003 đề HSG toán 7 huyện hạ hòa 2010 2011

TRƯỜNG THCS
HẠ HÒA

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
NĂM HỌC 2010-2011

Bài 1. Chứng minh rằng:
M  3n2  2n2  3n  2n có tân cùng là 0 với mọi số tự nhiên n  1.

Bài 2. Tìm x
a) 2 x  1  3  15

b) x  3, 2  2 x 

1
 x3
5

Bài 3.
Chứng minh rằng : nếu  ad  bc   4abcd thì các số a, b, c, d lập thành một tỉ lệ thức
2

Bài 4.
2

2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A   x     y  20 10  2010
5


Bài 5.

Cho tam giác ABC vuông tại B. Vẽ tia AD là phân giác của BAC ( D  BC ) . Vẽ tia CE là
phân giác của BCA  E  AB  . Hai tia AD và CE cắt nhau tại I
a) Chứng minh rằng CIA  1350
b) Vẽ tia Cx là tia đối của tia CA. Tia phân giác của góc BCx cắt tia AD tại K. Tính
góc CKA


ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 HẠ HÒA NĂM 2010-2011
Bài 1
Ta có:

M  3n 2  2n 2  3n  2n   3n  2  3n    2n  2  2n   3n.  32  1  2n.  22  1
 3n.10  2n.5  10.  3n  2n 1   M 10  n  N *

Vậy với n  N * ta có M luôn tận cùng là 0
Bài 2
 2 x  1  12
 2 x  13
 x  6,5


 2 x  1  12
 2 x  11  x  5,5

a) 2 x  1  3  15  2 x  1  12  
1
5

b) x  3, 2  2 x   x  3 (1)
Ta có: x  3, 2  3, 2  x  3, 2  x với mọi x, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3, 2  x  0 ;

2x 

1
1
1
 2 x   3, 2  x  2 x   x  3
5
5
5

3, 2  x  0
 x  3, 2
Do đó (1)  
. Vậy 0,1  x  3, 2

1
x

0,1
2
x


0


5


Bài 3

Ta có:  ad  bc    ad  bc  ad  bc    ad   2adbc   bc 
2

2

2

Nên từ giả thiết

 ad  bc 

2

 4abcd   ad   2 adbc   bc  4 abcd   ad   2 adbc   bc  0
2

2

2

2

  ad   adbc  acbd   bc   0  ad  ad  bc   bc  ad  bc   0   ad  bc   0
2

2

 ad  bc  0  ad  bc 

a c

 (Điều phải chứng minh)
b d

Bài 4
2

2
Ta có:  x    0;  y  20 10  0 với mọi x, y nên A  2010.
5

2
5

Dấu “=” xảy ra khi x  ; y  20

2


2
5

Vậy GTNN của A là Amin  2010 khi x  ; y  20
Bài 5.

A

E

I
C

B

D

x

K
a) Xét tam giác AIC ta có:
 BAC ACB 
AIC  CAI  ACI  1800  AIC  1800  CAI  ACI  1800  


 2
2 






Mà tam giác ABC vuông tại B nên BAC  ACB  900  CIA  1350
b) Vì hai góc ACB và BCx là hai góc kề bù nên hai tia phân giác của chúng vuông
góc với nhau  ICK  900
Tam giác ICK có góc AIC là góc ngoài nên


AIC  ICK  IKC  CKA  AIC  ICK  1350  900  450

Vậy CKA  450