tai lieu on cao hoc

B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1
Bài tập phơng pháp toán lí
chơng 1: Giải tích véc tơ trong các hệ toạ độ
Bài tập 1: Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc hãy xác định:
1) Véc tơ đơn vị song song với vectơ


v i j k
= +
2 3 6. . .
.
2) Véc tơ đơn vị của đờng thẳng nối điểm P(1,0,3) với Q(0,2,1)
Bài tập 2: Chứng minh rằng véc tơ


v a i b j c k
= + +
. . .
vuông góc với
mặt cho bởi phơng trình: ax + by + cz =

Bài tập 3: Giả thiết rằng véc tơ


r x i y j z k
= + +
. . .
là véc tơ xuất phát
từ gốc đến một điểm tuỳ ý P(x, y, z) còn

v a i b j c k
= + +
. . .
là một véc tơ
không đổi nào đấy. Chứng minh rằng
( ).

r v r
=
0
là phơng trình mặt cầu.
Bài tập 4: Chứng minh rằng
( .[ , ]. ) ( . ). ( . ) ( . )














a b c r a r b c b r c a c r a b
= + +

Bài tập 5: Chứng minh rằng



a b c.[ , ]
= 0 nếu

a
,

b
và

c
phụ thuộc
tuyến tính. Kiểm tra sự độc lập tuyến tính của ba véc tơ sau


v i j k
= +
3 2. .


u i j k
=
4.


w i j k
= +

2.
Bài tập 6: Nghiệm lại rằng tích hỗn tạp của ba véc tơ

a
,

b
,

c
(



a b c.[ , ]
) có thể biểu diễn nh sau: =



a b c.[ , ]
=

ijk
.a
i
.b
j
.c
k
i, j, k = 1, 2, 3 với cách ký hiệu a

x
= a
1
, a
y
= a
2
, a
z
= a
3

ijk
là ký hiệu ten xơ Levi - chivita
+

ijk
= 0 nếu có hai chỉ số trùng nhau.
+

ijk
= 1 nếu i j k và có số lần hoán vị chẵn để về thứ tự 1,2,3
+

ijk
= -1 nếu i j k và có số lần hoán vị lẻ để về thứ tự 1,2,3
các chỉ số lặp lại có nghĩa là lấy tổng theo các chỉ số đó.
Bài tập 7: Cho

a

và

b
là tuỳ ý . Chứng minh rằng
=
( ).( ) ( . )






a b a b a b
+ =
2
(a.b)
2
Bài tập 8: Cho
du
dt
u u


= =


;
dv
dt
v v

= =


Chứng minh rằng
d
dt
u v u v( ) ( )




=
Bài tập 9: Tính Grad
( . )

a r
với

a
là véc tơ không đổi
1
B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1
Bài tập 10: CM hệ thức sau: Grad(.) = .Grad + .Grad
Bài tập 11: Tính Grad(

p r
r
.
3
) (

p
là véc tơ không đổi)
Bài tập 12: Chứng minh các hệ thức sau
(các đại lợng vô hớng và véc tơ đều là những hàm của toạ độ)
1) Div(.

A
) = .Div

A
+

A
.Grad
2) Rot(.

A
) = .Rot

A
- [

A
, Grad]

3) Div[

A
,

B
] =

B
.Rot

A
-

A
.Rot

B
4) Grad(

A
.

B
) = [

A
, Rot

B

] + [

B
, Rot

A
] + (

B
.

)

A
+ (

A
.

)

B
5) Rot[

A
,

B
] =

A
.Div

B
-

B
.Div

A
+ (

B
.

).

A
- (

A
.

).

B
6)

C
.Grad(

A
.

B
) =

A
.(

C
.

).

B
+

B
.(

C
.

).

A
7) (

C

.

)[

A
,

B
] = [

A
,(

C
.

)

B
] - [

B
,(

C
.

)

A

]
8) (

.

A
).

B
= (

A
.

).

B
+

B
.Div

A
9) [

A
,

B
].Rot

C
=

B
.(

A
.

).

C
-

A
.(

B
.

).

C
10) [ [

A
,

],

B
] = (

A
.

).

B
+ [

A
,Rot

B
] -

A
.Div

B
Bài tập 13: Dùng hệ toạ độ Đề các, tính:
* Div(

r
) * Rot(

r
) * (

a
.

).

r
Trong đó

r
là bán kính véc tơ,

a
là véc tơ không đổi
Bài tập 14: Dùng hệ toạ độ Đề các, tính:
* Grad (r) * Div ((r).

r
)
* Rot ((r).

r
) * (

a
.

