Bài tập toán cao cấp full, Có lời giải

Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
CHƯƠNG I. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN VỀ MA TRẬN
+ Phép cộng hai ma trận: Cho hai ma trận A = (a
ij
)
mxn
và B = (b
ij
)
mxn

Khi đó C = A + B = (a
ij
+ b
ij
)
mxn
+ Phép nhân 1 số với Ma trận: Cho Ma trận A = (a
ij
)
mxn
khi đó k.A = (k.a
ij
)
mxn
+ Phép nhân 2 Ma trận
Ma trận A được gọi là tương thích với ma trận B nếu số cột của ma trận A
bằng số hàng của ma trận B
Cho ma trận A = [a
ij

]
mxn
và ma trận B = [b
ij
]
nxp
, khi đó ma trân C = [c
ij
]
mxp
được
gọi là tích của A và B nếu c
ij =
is sj
1
.
n
s
a b
=
∑

và ký hiệu là C = A.B
Chú ý:
- Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán
- Tích của hai ma trận khác 0 có thể bằng ma trận không.
+ Phép chuyển vị ma trận.
Phép toán trên ma trận mà trong đó các hàng của ma trận chuyển thành các cột
gọi là phép chuyển vị ma trận, ký hiệu A
T

.
Như vậy nếu A = [a
ij
]
mxn
thì A
T
= [a
ji
]
nxm
.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1.
1. Cộng hai ma trận A = và B =
2. Nhân ma trận A = với λ = 3
Giải. 1. Theo định nghĩa ta có A + B =
1 5 2 6 6 8
3 7 4 8 10 12
+ +
   
=
   
+ +
   

2. λ.A = 3. = =
Ví dụ 2. Trong trường hợp nào thì:
1. Có thể nhân bên phải một ma trận hàng với một ma trận cột ?
2. Có thể nhân bên phải một ma trận cột với một ma trận hàng ?

Giải.
1
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
1. Ma trận hàng là ma trận có kích thước (1 x n), ma trận cột có kích thước (m
x 1). Phép nhân hai ma trận này thực hiện được nếu n = m, tức là (1 x n).(n x 1) = (1
x 1) kết quả của phép nhân là một số cụ thể
[a
1
a
2
… a
n
].
1
2
.
.
n
b
b
b
 
 
 
 
 
 
 
 
= [a

1
b
1
+ a
2
b
2
+ …+ a
n
b
n
] = c
2. Ma trận cột có kích thước (m x 1) ma trận hàng có kích thước (1 x n) nên
phép nhân này luôn thực hiện được, và kết quả là

1
2
.
.
m
a
a
a
 
 
 
 
 
 
 

 
. =
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2


. . . .

n
n
m m m n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
 
 
 
 
 

Ví dụ 3. Tính A.B và B.A nếu
1. A = , B =
2. A = , B =
Giải.
1. A.B = . = =
Tích B.A không tồn tại vì số cột của ma trận B khác số hàng của ma trận A
2. Ta có ma trận A và B tương thích nhau nên
A.B = . =

=
Tương tự, B.A = . =
Ví dụ 4.
1. Cho ma trận A = , tìm mọi ma trận X sao cho AX = XA
2. Tìm mọi ma trận giao hoán với ma trận A =
3. Tính tích
Giải.
1. Vì A là ma trận vuông cấp 2 nên để tích AX và XA xác định thì X cũng là
ma trận cấp 2. Giả sử X = ; a, b, c, d ∈ R, khi đó
2
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
A.X = . =
X.A = =
Vì A.X = X.A nên b = 0, a = d, do đó X = ∀a,c ∈ R
2. Tương tự câu 1, Giả sử X = ; a, b, c, d ∈ R, khi đó
A.X = . =
X.A = . =
Vì A.X = X.A ⇒ ⇔ (b ∈ R)
Vậy X = (b ∈ R)
3. Dễ dàng thấy rằng = . Từ ví dụ này suy ra rằng nếu A.B = O thì không
nhất thiết ma trận A = O hoặc B = O
Ví dụ 5. Tìm ma trận lũy thừa của ma trận
A =
Giải.
Ta có A
2
= . =
A
3
=A

2
. A = . = ,
A
4
= A
3
.A = . =
Như vậy các lũy thừa tiếp theo đều bằng ma trận O
BÀI TẬP
1. Tính A + B, A.B và B.A nếu
a, A = , B = ;
b, A = , B = .
2. Tính tích các ma trận
a, (ĐS )
b, . (ĐS )
c, . (ĐS )
d, . (ĐS ).
e, (ĐS ).
f, (ĐS ).
3
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
3. Tính A.B và B.A nếu
a, A = , B =
(ĐS Tích A.B không tồn tại, B.A = ).
b, A = , B =
(ĐS Tích A.B không tồn tại, B.A =
c, A = , B =
(ĐS A.B = , B.A không tồn tại)
DẠNG 2: ĐỊNH THỨC
+ Phương pháp tính định thức

