z + y – 2z = 0 hay
hay

3
2
1
y - z = 0 hay y = z. suy ra: x = z.
2
3
3

0,25đ
0,25đ

1
y +y–z=0
2

0,25đ
0,25đ


Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x =

1
2
z; y = z ; với z  R }
3
3

0,5đ

1
3
hoặc {x = y; y  R; z = y} hoặc {x  R; y = 2x; z = 3x}
2
2

Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức

a c
 .
b d

Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Ta có: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
cb = ad suy ra:

0,75đ

a c

b d

0,75đ

Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên
tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.

b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c. Chứng minh:  HMN cân.
Giải:

B

D

K
N

M
A

H

C

a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: ABK và DCK có:

0,25đ

BK = CK (gt)
ˆ A  CK
ˆ D (đối đỉnh)
BK

0,25đ

AK = DK (gt)

0,25đ


 ABK = DCK (c-g-c)

0,25đ

 DCˆ K  DBˆ K ; mà ABˆ C  ACˆ B  900  ACˆ D  ACˆ B  BCˆ D  900

0,25đ

 ACˆ D  900  BAˆ C  AB // CD (AB  AC và CD  AC).

0,25đ

b. Chứng minh rằng: ABH = CDH
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:
BA = CD (do ABK = DCK)

0,25đ

AH = CH (gt)

0,25đ

 ABH = CDH (c-g-c)

0,50đ

c. Chứng minh:  HMN cân.
Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có:
AB = CD; ACˆ D  900  BAˆ C ; AC cạnh chung:  ABC = CDA (c-

0,25đ

g-c)
 ACˆ B  CAˆ D

0,25đ

mà: AH = CH (gt) và MHˆ A  NHˆ C (vì ABH = CDH)

0,50đ

 AMH = CNH (g-c-g)

0,50đ

 MH = NH. Vậy HMN cân tại H

0,50đ

Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11.
Giải:
Ta có: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c

0,25đ

= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)

0,50đ

= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)

0,50đ

= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)

0,25đ

= 11.91( a.102 + b.10 + c)  11

0,25đ

Vậy abcabc  11

0,25đ
Hết