ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

TRƯỜNG THPT PHAN CHÂU TRINH

TỔ TOÁN

CÂU HỎI THAM KHẢO ÔN TẬP THPT QUỐC GIA
NĂM 2020 - Môn: TOÁN

PHẦN GIẢI TÍCH
Chương I: Ứng dụng đạo hàm
I.Phần lý thuyết
- Xét chiều biến thiên của hàm số
- Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
, trong khoảng (a; b) .
- Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu I, dấu hiệu II.
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D   a; b  , D   a; b  .
- Xét sự tương giao của hai đồ thị bằng phương trình, bằng đồ thị
- Từ đồ thị của hàm số y  f ( x) xác định đồ thị của hàm số y  f ( x) , y  f ( x ), y   f ( x)
- Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( x0 ; y0 )
- Phương pháp tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
- Hàm số bậc ba: y  a x3  bx2  cx  d
+ Đồ thị
+ Tính chất cực trị
- Hàm số trùng phương: y  a x4  bx2  c
+ Đồ thị
+ Tính chất cực trị
a xb
- Hàm số y 
cxd
+ Đồ thị
+ Tiệm cận
II.Phần bài tập

Câu 1. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2;0  .
B.  2;    .
C.  0; 2  .
D.  0;    .
Câu 2. (QG 2019 Mã 101-C6)
Đồ thị của hsố nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên
A. y  x3  3x2  3 .
B. y   x3  3x2  3 .
C. y  x4  2x2  3 .
D. y   x4  2x2  3 .
Câu 3.Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
A. y  x3  3x2  2 .
B. y  x 4  2 x 2  2 .
C. y   x3  3x 2  2 .
D. y   x 4  2 x 2  2 .
Câu 4. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:
Trang 1/39


Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x  2 .
B. x  1 .
C. x  1 .
D. x  3 .
Câu 5. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. x  2 .
B. x  2 .
C. x  3 .
D. x  1 .
Câu 6. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 2 f  x   3  0 là
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Câu 7.Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình 2 f  x   3  0 là
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 0 .
3
Câu 8. GTNN của hàm số f  x   x  3x  2 trên đoạn  3;3 bằng
A. 20 .
B. 4 .
C. 0 .
Câu 9. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  2  , x 
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Câu 10. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:
2

D. 16 .

. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4.
B. 1.
C. 3.

D. 2.
Trang 2/39


Câu 11. Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu của f   x  như sau:
x 
3
1
f  x
 0  0 



1
0



Hàm số y  f  3  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  4;    .

B.  2;1 .

C.  2; 4  .

D. 1; 2  .

Câu 12. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.





3
Số nghiệm thực của phương trình f x  3x 

4
là
3

A. 3 .
B. 8 .
C. 7 .
D. 4 .
Câu 13. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình

f  x3  3x  

2
là

3

A. 6
B. 10
C. 3
Câu 14.Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hsố f   x  như sau:



D. 9



2
Số điểm cực trị của hàm số y  f 4 x  4 x là

A. 9 .

B. 5 .

C. 7 .
D. 3 .
x  3 x  2 x 1
x



Câu 15. Cho hai hs y 
và y  x  2  x  m ( m là tham số thực) có đồ thị
x  2 x 1

x
x 1
lần lượt là  C1  và  C2  . Tập hợp tất cả các giá trị của m để  C1  và  C2  cắt nhau tại 4 điểm phân
biệt là
A.  ; 2 .
B.  2;   .
C.  ; 2  .
D.  2;   .





8
5
2
4
Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y  x   m  2  x  m  4 x  1 đạt cực

tiểu tại x  0 ?
A. 3 .

B. 5 .

C. 4 .

D. Vô số.

1 4 7 2
x  x có đồ thị  C  . Có bao nhiêu điểm A thuộc  C  sao cho tiếp tuyến

4
2
tại A cắt  C  tại hai điểm phân biệt M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  ( M , N khác A ) thỏa mãn

Câu 17. Cho hàm số y 
của

C 

y1  y2  6  x1  x2  ?

A. 1 .

B. 2 .
C. 0 .
D. 3 .
x 1
Câu 18. Cho hàm số y 
có đồ thị  C  . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của  C  . Xét tam
x2
Trang 3/39


giác đều ABI có hai đỉnh A , B thuộc  C  , đoạn thẳng AB có độ dài bằng
A.

C. 2 .

B. 2 3 .

6.

Câu 19. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2   
f 1 bằng

D. 2 2 .

2
2
và f   x   2 x  f  x   với mọi x 
9

. Giá trị của

35
2
19
2
.
B.  .
C.  .
D.  .
3
36
36
15
Câu 20.Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  . Hai hàm số y  f   x  và y  g   x  có đồ thị như hình vẽ
A. 

bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  g   x  .

3

Hàm số h  x   f  x  4   g  2 x   đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
2

 31 
9 
 31

 25 
A.  5;  . B.  ;3  . C.  ;   . D.  6;  .
 5
4 
5

 4
x 2  mx  1
(với m là tham số). Tìm tất cả các giá
xm
trị của tham số để hàm số có giá trị cực đại là 7.
A. m  9.
B. m  5.
C. m  7.
D. m  5.

Câu 21. Cho hàm số y 

Câu 22. Hỏi phương trình 3x 2  ln  x  2   2  0 có bao nhiêu nghiệm
phân biệt?