- Định thức cấp 1, cấp 2 và cấp 3 được tính theo các công thức
= a
11
.a
22
- a
21
.a
12
= a
11
.a
22
.a
33
+ a
12
.a
23
.a
31
+ a
13
.a
32
.a
21
- a
13
.a

22
.a
31
- a
23
.a
32
.a
11
- a
33
.a
21
.a
12
- Định thức cấp n
* Khai triển định thức theo các phần tử của một hàng hoặc một cột.
* Sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đã cho thành định
thức mới sao cho phần tử a
ij
≠ 0 còn các phần tử khác nằm trên dòng i hoặc cột j bằng
0, khi đó detA = (-1)
i+j
.a
ij
.M
ij
trong đó M
ij
là định thức con thu được bằng cách bỏ

dòng i, cột j của định thức A.
* Sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đã cho thành định
thức tam giác, khi đó detA = a
11
.a
22
a
nn
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1.
1, Tính số nghịch thế trong hoán vị (5, 3, 1, 6, 4, 2)
4
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
2, Với những giá trị nào của i và j thì số hạng a
51
a
1j
a
2j
a
43
a
32
của định thức cấp 5
có dấu trừ.
Giải.
1, Các bước để tính nghịch thế
- Tính xem có bao nhiêu số đứng trước số 1 (giả sử có k
1
số) rồi gạch bỏ số 1

khỏi hoán vị
- Tiếp theo đếm xem có bao nhiêu số đứng trước số 2 (giả sử có k
2
số) rồi
ghạch bỏ số 2 vv
- Khi đó số hoán vị là inv(α
1
, α
2
, … , α
n
) = k
1
+ k
2
+ … + k
n
Bằng phương pháp trên ta thấy inv(531642) = 2+ 4 + 1 + 2 = 9.
2, Các chỉ số I và j chỉ có thể nhận được các giá trị sau đây: i = 4, j = 5 hoặc i
= 5, j = 4 vì với các giá trị khác của i và j thì tích đã cho chứa ít nhất hai phần tử của
cùng một cột. Để xác định dấu của số hạng ta sắp xếp các số hạng của tích theo thứ
tự tăng của chỉ số thứ nhất rồi tính số nghịch thế của hoán vị các chỉ số thứ hai. Ta có
a
1j
a
2j
a
32
a
43

a
51
+ Giả sử i = 4, j= 5 ⇒ inv(45231) = 8, do đó với I = 4, j = 5 số hạng đã cho có
dấu (+)
+ Giả sử I = 5, j = 4 ⇒ inv(45231) = 9, do đó số hạng đã cho có dấu (-). Vậy
số hạng đã cho có dấu (-) khi I = 5, j = 4
Ví dụ 2. Tính các định thức sau đây
1, ∆
1
= ; 2, ∆
2
=
3, ∆
3
= ; 4, ∆
4
=
Giải.
1, Tính ∆
1
bằng cách khai triển theo hàng hoặc theo cột, ở đây ta khai triển
theo hàng 1
∆
1
= (-1)
1+4
.a
14
= (-1)
5

.a
14
.(-1)
2+3
.a
23
= a
14
.a
23
.a
32
.a
41

2, Ta khai triển theo cột 1
∆
2
= 1. - 2 + 3 - 4
= 1.0 -2.0 + 3.0 - 4.0 = 0 (ở đây các định thức cấp 3 đều có hai cột tỷ lệ với nhau
nên chúng bằng 0).
3, Áp dụng các tính chất để thu được các số 0 trong một cột hoặc một hàng. Ta
quy ước ký hiệu h
2
- h
1
→ h
2
’ nghĩa là lấy hàng thứ hai trừ đi hàng thứ nhất để thu
được hàng thứ hai mới, tương tự như vậy ta ký hiệu các phép biến đổi theo cột.

5
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
∆
3
= =
= h
2
-h
1
→ h
2
’ = = 1.(-1)
2+2
= -1
4, Tương tự câu 3 ta có
∆
4
= = = a
13
.A
13
= 1.(-1)
3
=
= (-1)
5
. = -264
Như vậy từ việc tính định thức cấp 5 ta đã biến đổi để đưa về định thức cấp 3,
việc tính định thức cấp 3 có thể dùng cách biến đổi như trên hoặc áp dung quy tắc
sarrus.

