Các kiến thức giáo khoa cơ bản Toán THPT

Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang
Các kiến thức Tốn cơ bản
LỚP 10
♦ HÌNH H ỌC PHẲNG
TỌA ĐỘ PHẲNG:
I. Đònh lý: Cho
A A B B
A(x , y ), B(x , y )
,
1 2
a (a ,a )=
r

1.
B A B A
AB (x x ,y y )= − −
uuur
; (ngọn – gốc).
2.
2 2
B A B A
AB AB (x x ) (y y )= = − + −
uuur
.
3.
2 2
1 2
a a a= +
r
II. Tính chất Vectơ: Cho
1 2

a (a ,a )=
r
,
1 2
b (b ,b )=
r
4.
{
1 1
2 2
a b
a b
a b
=
= ⇔
=
r r
5.
1 2
ka (ka ,ka )=
r
6.
1 1 2 2
a b (a b ;a b )± = ± ±
r r
7.
1 1 2 2
ma nb (ma nb ;ma nb )± = ± ±
r r
8.

1 1 2 2
a.b a b a b= +
r r
9.
1 2 2 1
a k.b
acùng phương b
a b a b 0

=
⇔

− =

r r
r ur
10.
1 1 2 2
a b a.b 0 a b a b 0⊥ ⇔ = ↔ + =
r r r r
11.
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
a b a b
a.b
cos(a;b)
a b
a a b b
+

= =
+ +
r r
r r
r r
12.
1 2
AB (a ,a )=
uuur
,
1 2
AC (b ,b )=
uuur
⇒
ABC 1 2 2 1
1
S a b a b
2
= −

Dạng toán thường gặp:
1. A, B, C thẳng hàng
ABcùng phươngAC.⇔
uuur uuuur
2. A, B, C lập thành tam giác
ABkhông cùng phươngAC.⇔
uuur uuuur
3. A,B,C,D là hình bình hành
AD BC.⇔ =
uuur uuur

4. M trung điểm AB:
A B A B
x x y y
M( ; )
2 2
+ +
5. M chia AB theo tỉ số k≠1:
A B A B
x kx y ky
M( ; )
1 k 1 k
− −
− −
6. Trọng tâm
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
G :
y y y
y
3
+ +

=



+ +

=

7. Trực tâm H: Giải hệ:
AH.BC 0
BH.AC 0

=

=

uuur uuur
uuur uuur
8. E chân phân giác trong:
EB AB
AC
EC
= −
uuur
uuur
, F chân
p.giác ngoài:
FB AB
AC
FC
=
uuur
uuur

9. Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Giải hệ:
2 2
2 2
IA IB
IA IC

=

=

ĐƯỜNG THẲNG
I. Phương trình đường thẳng:
1. Phương trình tổng quát ∆:



r
0 0
qua M(x ;y )
pvt : n = (A;B)
⇔ ∆:
0 0
A(x-x )+B(y-y ) = 0
⇔ ∆:
Ax+By +C = 0
2. Phương trình tham số ∆:
2




r
0 0
1
qua M(x ;y )
vtcp : a = (a ;a )
⇔ ∆:

∈


0 1
0 2
x = x +a t
(t R)
y = y +a t
3. Phương trình chính tắc ∆:
2



r
0 0
1
qua M(x ;y )
vtcp : a = (a ;a )
⇔ ∆:
0 0
1 2
x -x y -y

=
a a
II. Vi trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho
1 1 1 1
(D ): A x+B y+ C = 0
và

2 2 2 2
(D ): A x + B y +C = 0
1.
)∩ ⇔ ≠
1 1
1 2
2 2
A B
(D ) (D
A B
2.
1 1 1
1 2
2 2 2
(Δ )// (Δ )
A B C
A B C
⇔ = ≠
3.
1 1 1
1 2
2 2 2

(Δ ) (Δ )
A B C
A B C
≡ ⇔ = =
III. Góc của hai đường thẳng:

1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
A A B B
A B A B
ϕ
+
=
+ +
IV. Khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng:
Cho
(Δ) : 0Ax By C+ + =
và
0 0
( ; )M x y

0 0
2 2
d(M, )
Ax By C
A B
+ +

⇒ ∆ =
+
Chú ý :
° Trục Ox có pttq :
0y =
° Trục Oy có pttq :
0x
=
° Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy :

0ax c+ =
( )
0b =
GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010
Trang 1
A
C
F
B
E
Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang
° Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox :

0by c+ =
( )
0a =
° Đường thẳng đi qua gốc tọa độ :
0ax by+ =
( )
0c =

° Đường thẳng cắt Ox tại
( )
;0A a
và Oy tại
( )
0;B b


( )
, 0a b ≠
:
1
x y
a b
+ =
° Đường thẳng qua điểm
( )
0 0
;M x y
và có hệ số góc
k là :
( )
0 0
y y k x x− = −
° Đường thẳng d qua điểm
( )
0 0
;M x y
và song song
với đường thẳng

: 0ax by c∆ + + =
có pttq là :

( ) ( )
0 0
0a x x b y y− + − =
° Đường thẳng d qua điểm
( )
0 0
;M x y
và vuông góc
với đường thẳng
: 0ax by c∆ + + =
có pttq là :

( ) ( )
0 0
0b x x a y y− − − =
° Cho
(Δ) : 0Ax By C+ + =
1.
( ) //(Δ) ( ) : 0⇒ + + =d d Ax By m
2.
( ) (Δ) ( ) : 0
⊥ ⇒ − + =
d d Bx Ay m
ĐƯỜNG TRÒN
I. Phương trình đường tròn:
1. P.trình chính tắc đ.tròn (C):




tâm I(a; b)
bán kính R
⇔ (C):
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =

2. P. trình tổng quát đ.tròn (C):



tâm I(a; b)
2 2
bán kính R = a + b - c
(ĐK:
2 2
0a b c+ − >
)
⇔ (C):
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
1. Phương trình tiếp tuyến TẠI
0 0
( ; )M x y
:
∆:
0 0
0 0

( ; )
: ( ; )= − −



uur
qua M x y
pvt IM x a y b

⇔ ∆:
0 0 0 0
( )( ) ( )( ) 0
− − + − − =
x a x x y b y y
2. Điều kiện tiếp xúc:
( , )d I R∆ =
ELÍP
I. Đònh nghóa: Cho
1 2 1 2
F ,F cố đònh và FF = 2c (c > 0)

