Bài tập toán cao cấp tập 2,phép tính giải tích một biến số

N G U Y Ễ N Đ Ì N H TRÍ (chủ biên)
TẠ VĂN Đ ĨN H - N G U Y Ễ N H ổ Q U Ỳ N H

BÀI TẬP

TOÁN CAO CẤP
T Ậ P HAI

PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH MỘT BIẾN
( T á i h cin l ầ n í h ứ s í u i )

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

số


—^ ^ ^
G D - 05

2 1 /3 3 3 0 5

M ã s ố ; 7K 281T5-D AI


LỜI NÓI ĐẦU '
Quyển hài tập này trình hày lời giải của các bài tập đ ã ra ĩrong
quyển TO Á N H Ọ C C A O CÂP tập hai, phép tính giái ticlĩ một hiến s ố
của tác gid N guyễn Đ ình Trí, Tạ Vân Đĩnh và N guyễn H ồ Quỳnh.
M ột s ố hài tập khác đ ã được h ổ sung vào. ở cuối sách có b ổ sung

thêm m ộĩ s ố bài ĩập hỗn hợp c ó tính chát tổng hợp và nâng cao.
N h ư chúnq ta đ ã biết, (rong học toán, giữa việc hiểu sâu sắc lý
ĩhuyếĩ và làm thành thạo các hài tập có một mối quan hệ mật thiết.
Chính trong quá ĩrình học lý thuyết rồi làm các hài tập, từ những bài
tập vận dụng dơn gián lý thuyết đến nlìữnq hài tập ngàv càng khó
hơn, chúng tờ dán dẩn hiểu được các khái niệm toán học mới, nắm
được các phương pháp c ơ bản, n hớ được các kết q uả cơ bản.
Đốỉ với các hạn sinh viên dùng quyển sách này, chúng tôi khuyên
các hạn hãy tự mình qidi các hài tập đ ã ra trong giáo trình và chỉ
,xem lời giải Ịroniị quyển sách này đ ể kiểm tra lại, tự mình đánh ẹ/đ
kết q u à học tập của mình. M on^ rằng quyển sách này giúp các bạn
hoc tốt hơn và tìm được nhữn^ lởi ÍỊỈƠỈ hay hơn.
Quyển sách nàv viếi lấn clắu nên không tránh khỏi các sai sót.
ChitnịỊ tôi mong nhận dược V kiến đ ó n ^ ^ỏp của độc í^id. Xin clìân
thành cảm ơn.
CẢC TÁC GiẢ



Chương I

SỐ THỰC
m

A . Đ Ể BÀI
1. Dùng kí hiệu tập hợp, biểu diễn các tập sau :
1) Các số nguyên dương bé thua 12
2) Các sô' nguyôn dương là bội sô của 4 và bé thua 43
3) C ác phân số có tử s ố là 3 và mẫu số là m ột s ố nguyên dưcmg bé

thua 9.
2. Cho F ; = n , 4, 7, 1 0 1 và G : = 11, 4, 7 1. Hỏi các mệnh đề sau
đây, m ệ n h đề nào đúng :

1)G cF
2)

Tập 11,7} là tập con thực sự của F

3) Tập 11, 4, 7 1 là tập con thực sự ciia G.
3. Liệt kê mọi tập con của các tập sau ;
I)la ,b ,c } ;

2 )1 1 ,2 ,3 ,4 1 .

4 . C h o A ; = |a, b, c | ; B : = 11, 2, 31 ; c : = |b , c, a | ; D = |3 , 2, 1 |.
Hỏi :
1) A = c ?
5.

2) A = B ?

3) A tương đương B ?

4) B = D ?

Xét xcm các tập cho dưới đây, tập nào vô hạn, tập nào hữu hạn :

1) Tâp mọi sô' nguyên dương lớn hơn 100
2) Tủp mọi sô' nguyên dương bé thua 1 000 000 000

5


3) Tập mọi điểm nằm trôn đoạn thẳng nối liền hai điểm phân biệt
A, B.
6. Cho A : = I q, r, t, u Ị ; B : = {p, q, s, u I và c : = {t,u, V, w Ị.
1) T im A n (B u C) và (A n B) u (A
không ?