).(r).

r

Bài tập 15: Với

p
là véc tơ không đổi, tính
* Div[

p
,

r
] * Rot[

p
,

r
]
Bài tập 16: Tính lu thông ( lu số) của véc tơ [


,

r
] theo vòng tròn bán
kính r
0
nằm trong mặt phẳng vuông góc với véc tơ


không đổi. Biết tâm

vòng tròn trùng với gốc toạ độ.
Bài tập 17: Tính thông lợng của bán
kính véc tơ

r
qua mặt trụ nh hình vẽ bên
Bài tập 18: Chứng minh rằng các
tích phân sau đây bằng nhau:

r a n ds.( . ).

và
( . ). .

a r n ds

Trong đó

a
là véc tơ không đổi,

n
là véc tơ pháp tuyến của mặt tích
phân.
Bài tâp 19: Chứng minh hệ thức sau
2
y
x
z
h

o
B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1
Rota dV
V


.
=
[ , ]ds a
S


=
[ . ].

n a ds
S

Với S là diện tích bao quanh thể tích V,

n
là véc tơ pháp tuyến đơn vị
hớng ra ngoài thể tích V, trờng véc tơ

a
liên tục trong miền V
Bài tập 20: Chứng minh hệ thức sau

. [ , ]dl n Grad ds

SL


=

L là công tua bao quanh diện tích S,

n
là véc tơ pháp tuyến đơn vị có
chiều làm với chiều dơng trên L 1 hệ đinh ốc thuận, là trờng vô hớng liên
tục trong miền S.
Bài tập 21: Cho trờng vectơ


A y i z j x k
= + +
. . .
Dùng công thức Xtốc để tính tích phân đờng


A dr
C
.

Trong đó C là đờng trònC:
x y z a
x y z
2 2 2 2
0
+ + =

+ + =



chạy ngợc chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dơng của trục x.
Bài tập 22: Tính hệ số Lame h
i
trong các hệ toạ độ cong:
1) Hệ toạ độ cực: x = r.cos
y = r.sin
2) Hệ toạ độ trụ: x = r.cos
y = r.sin
z = z
3) Hệ toạ độ cầu: x = r.sin.cos
y = r.sin.sin
z = r.cos
Bài tập 23 Chứng minh rằng hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu là những hệ
toạ cong trực giao.
Bài tập 24: * Viết biểu thức dive

A
trong hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ
* Viết biểu thức rote

A
trong hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ
* Viết biểu thức


A

trong hệ tọa độ cầu, trụ, cực.
Bài tập 25: Cho hệ toạ độ cong: q
1
=
y
x
2
q
2
=
x
y
2
2
4 2
+
q
3
= z
Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame h
i
Bài tập 26: Cho hệ toạ độ cong: =
x y z z
2 2 2
+ + +
3
B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1
à =
x y z z
2 2 2

+ +
= arctg
y
x
Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame h
i
Bài tập 27: Cho hệ toạ độ cầu tổng quát: x = a.u.sin.cosv
y = b.u.sin.sinv
z = c.u.cos
với
0
+
u
0 2

v

0

Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame h
i
Chơng 2: Phơng trình dao động
4
B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1
Bài tập 1(6): Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu
dạng ban đầu của sợi dây là cung parabol
f x
x L x
M
( )

( )
=

và vận tốc ban đầu
F x( )
=
0
Bài tập 2(7): ở thời điểm t = 0, ta truyền cho các điểm của sợi dâynằm
trong khoảng (c -

, c +

) một vận tốc ban đầu không đổi V
0
. Hãy xác định
dao động của sợi dây nếu ban đầu nó có dạng
f x( )
=
0
Bài tập 3(42): Tìm dao động của sợi dây ở bài một với giả thiết g(x,t) = g,
trong đó g là hằng số dơng đủ nhỏ.
Bài tập 4: Một sợi dây vô hạn có dạng ban đầu là:

U
x
x
t
=
=

0
0
1
3
0
Hãy vẽ dạng của sợi dây ở các thời điểm t
0
= 0 ; t
1
= 0,5 ; t
2
= 1 ; t
3
= 2,5. Xét
dao động của các điểm x = 0, x = 1, x = -1, biết vận tốc truyền sóng a = 2.
Bài tập 5(41): Hãy xác định dao động tự do của sợi dây hữu hạn đợc gắn chặt
ở các đầu mút x = 0 và x = L, dao động với vận tốc ban đầu bằng không, sợi
dây có dạng ban đầu là:

2
)(4
)0,(

L
xLx
xU

=

0

x L
Bài tập 6(8): Xác định dao động tự do của một sợi dây hữu hạn đợc gắn
chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L, sợi dây có độ lệch ban đầu bằng không,
dao động với vận tốc dạng ban đầu là:

U
V x c
t
t
'
cos( )
=
=




0
0
0
Trong đó V
0

> 0, /2 < c < L - /2.
Bài tập 7: Tìm tần số dao động của sợi dây dài 10cm, có tiết diện chữ
nhật 0,2x0,4mm
2
, có

= 7,8 g.cm
-3
và sức căng T = 10 N
Bài tập 8(52): Một sợi dây đồng chất, hữu hạn đợc gắn chặt ở các đầu
mút x = 0 và x = L. ở thời điểm ban đầu t = 0, sợi dây đợc căng lên độ cao h
5
Khi
x c
<

2
Khi
2


cx
Khi x < 1
Khi 12
Khi 2 < x < 3
Khi x 3