RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN
Dạng 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn:



 

 x x  1 x x 1  2 x  2 x 1

 
 x x  x x :
x 1
 
Ví dụ: Rút gọn P = 




Giải:
Với x 0 và x � 1
�
( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1) � 2( x  1) 2

�
�:
x ( x  1)
x ( x  1)
�
� ( x  1)( x  1)
Ta có P =
x  x  1 x  x  1 2( x  1)

(

):
x
x
x 1
=
x  x 1 x  x 1
x 1
.
x
2( x  1)
=
2 x x 1
x 1
.

x 1
= x x 1

Vậy P =

x 1
x  1 với x 0 và x � 1

BÀI TẬP:
1) Rút gọn P =

x  2 x  1 �x  x �
.�

 1�
�
x 1 �
� x 1 �

, với x 0 và x � 1

�
1- a a
A  �
�1 - a 
�
2) Rút gọn biểu thức:
� a+ a �
� a- a
1
+
1+
�
�
�
�
�
a + 1�
1- a
�
�
�
3) Rút gọn: B =

2

�
�
1- a�
a�
�
�
�1 - a �
�
�
�
� với a ≥ 0 và a ≠ 1.
�
�
�
�với a ≥ 0, a ≠ 1.

� x x �
� x x �
1
1
�
�
�
�
�
�
�
1 x �

1 x �
�
�
� với 0 �x �1 .
hay B =
4) Cho biểu thức: M = . Rút gọn biểu thức M với x �0.
�a a - 1 a a + 1 � a +2
�
�a - a - a + a �
�: a - 2
�
�
5) Cho biểu thức: P =
với a > 0, a  1, a  2.

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.

� a
a � a 1

:
�
� a 1 a - a �
�
a-1
�
�
6) Cho biểu thức A =

với a > 0, a � 1
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
7) Cho biểu thức: P = với x > 0.
a) Rút gọi biểu thức P. b) Tìm x để P = 0.
Dạng 2: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rút gọn rồi quy đồng:
� a
a
�
� a 1  a - a
Ví dụ: Cho biểu thức A = �

a) Rút gọn biểu thức A.

� a 1
�
�: a - 1
�

với a > 0, a � 1
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Giải:


a) Với a > 0, a � 1
� a
�
a
a 1


�
�:
ta có A = � a  1 a ( a  1) �( a +1)( a - 1)
� a
1 � 1
:
�
� a 1  a 1 �
�
a 1
�
�
=

a 1 a 1
.
 a 1
a 1 1

=

Vậy A = a  1 với a > 0, a � 1
b)

Ta có A = a  1 với a > 0, a � 1
Để A < 0 thì a  1 < 0 � a  1 � a  1 mà a > 0; a � 1 � 0< a <1
Vậy để A < 0 thì 0< a <1
BÀI TẬP:
 x x 1 x  1 



 x  1  x 1 x 





1) Rút gọn: A=

2) Rút gọn biểu thức:

x



với x 0, x 1

�x  x  2
�1  x
x
P�

�x  x  2 x  2 x �
�: 2  x
�
�

với

x  0; x �4; x �1

 x  x  x  x 
1 
 1 




x

1
x

1

 với x  0 và x  1
3) Cho biểu thức M = 
a. Rút gọn biểu thức M
b. Tìm giá trị của x để M = - 2005
( a  b )  4 ab a b  b a

a

b
ab
4) Cho biểu thức: M =
( a , b > 0)

b. Tìm a , b để M = 2 2006

a. Rút gọn biểu thức M.

�a a - 1 a a + 1 � a +2
�
�a - a - a + a �
�: a - 2
�
�
5) : Cho biểu thức: P =
với a > 0, a  1, a  2.

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Dạng 3: Phân tích mẫu thành nhân tử rồi quy đồng:
� 1
Q�

�y  y
�
Ví dụ1: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức Q .