A. 2
B. 1
C. 3
3

D. 4

Chương II : Hàm số lũy thừa-Hàm số mũ-Hàm số logarit
I.Phần lý thuyết
- Công thức lũy thừa:
Cho a, b  0; x, y  .T / c :

a x .a y  a x  y ; a x : a y  a x  y ; a x .b x  (ab) x ; a x : b x  (a : b) x
y
 a x   a xy ; a x  a1x ;1x  1
m

Cho a, b  0, m  , n  .T / c : a n  n a m

Cho a  0. T / c : a0  1
-Công thức logarit
Cho x. y  0; a, b  0  1. T/ c :
x
 log a x  log a y;log a x   log a x
y
1
 x;log a b 
;log a b.log b c  log a c
logb a

log a ( xy )  log a x  log a y; log a
log a x 
log a b 

1



log a x; a loga x

log c b
(c  0  1); log a 1  0
log c a

-Hàm số mũ y  a x

+ Đạo hàm  a x  '  a x .ln a;  e x  '  e x

+ Đồ thị
+ Tính đơn điệu
-Hàm số logarit y  log a x
Trang 4/39


+ Đạo hàm  log a x  ' 

1
1
;  ln x  ' 
x.ln a

x

+ Đồ thị
+ Tính đơn điệu
-Công thức lãi kép: pn  p(1  r )n
II.Phần bài tập
5
3

Câu 1: Rút gọn biểu thức Q  b : 3 b với b  0 .
A. Q  b



4
3

B. Q  b

4
3

C. Q  b

5
9

D. Q  b2

3

Câu 2: Cho biểu thức P  x. x 2 . x3 , với x  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
4

A. P  x

1
2

B. P  x

13
24



Câu 3: Tính giá trị của biểu thức P  7  4 3
A. P  1

B. P  7  4 3

 4
2017

C. P  x

3 7



 

D. P  x

2
3

2016

.



D. P  7  4 3

C. P  7  4 3

1
4



2016

2
Câu 4: Với a và b là hai số thực dương tùy ý, log ab bằng

A. 2log a  log b .

B. log a  2log b .

C. 2  log a  log b  .

1
2

D. log a  log b .

Câu 5: Đặt a  log3 2 , khi đó log16 27 bằng
A.

3a
.
4

B.

Câu 6: Với
A.

ln  7 a 
ln  3a 

3
.
4a

C.

a là số thực dương tùy ý, ln  7a   ln  3a 
B.

ln 7
ln 3

4
.
3a

D.

4a
.
3

bằng
C. ln

7
3

D. ln  4a 

3
Câu 7: Với a là số thực dương tùy ý, log 3   bằng:
a
1
D. 1  log3 a
log3 a
Câu 8: Cho a là số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x , y .
A. 1  log3 a

A. log a

B. 3  log3 a

C.

x log a x
x
x
x

B. log a  log a  x  y  C. log a  log a x  log a y D. log a  log a x  log a y
y
y
y
y log a y
3

Câu 9: Cho a là số thực dương a  1 và log 3 a a . Mệnh đề nào đúng?
A. P  3

B. P  1

C. P  9

D. P 

1
.

3

Câu 10: Với mọi a , b , x là các số thực dương thoả mãn log 2 x  5log2 a  3log2 b . Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. x  3a  5b
B. x  5a  3b
C. x  a5  b3
D. x  a5b3
Câu 11: Cho log 3 a  2 và log 2 b 
A. I  0

1
2
. Tính I  2log 3 log 3  3a   log 1 b .
2
4

B. I  4

C. I 

3
2

D. I 

5
4
Trang 5/39

 a2 
Câu 12: Cho a là số thực dương khác 2 . Tính I  log a   .
4
2 

1
D. I  2
2
3
6
Câu 13: Với a , b là các số thực dương tùy ý và a khác 1 , đặt P  log a b  log a2 b . Mệnh đề nào dưới
A. I 

1
2

C. I  

B. I  2

đây đúng?
A. P  9loga b
B. P  27 log a b
C. P  15log a b
Câu 14: Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


3



B. log 2  2a   1  1 log 2 a  log 2 b .
3
 b 



3



D. log 2  2a   1  1 log 2 a  log 2 b .
b
3

A. log 2  2a   1  3log 2 a  log 2 b .
 b 
C. log 2  2a   1  3log 2 a  log 2 b .
b






3





3



D. P  6loga b





Câu 15: Cho log a x  3,log b x  4 với a , b là các số thực lớn hơn 1. Tính P  log ab x.
A. P 

7
12

B. P 

1
12

C. P  12

D. P 

Câu 16: Đặt a  log2 3, b  log5 3. Hãy biểu diễn log6 45 theo a và b .
A.

log6 45 

a  2ab
ab

C. log 6 45  a  2ab

2
B. log6 45  2a  2ab

2
D. log6 45  2a  2ab

ab  b

ab

12
7

ab  b

Câu 17: Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn a  b  8ab , mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

2

A. log  a  b  

1

1
log a  log b  B. log  a  b    log a  log b

2
2
1
C. log  a  b   1  log a  log b 
D. log  a  b   1  log a  log b
2
2
2
Câu 18: Cho x , y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x  9 y  6 xy .
Tính M 
A. M 

1  log12 x  log12 y
.
2 log12  x  3 y 

1
.
2

B. M 



1
.
3

C. M 

Câu 19: Tập xác định D của hàm số y  x2  x  2
B. D   0;   

A. D 



3

1
.
4

D. M  1

là

C. D   ;  1   2;   

D. D 

\ 1;2

1

Câu 20: Tập xác định D của hàm số y   x  1 3 là





A. D  ;1



B. D  1; 



D. D 

C. D 



2
Câu 21: Tìm tập xác định D của hàm số y  log3 x  4 x  3

.

A. D   2  2;1  3;2  2  .

B. D  1;3 .

C. D   ;1   3;   .

D. D  ;2  2  2  2;  .



 





\1



2
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  log x  2x  m  1 có tập xác định là

.
A. m  2

B. m  0





C. m  0

D. m  2

Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số y  log 2 2 x  1 .

Trang 6/39


A. y 

2
2x  1

B. y 

1
2x  1



C. y 



2
 2x  1 ln 2

D. y 

1
 2x  1 ln 2

2
Câu 24: Hàm số f  x   log 2 x  2 x có đạo hàm bằng

A. f   x  
C. f   x  

ln 2
.
x  2x
2

 2x  2 ln 2
x  2x
2

.

B. f   x  

1
.
 x  2 x  ln 2

D. f   x  

2x  2
.
 x2  2 x  ln 2

2

ln x
, mệnh đề nào dưới đây đúng?

x
1
1
1
1
A. 2y  xy   2 .
B. y  xy  2 . C. y  xy   2 .
D. 2y  xy  2 .
x
x
x
x
x
x
Câu 26: Cho hàm số y  a , y  b với a, b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là  C1  và
Câu 25: Cho hàm số y 

C  như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
2

 C2 

 C1 

A. 0  b  a  1
B. 0  a  1  b
C. 0  b  1  a
D. 0  a  b  1

O

Câu 27: Cho hàm số f  x   x ln x . Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây
là đồ thị của hàm số y  f   x  . Tìm đồ thị đó?

