7 bài toán min max của số phức

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC

BÀI GIẢNG: MIN MAX SỐ PHỨC
* Phương pháp chung
+) Phương pháp đại số:


Dùng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối A  B  A  B  A  B




Thế ẩn rồi sử dụng đạo hàm
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (ac  bd )2  (a 2  b2 )(c 2  d 2 )

+) Phương pháp hình học.
Ví dụ 1: Cho z thỏa mãn z  2  4i  5. Tìm max z .
B. 5

A. 3 5

C.

5

D. 13

Giải
Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.
Ta có: z  2  4i  z  2  4i  z  20  5  z  20  5  3 5

 max z  3 5

 Đáp án A.
Ví dụ 2: Cho z  3  4i  2. Tìm max z  1 .
A.

2 2

B. 2 2  2

C. 3 2  2

D. 4 2  2

Giải
Ta có:

z  1  4  4i  z  1  4  4i  z  3  4i
 z  1  4 2  z  3  4i  2
 z  1  4 2  2  max z  1  4 2  2

 Đáp án D.
Ví dụ 3: Cho (1  i) z  1  7i  2. Tìm max z .
Giải
Ta có: (1  i) z  1  7i  2

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!



(1  i) z  1  7i
1 i

 z



2
(1  i) z  1  7i
2


1 i
1 i
2

1  7i
 1  z  (3  4i)  1
1 i

Mà z  3  4i  z  (3  4i)  1  z  3  4i  1

 z  5  1  6  max z  6.
Ví dụ 4: Cho z  1  2i  z  2  i . Đặt w  z  2  3i tìm min w .
Giải
Đặt z  x  yi ( x; y  ) . Điều kiện đã cho trở thành
+) x  yi  1  2i  x  yi  2  i  ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( x  2) 2  ( y  1) 2
 x2  2 x  1  y 2  4 y  4  x2  4 x  4  y 2  2 y  1

 2x  6 y  0
 x  3y

+) w  x  yi  2  3i  ( x  2)2  ( y  3)2 (1)
Thế x  3 y vào (1) ta được w  (3 y  2) 2  ( y  3) 2  10 y 2  6 y  13
 w'

20 y  6
2 10 y 2  6 y  13

Nhận thấy y  
Vậy min w 

 w'0 y 

3
10

3
thì w min
10

11 10
.
10

Ví dụ 5: Cho z 2  2 z  5  ( z  1  2i)( z  3i  1) . Tìm min w với w  z  2  2i.
A.

3

2

B. 2

C. 1

D.

1
2

Giải
Ta có z 2  2 z  5  ( z  1  2i)( z  3i  1)
 z 2  2 z  1  4  ( z  1  2i)( z  3i  1)

 ( z  1)2  4i 2  ( z  1  2i)( z  3i  1)

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


 ( z  1  2i)( z  1  2i)  ( z  1  2i)( z  3i  1)
 z  1  2i  0

 z  1  2i  z  3i  1
+) z  1  2i  0  z  1  2i  w  1  w  1
+) z  1  2i  z  3i  1  ( x  1)2  ( y  2)2  ( x  1)2  ( y  3) 2 (Đặt z  x  yi ( x; y  ) )
 ( y  2)2  ( y  3)2  y 

1

2
2

1
3
1
3
Với y    w  x  i  2  2i  w  ( x  2) 2    
2
2
2
2

Vậy min w  1

 Đáp án C.
Ví dụ 6: Cho z1 ; z2 thỏa mãn z1  z2  1; z1  z2  3. Tính max T  z1  z2 .
A. 8

B. 10

C. 4

D. 10

Giải
Đặt z1  x1  y1i; z2  x2  y2i. ( x1 , y1 , x2 , y2  ) . Điều kiện đã cho trở thành
+) z1  z2  1  x1  y1i  x2  y2i  1  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  1
 x12  x22  y12  y22  2 x1 x2  2 y1 y2  1 (1)

+) z1  z2  3  x1  y1i  x2  y2i  3
 x12  x22  y12  y22  2 x1 x2  2 y1 y2  9 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được x12  x2 2  y12  y2 2  5
+) T  z1  z2  x12  y12  x2 2  y2 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

T  1. x12  y12  1. x2 2  y2 2 

1  1 .  x12  x22  y12  y22  

2.5  10

 max T  10.