Ví dụ 3. Tính các định thức sau
1, ∆
1
= . ∆
2
=
Giải. Ta sẽ tính các định thức trên bằng phương pháp đưa về định thức tam giác.
1, Ta có
∆
1
= = = 1.3.2.(-2) = -12
2, ∆
2
= =
= 1.3.4.2.1 = 24
Ví dụ 4. Tính định thức
∆
n
=
Giải.Triển khai ∆
n+1
theo hàng cuối (hàng thứ n+1) ta có
∆
n+1
= (-1)
n+1
a
n
+ x
Định thức thứ nhất ở vế phảo là định thức tam giác, địnhthức thứ hai là định

thức cùng dạng với ∆
1
nhưng cấp n. Do vậy định thức ∆
n+1
có thể biểu diễn bởi hệ
thức truy hồi sau:
∆
n+1
= a
n
.(-1)
n
(-1)
n
+x∆
n
Để thu được biểu thức tổng quát∆
n+1
ta xét ∆
1
và ∆
2

∆
1
= a
0
; ∆
2
= = a

0
x + a
1
Như vậy ∆
1
là đa thức bậc 0 với hệ số a
0
còn ∆
2
là đa thức bậc nhất với hệ số a
0
và a
1
Ta chứng tỏ rằng ∆
n+1 có
dạng tương tự: ∆
n+1
= a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ …+ a
n

6
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng

Giả sử đã chứng minh ∆
n
= a
0
x
n-1
+ …+ a
n-1
khi đó
∆
n+1
= a
n
.(-1)
n
(-1)
n
+x∆
n
= a
n
+ x∆
n
= a
0
x
n
+ a
1
x

n-1
+ …+ a
n
BÀI TẬP
1. Xác định số nghịch thế trong các hoán vị
a, (1 3 5 7 9 2 4 6 8) (ĐS. 10)
b, (9 8 7 6 5 4 3 2 1) (ĐS. 36)
c, (2 5 8 1 4 7 3 6 9) (ĐS. 12)
d, (7 5 4 6 1 2 3 9 8) (ĐS. 17)
2. Xác định số nghịch thế trong các hoán vị
a, (n n-1 n-2 2 1) (ĐS. )
b, (1 3 5 7 2n-1 2 4 6 2n) (ĐS. )
c, (2 4 6 2n 1 3 5 2n - 1) (ĐS. )
3. Tính các định thức cấp 2 sau
a, (ĐS. 0) b, (ĐS. -2b
3
)
c, (ĐS. 1) d, (ĐS. sin(α -β ))
e, (ĐS. 0) f, (ĐS a + b +c + d )
4. Tính các định thức cấp 3 sau
a, (ĐS. 8) b, (ĐS. 3abc - a - b - c )
c, (ĐS. -2) d, (ĐS. 0)
e, (ĐS. a + b + c +1)
5. Tính các định thức sau bằng cách khai triển theo hàng hoặc theo cột
a, (ĐS. abcd) b, (ĐS. 4a - c - d)
c, (ĐS. -2858) d, (ĐS. -264)
6. Giải các phương trình sau
a, = 0. (ĐS. x
1,2
= ± 3; x

3,4
= ± 3)
b, = 0. (ĐS. x
1
= 6; x
2
= 5)
c, = 0. (ĐS. x
1
= 2; x
2
= 3; x
3
= 4)

7
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
DẠNG 3: HẠNG CỦA MA TRẬN

* Các Phương pháp tìm hạng của ma trận
+ Phương pháp 1. Dựa vào định nghĩa, gồm các bước sau
B
1
: Tìm một định thức con nào đó khác 0, giả sử đó là định thức ∆
r
≠ 0.
B
2
: Tính tiếp các định thức con ∆
r+1

cấp r + 1bao định thức ∆
r
nếu chúng tồn
tại. Nếu tất cả các định thức con cấp r + 1 = 0 thì kết luận rank(A) = r.
B
3
: Nếu có một định thức con cấp r + 1 khác 0 thì xét định thức cấp r + 2 và
cách tiến hành như B
2
.
+ Phương pháp 2. Dựa vào các phép biến đổi sơ cấp chuyển ma trận đã cho về ma
trận hình thang, khi đó hạng của ma trận bằng số hàng khác không của ma trận hình
thang thu được.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm r(A) nếu
A =
Giải. Áp dụng phương pháp 1, ta có
∆
2
= = -1 ≠ 0.
Ta tính các định thức ∆
3
bao ∆
2
ta có
∆
3
(1)
= = 0; ∆
3

(2)
= = -1 ≠ 0.
Như vậy có một định thức ∆
3
(2)
≠ 0, ta tính định thức cấp 4 bao ∆
3
(2)
, ta có
∆
4
(1)
= = 0.
Vậy r(A) = 3
Ví dụ 2. Tìm r(A) nếu
A =
Giải. Áp dụng phương pháp 1, hiển nhiên ma trận A có định thức con
∆
2
= = -2 ≠ 0.
Các định thức con bao ∆
2
gồm:
∆
2
(1)
= = 0; ∆
2
(2)
= = 0; ∆

2
(3)
= = 0
∆
2
(4)
= = 0; ∆
2
(5)
= = 0; ∆
2
(5)
= = 0.
8
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Vậy r(A) = 2
Yêu cầu: Tất cả các định thức cấp 3 trên bạn đọc tự giải.
Ví dụ 3. Bằng phương pháp biến đổi sơ cấp, tính hạng các ma trận sau
1, A = ; 2, B = .
3, C = 4, D =
Giải.
1, Thực hiện biến đổi sơ cấp theo hàng ta có
A = = h
3
-h
2
→h
3
’
= Là ma trận hình thang có số dòng khác 0 là 2, do đó r(A) = 2.