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3

Câu 28: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 . Đồ thị các hàm số
hình vẽ bên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  b  c

B. a  c  b

Câu 29: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

D. Hình 4

y  a , y  b , y  cx

C. b  c  a
m

x

x



được cho trong

D. c  a  b



để hàm số y  ln x  1  mx  1 đồng biến
2

Trang 7/39


trên khoảng  ;  



A.  ; 1



B.  ; 1





D. 1; 

C. 1;1

Câu 30: Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6, 6% / năm. Biết rằng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo.
Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) lớn hơn hoặc bàng hai lần
số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi xuất không thay đổi và người đố không rút
tiền ra?
A. 11 năm
B. 10 năm
C. 13 năm
D. 12 năm
Câu 31: Đầu năm 2016 , ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân
viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho nhân viên
trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền
ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả 5 năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
A. Năm 2022
B. Năm 2021
C. Năm 2020
D. Năm 2023
Câu 32: Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân
hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách
nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ
ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi
tháng ôn ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. 2, 22 triệu đồng.
B. 3, 03 triệu đồng.
C. 2, 25 triệu đồng.
D. 2,20 triệu đồng.
Câu 33: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức

s  t   s  0  .2t , trong đó s  0  là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s  t  là số lượng vi khuẩn A có sau

t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số
lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?
A. 48 phút.
B. 19 phút.
C. 7 phút.
D. 12 phút.
2x
x 6
2
Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình 2
là
A. 0; 6

B.

C. 0; 64

;6
1
5

D. 6;

x1
Câu 35: Tập nghiệm S của bất phương trình 5   0 là

A. S  1;   .

B. S   1;   .

C. S   2;  



.D. S   ; 2  .



Câu 36: Tập nghiệm của phương trình log 2 1  x  2 là
A. x  3 .
B. x  4 .
C. x  3 .
2
Câu 37: Tập nghiệm của phương trình log3 ( x  7)  2 là
A. {

15; 15}

C. 4

B. {4;4}

D. x  5 .
D. 4

Câu 38: Tập nghiệm S của bất phương trình log 1  x  1  log 1  2 x  1 là
2

2

B. S   ; 2  .

C. S   1 ; 2  .
D. S   1; 2  .
2 
Câu 39: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 22 x  5log 2 x  4  0 là
A. S  [2 ;16]
B. S  (0 ; 2]  [16 ; )
C. ( ; 2]  [16 ; )
D. S  (  ; 1]  [4 ; )
Câu 40: Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình
16x  m.4x1  5m2  45  0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 13
B. 3
C. 6
D. 4
Câu 41: Tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6 x   3  m  2 x  m  0 có nghiệm thuộc
A. S   2;   .

Trang 8/39


khoảng  0;1 là
A. 3;4

B.  2;4

C.  2;4 

D.  3; 4 

Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 16x  2.12x  (m  2).9x  0
có nghiệm dương?
A. 1
B. 2
C. 4
D. 3
2
Câu 43: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log3 x.log9 x.log 27 x.log81 x  bằng
3
82
80
A.
B.
C. 9
D. 0
9
9





x
Câu 44: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log3 7  3  2  x bằng

A. 2 .

B. 1 .
C. 7 .
D. 3 .
Câu 45: Tìm giá trị thực của m để phương trình log 23 x  m log 3 x  2m  7  0 có hai nghiệm thực x1 , x2
thỏa mãn x1x2  81.
A. m  4
B. m  44
C. m  81
D. m  4
Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 22 x  2 log 2 x  3m  2  0 có
nghiệm thực.
A. m  1

B. m  1

D. m 

C. m  0

2
3

Câu 47:Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong  2017;2017  để phương trình log  mx   2log  x  1 có
nghiệm duy nhất?
A. 2017 .
B. 4014.
C. 2018.
D. 4015.
2
Câu 48: Hỏi phương trình 3x  6 x  ln  x  1  1  0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
3

Câu 49: Xét các số thực a , b thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
a
P  log 2a  a 2   3logb   .
b
b
B. Pmin  13

A. Pmin  19

Pmin

của biểu thức

C. Pmin  14

D. Pmin  15

C. 9

D. 21

x
Câu 50: Cho phương trình 5  m  log5  x  m  với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m   20; 20  để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 20

B. 19





Câu 51: Cho a  0 , b  0 thỏa mãn log3a 2b1 9a  b  1  log 6 ab1  3a  2b  1  2 . Giá trị của
2

2

a  2b bằng

A. 6

B. 9

C.

7
2

D.

5
2

9t
Câu 52: Xét hàm số f  t   t
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m
9  m2
x y
sao cho f  x   f  y   1 với mọi số thực x , y thỏa mãn e  e  x  y  .Tìm số phần tử của S .
A. Vô số

B. 1

C. 2

D. 0

1  ab
 2ab  a  b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của
Câu 53:Xét các số thực dương a , b thỏa mãn log 2
P  a  2b .

A. Pmin 

2 10  3
2

ab

B. Pmin 

2 10  5
2

Trang 9/39


3 10  7
2 10  1
D. Pmin 
2
2
2
Câu 54: Cho phương trình log9 x  log3  3x  1   log3 m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. Vô số.
C. Pmin 



Câu 55: Cho phương trình 4log 22 x  log 2 x  5



7 x  m  0 ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu

giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
A. 49 .
B. 47 .
C. Vô số.
D. 48 .

