Chủ đề: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI
I.Mục tiêu
- Củng cố khắc sâu phương pháp giải phương trình bậc nhất ,bậc hai
- Phương trình quy về bậc 1, bậc hai dạng phân thức và dạng căn thức
2.về kĩ năng.
- Biết giải phương trình bậc nhất ,bậc hai
- Phương trình quy về bậc 1, bậc hai dạng phân thức và dạng căn thức
3.Về tư duy và thái độ
- Phát triển tư duy logic, khả năng nhận dang bài toán suy ra phương pháp giải
- Thái độ cẩn thận trong tính toán và lập luận, hăng hái phát biểu xây dựng bài
4.Định hướng phát triển năng lực.
- Năng lực giao tiếp
- Năng lực hoạt động nhóm
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học.
II. Noäi dung
Dạng 1: Giải PT chứa GTTD.
A. Lý thuyết:
1. Định nghĩa và tính chất

A
A=
− A
•
•

khi A ≥ 0
khi A < 0

• A ≥ 0, ∀ A
2

A.B = A . B

2

• A =A

2. Cách giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ,
bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.

  f (x) ≥ 0
  f (x) = g(x) C  g(x) ≥ 0
2
⇔ 

⇔   f (x) = g(x)
  f (x) < 0
g(x)   − f (x) = g(x)  f (x) = −g(x)
C1

• Dạng 1:

f (x) =

C1

• Dạng 2:

C2

f (x) = g(x) ⇔ [ f (x)] = [ g(x)]
2

2

 f (x) = g(x)
⇔
 f (x) = − g(x)

a f (x) + b g(x) = h(x)
• Dạng 3:
Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.
B. Bài tập :
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)

2x − 1 = x + 3

b)

4x + 7 = 2x + 5

c)

x + 3 = 7− x

d) 2x − 5 = 2x − 7x + 5

2


Giải:
a. TH1: Với x≥1\2 ta có:

2x − 1 = 2x − 1

Khi đó PT trở thành: 2x-1= x+3
TH2: Với x≤1\2 ta có:

⇔

x=4(t/m)

2x − 1 = −2x + 1

Khi đó PT trở thành: - 2x +1= x+3 ⇔ 3x=-2
Vậy PT có hai nghiệm x=4 và x=-2\3.
b. HS tự giải
c.

⇔

x=-2\3 (t/m)

x + 3 = 7− x ⇔ (x+3)2 = (7-x)2 ⇔ x2 +6x+9= x2 -14x+49

⇔

20x= 40 ⇔ x=2
Vậy PT có một nghiệm x=2
2

d. 2x − 5 = 2x − 7x + 5

(

⇔

)

2
2x − 5 = 2x2 − 7x + 5
2
2
2
x
−
5
=
2
x
−
7
x
+
5
⇔

(
)

2
2x − 5 = −2x + 7x − 5

5

5
x =
x=
2


x = 2
2
2x2 − 9x + 10 = 0
⇔ 2
⇔ 
⇔  x = 2
x = 0
2x − 5x = 0
x = 0

5 
x =

2

Vậy PT có ba nghiệm x=2; x=0; x=5\2.

Bài 2:Giải các phương trình sau:

2

a) x − 2x +
Giải : a. C1 :

x − 1 − 1= 0

TH1: Với x≥1 ta có:

b)

x2 − 2x − 5 x − 1 + 7 = 0

x− 1 = x− 1

 x = − 1(l )
x2 − 2x + x − 1− 1= 0 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ 
 x = 2(t \ m)
Khi đó PT trở thành:
TH2: Với x≤2 ta có:

x−1 = −x+ 1

 x = 0(t \ m)
x2 − 2x − x + 1− 1= 0 ⇔ x2 − 3x = 0 ⇔ 
 x = 3(l )
Khi đó PT trở thành:
Vậy PT có hai nghiệm x=2; x=0.