2, B = =
= =
Đây là ma trận hình thang có số dòng khác 0 là 3, vậy r(A) = 3.

3, C = = - (Đổi chỗ hàng 2 và hàng 3).
= - =
Vậy r(A) = 2.
4, D = =
= =
Vậy r(A) = 3.
BÀI TẬP
Tìm hạng các ma trận sau
1. A = . (ĐS. r(A) = 2) 2. A = . (ĐS r(A) = 1)
3. A = . (ĐS r(A) = 2) 4. A = . (ĐS r(A) = 2)
5. A = . (ĐS r(A) = 2) 6. A = . (ĐS r(A) = 1)
7. A = . (ĐS r(A) = 3) 8. A = . (ĐS r(A) = 5
9. A = . (ĐS r(A) = 3) 10. . (ĐS r(A) = 4)
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tìm hạng của các ma trận sau:
11. A = . (ĐS r(A) = 2) 12. A = . (ĐS r(A) = 3)
9
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
13. A = . (ĐS r(A) = 3)
14. A = . (ĐS r(A) = 4)
15. Với giá trị nào của a thì ma trận A = có hạng bằng 1. (ĐS a = )
16. Với giá trị nào của a thì ma trận A = có hạng bằng 3. (ĐS a ≠ 2)
DẠNG 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
* Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa, gồm các bước sau
B
1

: Tính detA
- Nếu detA = 0 thì không tồn tại A
-1
,
- Nếu detA ≠ 0 thì chuyển sang bước 2.
B
2
: Tìm ma trận phụ hợp P
A
, từ đó áp dụng định nghĩa ta thu được A
-1
.
Phương pháp 2: (phương pháp Gauss-Jordan)
B
1
: Viết ma trận đơn vị cùng cấp vào bên phải với ma trận A thu được ma trận
M =
B
2
: Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận M để đưa khối ma trận A
về ma trận đơn vị E
n
còn khối E
n
thành ma trận B, tức là

→
Khi đó A
-1
= B

CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1. Tìm ma trận nghịch đảo đối với các ma trận sau:
1. A = . 2. A =
Giải:
1. Ta có detA = 10 ≠ 0. Do đó ma trận A có ma trận nghịch đảo, phần bù đại số
của các phần tử là
a
11
= -5; a
12
= 15; a
13
= 25; a
21
= 1; a
22
= 3; a
23
= 9; a
31
= 4; a
32
= -8; a
33
= -14
Vậy A
-1
= =
2. Ta có det(A) = h
3

+ h
1
→ h
3
’
=
Vì định thức A có 2 hàng giống nhau nên detA = 0 do đó không tồn tại A
-1
.
10
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Ví dụ 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
1. A = . 2. A =
Giải:
1. Ta lập ma trận M = nhân hàng thứ nhất với ta
được M =
= = h
3
-2h
2
→h
3
’
= =
= . Vậy A
-1
=
Câu 2 bạn đọc tự giải
Ví dụ 3. Chứng minh
1. detA

-1
= (detA)
-1
2. Nếu A và B không suy biến thì AB cũng không suy biến và (A.B)
-1
= B
-1
.A
-1
3.(A
-1
)
-1
= A.
4. (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
.
Giải:
1.Áp dụng công thức tính định thức của tích hai ma trận cùng cấp A và B ta có
detA.B = detA.detB
Vì A.A
-1
= E ⇒ detA.A
-1

= detE = 1 ⇒ detA.detA
-1
= 1 ⇒ (detA)
-1
= detA
-1
(đpcm)
2. Ta có
(B
-1
.A
-1
).(A.B) = B
-1
(A
-1
.A).B = B
-1
.B = E.
⇒ B
-1
.A
-1
= (A.B)
-1
. Tương tự (A.B).(B
-1
.A
-1
) = E

Vậy B
-1
A
-1
là ma trận nghịch đảo của AB.
3. Ta thấy (A
-1
)
-1
là ma trận duy nhất mà tích của nó nhân với A
-1
bằng E vậy
(A
-1
)
-1
= A
4. Để chứng minh (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
ta xét đẳng thức A.A
-1
= E, áp dụng tính chất
của ma trận chuyển vị ta có
(A.A

-1
)
T
= E ⇒ (A
-1
)
T
A
T
= E ⇒ (A
-1
)
T
= (A
T
)
-1
(đpcm)
Ví dụ 4.
11
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
1. Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện A - 3A + E =
0 thì A = 3E - A.
2. Chứng minh rằng (E - A) = E + A + A nếu A = 0.
Giải.
1. Từ điều kiện của bài toán đã cho ta có
E = 3A - A = A(3E - A).
Do vậy
detA.det(3E - A) = detE = 1 ⇒ detA ≠ 0, tức là A có ma trận nghịch đảo,
mặt khác E = A(3E - A) ⇒ AE = AA(3E - A) ⇒ A = 3E - A