Chương III: Nguyên hàm-Tích phân và ứng dụng
I.Nguyên hàm
1. Các nguyên hàm cơ bản
 dx  x  C

x



dx 

1  1
x  C (  1)
 1

1

 x dx  ln x  C
 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
1
 cos x dx  tan x  C
2

1

 sin x dx   cot x  C
 e dx  e  C
2

x

x

ax
 a dx  ln a  C (a  0, a  1)
2.Bài tập vận dụng
Câu 1. Biết  x sin 3xdx  ax cos3x  b sin 3x  C , khi đó giá trị a+6b là
x

A. -21
Câu 2. Biết

B. -7
C. -5
x
 x e dx   x  mx  n  e  C , giá trị m.n là

A. 6

B. 4
C. 0
D. -4
a x
a
x
x
6
k
 3e (e 1) dx  b (e 1)  C ,với b là phân số tối giản; giá trị a+b+2k là

B. 32
C. 28
D. 24
2
a
a
 cos2 (3x 1)dx  b tan(3x-1)  C , với b là phân số tối giản.Giá trị a+b là
B. -1
C. 5
D. 7
2
(2  3ln x)
1
b
b
dx

(2

3lnx)

C
giá
trị
là
 x
a
a
1
B.

C. 1
D. 2
2
a 2
a
2
2
 x x  2dx  b ( x  2) x  2  C , với b là phân số tối giản; khi đó a+b là
B. 3
C. 4
D. 5
1
a
a
 cos2 3x(1  tan3x) dx  b ln 1  tan 3x  C với b là phân số tối giản; giá trị 2a+b là

Câu 3. Biết
A. 33
Câu 4. Biết
A. -5
Câu 5. Biết
A.

1
3

Câu 6. Biết
A. 1
Câu 7. Biết

2 x

D. -1

2

Trang 10/39


A. 5

B. 4
C. 7
D. 10
x
x
x
Câu 8. Biết  x sin dx  ax cos  b sin  C , khi đó a+b là
3
3
3
A. 2
B. 6
C. 9
D. -12
2
x
1
1
2

ln(1  x)  ln 1  x   1  x   C , giá trị m  n+k là
Câu 9. Biết  x ln(1  x)dx 
m
n
k
A. 12
B. 4
C. 2
D. 0
a
1
a
Câu 10. Biết  x sin 2 xdx  x cos 2 x  sin 2 x  C với là phân số tối giản; giá trị 2a+ b+n là
b
n
b
A. 2
B. 4
C. 6
D. 10
1
Câu 11. Biết  ( x  3)e2 x dx   e2 x  2 x  n   C , giá trị m2  n 2 là
m
A. 5
B. 10
C. 41
D. 65
Câu 12. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A.  f  x dx  F  x   C
B.  kf  x dx  k  f  x dx

C.   f  x   g  x dx   f  x dx   g  x  dx

D.   f  x  .g  x dx   f  x dx. g  x  dx

Câu 13. Cho u  u ( x) , v  v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục, khẳng định nào sau đây là đúng ?
u
A.  udv  uv   vdu
B.  udv  uv   vdu
C.  udv    vdu
D.  vdu  uv   vdu
v
Câu 14. Cho  f (u )du  F (u )  C và u  u ( x) là hàm số có đạo hàm liên tục, khẳng định nào sau đây là
đúng ?

 f (u( x))u '( x)dx  f (u( x))  C
C.  f '(u( x))u '( x)dx  f (u( x))  C

 f (u '( x))u '( x)dx  F (u( x))  C
D.  f (u '( x))u ( x)dx  F (u ( x))  C

A.

Câu 15. Cho

 xe

8x

B.

u  x
khi đó ta có
dx , đặt 
8x
dv  e dx

du  dx

A. 
1
v  e8 x

 8

du  dx
B. 
8x
v  8e


x2
du

dx

2
D. 
 v  1 e8 x

8


x2
du  dx
C. 
2
v  8e8 x


2 x
Câu 16. Cho I=  x e dx , đặt u  x3 , khi đó viết I theo u và du ta được
3

A. I  3 eu du

B. I   eu du

C. I 



1 u
e du
3

D. I   ueu du

Câu 17. Cho I= x5 x2  15dx , đặt u  x 2  15 khi đó viết I theo u và du ta được
B. I   (u 4  15u 2 )du

A. I   (u  30u 4  225u 2 ) du
6

C. I   (u 6  30u 2  225u 2 )du
Câu 18. Biết
A. -1





D. I   (u 5  15u 3 )du



x 2  4dx  ax x 2  4  b ln x  x 2  4  C giá trị ab là

B. 1
C. 3
1
Câu 19. Biết  ( x  3)e2 x dx   e2 x  2 x  n   C , giá trị m2  n 2 là
m
A. 5
B. 10
C. 41

D. 4

D. 65
10 x 2 - 7 x  2

Câu 20. Nếu F ( x)  (ax 2  bx  c) 2 x -1 là một nguyên hàm của hàm số f( x) 
2 x -1
Trang 11/39


1

trên khoảng  ;   thì a+b+c có giá trị là
2

A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
2
Câu 21. Giá trị a, b, c để g ( x)  (ax  bx  c) 2 x - 3 là một nguyên hàm của hàm số
20 x 2 - 30 x  7
3

trong khoảng  ;   là
2x - 3
2

A.a=4, b=2, c=2
B. a=1, b=-2, c=4
C. a=-2, b=1, c=4 D. a=4, b=-2, c=1
Câu 22. Cho F ( x)  ( x3  kx2  lx  m)e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  x3e x trong
f ( x) 

. Ta có

k 2  l 2  m 2 bằng
A. 16

B. 25
C. 49
D. 81
cos x
a
a
dx  ln 5sin x  9  C với là phân số tối giản; giá trị 2a- b là
Câu 23. Biết 
5sin x  9
b
b
A. -4
B. -3
C. 7
D. 10
f  x
x
Câu 24:Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên ; thỏa mãn f  0   1 và
. Khi đó hiệu
 2
f  x x 1

 

T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng
A.  2;3 

B.  7;9 

C.  0;1

D.  9;12 

Câu 25: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x   f  x . f   x   2x2  x  1 , x 
2

và

f  0   f   0   3 . Giá trị của  f 1  bằng
2

A. 28

B. 22

19
2

C.

D. 10

II. Tích phân
1.Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số
F (b)  F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí

b

hiệu là

 f ( x)dx.
a

b

Ta dùng kí hiệu F ( x) a  F (b)  F (a) để chỉ hiệu số F (b)  F (a) . Vậy
b

 f ( x)dx  F ( x)

b
a

 F (b)  F (a)

a

b

b

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi



f ( x)dx hay

 f (t )dt.