C2: Ta có PT ⇔

x2 − 2x + 1+ x − 1 − 2 = 0 ⇔ ( x − 1) + x − 1 − 2 = 0
2

 t = 1(t \ m)
⇔
 t = −2(l)
Đặt : t= x − 1; t ≥ 0 Khi đó Pttt: t2 + t -2 =0


 x − 1= 1
x − 1 = 1⇔ 
⇔
 x − 1= − 1
Với t =1 ta có:

x= 2
x= 0


Vậy PT có hai nghiệm x=2; x=0.
b. Tương tự câu a.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) x − 1 + 2 − x = 2x
Giải: Ta có bảng xét dấu:
x
-∞
-x+1

x− 1

2− x

VT

b)

x − 1 + x + 2 + x − 3 = 14

1

2
x-1

x-1

x-2

x-2

2-x

-1

2x-3

1

TH1 : Với x ∈ (− ∞ ;1) . Khi đó PT trở thành: -1 = 2x

⇔

TH2: Với x ∈ (1;2) . Khi đó PT trở thành: 2x-3 = 2x
TH1 : Với x ∈ (2; + ∞ ) . Khi đó PT trở thành: 1 = 2x
Vậy PT có một nghiệm x=-1\2.
b. Tương tự câu a.
BTVN: Giải các phương trình sau:
a)

d)
g)

+∞

x2 − 3 x + 2 = 0

b)

x2 + 6x + 9 = 2x − 1

x − 1 − x + 2x + 3 = 2x + 4

⇔

⇔

x=-1\2 (t\m)
-3=0(PTVN)
x=1\2 (l)

x2 − 2x − 5 x − 1 − 5 = 0
2

e) x − 4x − 5 = 4x − 17
h)

4x + 7 = 4x + 7

c)

x2 + 4x + 3 x + 2 = 0

f) 4x − 17 =
i)

x2 − 4x − 5

2x − 3 = 3− 2x

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PT BẬC HAI.
I. MỤC TIÊU:
- HS nắm vững các cách phá căn bậc hai và giải PT chứa căn bậc hai.
- Rèn luyện kỷ năng giải PT chứa căn bậc hai.
-Phát triển tư duy khái quát , tương tự hoá.
II. NỘI DUNG:
Dạng 1: Giải PT chứa căn bậc hai.
A. Lý thuyết:
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn,
bằng cách:

– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác
định.

Dạng 1:

 f (x) = [ g(x)] 2

f (x) = g(x) ⇔  g(x) ≥ 0


Dạng 2:

 f (x) = g(x)
f (x) = g(x) ⇔ 
 f (x) ≥ 0 (hay g(x) ≥ 0)

Dạng 3:

 t = f (x), t ≥ 0

af (x) + b f (x) + c = 0 ⇔  at2 + bt + c = 0

Dạng 4:

f (x) + g(x) = h(x)
• Đặt u = f (x), v = g(x) với u, v ≥ 0.
• Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.

Dạng 5:

f (x) + g(x) + f (x).g(x) = h(x)
Đặt t =

f (x) + g(x), t ≥ 0 .

B. Bài tập:
Bài 1:Giải các phương trình sau:
a)

2x − 3 = x − 3

2

b) x + 2x + 4 = 2− x
2

2

d) (x − 3) x + 4 = x − 9

c)
3x2 − 9x + 1 = x − 2

Giải:a.
 x− 3≥ 0
x ≥ 3
2x − 3 = x − 3 ⇔ 
2⇔

2
2x − 3 = (x − 3)
2x − 3 = x − 6x + 9
x ≥ 3
x ≥ 3

⇔ 2
⇔  x = 2 ⇔ x = 6
 x − 8x + 12 = 0   x = 6

Vậy PT có một nghiệm x=6
2 − x ≥ 0
x2 + 2x + 4 = 2 − x ⇔  2
 x + 2x + 4 = 2− x
x ≤ 2
2 ≥ x

 x = −1
⇔ 2
⇔   x = −1 ⇔ 
 x + 3x + 2 = 0   x = −2  x = −2

b.
Vậy PT có hai nghiệm x=-1; x=-2.
c. Tương tự câu a.
d.