2. Ta có thể nhân ma trận E - A với E + A + A, nếu là ma trận nghịch đảo nhau
thì kết quả là E.
Thật vậy (E - A).(E + A + A) = E - A + A - A + A - A = E - A = E
(Vì A = 0)
Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo với ma trận A =
Giải:
Để tồn tại ma trận nghịch đảo detA = ad - bc ≠ 0. Với giả thiết đó ta có
A
11
= d; A
12
= -b; A
21
= -c; A
22
= a. Do đó A
-1
=
Từ ví dụ này ta rút ra quy tắc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2:
Ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2 bằng tích của nghịch đảo của định thức với ma
trận mà đường chéo chính là hoán vị của hai phần tử trên đường chéo chính, còn
phần tử trên đường chéo thứ hai cũng chính là hoán vị của đường chéo thứ hai nhưng
đổi dấu.
Ví dụ 6.
1, Giả sử A là ma trận không suy biến, hãy giải các phương trình ma trận sau:
AX = B, YA = B.
2, Áp dụng câu 1 giải các phương trình nếu A = ; B = .
Giải:
1, Nhân bên trái hai vế của phương trình AX = B với A
-1

và thực hiện phép
tính đại số tương ứng ta có
A
-1
.A.X = A
-1
.B ⇒ EX = A.B ⇒ X = A.B
Tương tự phương trình Y.A = B nhân bên phải hai vế với B ta được Y =B.A
12
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
2, Với A = ⇒ A = . =
Từ đó X = A.B = . =
Y = B.A =. =
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau
1, . (ĐS: ) 2, . (ĐS: )
3, . (ĐS: )
4. . (ĐS: Không tồn tại A).
5. . (ĐS: ).
6. . (ĐS: Không tồn tại).
7. . (ĐS: ).
8. . (ĐS: )
Bài 2. Với các giá trị nào của a thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo
1. . (ĐS: a ≠ ). 2. . (ĐS: a = ± ; a ≠ 0)
Bài 3. Tìm ma trận X thỏa mãn các phương trình
1. .X = . (ĐS: X = ).
2. X. = . (ĐS: X = )
3. .X. = . (ĐS: X = ).
4. A.X + B = 2C trong đó
A = ; B = ; C =

(ĐS: X = )
5.X.A - 2B = E trong đó
A = , B =
(ĐS: X = ).
Bài 4. Chứng minh rằng các ma trận A + E và A - E không suy biến và nghịch đảo
nhau nếu A = 0
Bài 5. Chứng minh rằng A + E và A + E - A không suy biến và nghịch đảo nhau nếu
A = 0
Bài 6. Chứng minh rằng nếu A,B, C là những ma trận không suy biến thì A.B.C và
13
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
C
-1
.B
-1
.A
-1
là nghịch đảo nhau.
Dạng 5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
* Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
- PP ma trận: Vì detA ≠ 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A
-1
, từ hệ AX = H
ta có A
-1
.AX = A
-1
.H ⇒ EX = X = A
-1
.H

Vậy nghiệm của hệ là X = A
-1
.H
- PP Cramer: Nghiệm duy nhất của hệ Cramer được xác định theo công thức
x
j
=
,
j =
Trong đó A
j
là ma trận thu được bằng cách thay cột j của ma trận A bằng cột
các hệ số tự do H, còn các cột khác dữ nguyên
- PP gauss: Nội dung chủ yếu của phương pháp là khử liên tiếp các ẩn của hệ.
Thuật toán Gauss dựa trên các phép biến đổi sơ cấp của hệ phương trình đó là:
+ Nhân một phương trình nào đó với một số khác không
+Thêm vào hai vế của phương trình với một biểu thức tồn tại
+ Đổi chỗ hai phương trình
+ Mọi phép biến đổi sơ cấp luôn cho ta một hệ mới tương đương với hệ đã
cho.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận
1. (1) 2. (2)
Giải:
1. Ta ký hiệu A = , X = , H = .
Khi đó (1) có dạng A.X = H.
Vì detA = 2 nên A có ma trận nghịch đảo, do vậy (1) có nghiệm duy nhất
X = A
-1
.H

Ta có A
-1
= , do đó = .
Thực hiện phép nhân ma trận ở vế phải ta được x
1
= 2, x
2
= 3, x
3
= -1.
2. Ta có A = ⇒ A
-1
= , H =
14
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
tương tự câu 1 ta có phương trình (2) có nghiệm duy nhất X = A
-1
.H
và = . ⇒ x
1
= 8, x
2
= 12, x
3
= -1.
Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc cramer, giải các hệ phương trình sau.
1. 2.
Giải:
1. Áp dụng công thức cramer ta có x
j