C). Chúng có

bằng nhau

2) Tim A u (B n C) và (A u B) n (A u C). Chúng có bằng nhau
không ?
7. Cho A, B là hai tập hữu hạn, chứng minh rằng
card (A u B) = card (A) + card (B) - card (A n B).
8. Cho A : = |0 , K 2 | ; B : = {1, 3Ị.
1) Tim A X B và B X A
2) Tính card (A X B ) ; card (B X A) ; card (A X A ) ; card (B X B).
9, Xét ánh xạ f : R —> R : X1-^

2x

; f có là đơn ánh ? toàn ánh ?

1+ x
Tim f(R) ?
10. Dùng lập luận phản chứng, chứng minh rằng >/3 là số vỏ tỉ.
11. Dùng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng

...
^
n(n + l)
1) l + 2 + ... + n==
^ /.2
-.2
2 n(n + l)(2n + l)
2) r - f 2 ^ +... + n^
^
12. Xét xem đã dùng tiên đề nào trong các tiên đề về sổ' thực để
c h ứ n g m i n h các hệ thức dưới đây :
1)5+ 3 = 3 + 5 ;

2)9+ 0 = 9 ;

3)-3 + 0 = -3 ;

4) ( - 3 + 4 ) + 7

0

6 )(-l)(l) = -l

5)0

+

=

0;

7 ) ( - 3 ) + [-(-3)] = 0 :

8) 4

= 1.
V^ /

= - 3 + (4 + 7 ) ;
;


13^ Dùng định nghĩa "lớn hơn", "bé thua" và các liên đề thứ tự, chứng
minh (giả Ihiếl a, b, c € R) :
1) Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc
2) Nếu a > b thì a + c > b + c
3) Nếu a > 0 thì - a < 0
4) Nếu a

0 thì

> 0

5) Nếu a > b thì

(với a > 0, b > 0).

14, Giải các phương trình và bấi phương irình :
1) x + 3 = 7 ;
3)

x -4

2)

<7 ;

2x - 6

4) 5x - 1

5) 4 x - ; 2 > 4 ;

6) 5 + 9x

15. Cho A c R ; B c R, định nghĩa :
A + B : = { x G R | 3 a € A, 3 b e B, x = a + bỊ
AB : = {X G R I 3a G A, 3b 6 B, X = ab I
nghĩa là A + B là tập các số ihực có dạng a + b, với a 6 A và
b € B ;AB là tập các số thực có dạng ab, với a 6 A và b 6
B.
1) Giả sử A, B bị chận trẽn, chứng minh rằng :
sup (A + B) = sup A + sup B.
2) Giả sử A, B bị chận Ircn và A c R^, B c

chứng minh rằng :

sup (AB) = (sup A)(sup B).
16. Xét sự hội tụ của dãy

^— •
n

1 7 . Cliứỉiị' lù l ằ n g c á c d ã y s a u đ â y h ộ i tụ v à l ì m g i ó i h ạ n c ủ a c h ú n g ,

n> 1:
1)

:=

n+ 1
n
1
+1

2) x „ : =
4) x „ : =

n
n+1 ^
n
+1


18. Tim giới hạn của các dãy sau (nếu hội tụ) :
1) Xp : = n -

_

.3/1

3)X n: = n + v l “ n

3

;

2) Xn : = V r ũ n T a ) - n ;

;

4 ) X n : = —sin
2
2

n7i

: 2 n - c o s 3n
sin
5) X p : = -------— ------ .
n
19. Xél dãy Xp : = Xp_Ị + — ^ , với Xq = 1.
^n-l

1) Chứng minh rằng Xj, không có giới hạn hữu hạn.
2) Chứng minh rằng

lim X n = + o o .
n —>-H»

20. Xét dãy

, với

: = 2an_| -f 3bn_j

•^n ■ ==^n-1 + 2 b n - i , với
1) Chứng minh rằng
2) Tính x„ +

> 0.

> 0 ; bp > 0.

theo Xp.