1 2
( ) 2 ( 0)M E MF MF a a c∈ ⇔ + = > >
II. Phương trình chính tắc:
2 2
( ) : 1 ( 0)
2 2
x y
E a b
a b

+ = > >
III. Hình dạng Elíp:
IV. Các vấn đề đặc biệt:
1.Tiêu điểm :
1 2
( ; ), ( ; )F c o F c o−
.
2.Tiêu cự :
1 2
2F F c=
.
3.Đỉnh trục lớn:
1 2
( ;0), ( ;0)−A a A a
.
4.Đỉnh trục bé :
1 2
(0; ), (0; )−B b B b
.
5.Độ dài trục lớn:
1 2
2A A a=
.
6.Độ dài trục bé :
1 2
2B B b=
.
7.Tâm sai :
1
c

e
a
= <
.
8.Bán kính qua tiêu điểm :
1
2
= +
= −



M
M
MF a ex
MF a ex
9.Phương trình cạnh hình chữ nhật cơ sở:
{
x a
y b
= ±
= ±
.
10.Phương trình đường chuẩn
2
a
x
c
= ±
V. . Phương trình tiếp tuyến của Elíp:

1.Phương trình tiếp tuyến TẠI
0 0
( ; )M x y
:

. .
0 0
( ) : 1
2 2
x x y y
a b
∆ + =
2.Điều kiện tiếp xúc:
Cho:
2 2
( ) : 1 ( 0)
2 2
x y
E a b
a b
+ = > >
và
(Δ) : 0Ax By C+ + =

(Δ)⇒
tiếp xúc (E)
2 2 2 2 2
A a B b C⇔ + =
* Chú ý: Cho
(Δ) : 0Ax By C+ + =

1.
( )// (Δ) : 0 ( ) : 0d Ax By C d Ax By m+ + = ⇒ + + =
2.
( ) (Δ) : 0 ( ) : 0d Ax By C d Bx Ay m⊥ + + = ⇒ − + =
♦ ĐẠI SỐ
•
∀
x
∈
¡
,
2
0ax bx c+ + <
⇔

0
0
a <


∆ <

•
∀
x
∈
¡
,
2
0ax bx c+ + ≤

⇔

0
0
a <


∆ ≤

•

∀
x
∈
¡
,
2
0ax bx c+ + >

⇔

0
0
a >


∆ <

•
∀

x
∈
¡
,
2
0ax bx c+ + ≥
⇔

0
0
a >


∆ ≤

GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010
Trang 2
O
y
x
1
A
1
B
2
B
2
A
1
F

2
F
a
−
a
b
−
b
c
c
−
•
•
Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang
Chú ý : Cho f(x) = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0)
•

( )
0f x >
vô nghiệm
( )
0,f x x⇔ ≤ ∀ ∈¡
•

( )
0f x ≥
vô nghiệm
( )

0,f x x⇔ < ∀ ∈¡
•

( )
0f x <
vô nghiệm
( )
0,f x x⇔ ≥ ∀ ∈¡
•

( )
0f x ≤
vô nghiệm
( )
0,f x x⇔ > ∀ ∈¡
Cho phương trình : ax
2
+ bx + c = 0
° Pt có 2 nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔

∆ >

° Pt có nghiệm kép
0
0

a ≠

⇔

∆ =

° Pt vô nghiệm
0
0
0
0
0
a
a
b
c
=

≠


⇔ = ∨
 
∆ <


≠

° Pt có 2 nghiệm trái dấu
0P

⇔ <
° Pt có 2 nghiệm cùng dấu
0
0P
∆ ≥

⇔

>

° Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng dương
0
0
0
P
S
∆ >


⇔ >


>

° Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng âm
0
0
0
P
S

∆ >


⇔ >


<

Các công thức cơ bản :
•

A
=
B
⇔
A B
A B
=


= −


•

A
= B
⇔
0B
A B

A B
≥


=




= −


•

A B<

⇔
(A – B) (A + B) < 0
•

A B<
⇔

0A
A B
≥


<


•

A B>
⇔

0B
A B
≥


>

•

A B<
⇔

2
0
0
A
B
A B

≥

>



<



•

A
< B
⇔
A B
A B
<


> −


•

A B>
⇔
(A – B) (A + B) > 0
•

A B>
⇔
>


< −


A B
A B
•

A
=
B
⇔
0( 0)A B
A B
≥ ≥


=


•

A
= B
⇔
2
0B
A B
≥


=


•

A
> B
⇔
2
0
0
0
 <



≥



≥



>



B
A
B
A B
LỚP 11

♦ LƯỢNG GIÁC
A.Các Hằng Đẳng Thức Lượng Giác Cơ Bản:
( )
( )
+ α + α = ∀α∈
 
π
+ α α = ∀α ≠ ∈
 ÷
 
 
π
+ = + α ∀α ≠ + π ∈
 ÷
α
 
+ = + α ∀α ≠ π ∈
α
2 2
2
2
2
2
sin cos 1 R
tan .cot 1 k ,k Z
2
1
1 tan k ,k Z
2
cos

1
1 cot k ,k Z
sin
B. Giá Trò Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
1. Cung – Góc đối nhau:
và −α α
:

( )
cos cos−α = α
; 
( )
−α = − αsin sin

( )
−α = − αtan tan
; 
( )
−α = − αcot cot
2. Cung – Góc bù nhau:
và π − α α

( )
sin sinπ− α = α
; 
( )
cos cosπ −α = − α

( )
π − α = − αtan tan

; 
( )
π − α = − αcot cot
3. Cung – Góc p hụ nhau:
và
2
π
− α α

sin = cos
2
π
 
−α α
 ÷
 
; 
cos = sin
2
π
 
−α α
 ÷
 

π
 
− α α
 ÷
 

tan = cot
2
; 
π
 
− α α
 ÷
 
cot = tan
2
4. Cung – Góc hơn kém
:π

và π +α α

( )
sin sinα + π = − α
; 
( )
α + π = αtan tan


( )
cos cosα+ π = − α
;
( )
α + π = αcot cot

5. Cung – Góc hơn kém
2

π
:
và
2
π
+ α α

sin cos
2
π
 
+ α = α
 ÷
 
; 
cos sin
2
π
 
+ α = − α
 ÷
 


π
 
+ α = − α
 ÷
 
tan cot

2
; 
π
 
+ α = − α
 ÷
 
cot tan
2
GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010 Trang 3
Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang
GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010 Trang 4
C. Công thức lượng giác
1. CÔNG THỨC CỘNG :
Với mọi cung có số đo a, b ta có:
 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
 tan(a – b) =
tan tan
1 tan .tan
−
+
a b
a b

 tan(a + b) =
tan tan
1 tan .tan

+
−
a b
a b

 cot(a – b) =
. 1+
−
cota cotb
cotb cota

 cot(a + b) =
. 1−
+
cota cotb
cotb cota

2. Công thức nhân đôi:
 sin2a = 2sina.cosa
 cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1
= 1 – 2 sin
2
a
 tan2a =