=
,
j = . Trong đó
detA = = 30 ≠ 0; detA
1
= = 30;
detA
2
= = 30; detA
3
= = 30
Vậy nghiệm của hệ là x
1
= 1; x
2
= 1; x
3
= 1.
2. Ta có detA = = 35, vì detA ≠ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất
Với detA
1
= = 70, detA
2
= = -35,
detA
3
= = 0, detA
4
= = -70.
Vậy nghiệm của hệ là x

1
=

= 2, x
2
=

= -1,
x
3
=

= 0, x
4
=

= -2.
Ví dụ 3. Áp dụng phương pháp Gauss giải các hệ phương trình sau
1. 2.
Giải:
1. Lập ma trận mở rộng và thực hiện các phép biến đổi.
= → h
3
-5h
2
→h
3
’
→
Từ đó suy ra ⇒ x

1
=1; x
2
= 1; x
3
= 2
2. Lập ma trận mở rộng và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp ta có
= h
1
↔
h
2
→
→ h
2
↔
h
3
→
→ h
4
-3h
3
→h
4
’→
Từ đó ta có hệ ⇒ x
1
= 1, x
2

= -2, x
3
= 2, x
4
= 1.
Ví dụ 4. Giải và biện luận theo a số nghiệm của hệ

15
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Giải: Ta có
A = ⇒ detA = (a + 2)(a - 1)
2

= D
Tương tự detA
1
= detA
2
= detA
3
= (a - 1)
2

+ Nếu D ≠ 0 ⇔ a ≠ -2, a ≠ 1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất và theo
công thức cramer ta có x
1
= x
2
= x
3

=
+ Nếu a = -2 thì D = 0 khi đó D
1
= D
2
= D
3
= 9 ≠ 0, áp dụng công thức
cramer x
1
= x
2
= x
3
= vì D = 0 nên không tồn tại x
1
, x
2
, x
3
nên hệ vô nghiệm.
+ Nếu a = 1 thì D = 0 và D
1
= D
2
= D
3
= 0, khi đó nghiệm của hệ có
dạng hệ có vô số nghiệm.
Ví dụ 5. Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ

Giải:
Vì số phương trình bé hơn số ẩn nên tập nghiệm của hệ phương trình là
vô hạn. Vì hạng của ma trận của hệ bằng 2 vì có = 6 ≠ 0 nên hệ đã cho tương đương
với hệ



⇒ x
1
=
,
x
3
= x
4
.
Vậy tập nghiệm của hệ là { ; a; b; b/ ∀ a, b ∈ R}
BÀI TẬP
Bài 1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
1. (ĐS: x
1
= 9; x
2
= 2; x
3
= 2)
2. (ĐS: x
1
= x

2
= x
3
= 1).
3. (ĐS: x
1
= 1; x
2
= -2; x
3
= 0)
4. (ĐS: x
1
= ; x
2
= ; x
3
= 1; x
4
= )
5. (ĐS: x
1
= - ; x
2
= ; x
3
= - ; x
4
= 3)
6. (ĐS: x

1
= 0; x
2
= 1; x
3
= -1; x
4
= 2)
7. (ĐS: x
1
= -19; x
2
= 26; x
3
= 11; x
4
= -5)
8. (ĐS: x
1
= -1; x
2
= 1; x
3
= -1; x
4
= 1)
9. (ĐS: x
1
= ; x
2

= - ; x
3
= ; x
4
= 0; x
5
= 0)
16
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Bài 2. Giải và biện luận theo a số nghiệm của hệ phương trình sau.
a.

ĐS: Nếu a ≠ 1, a ≠ 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu a = 1 thì hệ có vô số nghiệm
Nếu a = 2 thì hệ vô nghiệm
b.
ĐS: Nếu a ≠ 1 hệ có nghiệm duy nhất
Nếu a = 1 hệ vô nghiệm
c.
ĐS: Nếu a ≠ -3, a ≠ 1 thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu a = -3 hệ có vô số nghiệm
Nếu a = 1 thì hệ vô nghiệm.
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau
1. . (ĐS: x
2
= - ; x
3
=

, x

1
tùy ý)
2. . (ĐS: x
1
=

; x
2
=

; x
3
tùy ý)
3. . (ĐS: x
1
= ; x
2
= ; x
3
; x
4
∈ R)
4. . (ĐS: x
1
= 1; x
2
= 2; x
3
= 3)
5. . (ĐS: Hệ vô nghiệm)

CHƯƠNG II. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
+ Phương pháp: Cho trước ε > 0, ta phải tìm số δ > 0 theo ε sao cho < δ ⇒
17
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
< ε.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa, chứng minh rằng (2x + 1) = 3
Giải:
Với ε > 0 vô cùng bé sao cho < ε ⇔ < ε ⇔ 2 < ε
⇔ < . Đặt δ = khi đó ∀ε > 0 ∃ δ = sao cho < δ ⇒ < δ
⇔ (2x + 1) = 3.
Ví dụ 2. Dùng định nghĩa, chứng minh rằng = -1
Giải:

