(Luận văn thạc sĩ) Một số vấn đề đường thẳng Simson và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

HOÀNG THẢO CHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG THẲNG
SIMSON VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

HOÀNG THẢO CHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG THẲNG
SIMSON VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2019

i

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Trần Việt Cường. Tôi xin chân
thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi
đối với những điều thầy đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin, quý thầy cô giảng
dạy lớp Cao học K11 (2018 - 2020) Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều
kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã
luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019.
Người viết Luận văn

HOÀNG THẢO CHI


ii

Danh sách hình vẽ
1.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28


iii

2.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57


iv

2.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

v

Mục lục
Danh sách hình vẽ

ii

Chương 1. ĐƯỜNG THẲNG SIMSON

3

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Đường thẳng Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG SIMSON

26

2.1

Chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

Chứng minh đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3

Chứng minh song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4

Chứng minh yếu tố cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.5

Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Kết luận

69

Tài liệu tham khảo

70


1

Mở đầu
Đường thẳng Simson có nhiều ứng dụng trong hình học phẳng. Các bài toán
liên quan đến đường thẳng Simson là những bài toán hay và khó. Để giải quyết
được những bài toán đó, trước tiên chúng tôi tìm hiểu về định nghĩa cũng như
những tính chất của đường thẳng Simson. Tiếp đó, chúng tôi tìm hiểu việc vận
dụng các tính chất của đường thẳng Simson vào việc giải một số dạng toán cụ
thể trong hình học phẳng.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của đường thẳng Simson, tôi lựa
chọn đề tài nghiên cứu “Một số vấn đề về đường thẳng Simson và ứng dụng”
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần Việt Cường.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Đường thẳng Simson.
Trong chương này, ngoài trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến
đề tài, chúng tôi trình bày định lý Simson và các tính chất của đường thẳng
Simson. Các nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1, 2, 5, 6, 9].
Chương 2. Ứng dụng của đường thẳng Simson.
Trong chương này, chúng tôi áp dụng các tính chất của đường thẳng Simson
vào giải một số dạng toán trong hình học phẳng như: chứng minh thẳng hàng,
chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minh đường thẳng đi qua
điểm cố định... Các nội dung của chương sẽ tham khảo từ các tài liệu [3, 4, 7,
8, 10, 11, 12, 13].
Luận văn này được hình thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái

Nguyên. Tôi xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.
TS. Trần Việt Cường. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp các
thắc mắc của học trò trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và giúp tôi hoàn


2

thành luận văn này. Tôi cũng gửi lời cám ơn chân thành đến các thầy cô giá
khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ
và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp đã động viên, cổ vũ và tạo điều kiện để
tôi hoàn thành nghiệp vụ của mình.


3

Chương 1
ĐƯỜNG THẲNG SIMSON
Trong chương này, ngoài trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến
đề tài, chúng tôi trình bày định lý Simson và các tính chất của đường thẳng
Simson.

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 (Điểm Euler,[9]). Trong một tam giác, trung điểm các đoạn
thẳng thuộc các đường cao kẻ từ đỉnh đến trực tâm của tam giác đó được gọi
là các điểm Euler.
Định lý 1.1.2 ([9]). Trong một tam giác, chân các đường trung tuyến, chân

các đường cao và các điểm Euler nằm trên một đường tròn, gọi là đường tròn
chín điểm hay đường tròn Euler.
Chứng minh. Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CA, kẻ các đường cao AK, BM, CN (K ∈ BC, M ∈ AC,
N ∈ AB), H là trực tâm của tam giác ABC, P, L, T lần lượt là trung điểm
của AH, BH, CH và (O) là đường tròn ngoại tiếp ∆DEF .
AB
.
2
Do E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC nên EF là đường trung bình của
AB
.
∆ABC. Suy ra EF =
2
Do đó, ta có DK = EF .
Do DK là đường trung tuyến của tam giác vuông AKB nên DK =

Mặt khác, DF ∥ EK. Suy ra DEKF là hình thang cân.
Vì đường tròn (O) đi qua 3 điểm D, E, F của hình thang cân DEKF nên


4

Hình 1.1:

đường tròn (O) cũng đi qua điểm K.
Do DL ∥ AK, DF ∥ BC (DEKF là hình thang cân) nên DL ⊥ DF . Suy ra
LDF = 900 .
Lại có LE ∥ CH nên LEF = 90◦ .
Do LDF + LEF = 180◦ nên tứ giác EF DL nội tiếp.