2
2tan
1 tan−
a
a

2
a 1
ot2a
2 a
cot
c
cot
-
=
3. Công thức nhân ba:
 sin3a = 3sina – 4sin
3
a
 cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
 tan3a =
−
−
3
2
3tana tan a
1 3tan a


−
=
−
3
2
cot a 3cota
cot3a
3cot a 1
4.Công thức hạ bậc:
 cos
2
a =
1 cos2
2
a+

 sin
2
a =
1 cos 2
2
a−


−
=
+
2
1 cos2a
tan a

1 cos2a

 sina.cosa
1
sin2a
2
=

3
sin3a 3sina
sin a
4
− +
=

3
cos3a 3cosa
cos a
4
+
=
5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t =tan
2
x
:
( Gsử: x
≠
2 ,k
π π
+

đặt t = tan
2
x
)
 sinx =
2
2
1
t
t+
,  cosx =
2
2
1
1
t
t
−
+

 tanx =
2
2
1
t
t−
(
, )
2
≠ + ∈x k k Z

π
π
6. Công thức biến đổi tổng thành tích

a b a b
cosa cosb 2cos cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   

a b a b
cosa cosb 2sin sin
2 2
+ −
   
− = −
 ÷  ÷
   

a b a b
sina sin b 2sin cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   


a b a b
sina sin b 2cos sin
2 2
+ −
   
− =
 ÷  ÷
   

sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2
±
± = ≠ + ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π
π

sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
+
+ = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π


sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
− +
− = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π

2 2
sin cos .sin( )+ = + +A x B x A B x
α
2 2
. s( )= + −A B co x
α
Với
2 2 2 2
s ; sin
= =
+ +
A B
co
A B A B
α α
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]

[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= − + +
8. Các hằng đẳng thức khác :

4 4 2 2
6 6 2 2
sin x cos x 1 2sin x.cos x
sin x cos x 1 3sin x.cos x
+ = −
+ = −

sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
cos x sin x 2 sin x 2 cos x

4 4
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
π π
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
π π
   
− = − − = +
 ÷  ÷
   
9. Phương trình lượng giác cơ bản :
sin x sin= α

x k2
,k
x k2
= α + π

⇔ ∈

= π − α + π

¢
cosx cos= α

x k2
,k
x k2
= α + π

⇔ ∈

= −α + π

¢
tan x tan= α

x k ,k⇔ = α + π ∈¢

cot x cot= α

x k ,k
⇔ = α + π ∈
¢
c
b
a
M
H
C
B
A
* TH c bit:
sin x 1 x k2

2

= = +
sin x 1 x k2
2

= = +

sin x 0 x k= =
cosx 1 x k2= =
cosx 1 x k2= = +
cosx 0 x k
2

= = +
tan x 1 x k
4

= = +
tan x 0 sin x 0 x k= = =
cot x 1 x k
4

= = +

cot x 0 cosx 0 x k
2

= = = +
.

CONG THệC ẹAẽO HAỉM:
1.
(kx)' k=

(ku)' k.u'=
.
2.

=
1
(x )' .x

1
(u )' .u'.u .


=
3.
1
( x)'
2 x
=

u'
( u)'
2 u
=
.
4.
'

2
1 1
x x

=
ữ


'
2
1 u'
u u

=
ữ

.
5.
(sinx)' cosx=

(sin u)' u'.cosu=
.
6.
(cosx)' sinx=

(cosu)' u'.sinu=
.
7.
=
2

1
(tanx)'
cos x

=
2
u'
(tanu)'
cos u
.
8.

=
2
1
(cot x)'
sin x


=
2
u'
(cot u)'
sin u
.
9.
x x
(e )' e=

u u

(e )' u'.e=
.
10.
1
(lnx)'
x
=

u'
(lnu)'
u
=
11. (log
a
x) =
1
x lna
(log
a
u) =
u'
u lna
12.
x x
(a )' a .lna=

=
u u
(a )' u'.a .lna
HèNH HC

ễN TP 1. KIN THC C BN HèNH HC LP 9 10
1. H thc lng trong tam giỏc vuụng : cho
ABC

vuụng A ta cú :
a) nh lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC
= +

b)
CBCHCABCBHBA .;.
22
==
c) AB. AC = BC. AH
d)
222
111
ACABAH
+=

e) AH
2
= HB . HC
f) BC = 2AM
g)
sin , os , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b

= = = =
h) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =
sin cos
b b
B C
=
, b = c. tanB = c.cot C
2.H thc lng trong tam giỏc thng:
* nh lý hm s Cụsin: a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
* nh lý hm s Sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
3. Cỏc cụng thc tớnh din tớch.
a/ Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc:

1
2
S =
a.h
a

=
1 . .
. sin . .( )( )( )
2 4
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
= = =
vi
2
a b c
p
+ +
=
c bit :*
ABC

vuụng A :
1
.
2
S AB AC
=
,*
ABC

u cnh a:
2
3
4

a
S
=
b/ Din tớch hỡnh vuụng : S = cnh x cnh
c/ Din tớch hỡnh ch nht : S = di x rng
d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R
π
=
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa :
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.
⇔ ∩ = ∅
a / / (P) a (P)
a

(P)
II. Các định lý :
ĐL1:Nếu đường thẳng d không
nằm trên mp(P) và song song với
đường thẳng a nằm trên mp(P) thì
đường thẳng d song song với
mp(P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)

⊄

⇒


⊂

d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song
song với mp(P) thì mọi mp(Q)
chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo
giao tuyến song song với a.
a / /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d



⊂ ⇒


∩ =

d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau
cùng song song với một đường
thẳng thì giao tuyến của chúng
song song với đường thẳng đó.
(P) (Q) d
(P) / /a d / /a
(Q) / /a

∩ =

⇒



a
d
Q
P
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song

song với nhau nếu chúng không có
điểm nào chung.
(P) / /(Q) (P) (Q)
⇔ ∩ = ∅
Q
P
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường
thẳng a, b cắt nhau và cùng song
song với mặt phẳng (Q) thì (P) và
(Q) song song với nhau.
a,b (P)
a b I (P) / /(Q)
a / /(Q),b/ /(Q)

⊂

∩ = ⇒



I
b
a
Q
P
ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm
một trong hai mặt phẳng song
song thì song song với mặt phẳng
kia.