Với ε > 0 vô cùng bé sao cho < ε ⇔ < ε ⇔ < ε
⇔ < ε . Đặt δ = ε > 0, khi đó ∀ε > 0 ∃ δ = ε > 0 sao cho < δ ⇒ < ε ⇔ = -1.
DẠNG 2: GIỚI HẠN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
+ Phương pháp:
- Nếu tử và mẫu số của một phân thức hữu tỉ đều triệt tiêu tại x = a thì ta có thể
giản ước phân thức cho x-a một hoặc một số lần.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giới hạn các hàm số
1. 2.
3. 4.
Giải:
1. Ta có = = = -
2. Ta có = =
= ⇒ = = .
18

Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
3. = =
= = .
4. Ta có = = -
= - = + = +
⇒ = ( + ) = + =
Ví dụ 2. Tìm (n ∈ N)
Giải: Ta có =
=
= [1 + (x + 1) + + (x
n-1
+x
n-2
+ +x + 1)] = 1 + 2 + + n =
Ví dụ 3. Tính các giới hạn
1. 2.
3. 4.
Giải:
1. Ta có = = (x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1) = 5
2. = = = 0.
3. = = =
4. = = =
BÀI TẬP
Tính các giới hạn sau:

1. (ĐS: ) 2. (ĐS: 3a)
3. (ĐS: ) 4. (ĐS: )
5. (∀m,n ∈ N) 6.

(ĐS: 4ln2 - 4)
19
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
7. (ĐS: - ) 8. (ĐS: )
9. (ĐS: 24) 10. (ĐS: )
DẠNG 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Phương pháp: Ta sử dụng các công thức sau
1
0
lim(1 )
x
x
x e
→
+ =
;
0
sinx
lim 1
x
x
→
=
;
1
lim(1 )

x
x
e
x
→ ∞
+ =
;
0
log (1 )
1
lim
ln
a
x
x
x a
→
+
=
;
0
1
lim ln
x
x
a
a
x
→
−

=
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạm các hàm số
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
Giải:
1. = = . = .
2. = =
3. = = = 2
4. = = = 2
5. = =
= . . =
6. = = 2.( + 1) = 4
7. = = 4 = 4
8. =
=
= = = 1
Ví dụ 2: Tính giới hạn các hàm số
20
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
1. 2. 3.
Giải:
1. Đặt = ⇒ 2z = x - 1, vì x → ∞ nên z → ∞
⇒ = = = . (1+)
3
= e. 1 = e
2. Đặt =α, khi x → ∞ thì α → 0
⇒ x = ⇒ (1+α) = [(1+α)].(1+α)
c
= e

3. = [ ] = 1 1 =
BÀI TẬP
Tính giới hạn các hàm số sau:
1. (ĐS: - ∞) 2. ( - tan
2
x) (ĐS: )
3. x.cotx (ĐS: 1) 4. (1 - x) tanx (ĐS: )
5. (5x + 1)tan (ĐS: 10) 6. (x + 4)sin (ĐS: 3)
7. (ĐS: 7)
HD: Áp dụng công thức = =

Ta có
1- cosx.cos2x.cos3x = 1 - cosx + cosx - cosx.cos2x + cosx.cos2x - cosx.cos2x.cos3x
= (1 - cosx) + cosx(1 - cos2x) + cosx.cos2x(1 - cos3x)
8. . (ĐS: - ) 9. (1 + cos2x).tanx (ĐS: 0)
10. (ĐS: 6)
DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ (VCB)
VÀ VÔ CÙNG LỚN (VCL)
+ Phương pháp:
-Xét xem hàm số cần tìm giới hạn là đại lượng VCB hay VCL khi x → a
- Nếu α(x) là VCB thì α(x) = 0, nếu α(x) là VCL thì α(x) = ∞
Ngoài ra trong quá trình tính giới hạn ta có thể dùng các VCB tương đương thay
thế. Khi x → 0 ta có bảng VCB tương đương sau:
21
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng

2
sinx log (1 )
ln
t anx ln(1+x) x

1 cos a 1 .ln
2
arcsin e 1
arctan
a
x
x
x
x x
a
x
x
x x a
x x x
x x
+
− −
−
: :
: :
: :
: :
: (1+x) 1 x
α
α
−
:

Ví dụ 1. = (4 + ) = 4 vì là VCB khi x → ∞
Ví dụ 2. Tính

Giải:
Vì sin2x và sinx là các đại lượng VCB khi x → 0 nên sin2x τ 2x, sinx τ x
⇒ = = 2
Ví dụ 3. Tính
Giải:
Vì 4x
2
- 7x + 2 và x
2
+ 1 là các đại lượng VCL khi x → ∞ nên 4x
2
- 7x + 2 τ 4x
2

và x
2
+ 1 τ x
2
Khi đó =

= 4

Ví dụ 4. Tính
Giải: Ta có - 1 và - 1 là đại lượng VCB khi x → 0 khi đó
- 1 τ x và - 1 τ x ⇒ = (x:x) =
DẠNG 5: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG (U
(x)
)
V(x)
Phương pháp:

