138 đề HSG toán 7 huyện hoài nhơn 2014 2015

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN TOÁN 7

Bài 1. (4,5 điểm)
a) Trong ba số a, b, c có một số dương, một số âm vầ một số bằng 0, ngoài ra
còn biết: a  b2  b  c  . Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0
b) Tìm hai số x và y sao cho x  y  xy  x : y

( y  0)

c) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên a thỏa mãn: a 2  a  p  0
Bài 2. (4,5 điểm)
a) Cho đa thức f  x   ax5  bx3  2014 x  1, biết: f  2015  2. Hãy tính
f  2015

b) Tìm x, biết:  x  5

x 1

  x  5

x 13

0

c) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức:
3

3
 0,6   0,75
7
S  13
11
11
 2,2   2,75
7
13
Bài 3. (4,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x  2  2 x  3  3x  4
1 200
b) Tìm hai số khác 0, biết tổng, hiệu,tích của hai số đó tỉ lệ với 3, ,
3 3
Bài 4. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có AB  6cm, AC  8cm và đường cao AH .

Tia phân giác của BAH cắt BH tại D. Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK  BC.
a) Chứng minh KB / / AD
b) Chứng minh KD  BC
c) Tính độ dài KB
Bài 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có A tù. Kẻ AD  AB và AD  AB (tia AD
nằm giữa hai tia AB và AC ). Kẻ AE  AC và AE  AC (tia AE nằm giữa hai tia

AB và AC ). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM  DE.


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) Ta có: a  0, b2  0 nên từ a  b2  b  c   b  c  0  c  b

+Nếu b  0  a  0  a  0  có hai số a và b bằng 0, vô lý
+Nếu b  0  c  b  0  có hai số âm b và c, vô lý
+Nếu b  0 , ta xét a  0  b  c  0  b  c  0  có hai số dương b và c, vô lý
a0
Vậy a  0, b  0, c  0
b) Từ x  y  xy  x  xy  y  y  x  1  x : y  x  1
Ta lại có: x : y  x  y  x  y  x  1  y  1

1
 x  xy  y   x  1  x  .
2
1
Vậy hai số cần tìm là x  ; y  1
2
2
c) Từ a  a  p  0  p  a 2  a  a  a  1
Với a   p  a  a  1 2; p là số nguyên tố  p  2
a  1
 a  a  1  2  1.2   1. 2   
 a  2
Bài 2.
a) Ta có: f  x   ax5  bx3  2014 x  2015

 f   x   a   x   b   x   2014   x   2015  ax 5  bx 3  2014 x  2015
5

3

 f  x   f   x   2  f  2015   f  2015  2
 f  2015  2  f  2015  2  2  0

Vậy f  2015   0

b)  x  5 

 x  5

x 1

x 1

  x  5

x 13

 0   x  5  . 1   x  5 


x  5  0
0
 x5
x  1  0

x 1

12

 x  5 x1  0
0


1   x  512  0


x  5 1
x  6
12
12
1   x  5  0   x  5  1  

.
 x  5  1  x  4
Vậy x  4, x  5, x  6
c)
 1 1 1 1
3
3
3 3 3 3
3.    
 0,6   0,75
  
13 5 7 4  3
7
S  13
 13 5 7 4  

11
11
11 11 11 11
1 1 1 1  11


 2,2   2,75
  
11.    
7
13
7 5 13 4
 7 5 13 4 
Bài 3.
a) Ta có: x  2  3x  4  2  x  3x  4  2  x  3x  4  2 x  2

4
x2
3
2x  3  2x  2  3  2x  2x  2  3  2 x  2 x  2  1  1

Dấu "  " xảy ra   2  x  3x  4   0 

3
2
Do đó  A  x  2  2 x  3  3x  4  1. Dấu "  " xảy ra
Dấu "  " xảy ra   2 x  3 2 x  2   0  1  x 

4
 3  x  2
4
3

 x
3
2

1  x  3

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là min A  1 

4
3
x
3
2

b) Gọi 2 số khác 0 cần tìm là x và y.

x y x y
xy
x  y  x  y 2 x 3x





k 0
1
200
1
10 5
3
3
3

3
3
3
5k
200k
 x  (1); x  y  3k (2); xy 
(3)
3
3
5k 4k
5k 4k 20k 2

 xy  . 
(4)
Từ (1) và (2)  y  3k 
3
3
3 3
9
200k 20k 2
5.30
4.30

 k  30  k  0   x 
 50; y 
 40
Từ (3) và (4) 
3
9
3

3
Ta có:


Vậy hai số cần tìm là 50;40
Bài 4.

K

A

C
B

D H

a) Chứng minh KB / / AD
BAC  900  BAD  CAD  900 , AH  BC  AHD vuông ở H

 HAD  ADH  900 mà BAD  HAD (vì AD là phân giác của BAH )
1800  C
Nên CAD  ADH  ACD cân ở C  CAD 
2
1800  C
CK  BC ( gt )  CBK cân ở C  CKB 
2
Do đó  CAD  CKB  KB / / AD
b) Chứng minh KD  BC
KC  BC ( gt ); AC  CD(ACD cân ở C)  DB  KA (1)

CBK cân ở C  DBK  AKB

(2)

Từ (1) và (2)  BKD  KBA(c.g.c)  BDK  KAB  900  KD  BC
c) Tính độ dài KB


Lập luận tính đúng BC 2  AB2  AC 2  62  82  102  BC  10
ACD cân ở C  CD  AC  8  BD  BC  CD  10  8  2
BKD  KBA(cmt )  KD  AB  6
KD  BC  KDB vuông ở D  KB2  KD2  BD2  62  22  40  KB  40
Câu 5.

A

B

C

M

E

F

D

Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF  MA  AMB  FMC (c.g.c)

 AB  AD  CF (1); ABM  FCM (2)
Từ (2)  CF / / AB  FCA  BAC  1800 (3)
AD  AB  BAE  EAD  BAD  900 , AE  AC  CAD  EAD  CAE  900

 BAE  EAD  CAD  EAD  1800  BAC  EAD  1800 (4)
Từ (3), (4)  FCA  EAD  ADE  CFA(c.g.c)  AED  CAF
Mà CAF  FAE  CAE  900 nên  AED  FAE  900 hay AEK  KAE  900
 AKE vuông tại K  AM  DE