Vậy 5 điểm D, E, F, K, L cùng nằm trên đường tròn (O).
Do F T là đường trung bình của ∆ACH nên F T ∥ AH. Suy ra ta có DF ⊥ F T .
Do ET là đường tru M HBE là tứ giác nội tiếp nên CBM = DHM . Do M CDE là tứ giác nội
tiếp nên BCM = HDM .
Do đó hai tam giác HDM và BCM đồng dạng.
HM
MH
HD
HD
=
, M H ≤ M B, suy ra
≤ 1, suy ra
≤ 1.
Suy ra
BC
BM
MB
BC
Do đó HD ≤ BC. Suy ra HD lớn nhất khi HD = BC.
Suy ra M H = M B, suy ra M B ⊥ AB hay AB là đường kính.
Vậy M đối xứng với A qua tâm O.
Bài toán 2.5.16 ([2]). Cho ba điểm A, B, C thuộc một đường thẳng và M
không thuộc đường thẳng đó. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các
tam giác M AB, M BC, M CA và M thuộc một đường tròn.
Chứng minh. Gọi O1 , O2 , O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam
giác M AB, M BC, M CA và D, E, F là hình chiếu vuông góc của M trên các
cạnh của ∆O1 O2 O3 .
Do đó M F ⊥ O1 O2 , M D ⊥ O2 O3 , M E ⊥ O3 O1 . Suy ra D, E, F thẳng hàng.
(Định lý Simson)
Theo bài toán ngược lại, ta có O1 , O2 , O3 , M nằm trên một đường tròn.

61

Hình 2.36:

Bài toán 2.5.17 ([2]). Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. Gọi
H, K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD; M, N là trung điểm của
AD và HK. Chứng minh tam giác BM N là tam giác vuông.

Hình 2.37:

Chứng minh. Từ B kẻ BE ⊥ AD, theo định lý Simson ta có đỉnh B với tam
giác ADC có BH ⊥ AC, BK ⊥ CD. Suy ra E, H, K thẳng hàng.
Do BEDK là tứ giác nội tiếp nên EDB = EKB.
Do BHKC là tứ giác nội tiếp nên BHK + BCS = 180◦ .
Mặt khác, BAD + BCD = 180◦ suy ra BAD = BHK.
Do đó hai tam giác BHK và BAD đồng dạng.


62

Do M A = M D và N H = N K suy ra ∆BN K và ∆BM D đồng dạng.
Ta có AM B = M DB + M BD; BN E = N KB + N BK
Suy ra AM B = BN E. Do đó BEM N là tứ giác nội tiếp.
Do BE ⊥ AD nên BN ⊥ M N .
Vậy BM N là tam giác vuông.
Bài toán 2.5.18 ([2]). Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Gọi P, Q, R lần lượt là
hình chiếu vuông góc của D trên BC, CA, AB. Chứng minh P Q = QR khi và
chỉ khi đường phân giác ABC và ADC cắt nhau trên AC.

Hình 2.38:

Chứng minh. Theo giả thiết, ta có P, Q, R thẳng hàng (Định lý Simson).
Do DP CQ là tứ giác nội tiếp nên DCA = DP R.
Tương tự, ta có DAC = DRP .
Suy ra ∆DCA và ∆DP R đồng dạng, ∆DAB và ∆DQP đồng dạng, ∆DBC
và ∆DRQ đồng dạng.
DA
DR DR
QR DP
PQ
Suy ra
=
;
=
;
=
DC
DP DB
BC DB
BA
QR
DB
DA
BC = QR · BA
⇒
=
PQ
DC

P Q BC
DB
BA
DA
BA
Suy ra P Q = QR khi và chỉ khi
=
hay đường phân giác ABC và
DC
BC
ADC cắt nhau trên AC.


63

Bài toán 2.5.19 ([2]). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), E là điểm
bất kì trên (O). Gọi K, L, M, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của E trên
DA, AB, BC, CD. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác KLM khi và
chỉ khi ABCD là hình chữ nhật.

Hình 2.39:

Chứng minh. Theo giả thiết EK ⊥ AD, EL ⊥ AB, EM ⊥ BC, EH ⊥ CD, từ
E kẻ EG ⊥ AC, EF ⊥ BD.
Theo định lý đường thẳng Simson, ta có các bộ ba (K, L, F ), (M, F, H),
(K, H, G), (M, L, G) thẳng hàng;
Gọi P và Q là giao điểm của EG, EF với đường tròn (O). Suy ra ABE = AQE,
LF E = LBE suy ra LF E = AQE. Suy raKL ∥ AQ.
Tương tự, ta có M G ∥ BP, DP ∥ KH, CQ ∥ M H.
Ta có KF ∥ M H ⇔ AQ ⊥ QC, M G ⊥ KH ⇔ BP ⊥ P D.

