20 Đề thi HSG Toán 8

Đề thi hsg lớp 8
Nm 2007 2008
(120 phỳt)
Bi 1 (4):
1/ Phõn tớch a thc thnh nhõn t: x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4.
2/ a,b,c l 3 cch ca tam giỏc. Chng minh rng:
4a
2
b
2
> (a
2
+ b
2
c
2
)
2
Bi 2 (3):
Chng minh rng nu x + y = 1 v xy 0 thỡ :

1
3

x
y

1
3

y
x
=
3
)(2
22
+

yx
yx
Bi 3 (5):
Gii phng trỡnh:
1,
2001
24
2

x
+
2003
22
2

x
=
2005
20

2

x
+
2007
18
2

x
2, (2x 1)
3
+ (x + 2)
3
= (3x + 1)
3
Bi 4 (6):
Cho ABC vuụng ti A. V v phớa ngoi ú ABD vuụng cõn ti B v ACE vuụng cõn ti C.
Gi H l giao im ca AB v CD, K l giao im ca AC v BE. Chng minh rng:
1, AH = AK
2, AH
2
= BH.CK
Bi 5 (2):
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
A = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
đề thi học sinh giỏi
Năm học: 2004 2005
Thời gian 150 phút
Bài 1:
1) Rút gọn biểu thức:

A =
2
1
6 5
5
n n
x x
x x
+
+

với /x/ = 1
2) Cho x, y thỏa mãn: x
2
+ 2y
2
+ 2xy 4y + 4 = 0
Tính giá trị biểu thức:
B =
2
7 52
( )
x xy
x y
x y
+


Bài 2:
1) Giải phơng trình:

(x 2).(x + 2).(x
2
10) = 72
2) Tìm x để biểu thức:
A = ( x 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
Bài 3:
1) Tìm số tự nhiên x sao cho: x
2
+ 21 là số chính phơng ?
2) Chứng minh rằng: Nếu m, n là hai số chính phơng lẻ liên tiếp thì:
(m 1).(n 1)
M
192
Bài 4:
Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng AB lấy 1 điểm C sao cho AC > BC. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ hai hình vuông ACNM, BCEF. Gọi H là giao điểm của AE và BN.
1) Chứng minh: M; H; F thẳng hàng.
2) Chứng minh: AM là tia phân giác của
ã
AHN
.
3) Vẽ AI

HM; AI cắt MN tại G. Chứng minh: GE = MG + CF
Bài 5:
1) Gải phơng trình:
(x
2
+ 10x + 8)
2

= (8x + 4).(x
2
+ 8x + 7)
2) Cho a, b, c

R
+
và a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
1 1 1
9
a b c
+ +

Đề số 1
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức








+
+

+=
3
1
327
:
3
3
3
1
2
2
2
x
x
x
xx
A
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phơng trình:
a)
y
y

y
yy
31
2
19
6
3103
1
22

+

=
+
b)
2
2
1
.
3
6
1
3
2
4
3
2

=
+


x
xx
x
Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lợt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và
vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h.
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy.
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB và
N AD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 444 (n chữ số 4).
Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phơng.
Đề số 2
Câu I: (2điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a)
54
2

+
xx
b)
)2()()( cbabccaacbaab
+++
2) Giải phơng trình
5
4
127
1
65
1
23
11
2222
=
++
+
++
+
++
+
+
xxxxxxxx
Câu II: (2 điểm)
1) Xác định a, b để da thức
baxxxxf
+++=
23
2)(

chia hết cho đa thức
1)(
2
++=
xxxg
.
2) Tìm d trong phép chia đa thức
2006)(
51337161
+++++=
xxxxxxP
cho đa thức
.1)(
2
+=
xxQ
Câu III: (2 điểm)
1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:
222
2
222
2
222
2
b
b
bac
c
accba
a

P

+

+

=
2) Cho ba số a, b, c thoả mãn
accbba

,,
.
CMR:
0
))(())(())((
222
=
++

+
++

+
++

bcac
abc
cbab
acb
caba

bca
Câu IV: (3điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các hình
vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng.
c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi.
2) Cho ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA, BB, CC đồng quy tại H.
CMR:
'
'
'
'
'
'
CC
HC
BB
HB
AA
HA
++
bằng một hằng số.
Câu V: (1 điểm):
Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

