218 đề HSG toán 7 huyện thường tín 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THƯỜNG TÍN

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 7
MÔN TOÁN 7
NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1. (5 điểm) Cho f ( x)  x  x19  x5  x 2018 

g ( x)  x 2019  x 20  9  x 2  x 4  x 2  2 

a) Tính k  x   f  x   g  x 

5 7 9 11 13 15 17 19  5

b) Tính giá trị của k  x  tại x   2      
  .
3 6 10 15 21 28 36 45  6

c) Chứng minh rằng: đa thức k  x  không nhận giá trị 2019 với mọi giá trị của
x nguyên ?
Câu 2. (4 điểm) Tìm x biết:
1
 1 4
a)23x      0
b) 2 x  5  47  x
2
 27 9 
8
3   34 2 3 
 8

c)  2 x  3 3x  1  

 27
   1
 .
2019   35 5 7 
 2017 2018
d ) x 2  5 x  6
Câu 3. (3 điểm)
a b c
a) Cho   và a  b  c  2019. Tính a, b, c
b c a
ab cd
a c
b) Chứng minh rằng: Từ tỷ lệ thức

 1 ta có tỉ lệ thức 
a b c d
b d
0
Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  , A  100 . Tia phân giác của B cắt
AC tại D, qua A kẻ đường vuông góc với BD cắt BC ở I
a) Chứng minh rằng: BD là trung trực của AI
b) Trên tia đối của tia DB lấy K sao cho DK  DA. Chứng minh rằng: tam giác
AIK đều
c) Chứng minh : BK  BC
d) Lấy E  BD. Chứng minh rằng: BC  EA  AB  EC
Câu 5. (2 điểm)
x  2019  2020
a) Tìm GTLN của: A 

x  2019  2021
1 1 1
1
1

b) Chứng minh rằng: B  3  3  3  ...... 
2 3 4
20193 22


ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) Tính được k  x   x 4  2 x 2  9
b)
5 7 9 11 13 15 17 19
Xet : 2      
 
3 6 10 15 21 28 36 45
9 11 13 15 17 19 
 5 7
 2 1   




 
 6 12 20 30 42 56 72 90 
 2  3 3  4 4  5 5  6 6  7 7  8 8  9 9  10 
 2.1 









6
12
20
30
42
56
72
90 

1 1 
 1 1 1 1 1 1 1 1
 2.1          ......   
9 10 
 2 3 3 4 4 5 5 6
6 6
1 1 
 2.    2. 
10 5
 2 10 
6 5
Vậy x  .  1  k x  12
5 6
c) Xét k x   x 4  2 x 2  9  x 2  x 2  2   9

Giả sử k x   2019  x 2  x 2  2   2010

Vì x nguyên nên 2010 chẵn và x 2 ;  x 2  2  cùng tính chẵn (hoặc lẻ)  x 2 ; x 2  2 là
hai số chẵn liên tiếp nên x 2  x 2  2  4 , còn 2010 không chia hết cho 4
Vậy giả sử là sai hay k x  không nhận giá trị 2019 với mọi x nguyên.
Câu 2.
a) Tìm được x  

11
621

5
 2x  5  0  2x  5  2x  5
2
1
104
5
Nên ta có: 2 x  5  47  x  x 
(tm...x  )
2
3
2
5
Với x   2 x  5  0  2 x  5  2 x  5
2
1
4
5
Nên ta có: 2 x  5  47  x  x  16 (tm...x  )

2
5
2
b) Với x 


34 2 3
34  14  15  35
  1 
0
35 5 7
35
3

2
x

3

0

x


2
Thay vào ta có:  2 x  3 3 x  1  0  
3 x  1  0  x   1

3
d) Ta có: x 2  5x  6  0   x 2  2 x    3x  6   0

c) Xét

 x  x  2   3 x  2   0

x  3  0  x  3
  x  3 x  2   0  
x  2  0  x  2
Câu 3.
a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b c a  b  c 2019
a
  

 1   1  a  b , tương tự b  c
b c a a  b  c 2019
b
2019
Suy ra a  b  c 
 673
3
ab
cd
b)
 1  b  0;
 1 d  0
a b
cd
ab cd
a c

Vì

  a  b  c  d    a  b  c  d   2bc  2ad    b, d  0 
a b c d
b d


Câu 4.

A
D

K

E
B
I

C

a) Xét BAI có BD vừa là phân giác vừa là đường cao nên BAI cân tại đỉnh
B  BD là trung trực của AI
b) Từ chứng minh trên  KA  KI (1)





Từ giả thiết ABC cân đỉnh A A  1000  ABC  ACB  400

BAI cân đỉnh B mà ABI  400  BAI  BIA  700
Từ đó suy ra IAC  300 (2) và AIC  1100
BAD : BAD  1000 , ABD  200  ADB  600

Lại có DAK cân đỉnh D  DAK  DKA  ADB  2DAK (tính chất góc ngoài)
 DAK  300 (3). Từ (2) và (3) suy ra: IAK  600 (4)
Từ (1) và (4) suy ra AIK đều.
AKC  AIC  1100 

0
c) Ta có: IAC  KAC (cgc) 
  IKC  50
0
AKI  60 (cmt ) 

0
0
Và DKI  DKA  30  BKC  80
BKC  800 

BKC :
 KCB  800  BKC cân tại đỉnh B  BK  BC.

KBC  200 

d) Ta có: BK là trung trực của AI  EA  EI
BC  AB  BC  BI  IC 1


Từ đó EC  EA  EC  EI  IC (BĐT trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra EC  EA  BC  AB hay BC  EA  AB  EC
Câu 5.
x  2019  2020 x  2019  2021  1
a) A 

x  2019  2021
x  2019  2021
1
(Vì x  2019  2021  2021. Dấu "  " xảy ra  x  2019
A 1
x  2019  2021
1
1


x  2019  2021 2021

1
1
2020
1

x  2019  2021
2021 2021
2020
GTNN của A 
 x  2019
2021
1
1

b) Ta có: 23  1.2.3  3 
2 1.2.3
1
1
1
1
Tương tự : 3 
;......;

3 2.3.4
20193 2017.2018.2019
1
1
1
1  3 1 4  2
2019  2017 
 A

 ...... 
 

 ...... 

1.2.3 2.3.4
2017.2018.2019 2  1.2.3 2.3.4
2017.2018.2019 
1 1
1
1
1

1
1
1
 1 1

 A 



 .... 


 

2  1.2 2.3 2.3 3.4
2017.2018 2018.2019  2  1.2 2018.2019 
1
1
1
 A 2 
 2
2 2018.2019.2 2
1 1 1
1
1
 A  3  3  3  ...... 
 2
3
2 3 4
2019 2

 A 1