(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)

⇒

⊂

a
Q
P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) song song thì mọi mặt phẳng
(R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và
các giao tuyến của chúng song
song.
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b


∩ = ⇒


∩ =

b
a
R
Q

P

B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa :
Một đường thẳng được gọi là vuông
góc với một mặt phẳng nếu nó
vuông góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó.
a mp(P) a c, c (P)
⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
P
c
a
II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau a
và b cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vuông góc với
mp(P).
d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau

⊥ ⊥

⊂ ⇒ ⊥




d
a
b
P
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho
đường thẳng a không vuông góc với
mp(P) và đường thẳng b nằm trong
(P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để
b vuông góc với a là b vuông góc
với hình chiếu a’ của a trên (P).
a mp(P),b mp(P)
b a b a'
⊥ ⊂
⊥ ⇔ ⊥
a'
a
b
P
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa :
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một
đường thẳng vuông góc với một mặt
phẳng khác thì hai mặt phẳng đó
vuông góc với nhau.
a mp(P)
mp(Q) mp(P)

a mp(Q)

⊥
⇒ ⊥

⊂

Q
P
a
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau thì bất cứ
đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P) và
(Q) đều vuông góc với mặt phẳng
(Q).
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d

⊥

∩ = ⇒ ⊥


⊂ ⊥

d
Q
P

a
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau và A là một
điểm trong (P) thì đường thẳng a đi
qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ
nằm trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)

⊥

∈

⇒ ⊂

∈


⊥

A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau
và cùng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của chúng

vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)

∩ =

⊥ ⇒ ⊥


⊥

a
R
Q
P
§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a
(hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách
giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình
chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc
trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O

P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)
song song với a là khoảng cách từ một điểm
nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P
B
h
a
b
c
a
a
a
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau:

là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
d(a;b) = AB
B
A
b
a
§4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi
qua một điểm và lần lượt cùng phương với a
và b.
b'
b
a'
a
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông
góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên
mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng
(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và
mp(P) là 90
0
.
P
a'
a
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông

góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong
2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến
tại 1 điểm
b
a
Q
P

P
Q
a
b
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích
của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện
tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì
S' Scos= ϕ
trong đó
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng (P),
(P’).
ϕ
C
B
A
S
ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h

với
B: dieän tích ñaùy
h : chieàu cao





a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V = a
3

với a là độ dài cạnh

B
h
2. TH TCH KHI CHểP:
V=
1
3
Bh
vi
B: dieọn tớch ủaựy
h : chieu cao

3. T S TH TCH T DIN:
Cho khi t din SABC v A, B, C
l cỏc im tựy ý ln lt thuc SA,
SB, SC ta cú:

SABC
SA' B'C'
V
SA SB SC
V SA' SB' SC'
=
C'
B'
A'
C
B
A
S
4. TH TCH KHI CHểP CT:

( )
h
V B B' BB'
3
= + +

vi
B, B': dieọn tớch hai ủaựy
h : chieu cao

B
A
C
A'
B'
C'
Chỳ ý:
1/ ng chộo ca hỡnh vuụng cnh a l d = a
2
,
ng chộo ca hỡnh lp phng cnh a l d = a
3
,
ng chộo ca hỡnh hp ch nht cú 3 kớch thc a, b, c l d =
2 2 2
a b c
+ +
,
2/ ng cao ca tam giỏc u cnh a l h =
3
2
a
3/ Hỡnh chúp u l hỡnh chúp cú ỏy l a giỏc u v cỏc cnh bờn u bng
nhau ( hoc cú ỏy l a giỏc u, hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm ca ỏy).
4/ Lng tr u l lng tr ng cú ỏy l a giỏc u.
HON V - CHNH HP T HP
1. S ph n t c a t p h p :

S phn t ca tp hp A = { a, b, c, d} l n(A) =
A
= 4
B = { a, c, g, h, k} l n(B) =
B
= 5

BA
= {a, c} l
2== BA)BA(n

BA
= { a, b, c, d, g, h, k } l
7== BA)BA(n
A\ B = { b, d } l n(A\B)= |A\B|
2. Quy t c c ng:
Quy tc cng cho cụng vic vi nhiu phng ỏn:
Gi s mt cụng vic cú th tin hnh theo mt trong k phng ỏn, mi phng ỏn cú th c thc hin
bi n
i
cỏch (i = 1,, k ). Khi ú cụng vic cú th thc hin bi n
1
+ n
2
+ + n
k
cỏch
Chỳ ý: Nu A v B l hai tp hp hu hn khụng giao nhau thỡ s phn t ca
BA
l

BABA
+=
Nu A v B l hai tp hp hu hn bt kỡ thỡ s phn t ca
BA
l
A B A B A B = +
3. Quy t c nhaõõn :
Quy tắc nhân cho công việc có nhiều công đoạn:
Giả sử một công việc bao gồm k công đoạn, mỗi công đoạn có thể được thực hiện theo n
i
cách (i = 1,…,k ).
Khi đó công việc có thể thực hiện theo n
1
n
2
…n
k
cách
4. Giai thừa: Với n, p
∈
ℕ
n! = 1.2.3…(n-1).n Qui ước: 0! = 1
n! = (n–1)!n
!
!
n
p
= (p+1).(p+2)…n (với n>p)
!
( )!

n
n p−
= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
5.Hoán vị: Kết quả của sự sắp xếp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó gọi là một hoán vị
của n phần tử đó. Kí hiệu P
n
.Ta có công thức tính như sau: P
n
= n.(n- 1). . . .2.1= n! (n
∈
N
*
).
Chú ý : Hoán vị vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị
vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Q
n
= (n – 1)!
6.Chỉnh hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần tử, một tập con của A gồm k
(1 )k n≤ ≤
phần tử khác nhau và
được sắp xếp theo một thứ tự nào đó gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử,
kí hiệu
k
n
A
, được tính theo công thức:
( 1).( 2) ( 1)
k

n
A n n n n k= − − − +
(1)
( )
!
, (1 )
!
k
n
n
A k n
n k
= ≤ ≤
−
(2)
Liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp:
!
n
n n
A P n= =
(3)
7.Tổ hợp : Cho A là một tập hợp gồm n phần tử, một tập con của A gồm k
(0 )k n≤ ≤
phần tử gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
, được tính theo công thức:
( )

!
! !
k
n
n
C
k n k
=
−
(4)
Ta có các tính chất sau:

k n k
n n
C C
−
=

1
1 1
(0 )
k k k
n n n
C C C k n
−
− −
= + < <

0
1

n
n n
C C= =
,
1 1n
n n
C C n
−
= =
.
* Công thức liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp
!
k k
n n
A k C=
(5)
8. Công thức Newton:
0 1 1
( )
n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + + +
(6)
Tính chất:
+ Trong khai triển của (a+b)
n
có n+1 số hạng.
+ Số mũ của a giảm dần từ n đến 0.

+ Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n .
+ Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n
+ Các hệ số có tính đối xứng
k n k
n n
C C
−
=
( Hệ số các số hạng cách đều hai biên thì bằng nhau)
+ Số hạng tổng quát của sự khai triển, kí hiệu là T
k + 1
, có dạng
k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
, k = 0, …, n
(chỉ số k + 1 là số thứ tự tính từ trái qua phải của số hạng tương ứng trong sự khai triển).
+ Tổng các hệ số trong khai triển (a+b)
n
là :
0 1 2
2
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
♦ CẤP SỐ CỘNG
1. Định nghĩa : Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng

đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
* Số d được gọi là công sai của cấp số cộng .

dUU
nn
+=
+1


( )
nn
UUd −=
+1
2. Số hạng tổng quát :
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng :
2
11 +−
+
=
kk
k
UU
U
với
2
≥
k
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng :
[ ]
nn

UU
n
S +=
1
2
hay
( )
[ ]
dnU
n
S
n
12
2
1
−+=
♦ CẤP SỐ NHÂN
1. Định nghĩa : Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
* Số q được gọi là công bội
Ta có :
qUU
nn
.
1
=
+
với
*
Nn∈

2. Số hạng tổng quát :

1
1
.
−
=
n
n
qUU
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
11
2
.
+−
=
kkk
UUU
hay
11
.
+−
=
kkk
UUU
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân : Cho cấp số nhân có công bội q khác 1.
Ta có :
( )
1
1

121
−
−
=+++=
q
q
UUUUS
n
nn
LỚP 12
CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a ; b).
• Nếu f’(x) > 0 , ∀x∈(a ; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a ; b) .
• Nếu f’(x) < 0 , ∀x∈(a ; b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a ; b) .
(Nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a ; b) thì định lý vẫn còn đúng).
§2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x
0
- δ ; x
0
) ;f’(x) < 0 trên khoảng (x
0

; x
0
+ δ) thì x
0
là một điểm cực đại của hàm số
b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng(x
0
- δ; x
0
) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x
0
; δ+ x
0
) thì x
0
là một điểm cực tiểu của hàm số
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu thì điểm x
0
là điểm cực trị.
x x
0
- δ x
0
x
0
- δ
y’ + -
y

x x
0
- δ x
0
x
0
- δ
y’ - +
y
Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x
0
và f’(x
0
) = 0, f''(x
o
) ≠ 0 thì x
o
là một
điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cách khác: 1) f’(x

0
) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.

( )
dnUU
n
1
1
−+=
CÑ
CT
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1) Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D . Ta định nghĩa :
Số M là GTLN của hàm số f trên D
0 0
f(x) M x D
x D :f(x ) M
≤ ∀ ∈


⇔

∃ ∈ =

Ký hiệu : M =
)x(fMax
D
Số m là GTNN của hàm số f trên D
0 0
f(x) m x D
x D :f(x ) m
≥ ∀ ∈

⇔

∃ ∈ =

Ký hiệu : m =
)x(fMin
D
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a ; b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a ; b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là
GTLN(GTNN) của hàm số trên (a ; b)
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a ; b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
,x
2
, , x

n
của f(x) trên [a ; b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
§4. TIỆM CẬN
1) Tiệm cận đứng: Nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình x = x
0
là tiệm cân đứng của đồ thị (C).
2) Tiệm cận ngang: Nếu
0
lim ( )

x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình y = y
0
là tiệm cân ngang của đồ thị(C).
3) Tiệm cận xiên: Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) : y = ax + b là một tiệm cận của đồ thị (C) là
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞
− =
hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =
hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y = ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]

x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= −
.
Chú ý : Đối với hàm phân thức hữu tỉ y =
P(x)
Q(x)
có TCX , bằng cách thực hiện phép chia đa thức P(x) cho Q(x)
ta viết hàm số dưới dạng y = ax + b + ε(x) , trong đó
x
lim
→∞
ε(x) = 0 . Khi đó y = ax + b là TCX của đồ thị hàm số
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực trị
- Tính lồi lõm, điểm uốn,
- Giới hạn
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặc biệt
- Đồ thị
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên

- Chiều biến thiên, cực trị
- Giới hạn, tiệm cận
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặc biệt
- Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
 Hàm số nhất biến :
)bcad(
dcx
bax
y 0≠−
+
+
=
 Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2
1 1
ax bx c

y
a x b
+ +
=
+
(tử, mẫu không có nghiệm chung, )
Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục
Ox.
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y
O
•
I

x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị
y
I
x
y

O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
xO
I
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 1: hàm số có cực trị
Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1)
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x dx
=
∫
( )
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), (C’) : y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x g x dx
= −
∫
( ) ( )
(II)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
b
a
V f x dx
π
=
∫
( )

(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường
thẳng
y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
=
∫
b
a
V g y dy( )
π
(IV)
Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm
được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:
 Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).
 Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).
 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]).
 Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả.
 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)
 Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả.
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao diểm của hai đường cong (C
1
) y = f(x) và (C
2
) y = g(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ

giao điểm f(x) = g(x) (1)
Dạng 4: Cực trị của hàm số
 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
 Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
 Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
 Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y
→ chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
 Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y
a 'x b'
+ +
=
+
→ không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.
 Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a ; b) và x
0
∈ (a ; b)

• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x
0
thì hàm số có cực trị tại x = x
0
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + → – khi x qua x
0
thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – → + khi x qua x
0
thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
(Điều này vẫn đúng khi hsố khơng có đạo hàm tại x
0
nhưng hàm số có xác định tại đó).
 Hoặc: * Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x
0
) ≠ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x
0
.

* Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x
0
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
* Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x
0
) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
Dạng 5 : Viết PTTT của đồ thị hàm số
Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y
0
= f’(x
0
)
( )
0
x x−

hay y – y
0
= k(x – x
0
) (*) ( với k = f’(x
0
) )
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x
0
, y
0
, f’(x
0
) thay vào (*).
Bài tốn 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vng góc với 1 đường thẳng (D) )
C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x
0
( hồnh độ tiếp điểm)
 Bước 2: Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. Ta có kết quả
C2:  Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)
 Bước 2: Lập và giải hệ pt:
( )
'( )

f x kx m
f x k
= +


=

⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết quả
Bài tốn3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x
A
;y
A
)
 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k có dạng : y – y
A
= k(x – x
A
) (1)
 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=

 Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.

CHUN ĐỀ 2: HÀM SỐ MŨ- LŨY THỪA - LOGARIT
Vấn đề I : Luỹ thừa
Kiến thức cần nhớ
Vấn đề II : Lôgarit
Kiến thức cần nhớ
Cho
a
> 0 , b > 0 ,
a
≠
1 , u > 0 , v > 0
1)
bcba
a
c
log
=⇔=
; 2)
ba
b
a
=
log
; 3)
01log
=
a
4)
1log
=

a
a
5)
vuuv
aaa
loglog)(log +=
; 6)
vu
v
u
aaa
loglog)(log
−=
; 7)
bb
aa
loglog
α
α
=
Cho
a
> 0 , b > 0 ,
R
∈
βα
,
, m
∈
Z , n

∈
N
*
1)
n
m
n
m
aa
=
; 2)
α
α
a
a
1
=
−
3)
αα
−






=







a
b
b
a
; 4)
nk
n
k
aa
=
5)
( )
m
n
n
m
aa
=
; 6)
βαβα
+
= aaa .
7)
βαβα
−
=

aaa :
; 8)
( )
ab a .b
α
α α
=
9)
( )
a : b a : b
α
α α
=
; 10)
( )
βα
β
α
.
aa
=
; 11)
n
m
kn
km
aa
=
.
.

12)
nnn
baab .
=
; 13)
nnn
baba ::
=
14)
a
> 1 thì
βα
aa >
⇔
βα
>
; 15) 0 <
a
< 1 thì
βα
aa
>
⇔
βα
<
16)
α
> 0 và
a
> b > 0 thì

αα
ba
>
; 17)
α
< 0 và
a
> b > 0 thì
αα
ba
<
8)
dnd
a
n
a
log2log
2
=
; 9)
bb
a
a
log
1
log
α
α
=
; 10)

bb
a
a
loglog
α
β
β
α
=
11)
bbahay
a
b
b
cac
c
c
a
loglog.log
log
log
log
==
; 12)
ac
bb
ca
loglog
=

13)
1log.log
log
1
log
==
abhay
a
b
ba
b
a
; 14)
xx lglog
10
=
= log x ; 15)
xx
e
lnlog
=
16)
a
> 1 thì
vu
aa
loglog
>
⇔
vu

>
; 17) 0 <
a
< 1 thì
vu
aa
loglog
>
⇔
vu
<
Vấn đề III : Hàm số Mũ và hàm số Lôgarit
Kiến thức cần nhớ
1) Cho
a
> 0 ,
a
≠
1 , x
∈
R . Hàm số mũ y = a
x
* Tập xác đònh R
* Tập giá trò
( )
∞+
,0
( tức là a
x
> 0 với mọi x )

* Khi a > 1 hàm số mũ luôn luôn đồng biến

∞+==
∞+→∞−→
x
x
x
x
aa lim;0lim
* Khi 0 < a < 1 hàm số mũ luôn luôn nghòch biến

0lim;lim =∞+=
∞+→∞−→
x
x
x
x
aa
* Đạo hàm
( ) ( )
uuxx
eueee .;
/
//
==
2) Cho
a
> 0 ,
a
≠

1 , x
∈
R
+
. Hàm số lôgarit
y =
x
a
log
có :
* Tập xác đònh
( )
∞+
,0
* Tập giá trò R
* Khi a > 1 hàm số lôgarit luôn luôn đồng biến

∞+=∞−=
∞+→
→
+
xx
a
x
a
x
loglim;loglim
0
* Khi 0 < a < 1 hàm số lôgarit luôn luôn nghòch
biến

∞−=∞+=
∞+→
→
+
xx
a
x
a
x
loglim;loglim
0
* Chú ý : 1 ) ln1 = 0 ; lne = 1
2 ) lnu > 0
⇔
u > 1
3 ) lnu < 0
⇔
0 < u < 1
4 )
1
)1ln(
lim
0
=
+
→
x
x
x

5 )
1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
* Đạo hàm

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
au
u
u
au
u
u
ax
x

ax
x
u
u
u
u
u
u
x
x
x
x
aa
aa
ln
log;
ln
log
ln
1
log;
ln
1
log
ln;ln
1
ln;
1
ln
/

/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
==
==
==
==

Vấn đề IV : Phương trình Mũ và Lôgarit
Kiến thức cần nhớ
A) PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1) Phương trình mũ cơ bản a
x
= b , (
10
≠<
a
)
Nếu b
≤
0 , phương trình vô nghiệm
Nếu b > 0 , phương trình có 1 nghiệm x =

b
a
log
2) Phương trình mũ đơn giản
a) Đưa về phương trình mũ cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp :
* Đưa về cùng cơ số
* Đặt ẩn phụ
*Lấy lôgarit hai vế ( lôgarit hoá )
b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thò
c) Phương trình có thể giải bằng cách sử dụng tính chất đồng biến, nghòch biến của hàm số mũ
B) PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1) Phương trình lôgarit cơ bản :
x
a
log
= b , (
10
≠<
a
) . Phương trình luôn có 1 nghiệm x =
b
a

2) Phương trình logarit đơn giản
a) Đưa về phương trình logarit cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp :
* Đưa về cùng cơ số
* Đặt ẩn phụ
* Mũ hoá hai vế
b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thò
c) Phương trình có thể giải bằng cách sử dụng tính chất đồng biến, nghòch biến của hàm số lôgarit

Vấn đề V : Bất Phương trình Mũ , bất phương trình Lôgarit –Hệ phương
trình , hệ bất phương trình Mũ và Logarit
Kiến thức cần nhớ
A) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1) Bất phương trình mũ cơ bản
Dạng 1 : a
x
> b , (
10
≠<
a
)
Nếu b
≤
0 , bất phương trình có nghiệm x tùy ý
Nếu b > 0 và a > 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x >
b
a
log
Nếu b > 0 và 0 < a < 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x <
b
a
log
Dạng 2 : a
x

