CÁC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG CƠ BẢN 2 BIẾN

CÁC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG CƠ BẢN 2 BIẾN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1/ Các biểu thức đối xứng cơ bản 2 biến :
 S = a + b , P = ab . Ta có bđthức liên hệ giữa 2 biểu thức là : (a + b)
2
≥ 4 ab hay S
2
≥ 4P ;
dấu "=" xảy ra ⇔ a = b .
 Mọi đa thức đối xứng 2 biến đều có thể biểu thị qua các đa thức đối xứng cơ bản S , P . Ta có
: a
2
+ b
2
= S
2
- 2 P ; a
3
+ b
3
= S
3
- 3SP
2/ Áp dụng chứng minh bất đẳng thức :
Ví dụ 1: Chứng minh với a ≥ 0 , b ≥ 0 ta có :
a
3
+ b
3
+ 2 ≥ 2ab + a + b (♦)
Ta đặt S = a + b ; P = ab . Ta có S ≥ 0 , P ≥ 0 và S
2

≥ 4P
( dấu "=" xảy ra ⇔ a = b ) khi đó a
3
+ b
3
= S
3
- 3SP .
(♦) ⇔ S
3
- 3SP +2 ≥ 2P +S ⇔ S
3
- S + 2 - (3S + 2) P ≥ 0 (♥ )
Vtrái (♥ ) ≥ S
3
- S + 2 - (3S + 2) . S
2
/4 =
( ) ( )
0
4
2S2S
2
≥
+−
(đúng). (♥ ) được cminh hay (♦ )
được cminh .
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b ; a + b -2 = 0 ⇔ a = b = 1
Ví du 2: Cho a ≥ 0 , b ≥ 0 và a
3

+ b
3
=2 , chứng minh :
a
2
+ b
2
≥
3
4
(• )
Ta có a ≥ 0 , b ≥ 0 va a
3
+ b
3
= 2 ⇒ S = a + b > 0 , P = ab ≥ 0 và S
3
- 3SP =2 ( )
Vt (• ) = a
2
+ b
2
= S
2
- 2P và ( ) ⇒ P =
S3
2S
3
−

Vt (• ) = S
2
-2
S3
2S
3
−
=






+=
+
S
4
S
3
1
S3
4S
2
3

3
3
22
4

S
2
.
S
2
S 3.
3
1
S
2
S
2
S
3
1
=≥






++=
( bđt Cô si )
Vậy (• ) được cminh . .
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b và S
2
= 2/S ⇒ a = b =
2
2

3
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x
3
+ y
3
-15xy với x > 0 , y > 0
Đặt S = x + y , P= xy ; ta có : S
2
≥ 4P (dấu "=" xảy ra ⇔ x = y)
Ta có A = S
3
- 3SP - 15P ≥ S
3
- 3S.S
2
/4 - 15.S
2
/4 =
4
S15S
23
−

A nhỏ nhất ⇔ f (S) = S
3
- 15S
2
với S > 0 là nhỏ nhất .
Ta có : f '(S) = 3S

2
- 30S = 0 ⇒ S = 0 hay S = 10
S
0 10 +∞
f'(S) - 0 +
⇒ min f (S) = f (10 ) = - 500 ⇒ min A = - 500/4 = - 125 khi x = y = 5
@ Bạn tìm hiểu thêm : Các đa thức đối xứng cơ bản 3 biến và vận dụng cminh bđthức .