21 ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN (TỰ LUẬN NẮM CHẮC KIẾN THỨC)

BÀI GIẢNG. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
I. Xoay quanh trục hoành (Ox)
* Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x), y  0, x  a, x  b quay quanh trục hoành tạo nên một khối
tròn xoay. Thể tích xoay quanh Ox được tính theo công thức:
b

VOx    f 2 ( x)dx
a

Chú ý: Khi không cho đầy đủ các đường thẳng x  a, x  b ta xét phương trình hoành độ giao điểm f ( x)  0
* Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x), y  g  x  , x  a, x  b quay quanh trục hoành tạo nên một
khối tròn xoay. Thể tích xoay quanh Ox được tính theo công thức:
b

VOx    | f 2 ( x)  g 2 ( x) | dx
a

Chú ý: Khi không cho đầy đủ các đường thẳng x  a, x  b ta xét phương trình hoành độ giao điểm f ( x)  g  x 
II. Áp dụng
Ví dụ 1. Tính thể tích xoay quanh Ox bị giới hạn bởi:

 y  sin x
 x0

b) 

 x 4

 y  0

 y  x3  1

 y0
a) 
 x  1
 x  1

 y  2( x  1)e x

e) 
y0

x0


(O) : ( x  2)  y  9
d) 
y0

2

 y  x 1

c)  y  0
 x4


2

Giải
1

a) VOx   .  ( x3  1)2 dx 
1





4

4

16

7

 /4
1  cos 2 x
1
1
dx   .( x  sin 2 x)
0
2
2
4
0

b) V    sin 2 xdx   

0

 1
2 
=  .(  )  0 =

8 4
8 4
c) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


x 1  0

x=1

4

7
=> VOx   . ( x  1)2 dx  
6
1
d) Đường tròn: y2 = 9 – (x – 2)2
+) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

9 – (x – 2)2 = 0

 x = 5 hoặc x = -1

5



5







=> VOx   .  9  ( x  2) 2 dx     x 2  4 x  5 dx  36
1

1

e) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2(x – 1).ex = 0

x=1

1

=> I    4( x  1)2 .e2 x dx
0

=> V = (e2 – 5). Π
Ví dụ 2. Tính thể tích quay quanh trục Ox.

 y  sin x
 y  cos x


b)  x  
4



 x

2

 y  2x  x2
a) 
 yx

c) y = x2 + 1 và tiếp tuyến tại A(1; 2)

Giải
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2x – x2 = x

 x2 – x = 0

 x = 0 hoặc x = 1
1

=> VOx    | (2 x  x 2 )2  x 2 | dx

=> Bấm máy

0

b) => VOx  

 /2



| sin x  cos x | dx  
2

2

 /4

 /2 
1

cos
2
xdx


(

sin
2
x

)


 /4 2
2
 /4
 /2

c) y  x 2  1.
Ta có: y'  2x  y' 1  2.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 2  1 tại điểm A 1; 2 là: y  2  x  1  2  2x.

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


Ta cần tính thể tích của khối tròn xoay tạo bởi đồ thị hàm số y  x 2  1 và đường thẳng y  2x quanh quanh
trục Ox.
Ta có: x 2  1  2x   x  1  0  x  1.
2

Khi đó ta có:
1

1

2
2
VOx    x 2  1   2x   dx    x 4  2x 2  1 dx



0
0
1

 x 5 2x 3

8
  
 x 
 dvtt .
3
 5
 0 15
II. Xoay quanh trục Oy
Thể tích quay quanh trục tung (Oy) được giới hạn bởi:
x = f(y) ; trục tung ; y = a ; y = b
b

=> VOy   . f 2 ( y)dy
a

Ví dụ: Tính thể tích xoay quanh trục Oy được giới hạn bởi:
a) y = 2x ; y = 1 ; y = 4 ; trục tung
b) y  x  1 ; y = 2 ; trục hoành ; trục tung.
c) y = ln x ; y = 0 ; y = ln2 ; trục tung
d) y  x ; y = - x + 2 ; y = 0
Giải
4
y

y3 4
64 1
63
  .(  ) 
a) VOy   . ( )2 dy   .
12 1
12 12
12
1 2

2

b) VOy   . ( y 2  1)2 dy => Bấm máy
0

ln 2
1
1
3
c) VOy   .  e2 y dy   . e2 y
  . (4  1) 
0
2
2
2
0
ln 2

d) Xét phương trình tung độ giao điểm:
y2 = 2 – y

 y2 + y – 2 = 0

 y = 1 hoặc y = -2 (loại vì y  0 )
1

=> VOy   . | y 4  (2  y)2 | dy 
0

32

15

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!