220 đề HSG toán 7 huyện cát tiên 2018 2019

PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN

KỲ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC 2018-2019
MON TOÁN 7

Bài 1. (4,0 điểm)
a) Tìm x, y, z biết: 2 x  3 y,4 y  5z và x  y  z  30
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số nguyên y 

2x  3
x2

Bài 2. (6,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:
5n2  3n2  3n  5n chia hết cho 25
a b c d
b) Cho các số thực a; b; c; d ; e khác 0 thỏa mãn    . Chứng minh
b c d e
4
4
4
4
2a  3b  4c  5d
a

rằng:
4
4
4
4

2b  3c  4d  5e
e
c) Cho hai đa thức : f  x   ax  b; g ( x)  x 2  x  1
Hãy xác định a, b biết: f 1  g  2  và f  2   g 1
Bài 3. (4,0 điểm)
a) Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn

a c

b d

ac
a
với
bd
b
b) Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2016 . Chứng minh
rằng giá trị biểu thức sau không phải là một số nguyên
a
b
c
A


2016  c 2016  a 2016  b
Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC  , đường cao AH .

Hãy so sánh

Trên cạnh BC lấy M sao cho BM  BA. Từ M kẻ MN vuông góc với

AC  N  AC . Chứng minh rằng:
a) Tam giác ANH cân
b) BC  AH  AB  AC
c) 2AC 2  BC 2  CH 2  BH 2


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a)
x y
y z
 ; 4 y  5z  
3 2
5 4
x
y z
x  y  z 30
   

 10
15 10 8 15  10  8 3
 x  150; y  100; z  80
2x  3
b) Biểu thức y 
có giá trị nguyên  2 x  3 x  2
x2
x  2 1
x  3
 2  x  2  1 x  2  1 x  2  


 x  2  1  x  1
2x  3y 

Bài 2.
a) Ta có:
n2
5  3n2  3n  5n   5n2  5n    3n2  3n 
 5n.24  3n.8
Vì n nguyên dương nên 5n.24 chia hết cho 24; 3n.8 chia hết cho 24
Vậy 5n2  3n2  3n  5n chia hết cho 24 với mọi số nguyên dương n
b) Ta có:
a b c d
a b c d a 4 b4 c4 d 4
    . . .  4 4 4 4
b c d e
b c d e b
c
d
e
4
4
4
4
4
4
4
2a
3b
4c
5d

2a  3b  4c  5d 4
 4 4 4 4  4
2b
3c
4d
5e
2b  3c 4  4d 4  5e4
2a 4  3b4  4c 4  5d 4 a

Vậy
2b4  3c 4  4d 4  5e4 e
2c) Ta có: f 1  g  2   a  b  3 (1); f  2   g 1  2a  b  1
2
7
Từ 1 và  2   a  , b 
3
3
Bài 3.
a c
a) Vì a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn  nên ad  bc (1)
b d
a a  b  d  ab  ad

(2)
Mặt khác: 
b b b  d  b b  d 

(2)

a  c b  a  c  ab  bc


b  d b b  d  b b  d 

(3)

a ac

b bd
a
b
c
a
b
c
b) A 





2016  c 2016  a 2016  b a  b b  c c  a
a
a
b
b
c
c
Ta có:


;

;

 A 1
ab abc bc abc ca abc
a
ac
b
ab
c
bc
Mặt khác :

;

;

 A 2
ab abc bc abc ca abc
Vậy 1  A  2 nên A không phải là một số nguyên.
Bài 4.

Từ (1),  2  ,  3 suy ra

A
N
C
B

H

M

a) ABM cân tại B nên BAM  BMA
mà BAM  MAN  900 ; BMA  HAM  900  HAM  MAN
 HAM  NAM (ch  gn)  AH  AN  ANH cân.
b) Ta có: BC  AB  BC  AM  MC ; AC  AH  AC  AN  NC
Tam giác MNC vuông tại N nên MC  NC . Suy ra :
BC  AB  AC  AH  BC  AH  AB  AC (dfcm)
c) Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ABH , ACH , ABC ta có:


CH 2  BH 2   AC 2  AH 2    AB 2  AH 2   AC 2  AB 2
 AC 2   BC 2  AC 2   2 AC 2