Ị

3) Tính x„

> 0,

Ị

và chứng tỏ rằng dãy Xp đcfn điệu, suy ra ị x^}

-

có giới hạn độc lập với a^,
21. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy

2

Xp : = ------- + 1 với

= 1.

^n -l

22. Cho hai số a và b Ihoả 0 < a < b, xét hai dăy
X n — V^^n-iyn-l ;
với Xq = a và

yn : = ^(Xn-1 + y n -1 )

= b,

Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và có chung giới hạn.
8


23. Xét sự hội tụ của dãy :
x„ : = %/• + ^n -l '
24. Đạt x^; = 1 và x„ thoà hệ thức
(3 + x „ _ i ) x „ + 1 = 0 .
Chứng tỏ rằng Xp hội tụ và tìm giới hạn cù a Xp.

B. L Ờ I G IẢ I

I

1. I ) ịn € N
2) | n 6 N
3)

I

n < 121
n = 4k ; k = 1, 2, .... lOỊ

n = 1, 2, 3 , 8

•

2. 1) đúng ; 2) đúng ; 3) sai.
%

3. 1) | a , b, cỊ ; |a , b | ; |a, cỊ ; |b , cỊ ; |a} ; Ib ị ; (cỊ ; ộ.
2) { 1 , 2 , 3 , 4 1 ; { 1 , 2, 3} ; 1 1 , 2 , 4 } ; | 1 . 3 , 4 Ị ; | 2, 3, 4} ; 11, 2} ;
| 1 , 3 Ị ; | 1 , 4 | ; 12. 31 ; 12, 4} ; Ị 3 , 4 | ; I K ; | 2 | ; | 3 Ị ; | 4 | ;()>.
4. 1) đúng ; 2) sai ; 3) đúng ; 4) đúng.
5. 1) vô hạn ; 2) hữu hạn ; 3) vô hạn.
6. 1)B u c = Ip, q, s, u, l, V, w |
A n (B

C) = Iq, t, uỊ ; A n B = Iq, u |

A n c = |t, u | , (A n B) u (A n C) = Iq, t, uỊ. Vậy
A n (B

C) = (A n B)

2) B n c = I u I ; A

(A n C).

B = {q, r. t, u, p, s I

A ^ C = (q, r, t, u. V, w | , A u (B

C) = Iq, r, t, u |


(A u B) n (A

C) = {q, r, l, u | . Vậy

A u (B n C) = (A

B) n (A u C).

7. Gọi card (A) = m ; card (B) = n ; card (A n B) = p. Khi đ ó, V!
A u B = (A n B) u (B n A ) u (A n B) nên :
card (A u B) = card ( A n B) + card (B n

A ) + card (A n B)

= (m -p) + (n -p ) + p = m + n - p
nghĩa là card (A u B) = card (A) + card (B) - card (A n B).
8. 1) A X B = {(0, 1), ( 0 , 3 X ( 1 , 1 ) , ( U 3 X ( 2 , 1), (2,3)1
B

X

A = 1(1, 0), (1, 1), (1, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2)Ị.

2) card (A
card (B

X

X

B) = card (B

X

A) = 6 ; card (A

X

A) = 9

;

B) = 4.
2x

9, f không đơn ánh vì với 0 < y < ỉ, phương Irình

1+ x

hai nghiệm, f cũng không loàn ánh vì với
2x

y > 1 phương trình

= y ^ yy} - 2x -ỉ“ y = 0 (ẩn là x) vô nghiệm. Ngoài ra, theo

1 + x"
bất đẳng thức Cauchy :
1+

>2

X

, đạt dấu = khi
1<

2x

= 1, do đó luôn có

X

<1 ; v à f ( R ) = [ - l , 1]

1+ x

10. Giả sử >/3 là ĩĩiộl số hữu tỉ, khi đố có thể viết \ / ĩ = — : m. n là
n

2

2

2 số nguyên dương chi có ước sô' chung là 1 ; !ừ đó : m = 3n ; do
2
đó m chia hết cho 3, do đó m chia hêì cho 3, và có thê viết m = 3k
2