Mặt khác, do AQ ⊥ QC nên AQC = 90◦ hay AC là đường kính của đường
tròn (O). Tương tự, do BP ⊥ DP nên BD là đường kính của đường tròn (O).
Do AC, BD đồng thời là đường kính của đường tròn (O) nên ABCD là hình
chữ nhật hay H là trực tâm của ∆KLM .
Bài toán 2.5.20 ([12]). Cho ∆ABC có BAC = 60◦ , AC = b, AB = c (b > c).
Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC


64

tại M . Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AC; H và K
là chân đường vuông góc hạ từ F xuống AB, AC. Chứng minh IJ ⊥ HK.

Hình 2.40:

Chứng minh. Ta thấy HK đi qua M (đường thẳng Simson).
Gọi L là giao điểm của AE và IJ, ta có
IAE = ECB = EBC = JAE.
Do đó ∆AIE = ∆AJE. Suy ra AE ⊥ IJ.
Mặt khác ta có
EAC = EF C = AKH.
Suy ra AE ∥ HK. Do đó IJ ⊥ HK.
Bài toán 2.5.21 ([4]). Xét 5 điểm A, B, C, D, E thỏa mãn ABCD là hình
bình hành, và bốn điểm B, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn. Gọi l là
một đường thẳng qua A. Giả sử l cắt đoạn DC ở F và BC ở G. Giả sử
EF = EG = EC. Chứng minh rằng l là phân giác góc DAB.
Chứng minh. Gọi ME , MD , MC lần lượt là hình chiếu vuông góc của E lên
CB, CD, BD. Ta có theo giả thiết ban đầu thì E thuộc đường tròn ngoại tiếp
tam giác BCD, suy ra MC , MD , ME thẳng hàng (đường thẳng Simson).

65

Hình 2.41:

Mặt khác EG = EC = EF nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
GCF , suy ra ME , MD là trung điểm của CG, CF . Suy ra ME MD là đường
trung bình của tam giác CGF .
Do đó ta có (ME MD MC ) ∥ (AF ) ≡ (GF ) suy ra MC là trung điểm của CA
cũng đồng thời là trung điểm của BD.
Trong tam giác EBD, EMC là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến,
suy ra tam giác EBD cân ở E, suy ra EB = BD.
Mặt khác EBC = EDC suy ra tam giác EBME và tam giác EDMD bằng
nhau, suy ra EME = EMD ⇒ GC = CF hay ∆CF G cân tại ở C, suy ra
CGF = CF G.
Mà BAF = GF C, F AD = F GC ⇒ BAF = F AD, suy ra F A là phân giác
của góc BAD hay l là phân giác góc BAD.
Bài toán 2.5.22 ([4]). Cho tam giác ABC với BA > AC. Gọi P là giao điểm
của đường trung trực của BC và đường phân giác trong của góc A. Dựng các
điểm X trên AB và Y trên AC sao cho P X vuông góc với AB và P Y vuông
BZ
góc với AC. Gọi Z là giao điểm của XY và BC. Xác định giá trị tỉ số
.
ZC
Chứng minh. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Giả sử đường phân
giác của BAC cắt đường tròn này tại R.
Ta có BOR = 2BAR = 2CAR = COR. Như thế, BR = CR và điểm R nằm
trên trung trực của BC.

66

Hình 2.42:

Vậy R ≡ P và tứ giác ABCP nội tiếp. Các điểm X, Y, M lần lượt là chân các
đường vuông góc hạ từ P xuống các cạnh của ∆ABC.
Từ đó theo định lý Simson, các điểm X, Y, M thẳng hàng.
Như vậy ta có M ≡ Z và BZ = ZC = BM = M C = 1.
BZ
Vậy
= 1.
ZC
Bài toán 2.5.23 ([6]). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm
H, đường đối trung AD (D ∈ BC). Qua D kẻ đường thẳng cắt AC, AB lần
lượt tại E, F sao cho D là trung điểm EF . Gọi K là trực tâm tam giác AEF .
a) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AK tiếp xúc với đường tròn (O).
b) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AK tiếp xúc với đường tròn (BHC).
Chứng minh. a) Gọi M là trung điểm BC. Do AM và AD đẳng giác trong BAC
và D là trung điểm EF nên tứ giác F BEC nội tiếp và ∆AF E ∼ ∆ACB. Do
AH và AO đẳng giác trong góc A nên K ∈ AO. Suy ra (AK) tiếp xúc với
đường tròn (O) tại A.
b) Cách 1
Gọi T là hình chiếu của H trên AM . Ta chứng minh (AK) và (BHC) tiếp xúc
nhau tại T .
Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm AD, BE, CF . AD cắt BE, CF lần lượt tại
V, W ; BE cắt CF tại R.