1 �� y  1 �
:
��
�
�
y  1 ��
y


2
y

1
��
�

với y  0; y �1

b) Tính giá trị của Q khi y  3  2 2 .
a) Với y  0; y �1
�
1

�
y ( y  1)
�
Ta có Q =
1 y

=

y ( y  1)

:



Giải:
1 � y 1

�:
y  1 � ( y  1) 2
y 1



y 1

2


y 1
y ( y  1)

=


.



y 1

2

y 1

y 1



y

y 1

với y  0; y �1

y

Vậy Q =

y 1

với y  0; y �1

y

b) Ta có Q =



y  3  2 2 1 2 2  2  1 2

Với

 1  2  1 
 1 2 



2

thỏa mãn điều kiện

y  0; y �1

thay vào Q ta được

2

2

Q=

2  1  1 ( 2  2)( 2  1)

 2 2 2 2 2   2
2 1
2 1

 2 khi y  3  2 2
Vậy Q =
Ví dụ 2: Đôi khi ta phải đổi dấu một hạng tử
n 3
n1 4 n 4


4  n ( với n  0 ; n  4 )
n


2
n

2
Rút gọn P =
Giải:


4
Với n 0 ; n
ta có
n 3
n 1 4  4 n
n 3
n 1





n4
n 2
n 2
n 2
n 2

P=

( n  3)( n  2)

=



n 2



n 2



 

( n  1)( n  2)
n 2



n 2



 



44 n
n 2



44 n
n 2



n 2

n 2





n2 n 3 n 6n2 n  n 244 n



=

=



4 n 8
n 2

Vậy P =



n 2

n 2


 



4

n 2



n 2



n 2





n 2





4
n 2

4
n  2 với n  0 ; n �4

BÀI TẬP:
 1
1 
3 


 1 

a  3 
a  với a0 và a 9
 a 3
)
A=
1
�x
1 �
9 �
� 1


�

�
�
�
�2
x 3
x 3�
4x �
�
�
� với x > 0 và x �9
2) Rút gọn biểu thức: A =

P

3) Rút gọn biểu thức:

y  3 xy
x
2 x


yx
x y
x y
với x �0; y �0 và x �y .

�2 x  x
1 ��
x2 �
A�


:
1

��
�
�x x  1
x  1 ��
x  x 1 �
�
��
�với x �0, x �1
4) Rút gọn biểu thức


5) Rút gọn biểu thức

A(

1
1
x 1

):
1
x x
x 1 x  2 x 1
với x  0; x �1

� x

2 x �� x  1
2 �
P�

:

��
�
3  x 9  x ��x  3 x
x�
�
6) Rút gọn biểu thức:
với x  0, x �9, x �25 .
1 � 1
�2
�x  4 
�:
x

2
�
� x 2
Bài 7: Cho biểu thức P =

a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P.
3
b) Tim x để P = 2 .
� x 2
x 2� x
�

�x  2 x  1  x  1 �
�: x  1
�
�
Bài 8: Cho biểu thức A =
với x > 0 và x �1 .

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
1 �� a  1
a 2�
� 1

:�

�Voi a  0;a �1;a �4
�
�
a

1
a
a

2
a

1
��
�

Bài 9: Cho biểu thức: P = �
1
a) Rút gọn P
b) So sánh giá trị của P với số 3 .
x 1
x1
2

x  1 với x 0 và x  1
Bài 10: Rút gọn P = 2 x  2 - 2 x  2

1 �
� 1
� 1�
A�

1 �
�
�
x �với x >0; x �1
x

1
x

1
�
�
�
Bài 11: Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
P

x2
x 1
x 1


x x  1 x  x  1 x  1 với x ≥ 0 và x ≠ 1

Bài 12: Cho biểu thức:
a.Rút gọn biểu thức P

b.Tìm để P đạt giá trị nguyên.