2

2

2

2

với k nguyên dưcmg ; suy ra m = 9k = 3n , nghĩa là n = 3k , n

2

chia hết cho 3 ; do đó n chia hết cho 3 ; nghĩa là m và n cùng có
10


ước số chung là 3 ; và đicu đó mâu thuẫn với giả thiết. Vậy y / ỉ là
m ột số vô tỉ.
1 1 . 1 ) Hiển nhiên cỏng Ihức đúng với n = 1 ; bây giờ giả sử công thức
đú ng với n = k, sẽ chứng minh rằng công thức cũng đúng với
n = k + 1. Thậl vậy, vì công ihức đúng với n = k nên có

k(k + l)

suy ra
1 + 2 + ..H k 4 k + 1 =

(k + l)(k + 2)

(k + 1)

2

kík + n
^^ + ( k + l)

2) Công Ihức hiển nhiên đúng với n = 1 ; giả sử công thức đúng
với n = k, nghĩa là giả sử có :

Khi đó :
1^ + 2 ^ + „ . + k ^ + ( k + n

= (k + l)

k(2k + l)

'

+

+ (k + l)

(k + l)(2k^ + 7 k + 6)

6
_ (k-t -l )[2k(k + 2) + j ( k + 2)]

6

(k + l)(k + 2)(2k + 3)
“

6

'

Hô thức cuối cùng chứng tỏ rằng công thức cũng đúng với n = k + 1.
12. 1) Giao hoán ; 2) Đồng nhất ; 3) Đổng nhất ; 4) Kết hợp ;
5) Đ ổng nhất ; 6) Đổng n h ấ t ; 7) Nghịch đảo ; 8) Nghịch đảo.
11


13. 1) ac “ bc = (a - b)c (kết hợp)
a > b = > a - b > 0 , ( a - b)c > 0 (liên đề 8).
2) Luôn c ó a - b = a + c “ c - b = (a + c ) - ( b + c)
a - b > 0 (theo giả thiết) => (a + c) - (b + c) > 0
=:>a + c > b + c.
3) Theo định nghĩa

a < 0 <=> 0 - ( - a ) = a > 0.

Từ giả thiết a > 0, suy

4) Nếu a > 0 =>
5)

ra kết luận.

> 0 ; nếu a < 0 = > - a > 0 = > a ^ > 0 .

o

> 0 o

(a ~ b)(a + b) > 0, bất đẳng thức cuối

cùng hiển nhiên đúng vì a > b (giả thiết) và a + b > 0.
14. 1) | x + 3| = 7<=>(x + 3)^ = 7 ^ » ( x + 3)^ - 7^ = 0
o

(x + 3 - 7 ) ( x + 3 + 7) = 0 o ( x -

4 ) ( x + 10) = 0 <=> Xị = 4 ;

X2 = “ 10.
2) 12x - 6 | = 14<=>( 2 x - 6 ) ^ = (14)^ <=> Xj = - 4 ; X-? = 10.

3)

|x~4|<7

o

(x-4)^<7^

(x-4~7)(x- 4 + 7)<0 o
4)

|5x-l|<4

o

o

(x-4)^-7^<0

(x-ll)(x + 3)<0 o

(5 x -l)^

<

4^

o

-3
<=> ( 5 x - l ) ^ - 4 ^ < 0

o

5

5)

>A

(4x - 2)

7

> 4

9

X<

l
2

h o ă c X > —•

3

2

6) | 5 + 9 x | > 4 c í > ( 5 + 9x)^ > 4 ^ o x < - l hoặc x > “ —•
15. 1) Theo giả thiết, A, B bị chăn Irên, do đó tồn tại supA và supB ;
và A + B < supA + supB,
12


do đó

sup(A + B) < supA -f supB

(ỉ)

Mật khác, theo định nghĩa cộn trôn đúng, có :
supA < A + £ị
supB < B + £2
với Eị, £2

dương dú bé, do đó :
supA + supB < A + B + £, với £ = E| + £2

do đó

supA + sup B < sup (A + B)

(2)

So sánh (1) và (2) suy ra sup(A + B) = supA + supB.
2) Cũng lập luận tương tự câu 1 ; (supA)(supB) là cận Irên của lích
AB ; (A > 0 ; B > 0), dùng định nghĩa cận trên đúng suy ra
sup (AB) = (supA)(supB).
16. n -f-1 > n => ^

n

^ > 1 =:> Xp > I . Mặt khác Xp < 0 khi n lẻ và Xj^ > 0

khi n chẵn, do đó không thể lổn tại lim

n—>oo

17. 1)

= iL tl- Ị
n

, dãy (

Ị phân kì.

