040 đề HSG toán 7 huyện triệu sơn 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 7
NĂM HỌC: 2015-2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (5,0 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau:
1
1 
1 
1 
1


a) A  1 
1 
1 
 ......1 

2  1.3  2.4  3.5 
 2015.2017 
1
b) B  2 x 2  3x  5 với x 
2
0
 2015 
3 2

2
2
c) C  2 x  2 y  13x y  x  y   15  y x  x y   
 , biết x  y  0
2016


Câu 2. (4,0 điểm)
2
1

1. Tìm x, y biết:  2 x    3 y  12  0
6

3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z
2. Tìm x, y, z biết
và x  y  z  18


4
3
2
Câu 3. (5,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y biết x  2 xy  y  3  0
2. Cho đa thức f  x   x10  101x9  101x8  101x7  .....  101x  101. Tính f 100 
3. Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn
được ba số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác
Câu 4. (5,0 điểm)
1. Cho ABC có B  C  600 , phân giác AD. Trên AD lấy điểm O, trên tia đối
của tia AC lấy điểm M sao cho ABM  ABO . Trên tia đối của tia AB lấy

điểm N sao cho ACN  ACO . Chứng minh rằng
a) AM  AN
b) MON là tam giác đều
2. Cho tam giác ABC vuông ở A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là
hình chiếu của M trên AC, AB. Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất
Câu 5. (1,0 điểm)
a 2 b2
Cho x  y  1, x  0, y  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   ( a và b là
x
y
hằng số dương đã cho).


ĐÁP ÁN
Câu 1.
1
1 
1 
1 
1


a ) A  .1 
1 
1 
 .......1 

2  1.3  2.4  3.5 
 2015.2017 
1 2 2 3 3 4 4

 2016 2016 
 . .  . .  . .  ......
.

2 1 3 2 4 3 5
 2015 2017 
1 2 2 3 3 4 4
 2016 2016  2016
 . .  . .  . .  ......
.

2 1 3 2 4 3 5
 2015 2017  2017
1

x

1 
2
b) Vì x   
1
2 
x

2
2
1
1
1
Với x   B  2.   3.  5  4

2
2
2
2

1
 1
 1
Với x    B  2.    3.    5  7
2
 2
 2
1
1
Vậy B  4 khi x  và B  7 khi x  
2
2
0

 2015 
c)C  2 x  2 y  13x y  x  y   15  y x  x y   

 2016 
 2  x  y   13x3 y 2  x  y   15 xy  x  y   1  1( x  y  0)
Câu 2.
2
2
1
1



1.Vì  2 x    0x; 3 y  12  0y , do đó:  2 x    3 y  12  0 x, y
6
6


3

2

2

2

2

2

1
1


Theo đề bài thì  2 x    3 y  12  0   2 x    3 y  12  0
6
6


1
1
Khi đó ta có: 2 x   0 và 3 y  12  0  x  ; y  4

12
6
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z


2.Ta có :
4
3
2
4  3x  2 y  3 2 z  4 x  2  4 y  3z  12 x  8 y  6 z  12 x  8 y  6 z



0
Suy ra
16
9
4
29


x y
 3x  2 y

0

3
x

2

y


 4
x y z
2 3

  
2 3 4
 2z  4x  0  2z  4x  x  z
 3
2 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z x  y  z 18
  
  2  x  4; y  6; z  8
2 3 4 23 4 9
Câu 3.
1) Ta có : x  2 xy  y  3  0
 2 x  4 xy  2 y  6  0  2 x  4 xy  2 y  1  5

 2 x 1  2 y   1  2 y   5   2 x  11  2 y   5
Lập bảng:
1
5
-1
2x  1
1  2y
5
1

-5
1
3
0
x
y
-2
0
3
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
2) Ta có:
f  x   x10  101x9  101x8  101x7  ....  101x  101

-5
-1
-2
1
Thỏa mãn

 x10  100 x9  x9  100 x8  x8  100 x 7  x 7  .....  101x  101
 x9  x  100   x8  x  100   x 7  x  100   x 6  x  100   .....  x  x  100    x  101
 f 100   1
3) Giả sử 8 số nguyên dương tùy ý đã cho là a1, a2 , a3 ,....., a8 với
1  a1  a2  ........  a8  20
Nhận thấy rằng với ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c và b  c  a thì a, b, c là độ
dài ba cạnh của một tam giác. Từ đó, ta thấy nếu trong các số a1, a2 , a3 ,......, a8 không
chọn được 3 số là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
a6  a7  a8  1  1  2

a5  a6  a7  2  1  3
a4  a5  a6  3  2  5
a3  a4  a5  5  3  8
a2  a3  a4  8  5  13
a1  a2  a3  13  8  21
(trái với giả thiết)


Vậy điều giả sử trên là sai.Do đó, trong 8 số nguyên trên đã cho luôn chọn được 3 số
x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác
Câu 4.
1.

N

M
4

A
3
1 2

B
D
C
a) ABC có B  C  600 nên A  1200
Do AD là tia phân giác nên A1  A2  600 , ta lại có A3  A4  1800  A  600
ABM  ABD( g.c.g )  AM  AO(1)
Suy ra A1  A2  A3  A4   600   
ACN  ACO( g.c.g )  AN  AO(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM  AN
b) AOM  ON (c.g.c)  OM  ON (3)
AOM  AMN (c.g.c)  OM  NM (4)
Từ (3) và (4) suy ra OM  ON  NM  MON là tam giác đều


2.

A
D

E

C
B

H

M

DE  AM  AH (AH là đường cao của ABC )
Vậy DE nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất  M trùng với H
Câu 5.
Ta có:
2
2
a 2 b 2 a 2 .1 b 2 .1 a . x  y  b . x  y 
a2 y
b2 x
2

2
P  



a 
b 
x
y
x
y
x
y
x
y
 a 2 y b2 x  2
2


a b
y 
 x
a2 y
b2 x
Các số dương
và
có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ
y
x
a 2 y b2 x

a
khi

 a 2 y 2  b2 x 2  ay  bx  a 1  x   bx  x 
x
y
ab
b
Suy ra y 
ab
a
b
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   a  b  khi x 
;y 
ab
ab