(x − 3) x2 + 4 = x2 − 9 ⇔ (x − 3) x2 + 4 = (x − 3)(x + 3)
 x− 3= 0

⇔ (x − 3)  x2 + 4 − ( x + 3) ÷ = 0 ⇔  2


 x + 4 = x+ 3
x = 3
 2
.  x + 4 = x + 3(*)
HS tự giải PT(*) và kết hợp nghiệm với x=3.

Bài 2: Giải các phương trình sau:
2

2

a) x − 6x + 9 = 4 x − 6x + 6
c)
Giải:

x + 1− x − 1 = 1

2

b) (x − 3)(8− x) + 26 = − x + 11x
2

2

d) x + 9 − x − 7 = 2

2

a)ĐK: x − 6x + 6≥0

x2 − 6x + 9 = 4 x2 − 6x + 6 ⇔ (x2 − 6x + 6) + 3 = 4 x2 − 6x + 6
 t = 1(t \ m)
⇔
 t = 3(t \ m)
Đặt t= x − 6x + 6; t ≥ 0 . Khi đó Pttt: t2 -4 t +3 =0
2

Với t=1 ta có:

 x = 1(t \ m)
x2 − 6x + 6 = 1⇔ x2 − 6x + 6 = 1⇔ x2 − 6x + 5 = 0 ⇔ 
 x = 5(t \ m)

Với t=3 ta có:

 x = 3+ 2 3(t \ m)
x2 − 6x + 6 = 3 ⇔ x2 − 6x + 6 = 9 ⇔ x2 − 6x − 3 = 0 ⇔ 
 x = 3− 2 3(t \ m)

Vậy PT có bốn nghiệm
b. Tương tự câu a
c. ĐK: x≥1

x + 1− x − 1 = 1⇔ x + 1 = x − 1+ 1⇔ ( x + 1)2 = ( x − 1+ 1)2
5
⇔ x + 1= x − 1+ 1+ 2 x − 1 ⇔ 2 x − 1 = 1⇔ 4(x − 1) = 1⇔ x = (t \ m)
4

Vậy PT có một nghiệm x=5\4.
GVHD cách khác: Đặt ẩn phụ:

 u = x + 1; u ≥ 0
⇒

 v = x − 1;v ≥ 0

 u2 = x + 1
 2
 v = x − 1

u2 − v2 = 2

Khi đó ta có hệ: u − v = 1
Tìm u; v rồi giải tìm x.
d. Tương tự câu c.
BTVN:


Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình
Giải các phương trình sau:
a)

x − 2x − 5 = 4 ;

d)

x2 + x − 12 = 8− x c) 3x2 − 9x + 1 = x − 2

2

d) (x + 4)(x + 1) − 3 x + 5x + 2 = 6
2

2

f) 3x + 5x + 8 − 3x + 5x + 1 = 1 g)
Baøi 6:Giaûi caùc phöông trình
a) 4x2 - 12x - 5

4x2 − 12x+ 11= 0

1
+
2x
−
− 6= 0
2
x
c) 4x2 + x

3x + 7 − x + 1 = 2

e)
3

5x + 7 − 3 5x − 13 = 1
b) x2 + 4x - 3 x + 2 + 4 = 0

1

e) x2 + 2

x 2 − 3x + 11 =3x + 4

d) x2 – x +

x 2 − x + 9 =3

f) x2 +3 x - 10 + 3 x(x + 3) = 0


CHỦ ĐỀ 4: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ
GIẢI TAM GIÁC
I. MỤC TIÊU
1.Kiến thức:
− Nắm được các định lí côsin, định lí sin trong tam giác.
− Nắm được các công thức tính độ dài trung tuyến, diện tích tam giác.
2.Kĩ năng:
− Biết vận dụng các định lí côsin, định lí sin để tính cạnh hoặc góc của một
tam giác.
− Biết sử dụng công thức tính độ dài trung tuyến và tính diện tích tam giác.
− Biết giải tam giác và biết thực hành việc đo đạc trong thực tế.
− Biết vận dụng vào chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác.
3.Thái độ:
− Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Vận dụng kiến thức đã học vào thực tế.
4. Định hướng phát triển năng lực:
− Năng lực giao tiếp
− Năng lực hoạt động nhóm