Tích phân đó

a

a

chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân
b

 f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f ( x) , trục Ox và hai đường

a

b

thẳng x  a, x  b. Vậy S   f ( x)dx.
a

2.Tính chất của tích phân
a

1.

 f ( x)dx  0

2.

a

b

3.


a

c

c

b

a

b

a

a

b

 f ( x)dx   f ( x)dx

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx ( a  b  c )

b

b

a

a

4.  k. f ( x)dx  k. f ( x)dx (k  )
Trang 12/39


b

b

b

a

a

a

5.  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
3. Bài tập vận dụng
2

Cho biết

Câu 1.



f  x  dx  3 và

0

2

2

 g  x  dx  2 . Tính tích phân I   2 x  f  x   2g  x dx .
0

0

B. I  18 .

A. I  11.

Cho hàm số f  x  liên tục trên

Câu 2.

C. I  5 .
2

và có


0

9
A. I  .
4

4

2

0

f  x dx  9;  f  x dx  4 . Tính I   f  x dx ?

B. I  36 .

C. I  13 .

Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn 1;5 sao cho

Câu 3.

D. I  3 .

4

D. I  5 .

5

5

1

1

 f  x  dx  2 và  g  x  dx  3 . Giá

5

trị của

 2 g  x   f  x  dx là
1

B. 6 .

A. 4 .

C. 2 .
875
Câu 4. Tìm số thực a  0 thỏa mãn  x3  6 x dx 
.
4
1
A. a  4 .
B. a  5 .
C. a  6 .

a

Câu 5.

Cho

5

5

0

1

0

B. 2 .
Giá trị của

e

A. 1  e .

Câu 8.

B. e - 1.
1

 f  x  dx  3

1

và



f  x  dx  2 và

1

2

. Tính

26
.
2

2

m

A.  1; 2  .

  3x

2

Câu 10. Biết rằng

1

C.

7
.
2

.

D.

5
.
2

2

1

B.  ; 0  .

 3x  5
0

I    x  2 f  x   3g  x  dx

5
C. I  .
2

D. I 

11
.
2

 2 x  1dx  6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?

0

1

D. e .

 g  x  dx  1 . Tính I    x  2 f  x   3g ( x) dx .
17
B. I  .
2

Cho

C. e .
2

1

7
A. I  .
2

Câu 9.

 g  x  dx  1
B.

Cho

D. 3 .

dx bằng

2

2

C. 4 .

x 1

1

Cho

D. a  3 .

 f  x  dx  2 và   2 f  x  dx  6 khi đó  f  x  dx bằng:
0

Câu 7.
21

A.
.
2



1

A. 1 .
Câu 6.



D. 2 .

C.  0; 4  .

D.  3;1 .

dx
 a ln 2  b ln 3  c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ.
3x  1  7

Giá trị của a  b  c bằng
10
A.  .
3
a
x3  x
dx .

Câu 11. Tính I  
x2  1
0

5
B.  .
3

C.

10
.
3

D.

5
.
3

Trang 13/39






A. I  a2  1





a 2  1  1.

1
B. I   a 2  1
3



D. I  a2  1



1
C. I   a 2  1
3



a 2  1  1 .

e

Câu 12. Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả
A. a .b  64 .

B. a .b  46 .



3ea  1
?
b
C. a  b  12 .

a 2  1  1 .


a 2  1  1.

3
 x ln xdx 
1

Câu 13. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên



D. a  b  4 .



thỏa mãn f x  3x  x  1, x 
3

. Tích

4

phân

 f  x  dx bằng:
0

A.

25
.
4

B. 88 .

C. 25 .

7
.
4

D.

2

2

Câu 14. Cho hàm số f  x  thỏa mãn A    x  1 f   x  dx  9 và f  2   f  0   3 . Tính I   f  x  dx
0

A. I  12 .

B. I  12 .
1

Câu 15. Cho


0

0

C. I  6 .

D. I  6 .

3x  1
dx  a  b ln 5  c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của biểu thức a  b  c
x 5

bằng :
A. 6.

B. -4.

C. 14.

Câu 16. Cho hàm số y  f  x  với f  0   f 1  1 . Biết rằng

D. -2.
1

e

x

 f  x   f   x   dx  ae  b , a ,

0

b

. Giá trị của biểu thức a
A. 2  1.

2019

2018

b
bằng
B. 2 .
2019

Câu 17. Cho f  x  có đạo hàm liên tục trên

C. 0 .

D. 22018 1 .

và thỏa mãn f  2   16,

1

 f  2 x dx  6 .

Tính

0

2

I   x. f   x dx ta được kết quả
0

A. I  14 .
B. I  20 .
C. I  10 .
D. I  4 .
Câu 18. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ.

4

2

0

0

Giá trị của biểu thức I   f '  x  2  dx   f '  x  2  dx bằng

A. 2 .
B. 2 .
C. 6 .
Câu 19. Cho hàm số f  x  liên tục có đồ thị như hình bên dưới

D. 10 .

Trang 14/39


1

Biết F ( x)  f ( x), x [5;2] và  f  x  dx 
3

A. 

145
.
6

B. 

89
.
6

14
. Tính F  2   F  5  .
3

145
C.
.
6

Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên

Câu 20.

D.

89
.
6

3

 x  f   2 x  4 dx  8 ; f  2   2 . Tính

và thỏa mãn

0

I

1

 f  2x  dx .

2

A. I  5 .

 

B. I  10 .

Câu 21. Cho hàm f : 0,  
 2





2
0

C. I  5 .

là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện

 f  x  2  2 f  x  sin x  cos x  dx  1   . Tính


2

A.





2
0

f ( x)dx  1 . B.





2
0

D. I  10 .

f ( x)dx  1 . C.





2
0





2

0

f ( x)dx .

f ( x)dx  2 .

III. Diện tích hình phẳng
1.Lý thuyết
a.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y

D.





