Toán 9 HSG 0708

PHÒNG GD BUÔN ĐÔN ĐỀ THI HSG HUYỆN-NĂM HỌC 2007-2008
THCS TRẦN HƯNG ĐẠO Môn: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài:150 phút
Bài 1 ( 3 điểm )

Cho P =
)2(2
242242
−
−+++−−+
x
xxxx
Với x > 2
Rút gọn
Bài 2 ( 3 điểm ) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba cạnh của tam giác.
Thì phương trình x
2
+ [ 1 + (
b
c
)
2
-(
b
a
)
2
]x + (
b
c
)

2
= 0 Vô nghiệm
Bài 3 ( 3 điểm ) Chứng minh rằng.

Nếu a.b.c = 1 thì
1
++
aab
a
+
1++ bbc
b
+
1++ cac
c
= 1
Bài 4 ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần
lượt ở E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BD tại D.
a) C/M tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc BC
b) C/M AE x AB = AF x AC
c) 0 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC tính tỷ số
BC
K0
khi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3Cm , HB = 4 Cm , CE = 8 Cm , và HC >HE. Tính HC
Bài 5 ( 4 điểm )
Cho đường tròn tâm O , M là một điểm trong đường tròn, dựng dây AB qua M sao cho tam
giác OAB lớn nhất.
Bài 6 ( 3điểm )

Giải và biện luận hệ phương trình.




−=++
=+
1)1(3
12
ymx
ymx
..................................................................................................
PHÒNG GD BUÔN ĐÔN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG HUYỆN
THCS TRẦN HƯNG ĐẠO Môn: TOÁN-LỚP 9
NĂM HỌC 2007-2008
Bài 1
P =
)2(2
)22()22(
22
−
+−+−−
x
xx
=
)2(2
2222
−
+−+−−
x

xx
(1 điểm)
Nếu
6022
≥⇔≥−−
xx
(0,5 điểm)
Thì P =
)2(2
2222
−
+−+−−
x
xx
=
2
2
−
−
x
x
(0,5 điểm)
Nếu
022 <−−x
thì x<6 (0,5 điểm)
P =
)2(2
2222
−
+−++−−

x
xx
=
2
2
−
x
(0,5điểm)
Bài 2
b
2
x
2
+ (b
2
+ c
2
–a
2
)x + c
2
= 0 (0,5điểm)

222222
4)( cbacb
−−+=∆
= (b - c - a) . (b – c + a) . (b + c –a) . (b + c + a) (1,5điểm)
Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác
0))()()((
0

0.
0
0)
<++−++−−−=∆⇒







>++
>−+
>−+
<−−
⇒ acbacbacbacb
acb
acb
cab
acb

(1 điểm)
⇒

phương trình vô nghiệm
Bài 3
Nhân cả tử số và mẫu số của
1
++
aab

a
Với c (1 điểm)
Ta được
cac
ac
cacabc
ac
++
=
++
1
(vì abc = 1)
Nhận của tử số và mẩu số của
1++ bbc
b
với ac ta được

(1 điểm)
1
1
1
11
1
1111
=
++
++
=
++
+

++
+
++
=
++
+
++
+
++
cac
cac
cac
c
acccac
ac
cac
c
bbc
b
aab
a

(1
điểm)
Bài 4 ( Học Sinh vẻ hình ghi giải thích , kết
luận đúng được 0,5 điểm)
a) ta có E, F lần lượt là giao điểm của
AB,AC với đường tròn đường kính BC

⇒

Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn
đường kính BC

⇒
góc BEC = góc BFC = 90
0
( Góc Nội
Tiếp nữa đường tròn)

⇒
BF,CE là hai đường cao của tam giác
ABC

⇒
H là trực tâm

⇒
AH Vuông Góc BC
(0,5diểm)
b) Chứng minh Tam giác AEC
∞
tam
giác AFB (g – g )
( 0.5 điểm)
AFxACAExAB
AB
AC
AF
AE
=⇒=⇒

( 0,5điểm)
c) Khi BHOC nội tiếp
gocBHCgocBOC
=⇒
Mà gocBHC=gocEHF và góc EHF+gócEAF=180 (tứ giác AEHF nội tiếp)
⇒
gócBOC +gócBAC=180
0
⇒
3. gócBAC=180
0
⇒
gócBAC=60
0
⇒
góc BOC=120
0

(0.5điểm)
Ta có K là trung điểm của BC .O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC
BCOK
⊥⇒
Mà tam giác OBC cân tại O
0
60
2
1
==⇒
gocBOCgocKOC

(0.25
điểm)
)1(
1
1
=
++
=
++
vìabc
accacabcbacc
abc
a)
H
A
K
C
F
E
B
D
3
3
60cotcot
0
===⇒
ggKOC
KC
OK
Mà BC=2KC nên

6
3
=
BC
OK
(0.25 điểm)
d) Chứng minh tam giác EHB đồng dạng tam giác FHC (g_g)
cmHFHBHCHE
HC
HB
HF
HE
123.4..
===⇒=⇒
(0.5
điểm)
012812).(
2
=+−⇒=−⇒
HCHCHCCEHC
2
=⇒
HC
hoặc HC=6 (0.5 điểm)
Khi HC=2 thì HE=6 (không thoả mãn vì HC>HE)
Khi HC=6 thì HE =2 (thoả mãn)
Vậy HC=6cm (0.25 điểm)
Bài 5
Phân tích :Kẻ OH
⊥

AB .Góc OAB lớn nhất thì sinOAB lớn nhất
R
OH
OA
OH
OAB
==⇔
sin
(lón nhất)
⇔
OH lớn nhất
Kẻ AB
⊥
OM thì ta luôn có OM
≥
OH .Vậy OH lớn nhất khi M trùng H hay OM
⊥
AB
(1,5 điểm)
Cách dựng: Nối O vói M
B
A
B
A
H
M
Dựng AB
⊥
OM .Nối O vói A
Vẽ hình đúng

(1
điểm)
Chúng minh: đúng
(0.5
điểm)
Biện luận:- Xét M trùng vói O luôn có một nghiệm hình
- Xét M khác O có vô số nghiệm hình
(1điểm)
Bài 6



−=++
=+
1)1(3
12
ymx
ymx







−=
−
++
−
=

⇒
1
2
1
).1(3
2
1
mx
mx
mx
y
⇔
x(m-2)(m+3) =m+3 (1) (1điểm)
+Nếu (m+3) (m-2)
≠
o hay m
≠
-3;m
≠
2 (0.5 điểm)
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
2
1
;
2
1
−
−
=
−

=
m
y
m
x
+Nếu (m+3)(m-2)=0 thì m=-3 ;m=2
. Nếu m=-3 thì pt(1) có vô số nghiệm .Nghiệm tổng quát:(x;y)=(
Rx
x
∈
+
/
2
31
) (0.5 điểm)
. Nếu m=2 thì pt (1)
⇔
0x=5
⇒
ptvn
⇒
hệ vô nghiệm (0.5 điểm)
* kết luận (0.5 điểm)
...........................................................................