≥
b , (
10
≠<

a
)
Nếu b
≤
0 , bất phương trình có nghiệm x tùy ý
Nếu b > 0 và a > 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
≥

b
a
log
Nếu b > 0 và 0 < a < 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
≤

b
a
log
Dạng 3 : a
x
< b , (
10
≠<
a
)
Nếu b
≤
0 , bất phương trình vô nghiệm
Nếu b > 0 và a > 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x <
b
a

log
Nếu b > 0 và 0 < a < 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x >
b
a
log
Dạng 4 : a
x

≤
b , (
10
≠<
a
)
Nếu b
≤
0 , bất phương trình vô nghiệm
Nếu b > 0 và a > 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
≤
b
a
log
Nếu b > 0 và 0 < a < 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
≥

b
a
log
B) BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1) Bất phương trình lôgarit cơ bản

Dạng 1 :
x
a
log
> b , (
10
≠<
a
)
Nếu a > 1 thì bất phương trình có nghiệm x >
b
a
Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình có nghiệm 0 < x <
b
a
Dạng 2 :
x
a
log

≥
b , (
10
≠<
a
)
Nếu a > 1 thì bất phương trình có nghiệm x
≥
b
a

Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình có nghiệm 0 < x
≤

b
a
Dạng 3 :
x
a
log
< b , (
10
≠<
a
)
Nếu a > 1 thì bất ph/tr có nghiệm 0 < x <
b
a
Nếu 0 < a < 1 thì bất ph/tr có nghiệm x >
b
a
Dạng 4 :
x
a
log

≤
b , (
10
≠<
a

)
Nếu a > 1 thì bất ph/tr có nghiệm 0 < x
≤

b
a
Nếu 0 < a < 1 thì bất ph/tr có nghiệm x
≥

b
a
CHUN ĐỀ 3: NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
§1. NGUN HÀM
1) Định nghĩa : Hàm số
( )
F x
gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
( )
,a b
nếu
( ) ( ) ( )
, ,F x f x x a b
′
= ∀ ∈
.
Ghi nhớ : Nếu
( )

F x
là nguyên hàm của
( )
f x
thì mọi hàm số có dạng
( )
F x C
+
(
C
là hằng số) cũng là
nguyên hàm của
( )
f x
và chỉ những hàm số có dạng
( )
F x C
+
mới là nguyên hàm của
( )
f x
. Ta gọi
( )
F x C
+
là
họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số
( )
f x
và ký hiệu là

( )
f x dx
∫
.
Như vậy:
( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
2) Tính chất:
a.TC1:
( ) ( ) ( )
0;kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
b.TC2:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
 
 
∫ ∫ ∫
c.TC3: Nếu
( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
thì
( ) ( )
f u du F u C

= +
∫
.
3) Baûng nguyeân haøm:
0dx C=
∫
0du C=
∫
dx x C= +
∫
du u C= +
∫
1
x
x dx C ( 1)
1
α+
α
= + α ≠−
α+
∫
1
u
u du C ( 1)
1
α+
α
= + α ≠−
α+
∫

1 1
dx ln kx b C (x 0)
kx b k
= + + ≠
+
∫
1
du ln u C (u 0)
u
= + ≠
∫
2
dx 1
C
x x
=− +
∫
2
du 1
C
u u
=− +
∫
dx
2 x C
x
= +
∫
du
2 u C

u
= +
∫

kx b kx b
1
e dx e C
k
+ +
+ = +
∫
u u
e du e C= +
∫
kx b
kx b
a
a dx C
k.ln a
+
+
= +
∫
(0< a≠1)
u
u
a
a du C
ln a
= +

∫
sin(kx b)
cos(kx b)dx C
k
+
+ = +
∫
cosudu sin u C= +
∫
cos(kx b)
sin(kx b)dx C
k
+
+ =− +
∫
sin udu cosu C= − +
∫
2
1 tan(kx b)
dx C
cos (kx b) k
+
= +
+
∫
2
1
du tan u C
cos u
= +

∫
2
1 cot(kx b)
dx C
sin (kx b) k
+
= − +
+
∫
2
1
du cot u C
sin u
= − +
∫
Ghi nhớ:
- Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những
hàm số thành phần.
- Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm
của những hàm số thành phần.
- Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những
hàm số tìm được nguyên hàm.
§2. TÍCH PHÂN
1). Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a

= = −
∫
2). Tính chất :
a. TC1:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
b. TC2:
( ) ( )
0( )
b b
a a
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
c. TC3:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫
d. TC4:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c

f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
e. TC5: Nếu
( )
[ ]
0, ;f x x a b
≥ ∀ ∈
thì
( )
0
b
a
f x dx ≥
∫
f. TC6: Nếu
( ) ( )
[ ]
, ;f x g x x a b
≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
≥
∫ ∫
g. TC7: Nếu
( )
[ ]

, ;m f x M x a b
≤ ≤ ∀ ∈
thì
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
− ≤ ≤ −
∫
 Ghi nhớ:
- Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu
của những hàm số đã biết nguyên hàm.
- Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải
thực hiện phép chia tử cho mẫu.
- Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong
dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con
biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1). Công thức tổng quát :
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
= 
 

∫ ∫
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của
( )
f x
ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )
x
ϕ
) với đạo hàm của hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng công thức trên vào các trường hợp
thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
sint x
=

→ hoặc
sint p x q

= +

( )
∈
,p q R

→ hoặc
sin
n
t p x q
= +
nếu như biểu thức
sinp x q
+
nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
cos .sinf x xdx
β
α
∫
.
t
cost x
=

hoc
cost p x q

= +

( )

,p q R

hoc
cos
n
t p x q
= +
nu nh biu thc
cosp x q
+
nm trong
n
.
c). TH3:
( )
1
ln .f x dx
x



.
t
lnt x
=

hoc
lnt p x q
= +

( )

,p q R

hoc
ln
n
t p x q
= +
nu nh biu thc
lnp x q
+
nm trong du
n
.
d). TH4:
( )
2
1

tan .
cos
f x dx
x

.
t
=
tant x

hoc
= +
tant p x q

( )

,p q R

hoc
= +
tan
n
t p x q
nu nh biu thc
+
tanp x q
nm trong du
n
.
e). TH5:
( )
2
1

.

sin
f cotx dx
x


.
t
=
t cotx

hoc
= +
t pcotx q

( )

,p q R

hoc
= +
n
t pcotx q
nu nh biu thc
+pcotx q
nm trong
n
.