2
0

f ( x)dx  0 .

f ( x) liên tục trên đoạn a; b , trục hoành và hai

b

đường thẳng x a , x b được xác định: S

f ( x) dx
a

y

y  f ( x)

O a c1

c2

 y  f ( x)

y  0
(H ) 
x  a

x  b

c3 b x

b

S   f ( x ) dx
a

b.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y

f ( x) , y

g ( x) liên tục trên đoạn a; b và hai

b

đường thẳng x a , x b được xác định: S

f ( x) g ( x) dx
a

y

(C1 ) : y  f1 ( x)

(C ) : y  f2 ( x)
(H )  2
x  a
x  b


(C1 )
(C2 )

b

O

a c1

c2

b

x

S   f1 ( x )  f 2 ( x ) dx
a

Trang 15/39


Chú ý:
b

- Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x) không đổi dấu thì:

b

f ( x) dx
a

f ( x)dx
a

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g ( y) , x h( y) và hai đường thẳng y c , y d
d

được xác định: S

g ( y) h( y) dy
c

2. Phương pháp.

Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
b

đường y

f ( x), y

g ( x), x a, x b là S

f ( x) g ( x) dx .
a

Phương pháp giải toán
+) Giải phương trình f ( x)

g ( x) (1)
b

+) Nếu (1) vô nghiệm thì S

f ( x) g ( x) dx .
a
b

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc. a; b . giả sử

thì S

f ( x) g ( x) dx

f ( x) g ( x) dx

a

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x) g ( x) trên đoạn a; b rồi dựa vào bảng xét dấu để tính
tích phân.
Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường y

f ( x) g ( x) dx . Trong đó ,

g ( x) là S

f ( x), y

phương trình f ( x) g ( x) a
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình f ( x)
Bước 2. Tính S

là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của

b .
g ( x) tìm các giá trị ,

.

f ( x) g ( x) dx như trường hợp 1.

IV. Thể tích

1.Lý thuyết
a.Thể tích vật thể không tròn xoay
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S ( x) là
diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , (a x b) . Giả
sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] .

(V )
b

O

x

a

b

x

V



 S ( x )dx
a

S(x)
b

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V

S ( x)dx
a

b.Thể tích khối tròn xoay:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y
hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox:

f ( x) , trục hoành và

Trang 16/39


y

y  f ( x)

a

O

b

(C) : y  f ( x)

b
2
(Ox) : y  0
Vx     f ( x ) dx


x x  a
a
 x  b

Chú ý:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x
và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy:

g ( y) , trục hoành

y

(C) : x  g( y)

(Oy) : x  0

y  c

y  d

d

c

d

V y     g( y ) dy
2

c

x

O

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y

f ( x) , y

g ( x)

b

và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: V

f 2 ( x) g 2 ( x) dx
a

2. Bài tập vận dụng.
Câu 1. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3x , y  0 , x  0 , x  2 . Mệnh đề
nào dưới đây đúng ?
2

A. S   3 dx .
0

B. S   3 dx .

2

D. S   32 x dx .

C. S   3 dx .
x

2x

Cho hàm số f  x  liên tục trên

Câu 2.

2

2

x

0

0

0

, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  được tính theo công thức
b

A. S    f  x  dx .
a

Câu 3.

b

B. S   f  x  dx .
a

b

b

D. S    f 2  x dx .

C. S   f  x dx .
a

a

Cho hàm số f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a ; b  , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số f  x  , các đường thẳng x  a, x  b và trục Ox là
b

A.   f  x  dx .
a

b

B.

 f  x  dx .
a

b

C.    f  x   dx .
2

D.   f  x  dx .
b

a

a

Câu 4. Ký hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành, đường

x  a, x  b ( như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trang 17/39


b

A. S   f  x  dx .
a

c

b

a

c

C. S    f  x  dx   f  x  dx .
Câu 5.
đây?

b

a

c

D. S 

c


a

b

f  x  dx   f  x  dx .
c

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào sau

3
 1

A.    x4  x 2  x  4  dx .
2
2

1 
2
3
1

C.   x 4  x 2  x  1 dx .
2
2

1 
2

Câu 6.

c

B. S   f  x  dx   f  x  dx .

3
 1

B.    x 4  x 2  x  1 dx .
2

2

1 
2
3
 1

D.    x4  x2  x  4  dx .
2
2

1 
2

Gọi S là diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  f  x  , trục hoành và 2 đường

thẳng x  1, x  2 trong hình vẽ bên.

0

2

1

0

Đặt S1   f  x  dx, S2   f  x  dx . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. S  S1  S2 .
B. S  S1  S2 .
C. S  S1  S2 .

Câu 7. Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên bằng

D. S  S2  S1 .

Trang 18/39


3

3

A.  2x dx .

B.

1

x
  2  2  dx .
1

3

C.

 2

x

 2 dx .

3

D.

1

 2

x

 2  dx .

1

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x , trục hoành và hai đường thẳng
x  1 , x  1 bằng
1
1
2
A. .
B. .
C. .
D. 1 .
3
2
3
Câu 9. Cho f ( x)  x4  5x2  4 . Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f ( x) và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai ?
3

2

A. S 

1



2

B. S  2  f ( x)dx  2  f ( x)dx .

f ( x) dx.

2

0

2

1

2

C. S  2 f ( x) dx.

D. S  2  f ( x)dx .

0

0

Câu 10. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình dưới đây.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và trục Ox là
2

A. S 


0

0

f  x  dx   f  x  dx .

2

B. S 

1

 f  x  dx .

1

0

2

C. S    f  x  dx .

D. S 



1

1

2

f  x  dx   f  x  dx .
0

Câu 11. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

x 1
và các trục tọa độ. Khi đó
x 1

giá trị của S là
A. S  1  ln 2.
B. S  2 ln 2  1.
C. S  2 ln 2  1.
D. S  ln 2  1.
3
Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x  x ; y  2 x và các đường x  1 ;
x  1 được xác định bởi công thức:

0

1

1

0

A. S    x3  3x  dx    3x  x3  dx .
C. S 

1

  3x  x  dx .
3

1

0

1

1

0

B. S    3x  x3  dx    x3  3x  dx .
1





D. S   3x  x3 dx .
1

Câu 13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y   x2 và đường thẳng y   x  2 bằng
9
5
11
1
A. .
B. .
C.
.
D.  2 .
2
2
2
2
3
2
Câu 14. Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường cong y   x  12 x và y   x .
937
343
793
397
A. S 
.
B. S 

.
C. S 
.
D. S 
.
12
12
4
4
Trang 19/39


Câu 15. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  2;1 . Hình bên là đồ thị của hàm số

y  f   x  . Đặt g  x   f  x  

x2
.
2

Khẳng định nào sau đây đúng?
g 0.
A. g 1 g 2
C. g

2

g1

g 0.