− Năng lực tính nhanh, tính nhẩm và sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ toán học.
II. NỘI DUNG
A. Lý thuyết:
Cho ∆ABC có:

– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S

1. Định lí côsin

a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A ;

2. Định lí sin

3. Độ dài trung tuyến

ma2 =

b2 = c2 + a2 − 2ca.cosB ;

a
b
c
=
=
= 2R

sin A sin B sinC

2(b2 + c2) − a2
4
;

4. Diện tích tam giác

mb2 =

2(a2 + c2) − b2
4
;

1
1
1
aha = bhb = chc
S= 2
2
2
1
1
1
bcsin A = casin B = absinC
2
2
= 2
abc
= 4R

=

pr

c2 = a2 + b2 − 2ab.cosC

mc2 =

2(a2 + b2) − c2
4


=

p( p− a)( p − b)( p − c)

(công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)

A

B

H

C Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao.

•

BC 2 = AB2 + AC 2 (định lí Pi–ta–go)

•

AB2 = BC.BH ,

AC 2 = BC.CH
1

=

1

+

1

•

AH 2 = BH .CH ,

•

AH .BC = AB.AC

•

b = a.sinB = a.cosC = c tanB = c cotC ; c = a.sinC = a.cosB = btanC = bcotC

AH 2

T

B

A

R

O

M

AB2 AC 2

C
D
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.

uuur uuur uuur uuuur
MA.MB = MC.MD = MO2 − R2

PM/(O) =
• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
PM/(O) =

MT 2 = MO2 − R2

B. Bài tập:
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
1. Phương pháp.
• Sử dụng định lí côsin và định lí sin
• Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các
yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác.
• Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố
cho trước.
Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau : biết
một cạnh và hai
góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh.


Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin ; định lí tổng ba góc trong
một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn
và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho ∆ ABC có a = 7, b = 8, c = 5; Tính: Â, S, ha, R, r, ma
Giải:
•
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA ⇔ 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos A ⇔ Cos A = ½ ⇒ Â
= 600
•
S = ½ b.c.sinA = ½ 8.5.
3
=10 3
2
•

S = ½ a.ha ⇔ ha =
2S 20 3
=
a
7

•

⇔R=
abc
abc 7 3
=
4R
4S
3
S = p.r ⇔ r =
S
= 3
p
S=

•

•

⇒ ma =

=
2
a

m

2b2 +2c2 - a2 129
=
4
4

Ví dụ 2: Cho ∆ABC vuông tại A,

129
2

µ
Bµ =580 và cạnh a = 72 cm. Tính C , cạnh b, cạnh c và

đường cao ha.
Đ1.

µ

µ

• C = 900 – B = 420
• b = a.sinB ≈ 61,06 (cm)
• c = a.sinC ≈ 38,15 (cm)

bc
• ha = a ≈ 32,36 (cm)

µ

2. Cho ∆ABC có A = 1200, cạnh b = 8 cm, c = 5 cm. Tính cạnh a và các góc
Đ2.
• a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA = 129
⇒ a ≈ 11,36 (cm)

a2 + c2 − b2
2ac
• cosB =
≈ 0,79

µ
Bµ , C .


⇒

Bµ ≈ 37048′

µ

µ µ
• C = 1800 – ( A + B ) ≈ 22012′
4. Cho ∆ABC có cạnh a = 137,5 cm,
đường tròn ngoại tiếp, các cạnh b, c.
Đ5.
•

µA = 1800 – ( Bµ + Cµ ) = 400

a
• R = 2sin A ≈ 107 (cm)
• b = 2RsinB ≈ 212,31 (cm)
• c = 2RsinC ≈ 179,40 (cm)

µ
Bµ = 830, C = 570. Tính µA , bán kính R của