 Đáp án D.
Ví dụ 7: Cho z  1  2. Tìm max T  z  i  z  2  i

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Giải
Đặt z  x  yi ( x; y  ) .
+) z  1  2  ( x  1)2  y 2  2  ( x  1)2  y 2  2
+) T  x2  ( y  1)2  ( x  2)2  ( y  1)2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
T  1. x 2  ( y  1) 2  1. ( x  2) 2  ( y  1) 2  (1  1)  x 2  ( y  1) 2  ( x  2) 2  ( y  1) 2 
 T  2.(2 x 2  2 y 2  4 x  6)
 4.( x 2  y 2  2 x  3)

 4. ( x  1) 2  y 2  2 

Thay ( x  1)2  y 2  2 ta được

T  4.(2  2)  4
Vậy max T  4
Ví dụ 8: Cho z  2  3i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z  1  i là:
A. 4

D. 13  1

C. 13  2

B. 6

Giải
Đặt z  x  yi ( x; y  ) . Điều kiện đã cho trở thành
+) x  2  ( y  3)i  1
 ( x  2)2  ( y  3)2  1  x2  y 2  4 x  6 y  12  0

+) z  1  i  ( x  1)2  ( y  1)2

= x2  y 2  2 x  2 y  2

(1)

Thay x2  y 2  4 x  6 y  12 vào (1) ta được

z  1  i = 4 x  6 y  12  2 x  2 y  2  6 x  4 y  10
Xét 6 x  4 y 10  6( x  2)  4( y  3)  14

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

6( x  2)  4( y  3)  (62  42 ) ( x  2) 2  ( y  3) 2   52.1  52
 6( x  2)  4( y  3)  14  52  14  6 x  4 y  10  52  14

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


 z  1  i  6 x  4 y  10 

52  14 = 13  1

+) Phương pháp hình học




Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+) Đường thẳng
+) Đường tròn
+) Đường elip
+) Parabol
Gọi z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x, y)
Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun

Chú ý: Số phức z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x, y) . Mô đun của số phức z là độ dài
đoạn thẳng OM với O là gốc tọa độ.
Ví dụ 1: Cho số phức z  x  yi thỏa mãn z  2  4i  z  2i đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính
N  x2  y 2 .

A. N  8

B. N  10

C. N  16

D. N  26

Giải
Gọi M ( x, y) là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi
+) z  2  4i  z  2i  ( x  2)2  ( y  4)2  x2  ( y  2)2  4 x  4  8 y  16  4 y  4
 4 x  4 y  16  x  y  4  0

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của z là một đường thẳng x  y  4  0
+) N  x 2  y 2  z

2

 N min  z min  OM min  OM  d : x  y  4  0

 M (2, 2)  N  22  22  8

 Đáp án A.

5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Ví dụ 10: Cho z  (2  4i)  2. Tìm max, min của z  2i  1 .

Giải
Gọi M ( x, y) là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi
+) z  (2  4i)  2  ( x  2)2  ( y  4)2  4
 M ( x, y) nằm trên đường tròn tâm I (2, 4) , bán kính R  2.

+) z  2i  1  ( x  1)2  ( y  2)2  MA (với A(1, 2) )

 z  2i  1 min  MA min  M  C
z  2i  1 max  MA max.  M  D
AI  (1, 6)

Phương trình đường thẳng AI là:
6x  y  8  0

Tọa độ của C , D là nghiệm của hệ

6 x  y  8  0

2
2
( x  2)  ( y  4)  4
Từ hệ trên ta tính được MC, MD.

Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là:
A. 10 và 4

B. 5 và 4

C. 4 và 3

D. 5 và 3

Giải
Đặt z  x  yi ( x; y  ) . Điều kiện đã cho trở thành
( x  4)2  y 2  ( x  4)2  y 2  10 (1)

Gọi M ( x, y) là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi
Từ (1)  MA  MB  10 (với A(4,0), B(4,0) )

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Suy ra tập hợp điểm M nằm trên elip có:
+) a  5
+) b  3 , c  4

Vì M nằm trên elip nên z min  OM min  M  A ; z max  OM max  M  B
Vậy giá trị lớn nhất của z là 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của z là 3.

 Đáp án D.

7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!