J_ - dãy IXj^} giảm và bị sớ 1 chặn dưới, do đó
n

U n l hội lụ.
n
n +1 - 1
,
1
,
V, ■ - . .
2 ) Xn = —
= ----- -----= 1------ ^— ; dãy { 1 lảng và 01 sô I chân
n+ỉ
n+1
n+1
trên nèn ịXpl hội tụ.
3) \ p “ — L

n^+ỉ

,

ịx ^ \ giảm và 0 < x„

2

, d o đ ó |Xj,Ị h ộ i tụ .

4) Xj^ = — 5— = —
, mảu số của x„ tăng vô hạn, do đó 1x^1 hội
n +1
n+_
n
tụ đến 0.
13


18. I)

n

==
n+

ì_

1+

n

n
2

n +an-n

2)

2

yjn(n + a) + n

an
n

1+Jl +

a

n

_ }f, u _ (n + ^ l - n ^ ) ( n ^ - n ^ l - n ' * + ^ ( l - n^) ^)
3 ) X n = n + V l - n = ------------- ------ , ,
'-----r - ..------------------

+1 - n^
-^0
n^-nỉ/l-n3+^(l-„3)2
4) Khi n - > oo thì sin— không xác định, do đó dãy Xj^

n . n7ĩ

—sin —

2

2

phân kì.
2

5)

3

sin n - c o s n
2
- ------------------- < ~ = ^
n
n

..
lim
n—

19. 1) Từ định nghĩa suy ra I x„ I tâng ;

=0.
> 1, Vn ; giả sử lim

= /,

n —><»

(/ > 1). Khi đó, theo định lí vể giới hạn và theo biểu thức ta có :

/ = / + -=>- = 0.
/ /
Phương innh - = 0 vO nghiẽm, d o dó
hữu hạn.
2) Vì x ^ > 1, và lXj,} tăng nên
lim x„ = +00
n-^ +o o

14

khồng Ihé có giới luiii


20. 1) Từ các biểu ihức định nghĩa, có :
+ 3b^ > 0, b| = a„ + 2 b^5 > 0 (vì a„ > 0 ;

Bị =
suy ra

> 0).

> 0, bj, > 0, Vn.

2) TTieo định nghĩa :
X

^ ^n+l ^ 2 a n + 3 b n ^ 2 x „ + 3
bn+1

an+2bn

x„+2

2x + 3
(chia tử và mẫu cho bn > 0) ; do đó Xn+1 = — ' —T""
x„+2
_v

_ ^^n+3

_ ( N / 3 - X n X ^ + Xn)

’‘" “ x „ + 2

x„+2

Vì X[, = — > 0 nên dâu của

bn

- Xp là dấu cùa y Í 3 - \ f ị , măt

khác, từ câu 2), có :

^/5

^ ^ n - 1 + 3 ^ 7 3X n _ | + 2n/3 - 2Xn_i - 3

x„_i+2

x„_i+2

CÓ thể viết lử số của phân số trên (hành
V 3 X p _ j “ Xj-j_Ị + > / 3 “ Xp„Ị + > ^ — 3

= (V 3-l)X n_, + > /3(l-V 3) + N ^-X n_i

= ( V 3 - l) ( X n _ i - \ f ì ) + y ỉ ĩ - \ „ _ ị
= ( 7 3 - x„_, )(1 + i - V 3 ) = (>/3 - Xn _ | )(2 - ^/3).