Câu 16. Cho hàm số y  x3  ax 2  bx  c  a, b, c 



B. g 0

g1

D. g 0

g

2.

g
2

g 1.

có đồ thị  C  và y  mx 2  nx  p  m, n, p 



có đồ thị  P  như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và  P  có giá trị nằm trong
khoảng nào sau đây?

A.  0;1 .

B. 1; 2  .

C.  2;3  .

D.  3; 4  .

Câu 17. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  x  1 , y  0 , x  0 , x  2 . Gọi V là
thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. V  
C. V  

2

x

2

x

2

0
2

0

 x  1 dx .

B. V 

2

x

2

 x  1 dx .
2

0

 x  1 dx .
2

D. V  

2

x

2

 x  1 dx .

0

Câu 18. Cho hình phẳng ( H ) (phần gạch chéo trong hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay khi hình ( H )
quay xung quanh Ox được tính theo công thức nào dưới đây?

Trang 20/39

1

1

1

A.   ( x4  4 x 2  4)dx   x 4 dx .
1
1

B.

1

1

4
2
4
 ( x  4x  4)dx   x dx .

1

C.   (4 x4  8x2  4)dx .

1

1

1

1

1

D.   x4 dx    ( x4  4 x2  4)dx .

1

Câu 19. Gọi  D  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2x , y  0, x  0 và x  2 . Thể tích V của
khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  quanh trục Ox được định bởi công thức
2

2

B. V   2 dx .

A. V    2 dx .
x 1

0

x 1

0

2

C. V   4 dx .

x

0

2

x
D. V    4 dx .
0

Câu 20. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 , x   . Biết rằng thiết diện của vật thể
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x  0  x    là một tam giác vuông cân có
cạnh huyền bằng s inx  2 .
7
9
7
9
1 .
1 .
 2.
2.
A.
B.
C.
D.
6
8
6
8
Câu 21. Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình

parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6
mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.

A. 72 m3 .

B. 36 m3 .

C. 72 m3 .

D. 36 m3 .

Chương IV: Số phức
I.Lý thuyết
1.
Định nghĩa

+ Một số phức là một biểu thức dạng z  a  bi với a, b  và i 2  1 ,
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z  a  bi .

+ Tập hợp các số phức được kí hiệu là .
 a  bi / a, b  ; i 2  1 .






+ Chú ý:
- Khi phần ảo b  0  z  a : khi đó z là số thực.
- Khi phần thực a  0  z  bi  z là số thuần ảo.

- Số 0  0  0i vừa là số thực, vừa là số ảo.

a  c
+ Hai số phức bằng nhau: a  bi  c  di  
, a, b, c, d  .
b  d
+ Hai số phức z1  a  bi; z2  a  bi được gọi là hai số phức đối nhau.
2.
Số phức liên hợp


Số phức liên hợp của z  a  bi với a, b  là a  bi và được kí hiệu bởi z . Rõ ràng z  z
3.
Biểu diễn hình học
4.
Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z  a  bi với a, b 
được biểu diễn bằng điểm M  a; b  .
5.
Môđun của số phức

Môđun của số phức z  a  bi  a, b   là z  a 2  b 2 .
Trang 21/39



Như vậy, môđun của số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức
z  a  bi  a, b   đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là:
OM  a 2  b 2  z z .

6. Các phép toán trên tập số phức

Cho hai số phức ; z '  a ' b ' i với a, b,a', b'  và số k  .

+ Tổng hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i

+ Hiệu hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i .

+ Số đối của số phức z  a  bi là  z  a  bi .

+ Nếu u, u ' theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z ' thì

u  u ' biểu diễn số phức z  z ' .
u  u ' biểu diễn số phức z  z ' .

+ Nhân hai số phức:

z.z '   a  bi  a ' b ' i    a.a ' b.b '    a.b ' a '.b  i .



+ Chia 2 số phức:

-

+ Số phức nghịch đảo: z 1 

1
z

-

Nếu z  0 thì

mẫu của thương

2

z

z ' z '.z
 2 , nghĩa là nếu muốn chia số phức z ' cho số phức z  0 thì ta nhân cả tử và
z
z

z'
cho z .
z


+ Chú ý:
4k
i  1; i 4k 1  i; i 4k 2  1; i 4k 3  i (k  )
7. Căn bậc hai của số phức
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2  w được gọi là một căn thức bậc 2 của w. Mỗi số phức
w  0 0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau (z và –z).

*Trường hợp w là số thực ( w  a  )
+ Khi a>0 thì w có hai căn bậc hai là a và  a .
+ Khi a<0 nên a  (a)i 2 , do đó w có hai căn bậc hai là a .i và  a .i .
Ví dụ 1: Hai căn bậc 2 của -1 là i và –i.
Hai căn bậc 2 của a2 (a  0) là ai ,  ai.


*Trường hợp w  a  bi (a, b  ; b  0)
+ Cách 1:
Gọi z  x  yi (x,y  ) là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi z 2  w , tức là:

( x  yi )2  a  bi
 x2  y 2  a

 x  ...; y  ...
 2 xy  b
Trang 22/39


Mỗi cặp số thực (x;y) nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai z  x  yi của số phức
w  a  bi .
+ Cách 2:
Có thể biến đổi w thành bình phương của một tổng, nghĩa là w  z 2 . Từ đó kết luận căn bậc hai của w là
z và - z .
8. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức
a) Phương pháp giải:
Cho phương trình bậc 2: Az 2  Bz  C  0 (1)
Trong đó A,B,C là những số phức A≠0.
Xét biệt thức   B2  4 AC
+ Nếu   0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: z1 

B  
;
2A

z2 

B  
2A

Trong đó  là một căn bậc 2 của  .
+ Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1  z2 

B
2A

CHÚ Ý:
+ Mọi phương trình bậc n: A0 z n  A1 z n1  ...  An1 z  An  0 luôn có n nghiệm phức (không nhất
thiết phân biệt).
+ Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực:
Cho phương trình bậc 2 : Az 2  Bz  C  0 ( A, B, C  ; A  0) có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức).
Ta có:
B

 S  z1  z2  A

P  z z  C .
1 2

A
II.Bài tập vận dụng.
Câu 1. Cho số phức z  1  2i . Tìm phần ảo của số phức z .
A. 2.
B. 2 .
C. 1 .
D. 1.

