bài tập vè phương trình , hệ phương trình, bất phương trình đầy đủ các dạng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (221.19 KB, 6 trang )
MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
MỘT SỐ BÀI PHƯƠNG TRÌNH HAY VÀ ĐẶC SẮC
Bài 1:
Giải phương trình
2
2 1 3 1 0
x x x
− + − + =
Bài 2:
Giải phương trình
2
2 1 ( 1) 0
x x x x x x
− − − − + − =
Bài 3:
Giải phương trình
2
4 2 3 8 1
x x x
+ + = +
Bài 4:
Giải phương trình
2 2
( 1) 2 3 1
x x x x
+ − + = +
Bài 5:
Giải phương trình
2 2
(3 1) 3 3 2 3
x x x x
+ + = + +
Bài 6: Giải phương trình:
(
)
3
2
3 3
2 3 1 3 4
x x x x
+ − − − + =
Lời giải:
Nhận xét:
(
)
(
)
( )( )
2
4 1 3
1 3 2 3
x x
x x x x
= − − − +
− + = + −
.
nên ta có
( )
(
)
( )
3
2
3 3
1 3 2 3 1 3 0
pt x x x x x x
⇔ − − − + + − − − + = ∗
Đặ
t:
3
3
1
3
a x
b x
= −
= − +
ta có ph
ươ
ng trình m
ớ
i
( ) ( )( )
2
3 3
0 0
a b
a b ab a b a b a b
a b
= −
+ − + = ⇔ + − = ⇔
=
3 3
3 3
1 3 1
1 3
x x x
S
x x
− = − + = −
↔ ⇔
= ∅
− = +
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
1
x
= −
Bài 7:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
( )
(
)
2 2
3 1 2 3 4 1 2 0
x x x x x
− + − + + − =
Lời giải:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( )
( )
2
1
1 2 0
2 1
x
x x x
x
≥
+ + − ≥ ⇔
− ≤ ≤ −
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho
( )
(
)
2 2
4
2 3 1 2 0
3
x x x x x
⇔ + − − − + − =
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2 2
4
2 1 1 2 0
3
x x x x x x
⇔ + − + + − + + − = ∗
Nh
ậ
n xét:
1 0
x
+ =
không là nghi
ệ
m, chia c
ả
hai v
ế
c
ủ
a
(
)
∗
cho
1
x
+
ta có ph
ươ
ng trình:
2 2
2 4 2
1 0
1 1
3
x x x x
x x
+ − + −
⇔ − + =
+ +
Đặ
t
( )
( )
2
2
3
2 4 3
0 1 0 3 0
3
1 3
3
3
t
x x
t t pt t t t t
x
t
=
+ −
= ≥
⇒
⇔ − + = ⇔ − − = ⇔
+
=
•
V
ớ
i
2
2
1 6
2
3 3 2 5 0
1
1 6
x
x x
t x x
x
x
= +
+ −
= → = ⇔ − − = ⇔
+
= −
•
V
ớ
i
2
2
3 2 3
3 2 7 0 22 1
3 1 3
x x
t x x x
x
+ −
= → = ⇔ + − = ⇔ = −
+
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m:
{
}
1 6 1 6 22 1
x ; ;
= − + −
MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Bài 8: Giải phương trình:
2 2
6 3 1 2 2 6 0
x x x x x
+ − + − − − + =
Lời giải:
Điều kiện:
2
2
6 0
1 0 2
2 6 0
x x
x x
x x
+ − ≥
− ≥ ⇔ ≥
− + ≥
Phương trình đã cho
2 2
6 3 1 2 2 6
x x x x x
⇔ + − + − = − +
(
)
( ) ( )
2 2 2
6 6 6 1 9 1 4 8 24
x x x x x x x x
⇔ + − + + − − + − = − +
( )( )( ) ( )
(
)
( )
2 2 2
2 2 3 1 6 13 2 2 2 3 2 3 8 2
x x x x x x x x x x x
⇔ − + − = − + ⇔ − + − = + − − −
Nhận xét:
2 0
x
− =
không là nghiệm, chia cả hai vế cho
2
x
−
ta được phương trình:
2 2
2 3 2 3
2 8 0
2 2
x x x x
x x
+ − + −
⇔ − − =
− −
Đặt:
( )
2
2 2 2
2 3
2 2 3 0
2
x x
t x x t t
x
+ −
= ⇔ + − + − =
−
.
Điều kiện của
t
là
4 2
0
6 20
12 16 0
0 6 20
x
t
t
t t
t
≥
≥ +
⇔
∆ = − + ≥
≤ ≤ −
( )( )
2
2 8 0 2 4 0 4
pt t t t t t
⇒ ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔ =
Với
2
2
7 20
2 3
4 4 14 29 0
2
7 20
x
x x
t x x
x
x
= +
+ −
= → = ⇔ − + = ⇔
−
= −
Vậy phương trình có hai nghiệm:
{
}
7 20 7 20
;− +
Bài 9: Giải phương trình
( )
2
4 3 2 3
1
2 2 2 1
x
x x x x x x
x
−
− + + + = +
Lời giải:
Ta có phương trình
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
1
1 1 1
x
x x x x x
x
−
⇔ − + + = +
Do
( ) ( )
2 2
2
1 1 0
x x x , x R
− + + > ∀ ∈
nên
x
là nghiệm của phương trình
2
0
1
1
0
x
x
x
x
>
⇔ ⇔ >
−
>
.