� x 1
x 2� 1
P�

�:
x

1
x

x
�
�x 1
Bài 13: Cho biểu thức

9
P
2
a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x để

( x  0; x �1)

Bài 14: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của a để M có nghĩa và rút gọn M.
b) So sánh M với 1.
Bài 15: Cho biểu thức sau:
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm tất cả các giá trị của x để M
Bài 16: Cho biểu thức (với )
1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A tại a = 2.
1 �
x
� 1

�
�:
x  1 �x - 2 x  1 (với x > 0, x �1)
Bài 17: Cho biểu thức P = �x - x
1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để P > 2 .


x +1
+

x -2

2 x
2+5 x
+
4 - x với x ≥ 0, x ≠ 4.
x +2

Bài 18: Cho biểu thức P =
1) Rút gọn P.
2) Tìm x để P = 2.
� x
1
�
� x 1  x  x
Bài 19: Cho biểu thức A = �

�� 1
2 �
:�

�
�
�
�� x  1 x  1 �với a > 0, a  1

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của A khi x  2 2  3 .
CHÚ Ý KHI RÚT GON
TH1: Mẫu là một tích của các mẫu.

1 �
� 1
� 3 �

1
�
�
�
�
a

3
a

3
a �với a > 0 và a �9.
�
�
�
Ví dụ: Rút gọn biểu thức : A =
x 1
x 1
2


x  1 (x �0; x �1).
1) Rút gọn biểu thức: P = 2 x  2 2 x  2
TH2: Một mẫu là tích của hai mẫu còn lại:
a) Mẫu có dạng hằng đẳng thức chủ yếu là: A2 - B2

�
15  x
2 � x 1
B�

:
�
x

25
x

5
�
� x 5
Ví dụ : Rút gọn:

với x �0, x �25 .

Chú ý đôi khi ta phải đổi dấu
Ví dụ: Cho biÓu thøc P = ( víi n 0 ; n)
a) Rót gän P
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi n = 9
b) Mẫu không có dạng hằng đẳng thức:
x 2
5
1


x  2 với x �0; x �4

Ví dụ: Cho biểu thức A = x  3 x  x  6
a) Rút gọn A b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = x  6  4 2
Chú ý đôi lúc trong biểu thức có cả hai trường hợp:
�x
1 �
9 �
� 1


�
�
�
�
�
2
x 3
x 3�
4x �
�
�
� với x > 0 và x �9
Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A =
Bài tập :
1) Rút gọn:





1

6 �
� 2


� a 3
�
�
a

9
a

3
a

3
�
�
a) A=
(với a �0 và a �9 ).
y  3 xy
x
2 x
P


yx
x y
x y
x �y

x �0; y �0

b)

với
và
.
�2 x  x
1 ��
x 2 �
A�

:
1

��
�
�x x  1
x  1 ��
x  x 1 �
�
��
�với x �0, x �1
c) Rút gọn biểu thức
� x
2 x �� x  1
2 �
P�

:


��
�
3  x 9  x ��x  3 x
x�
�
d) Rút gọn biểu thức:
với x  0, x �9, x �25 .
1
1
x 1

):
x 1 x  2 x 1
e) Rút gọn biểu thức A = x  x
(





1 �
� 3
P�

. x 2
�
x

x


2
x

1
�
�
f) Rút gọn biểu thức
với x �0 và x �4 .


g) Rút gọn biểu thức:

A

10 x
2 x 3
x 1


x3 x 4
x  4 1 x

( x �0; x �1)

1 � 1
�2
�x  4 
�:
x


2
�
� x 2
Bài 2: Cho biểu thức P =

3
a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P.
b) Tìm x để P = 2 .
� a
�
a �� a
a
A�

:

��
�
a  b b  a �� a  b a  b  2 ab �
�
Bài 3: Cho biểu thức:
với a và b là các số dương
khác nhau.
a) Rút gọn biểu thức:

A

a  b  2 ab
ba

.b) Tính giá trị của A khi a  7  4 3 và b 7 4 3 .