Câu 2. Tìm các số thực x, y thỏa mãn  3  2i  x  yi   4 1  i    2  i  x  yi 
A. x  3, y  1 .
Câu 3.
A. 2i .
Câu 4.

B. x  3, y  1 .

C. x  1, y  3 .

D. x  3, y  1 .

Cho số phức z  1  i  1  2i  . Số phức z có phần ảo là
2

B. 4 .

C. 2 .

Cho số phức z  1 thỏa mãn z  1 . Tính 1  z  z
3

2018

1  z  z  .

D. 4 .

2018

A.1.
B.-2.
C.4.
D.2.
Câu 5. Cho số phức z  1  2i . Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức w  2 z  z .
A. 3.
B. 5.
C. 1.
D. 2.
Câu 6. Trên tập số phức, cho biểu thức A   a  bi 1  i  ( a, b là số thực). Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. A  a  b   a  b  i.
B. A   a  b   b  a  i.
C. A  a  b   a  b  i.

D. A  a  b   a  b  i.

Câu 7.

Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  4 z  5  0 . Giá trị của z1  z2 bằng

A. 6 .
Câu 8.

B. 10 .
C. 2 5 .
D. 4 .
Tìm các số thực x , y thỏa mãn 2 x  1   y  2  i  1  i với i là đơn vị ảo.

2

A. x  1; y  1 .

B. x  1; y  2 .

C. x  1; y  3 .

2

D. x  1; y  3 .
Trang 23/39


Câu 9. Tìm số phức z biết 4 z  5z  27  7i .
A. z  3  7i .
B. z  3  7i .
C. z  3  7i .
D. z  3  7i .
3i
 i . Môđun của số phức z là
Câu 10. Cho số phức z 
3i
3 1
370
10
A.
.
B.
.
C. 10 .

D.
 i.
10
10 10
10
2
Câu 11. Cho z1  2  4i, z2  3  5i . Xác định phần thực của w  z1.z2
A. 120 .
B. 32 .
C. 88 .
D. 152 .
Câu 12. Cho các số thực x , y thỏa mãn 4  3i  2   4 x  2 yi . Tính giá trị của P  x  y .
A. P  4 .

C. P  1.
 z1  z2  z3  0

Câu 13. Cho ba số phức z1; z2 ; z3 thỏa mãn 
2 2 . Tính
z

z

z

 1
2
3
3


B. P  7 .

A  z1  z2  z2  z3  z3  z1
2

2

D. P  8 .

2

8
3
2 2
.
B. 2 2 .
C. .
D. .
3
8
3
2
Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn phương trình  3  2i  z   2  i   4  i . Tìm tọa độ điểm M biểu
diễn số phức z .
A. M  1;1 .
B. M  1; 1 .
C. M 1;1 .
D. M 1; 1 .
A.

Câu 15. Tìm số phức z thỏa mãn z  (2  i) z  3  5i .
A. z  2  3i .
B. z  2  3i .
C. z  2  3i .
D. z  2  3i .
Câu 16. Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn điều kiện | z 5  3i | 5 đồng thời | z1  z2 | 8 . Tập hợp các
điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình
B. ( x 10)2  ( y  6)2  16 .
5
3
9
D. ( x  )2  ( y  )2  .
2
2
4
z
Câu 17. Số phức z có điểm biểu diễn A . Phần ảo của số phức
bằng
z i
1
5
1
5
A. .
B. .
C. i .
D. i .
4
4
4

4
A. ( x 10)2  ( y  6)2  36 .
5
3
C. ( x  )2  ( y  )2  9 .
2
2

Câu 18. Cho số phức z thoả mãn z  2 . Biết điểm A trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Trong
hình vẽ bên, điểm nào dưới đây biểu diễn số phức w 

1
.
iz
Trang 24/39


D. Q .
i  2z
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z   2  i  z  3 . Môđun của số phức w 
là?
1 i
122
3 10
122
45
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
5
2
2
4
B. N .

A. M .

C. P .

Câu 20. Cho số phức z  1  2i  3i  4i  ...  2018i
có phần thực là a và phần ảo là b . Tính b  a .
A. 1 .
B. 1 .
C. 1010 .
D. 2017 .
Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn
2

3

2017

z  1  2i  z  1  2i là đường thẳng có phương trình
A. x  2 y  1  0 .
B. x  2 y  0 .

C. x  2 y  0 .
D. x  2 y  1  0 .
Câu 22. Mô đun số phức nghịch đảo của số phức z  (1  i)2 bằng
1
1
A. 5 .
B. 2 .
C.
.
D. .
2
2
1  3i
Câu 23. Cho số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn a   b  1 i 
.Giá trị nào dưới đây là môđun
1  2i
của z ?
A. 5 .
B. 1 .
C. 10 .
D. 5 .
Câu 24. Cho số phức

z





thỏa z  1  2 và số phức w  1  i 3 z  2 . Tính giá trị của biểu thức

A  w3i 3

A. 8.
B. 12.
C. 6.
D. 4.
2
Câu 25. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z  z  7  0 . Tính S  z1.z2  z2 .z1 .

1
7
27
.
B.
.
C. 2 .
D. .
2
2
4
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn z  2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  4i bằng:
A. 5.
B. 3.
C. -3.
D. 7.
2
Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn z  2iz  2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  iz  1 bằng
A.

A. 2 .
Câu 28. Giả sử

z

B. 3 .
là số phức thỏa mãn

C. 3 .
D. 2 .
iz  2  i  3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

2 z  4  i  z  5  8i bằng
A. 18 5 .

B. 3 15 .

C. 15 3 .

D. 9 5 .
Trang 25/39