67

Hình 2.43:

Ta có (RW F C) = (RV BE) = −1 nên theo hệ thức Maclaurin,
RV · RY = RB · RE = RF · RC = RW · RZ. Suy ra tứ giác V W ZY nội tiếp.
2

Theo hệ thức Newton, XY · XZ = XV · XW = XA . Do AY, AZ cùng đẳng
giác trong BAC nên ta thu được AZX = XAY = ZAM hay AM ∥ XZ.
Do XZ là đường thẳng Gauss-Newton của tứ giác toàn phần ABDE.F C nên
XZ vuông góc với đường thẳng Steiner HK. Suy ra AM ⊥ HK hay HK đi
qua T .
Gọi Q là giao điểm thứ hai của (AH) với đường tròn (O). HT cắt BC tại L.
Ta có Q, H, M thẳng hàng và H là trực tâm tam giác ALM nên L, A, Q thẳng
hàng. Suy ra LH · LT = LA · LQ = LB · LC nên T ∈ (BC).
Gọi G là điểm đối xứng với A qua M , J là tâm của (BHC). Ta có J và O đối
xứng với nhau qua BC nên G ∈ (BHC) và JG ∥ AO. Vậy T là tâm vị cự của
hai đường tròn (AK) và (BHC) hay hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T .
Cách 2
Theo cách 1, hai đường tròn đường kính AK và (BHC) tiếp xúc nhau nếu ta
chứng minh được HK ⊥ AM .
Kéo dài AD cắt đường tròn (O) tại P . Ta có BP A = BCA = BF D. Suy ra P
là điểm Miquel của tứ giác toàn phần ABDE.CF .
Do H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, AEF nên HK là đường thẳng


68

Hình 2.44:

Steiner của tứ giác toàn phần ABDE.CF hay đường thẳng Steiner của điểm

Miquel P ứng với tam giác ABC.
Kẻ P X ⊥ AB, P Y ⊥ AC. Suy ra XY là đường thẳng Simson của P ứng với
tam giác ABC. Ta thu được XY ∥ HK.
Mặt khác, ta có AP là đường kính của (AXY ), AM đẳng giác với AP trong
BAC nên AM ⊥ XY . Vậy AM ⊥ HK.
Khi đó hai đường tròn đường kính AK và (BHC) tiếp xúc nhau.


69

Kết luận
Luận văn đã giải quyết được những vấn đề sau:
1. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị là những kiến thức cần thiết phục vụ
cho việc chứng minh các bài toán liên quan đến đường thẳng Simson.
2. Trình bày định nghĩa, một số tính chất thú vị của đường thẳng Simson trong
tam giác và các ứng dụng của nó.
3. Luận văn đã cố gắng đưa ra các lời bình, đưa ra lời giải tường minh hơn so
với những lời giải bài toán trong tài liệu tham khảo.
Ngoài ra, luận văn đã tiến hành phân dạng một số dạng toán liên quan tới
đường thẳng Simson trong tam giác.


70

Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Ngô Quang Dương (2016), Đường thẳng Simson, Tạp chí Epsilon số 7.
[2] Nguyễn Bá Đang (2016), Những định lí chọn lọc trong hình học phẳng và
các bài toán áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
[3] Nguyễn Bá Đang, 279 Bài toán hình học phẳng Olympic các nước, Nhà

xuất bản giáo dục Việt Nam.
[4] Vũ Văn Đức (2011), Một số định lý hình học nổi tiếng và áp dụng, Luận
văn Thạc sĩ toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
[5] Nguyễn Duy Khương (2018), Tìm tòi và sáng tạo một số chủ đề Hình học
phẳng, Lưu hành nội bộ.
[6] Nguyễn Văn Linh (2018), 108 bài toán hình học sơ cấp, Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia Hà Nội.
[7] Ong Thế Phương, Đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner và điểm
anti-Steiner. />[8] Võ Tiến Trình, Đường thẳng Simson, toanth.net. />[9] Trần Trung, Trần Việt Cường, Trần Xuân Bộ (2015), Một số tính chất đặc
biệt trong tam giác, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.


71

[10] Đoàn

Quốc

Việt,

Đường

thẳng

Simson

trong

tam

giác.

upload/32390/20181110/
Duong_thang_Simson_trong_tam_giac.pdf
[11] Huy

Cao’s

Blog,

Đồng

quy,

định

lí

Simson.

https://

julielltv.wordpress.com/category/su-thang-hang-cac-duong-dong-quy/
[12] Diễn đàn MathScope.org, Tuyển tập các bài toán hình học phẳng.
/>Tiếng Anh
[13] Nguyễn Văn Linh (2016), “Another Synthetic Proof of Dao’s Generalization
of the Simson Line Therem”, Forum Geometricorum, Vol 16, pp 57-61.