22
22
baba
baba

Q
++
+
=
Đề số 3
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

)()()()()()(
222
babacacacbcbcba
+++++
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và
0
111
=++
cba
Rút gọn biểu thức:
abccabbca
N
2
1
2
1
2
1
222
+
+
+

+
+
=
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1
22
+++=
yxxyyxM
b) Giải phơng trình:
01)5,5()5,4(
44
=+
yy
Bài 3: (2điểm)
Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi đợc 15 phút, ngời đó gặp một ô tô, từ
B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp ngời đi xe máy tại một một địa điểm
cách B 20 km.
Tính quãng đờng AB.
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đờng chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
34553
22
=+

yx
Đề số 4
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
5
+ x +1
b) x
4
+ 4
c) x
x
- 3x + 4
x
-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:
22
2
12
++
+
++
+
++
=
cac
c
bbc
b

aab
a
A
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab và 2a > b > 0
Tính:
22
4 ba
ab
P

=
Bài 4 : (3điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N vẽ đờng thẳng song song
với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC
để cho AEMF là hình vuông.
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

5
2n+1
+ 2

n+4
+ 2
n+1
chia hết cho 23.
Đề số 5
Bài 1: (2điểm)
Cho biểu thức:
3011
1
209
1
127
1
65
1
2222
+
+
+
+
+
+
+
=
xxxxxxxx
M
1) Rút gọn M.
2) Tìm giá trị x để M > 0.
Bài 2: (2điểm)
Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể và một vòi nớc chảy ra ở lng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả

hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rỡi đầy bể.
Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra.
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra.
2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu.
Bài 3: (1điểm)
Tìm x, y nguyên sao cho:
042
22
=++++
yyxxyx
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D).
Đờng thẳng AE cắt BC tại F, đờng thẳng vuông góc với AE tại A cát CD tại K.
1) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK.
2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF. Chứng minh rằng:
JA = JB = JF = JI.
3) Đặt DE = x (a

x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x.
4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất.
Bài 5: (1điểm)
Cho x, y, z khác 0 thoả mãn:
0
111
=++
zxyzxy
Tính
xy
z
zx

y
yz
x
N
222
++=
Đề số 6
Câu I: (5 điểm)
Rút gọn các phân thức sau:
1)
143
1
2
+
++
xx
xxx
2)
3)2(18)1(3
30)1(11)1(
24
24

+
aaa
aa
Câu II: (4 điểm)
1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nếu a chia cho 13 d 2 và b chia cho 13 d 3 thì
22
ba

+
chia hết cho 13.
2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức:
acc
c
bcb
b
aca
a
A
++
+
++
+
++
=
111
3) Giải phơng trình:
6
7
32
22
22
12
2
2
2
2
=
++

++
+
++
++
xx
xx
xx
xx
Câu III: (4 điểm)
Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3). Hai tổ công
nhân lắp máy đợc giao làm một khối lợng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu
tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc.
Nếu công việc trên đợc giao riêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành.
Câu IV: (3 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lợt
là hình chiếu của C trên AB và AD.
1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA.
3) Chứng minh
AKADAHABAC ..
2
+=
Câu V: (2 điểm)
Giải phơng trình:
120032002
20032002
=+
xx
Đề số 7
Câu I: (2điểm)

1. Thực hiện phép chia
22
234
+=
xxxxA
cho
1
2
+=
xB
. Tìm x

Z để A chia hết cho
B.
2. Phân tích đa thức thơng trong câu 1 thành nhân tử.
Câu II: (2điểm)
1. So sánh A và B biết:
15
32
=
A
và
)15)(15)(15)(15(6
16842
++++=
B
2. Chứng minh rằng: 19
19
+ 69
69

chia hết cho 44.
Câu III: (2điểm)
1. Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn:
)(3)(
2
cabcabcba
++=++
. Hỏi tam giác
đã cho là tam giác gì ?
2. Cho đa thức f(x) =
1...
299100
+++++
xxxx
. Tìm d của phép chia đa thức f(x) cho đa thức
1
2

x
.
Câu IV: (3điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của H lên AB và AC.
Gọi M là giao điểm của BF và CE.
1. Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?
2. Chứng minh AB. CF = AC. AE
3. So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC.
Câu V : (1 điểm)
Chứng minh nghiệm của phơng trình sau là một số nguyên:

4

2003
3
2004
2
2005
2003
4
2004
3
2005
2

+

+

=

+

+

xxxxxx