041 đề HSG toán 7 huyện vĩnh lộc 2016 2017

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN VĨNH LỘC

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 11/04/2017

Bài 1. (4,0 điểm)
1
 1
  1
a) Tính giá trị biểu thức A   2  3,5  :  4  3   7,5
7
 3
  6

2.84.272  4.69
b) Rút gọn biểu thức B  7 7
2 .6  27.40.94
c) Tìm đa thức M biết rằng: M   5x 2  2 xy   6 x 2  9 xy  y 2
Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn  2 x  5

2012

 3 y  4

2014

0

Bài 2. (4,0 điểm)
1
1 1
 x 
2
5 3
b) Tìm x, y, z biết: 2 x  3 y;4 y  5z và x  y  z  11

a) Tìm x :

c) Tìm x, biết :  x  2 

n1

  x  2

n11

với n là số tự nhiên

Bài 3. (4,0 điểm)
a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường
cao tương ứng lần lượt là 2cm,3cm,4cm.
b) Tìm x, y nguyên biết : 2 xy  x  y  2
Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB  AC , B  600 ). Hai phân giác AD và
CE của ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với
đường phân giác AI tai H, cắt AB ở P, cắt AC ở K.

a) Tính AIC
b) Tính độ dài cạnh AK biết PK  6cm, AH  4cm.

c) Chứng minh IDE cân
Bài 5. (2,0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ


ĐÁP ÁN
Bài 1.
1
 1
  1
a) A   2  3,5  :  4  3   7,5
7
 3
  6
 7 7   25 22  15
   :
 
7  2
3 2  6
35 43 15 245 15
 :
 

6 42
2
43
2
490 645 155




86
86
86

211.36. 22  33  2
2.84.272  4.69
213.36  211.39
b) B  7 7



2 .6  27.40.94 214.37  210.38.5 210.37. 24  3.5  3

c) M   5 x 2  2 xy   6 x 2  9 xy  y 2   5 x 2  2 xy 
 M  6 x 2  9 xy  y 2  5 x 2  2 xy  x 2  11xy  y 2
Ta có :  2 x  5

2012

 3 y  4

2014

0

 2 x  52012  0
2012
2014

2

x

5

3
y

4
0
Ta có: 




2014
3
y

4

0



Mà  2 x  5

2012

 3 y  4

2014

 0   2 x  5

1

 2 x  5 2012  0  x  2
2


. Vậy
2014
1
3
y

4

0


 y  1

3

2012

 3 y  4 

2014

0

1

x

2

2

 y  1 1

3

5  4   4  25 110 16 1159
5

 
Vậy M     11. .      
2
2
3
3
4
3
9
36
 


  
2

Bài 2.
1
1 1
a)  x  
2
5 3

2


x

1 1 1
1 1
   x 
5 2 3
5 6

TH1: x 

1 1
1
 x
5 6
30

TH2: x 

1
1
1 1
11
 x  
5
6
6 5
30

 1 11 
Vậy x   ;  
 30 30 
x y
x
y
 hay

3 2
15 10
y z
y z
x
y z
4 y  5 z   hay
 . Vậy
  .
5 4
10 8

15 10 8
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x
y z
x  y  z 11 1
10
8
  

 , suy ra x  5, y  ; z 
15 10 8 15  10  8 33 3
3
3

b) Ta có : 2 x  3 y 

c)

 x  2   x  2
n 1
n 11
 x  2   x  2  0
n 1
10
  x  2  1   x  2    0



TH1:  x  2 

n1

n1

n11

 0  x  2

x  2 1
 x  1
10
10
TH2: 1   x  2    x  2   1  

 x  2  1  x  3
Vậy x  2; x  1; x  3

Bài 3.
a) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y, z  cm  x, y, z  0 
Theo bài ra ta có: x  y  z  13
x y z
 
6 4 3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Và 2 x  3 y  4 z  2S ABC 


x y z x  y  z 13
  

  1  x  6, y  4, z  3
6 4 3 6  4  3 13
b) 2 xy  x  y  2
4 xy  2 x  2 y  4

2 x  2 y  1  2 y  1  5
  2 y  1 2 x  1  5  5.1  1.5  5.  1  1.  5
Xét 4 trường hợp tìm ra  , y   1;3 ;  3;1 ;  2;0  ;  0; 2 
Bài 4.

A
F
E
K

I
B

D
H

M

P
a) Ta có ABC  600  BAC  BCA  1200
1
AD là phân giác của BAC suy ra IAC  BAC
2
1
CE là phân giác của ACB  ICA  BCA

2
1
Suy ra IAC  ICA  .1200  600
2
Vậy AIC  1200

C


b) Xét AHP và AHK có: PAH  KAH ( AH là phân giác của BAC )

AH chung; PHA  KHA  900
 AHP  AHK ( g.c.g )  PH  KH (hai cạnh tương ứng)
Vậy HK  3cm
Vì AHK vuông ở H , theo định lý Pytago ta có:
AK 2  AH 2  HK 2  42  32  25 . Suy ra AK  5cm
c) Vì AIC  1200 , do đó : AIE  DIC  600
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF  AE
Xét EAI và FAI có: AE  AF , EAI  FAI , AI chung
Vậy EAI  FAI (c.g.c)  IE  IF (hai cạnh tương ứng ) (1)

AIE  AIF  600  FIC  AIC  AIF  600
Xét DIC và FIC có: DIC  FIC  600 ; IC chung; DIC  FIC
 DIC  FIC  g.c.g   ID  IF (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I.
Bài 5.
Giả sử 10 là số hữu tỷ
a
 10  (a, b là số tự nhiên, b khác 0;  a, b   1)

b

a2
 10  a 2  10b2
2
b
 a 2  a2 4  10b2 4  b2 2  b 2

Vậy  a, b   1nên 10 là số vô tỷ.