Nếu U(x) = A và V(x) = B thì = A
B
∀ A, B ∈ R
Nếu có dạng vô định ( 1; 0; ∞) thì ta sử dụng công thức sau
= e
Trong đó V(x).lnU(x) là dạng vô định có thể đưa về dạng ; .
Ví dụ. Tính các giới hạn sau:
1. (3x+1) 2. (cosx)
3. (1+tanx) 4.
22
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Giải.
1. (3x+1)= 4 = (Vì (3x+1) = 4, (x
2
-2) = -1
2. (cosx) = e
Trong đó lncosx = =
Do 1 + (cosx - 1) là VCB khi x → 0 nên 1 + (cosx - 1) τ 1 -
⇒ = . = -
Vậy (cosx) = e =
3. Ta có (1+tanx) = e
cotx.ln(1 + tanx) = Vì tanx và sinx là VCB khi x → 0 Nên tanx τ x và sinx τ.
Khi đó = = 1
Vậy (1+tanx) = e = e = e
Ta có = e
BÀI TẬP
Tính các giới hạn sau
1. (1+3tan
2
x) (ĐS: e) 2. (ĐS: e)

3. (sinx) (ĐS: -1) 4. (tanx) (ĐS: -1)
5. (cosx) (ĐS: e) 6. (cos3x) (ĐS: e)
7. (ĐS: 1) 8. (ĐS: e)
DẠNG 6: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
+ Tính giới hạn
( )
x a
Lim f x
→
.
+ Tính f(a).
Nếu
( )
x a
Lim f x
→
= f(a) thì hàm số liên tục tại a. ngược lại hàm số gián đoạn tại a.
Khi hàm số gián đoạn tại a ta có:
+ Nếu tồn tại
( )
x a
Lim f x
−
→
và
( )
x a
Lim f x
+

→
thì a là điểm gián đoạn loại 1
+ Điểm gián đoạn loại 2 là điểm gián đoạn không phải loại 1.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau
23
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
1. f(x) = tại x = 0 2. f(x) =
3. f(x) = tại x = 1
Giải:
1. Ta có f(0) = 0, f(x) = f(x) = 0 ⇒ f(x) = f(x) = f(0) = 0
Vậy f(x) liên tục tại x = 0
2. Ta có f(1) = 7
mặt khác f(x) = = = (x+6) = 7
Vậy f(x) liên tục tại x = 1
3. Ta có f(1) = -π
= = =
⇒ f(x) = = = -π = f(x)
Vậy hàm số liên tục tại x = 1
Ví dụ 2. Xét tính liên tục một bên của các hàm số sau tại x = 0
1. f(x) = 2. f(x) =
Giải:
1. Ta có f(0) = 1
f(x) = (3 - x) = 3 ≠ 1 = f(0)
Vậy hàm số không liên tục bên phải tại x = 0
Xét f(x) = (x
2
+ 1) = 1 = f(0)
Vậy hàm số liên tục bên trái tại x = 0.
2. Ta có f(0) = 2

Xét f(x) = (1 + ) = 2 = f(0)
Vậy hàm số liên tục bên phải tại x = 0
Xét f(x) = (1 + ) = 0 ≠ f(0)
Vậy hàm số không liên tục bên trái tại x = 0.

Ví dụ 3.
24
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Cho hàm số f(x) = chưa xác định tại x = 0, hãy xác định f(0) để f(x) liên tục tại x
= 0.
Giải:
Ta có f(x) = = = =
Vậy để hàm số liên tục tại x = 0 thì f(0) = f(x) =
Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) xác định như sau
f(x) = Chứng tỏ rằng f(x) liên tục [0; 4]
Giải:
Ta thấy f(x) liên tục trên [0; 4], ta cần chứng minh f(x) liên tục bên trái của x = 4.
Xét f(x) = = = = f(4)
Vậy f(x) liên tục bên trái tại x = 4 ⇒ f(x) liên tục trên [0; 4]
Ví dụ 5. Cho hàm số
f(x) = Chứng tỏ rằng hàm số không liên tục tại x =1
Giải:
Ta có f(x) = = ∞ ≠ 1 = f(1)
Vậy hàm số không liên tục tại x = 1
BÀI TẬP
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số
f(x) = tại điểm x = 2. (ĐS: Hàm không liên tục tại x = 2)
Bài 2. Tìm điểm gián đoạn của các hàm số
a, f(x) = b, f(x) =
Bài 3. Cho hàm số

f(x) =
Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại x = 0.
(ĐS: Hàm số không liên tục tại x = 0)
Bài 4. Cho hàm số
f(x) =
Tìm A, B để hàm số liên tục trên toàn trục số
25