Do vậy, dấu của V3 - x„ là dấu cùa

-X n_|

; tiếp tục suy diễn,

có dấu của V3 - x„ là dấu cùa s/ĩ - Xo- Khi đó
• Nếu \ / 3 - X o > 0 = > | X n Ị tang và bị \Ỉ3 chặn trôn do đó I x„ I hội
tụ, hơn nữa, từ hộ thức
15


^n+1
suy ra

+2

lim Xp = V3 .
n -^00

>/3“ X(^ < 0 = > |XpỊ giảm và {Xnl bị \Í3 chận dưới, cũng

• Nếu

= >/3 .

suy ra lim
n-^00

• Nếu >/3 - x„ = 0 => Xn =yÍ3 ■
Vậy trong mọi trường hợp có
lim x„ = \/3 .

n —>00

21. Trước hết để ý rằng nếu

có giới hạn là / thì lừ hộ thức định

nghĩa suy ra :
/4
Hơn nữa vì X(5 = 1 nên

/

. 1.

> 1, do đó suy ra / là nghiệm duơng của

phương trình bậc hai
- 1 - 2 = 0.
Nghĩa là / = 2.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng dãy (x^Ị hội lụ.
Thật vậy, ta biểu diễn x ^+1 theo Xj^_| :
_ 2

2

2Xn_|

^n-1
x_

^n+1

2 -

^

^n-1

.0
Xn-l+2

yX „

^n+1

Do đó nếu x„_| > 2 => Xn+I > 2 .
16

^n-1 ~

~^n-l

^n-1

^
X„_1 + 2


Hơn nữa, dấu của
+ x^„l + 2.

Xp ^ Ị - x ^ _ Ị

là dấu của tam thức bậc hai

Suy ra lìếu x „ _ | > 2

thì Xn+|
< 2 thì Xp^Ị> Xp_). Như th ế dãy con | x 2 pl tăng

và nếu

(theo p) và

bị số 2 chặn trên vl Xo < 2 và dãy con | x 2 p+i} giảm và bị chận
dưới bởi số' 2 vì Xị = 3. Cả hai

dãy xen kẽ nhau và có chung giới

= 2.

hạn là lim
n —^oo

22. Sẽ chứng minh rằng IXpl lảng và Ịy,^) giảm :
>1
a

X|

y, - a = b - y , =

b-a

a
> 0 (vì 0 < a < b).

Suy ra Xp Tổng quát hoá

Xn
VI

Vyn-2 -ựxn-l'

X

>0

1

yn-l

2 (^^“ 2

yn~2 ) ’ ^n-I

v^n-2yn~2

yn
nghĩa là y„ < y n - l .

= V xn-iyn-l > Ặ l - \ ’

nghĩa là x„ > X n _ | .
Cuối cùng
Yn - X n

yn- 1

Xn-1

>0.

vạy ;
< b.
■:N :>
?-ToánCC 12

V-{;C

/

027^:78

17


Dãy (Xj,} tăng và bị chản trên bởi mọi y ^ . do đó có giới hạn,
ÌYnỉ giảni và bị mọi Xp chặn dưới, cũng có giới hạn, ngoài ra, gọi
L, / lần lượt là các giới hạn, ta có
L = V ữ và / = ^ ^ ^

^L = /.

23. Ta sẽ chứng mi nh rằng |Xrj) giảm và bị chặn dưới :
XI =

< X^ , vì,

~ yjì + Xị < yj\ -í-

= n/3
, tức là X2 < Xị .

Giả sử Xp < X n _ ] , khi đó
Xn + l = V > + ^ n < v i + x ^ , VÌ x„ Mảt khác

>1, X| > 1, giả sử
^n+l

+

> 1, khi đó

> 'I2 = > X ^ > 1 .

Vn.

Vậy Xp có giới hạn là / thoả / = s/l + / , lức !à / là nghiệm lớn hofii 1
cùa phương trình

/--/-1 = 0 ; / Do đó / =

11^5

\+^f5

24. Bằng quy nạp, có thể chứiig minh ràng

theo n lãng, |Xf^|< 1, do vậy

< 0, n > ỉ, lừ đó, Xp giảm

> - l , từ đó suy ra |x,^Ị hôi tu, và
2.

nếu goi / = lim Xp thì / là nghiêm ÍỚII hơn “ “ của phirm^g trình
n —ịoc
2
x^+3x + ỉ=0.
Vậy

lim
n —>oo

18

=/-

-3 + 7?