Đ4. TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TNG PHN
1). Cụng thc tng quỏt :

( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx

=

hay
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùo haứm
dv v x dx v v x

= =

= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv
v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu


(Tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn tng phn tựy tng bi toỏn c
th m ta phi xem xột).
3). Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn:
Tớch phõn tng phn thng c ỏp dng tớnh cỏc tớch phõn cú dng nh sau:
a). Dng 1:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )

p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm
sin ( )x

hoc
cos ( )x

.
Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u p x
dv q x dx
=

=

 Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được
b
a
vdu
∫
phức tạp hơn
b
a
udv
∫

ban đầu.
b). Dạng 2:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx
∫
Trong đó
( )
p x
là hàm số đa thức, còn
( )
q x
là hàm logarit.
→ Trong trường hợp này ta đặt:
( )
( )
u q x
dv p x dx
 =

=

Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra
v
từ
dv
.
Chú ý :

Tích phân hàm hữu tỉ :
- Nếu mẫu là bậc nhất thì lấy tử chia mẫu
- Nếu mẫu là bậc hai có nghiệm kép thì đưa về hằng đẳng thức
- Nếu mẫu là bậc hai có hai nghiệm thì đồng nhất thức
- Nếu mẫu là bậc hai vô nghiệm thì đổi biến số.
Tích phân hàm lương giác :
- Nếu sinx,cosx có số mũ chẳn thì hạ bậc
2 2
1 cos2x 1 cos2x
sin x ;cos x
2 2
− +
 
= =
 ÷
 
- Nếu sinx,cosx có số mũ lẻ thì tách ra rồi đặt t
- Nếu có tan
2
x hoặc cot
2
x thì thêm bớt 1
- Nếu có tanx,cotx có thể đưa về sinx,cosx rồi đặt t
- Nếu có sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb thì dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
-
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b

= = = =

(trong đó hai đường thẳng
;x a x b
= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
(2)
b). Các bước thực hiện:
• Bước1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình
( ) ( )
f x g x=
(PTHĐGĐ của
( )
1
C
và
( )
2
C
) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (2).

• Bước 3: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng
hình vẽ để khử dấu
GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≥
, và
( )
1
C
nằm dưới
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≤
.

2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:
• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng cơng
thức (2)
• Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ.
Ghi nhớ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
1
2
y f(x)(C )
y g(x)(C )
x a
x b(a b)

=

=


=


= <

- Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)
- Giải pt này tìm nghiệm thuộc [a,b] (giả sử có nghiệm c∈ [a,b] )
- Khi đó diện tích cần tìm là :

c b c b
a c a c
S f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx = [f(x)-g(x)]dx [f(x)-g(x)]dx
= − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh
trục Ox:

( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b= = =
(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Cơng thức:
( )
2
b
a
V f x dx
π
=  
 
∫
(3)
b). Các bước thực hiện:
• Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình
( )
0f x =

(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng cơng thức (3).
Ghi nhớ : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường :

y f(x)
y 0
x a
x b(a b)

=

=


=


= <

xoay quanh Ox → Thể tích cần tìm là :
b
2
a
V [f(x)] dx= π
∫

1
2
y f(x)(C )
y g(x)(C )
x a
x b(a b)

=

=


=


= <

xoay quanh Ox → Thể tích cần tìm là :
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx
 
= π −
 
∫

x g(y)
x 0
y a

y b(a b)

=

=


=


= <

xoay quanh Oy → Thể tích cần tìm là :
b
2
a
V [g(y)] dy= π
∫

Chú ý :Khi tính thể tích, nếu đề bài đã cho đủ cận thì khơng cần xét phương trình hồnh độ giao điểm
CHUN ĐỀ 4: SỐ PHỨC
Vấn đề I : Số phức . Biểu diễn hình học số phức
Kiến thức cần nhớ
* Số phức z = a + ib có phần thực là a ; phần ảo là b
* a + ib = c + id
⇔
a = c và b = d
* Số phức z = a + ib được biểu diễn bởi điểm M(a,b) trong mặt phẳng toạ độ
* Độ dài của
OM

là môđun của số phức z , tức là
2 2
z OM a b
= = +
uuuur
* Số phức liên hợp của z = a + ib là
z
= a – ib
* Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z = a + ib ( với a
2
+ b
2

≠
0 ).
Thì z =
22
ba
+
.








+
+

+
2222
.
ba
b
i
ba
a
= r.( cos
ϕ
+ i.sin
ϕ
) ( r gọi là môđun ,
ϕ
gọi là acgumen của z )
Vấn đề II : Cộng , trừ và nhân, chia số phức
Kiến thức cần nhớ
* Cho z = a + ib và z
/
= c + id , ta có
1) z + z
/
= ( a + c ) + ( b + d ).i
2) z – z
/
= ( a – c ) + ( b – d ).i
3) z.z
/
= ( ac – bd ) + ( ad + bc ).i
4)

2222/
.
ba
bcad
i
ba
bdac
z
z
+
−
+
+
+
=
* Chú ý : để tính
idc
iba
+
+
ta có thể nhân tử và mẫu với số phức liên hiệp của a + ib
Vấn đề III : Phương trình bậc hai với hệ số thực, hệ số phức
Kiến thức cần nhớ
* Các căn bậc hai của số thực
a
< 0 là
ai±
* Xét phương trình bậc hai :
0
2

=++ cbxax
, với
0,,, ≠∈ aRcba
Đặt
acb 4
2
−=∆
• Nếu
∆
= 0 thì pt có nghiệm kép ( thực ) x =
a
b
2
−
• Nếu
∆
> 0 thì pt có 2 nghiệm thực x
1,2
=
a
b
2
∆±−
• Nếu
∆
< 0 thì pt có 2 nghiệm phức x
1,2
=
a
ib

2
∆±−
CHÚ Ý : Xét phương trình bậc hai : Az
2
+ Bz + C = 0 , với A,B,C ∈
£
Đặt
∆
= B
2
– 4AC và gọi
∂
là một căn bậc hai của
∆
. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm x
1,2
=
B
2A
− ± ∂
CHUN ĐỀ 5 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
§1.
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Tọa độ của véctơ : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oyz
1).
1 2 3 1 2 3
a (a ;a ;a ) a a i a j a k
= ⇔ = + +

r r r r r

2).
i (1,0,0)
=
r
;
j (0,1,0)
=
r
;
k (0,0,1)
=
r
3). Cho
1 2 3
a (a ;a ; a )
=
r
và
1 2 3
b (b ; b ; b )
=
r
ta có :
•
1 1
2 2
3 3
a b

a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r r
•
1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )
± = ± ± ±
r r