V
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n này ta có
( ) ( )
(
)
( )( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1 1 1pt x x x x x x x
⇔ − + + = + − + ∗
Đặ
t:
(
)
2
1
1
1
a x x
a b x
b x
= −
→ + = +
= +
. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình
(
)
∗
tr
ở
thành:
( )
2
2 2
1
a a a a
a b a b ab
b
b b b
+ = + ⇔ + = +
Đặ
t:
( )
0
a
t t
b
= >
( )
(
)
2
4 3 2
1 1 1 0 1
pt t t t t t t t
⇒ ⇔ + = + ⇔ − + + = ⇔ =
V
ớ
i
( )
( )
( )
2
1 2
1 1 1 1 2 1 0
1 2
x TM
a
t x x x x x
b
x l
= +
= ⇒ = ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔
= −
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m:
1 2
x = +
MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Bài 10: Giải phương trình:
(
)
2 4 3 2
8 25 18 3 16 96 218 216 81
x x x x x x− + = − + − +
Lời giải:
Nhận xét:
( )
( )
4
4 3 2 4 3 2 2 2
2
2
16 96 218 216 81 16 96 216 216 81 2 2 3 2
8 25 18 2 2 3
x x x x x x x x x x x
x x x x
− + − + = − + − + + = − +
− + = − −
Đặt
( )
2
2 3
x a
− =
.
Vậy phương trình trở thành
( )
( )( )
2 2
2 2
2
22 3 2
5 0
4 5 0
x
x
a
a
a x a x
a x a x
a ax x
≥
≥
− = + ⇔ ⇔
+ − =
− − =
•
V
ớ
i
( )
2
2 3a x x x S
= − → − = − ⇔ = ∅
•
V
ớ
i
( )
2
2
17 145
5 2 3 5 4 17 9 0
8
a x x x x x x
±
= → − = ⇔ − + = ⇔ =
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m:
17 145
8
x
±
=
Bài 11:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( )
2 2
13
9 10 2 3 1 2 3
2
x x x x
+ − = + −
Lời giải:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
3
2 3 0
2
x x− ≥ ⇔ ≥
Ph
ươ
ng trình
(
)
( )
2 2 2
5
2 2 3 9 4 2 3 1 2 3
2
x x x x x
⇔ − + + − = + −
Đặ
t:
( )
2
2 3 0
x t t
− = ≥
. Ph
ươ
ng trình tr
ở
thành
( )
2 2
5
2 2 3 1 9 4 0
2
t x t x x
− + + + − =
Ta có:
( ) ( )
2 2
2
5
3 1 2 9 4 2 3 0
2
t
x x x x
∆ = + − + − = − ≥
( )
2
2
2
2
4
7 8 28 0
2 2 3 4
2
5 2
17 20 16 0
2 2 3 5 2
2
x
t
x x
x x
x
x x
x x
t
+
=
− − =
− = +
⇒ ⇒ ⇔
−
− + = ∗
− = −
=
•
2
4 2 53
7 8 28 0
7
x x x
±
− − = ⇔ =
•
Xét ph
ươ
ng trình
(
)
∗
có:
2
2 2
5 39
17 20 16 4 0
2 4
VT x x x x
= − + = + − + >
. V
ậ
y
(
)
∗
vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m là:
4 2 53
7
x
±
=
Bài 12:
Gi
ả
i PT:
2 4 2 2
2 1 1
1 ( 1)
x x x x x x
x x x x
− + + + +
+ =
+ +
Lời giải:
Đ
k:
0
x
>
Nh
ậ
n xét:
4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 ( 1) ( 1)( 1)
x x x x x x x x x x x
+ + = + + − = + − = + + − +
PT
2 2 2 2
1 1 1 1
1 .
1 1
x x x x x x x x
x x x x
− + − + + + + +
⇔ − + =
+ +
MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Ta đặt:
2 2
1 1
, ,( , 0)
1
x x x x
a b a b
x x
− + + +
= = ≥
+
ta có:
2
1 ( 1)( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0 1
a ab b a a b a a a b a
− + = ⇔ − + + − = ⇔ − + + = ⇔ =
Với a = 1 ta có:
2
1
1 2
1
x x
x
x
− +
= ⇒ =
+
Kết luận: x =2 là nghiệm của PT đã cho.
Bài 13: Giải PT:
4 2 4 2
5 4 3 18 5
x x x x x
+ − − − =
Lời giải:
Đk:
4 2 2 2 2
3 18 0 ( 3)( 6) 0 6
x x x x x
− − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≥
Khi đó PT
4 2
4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
3 18 5 0,(1)
5 4 3 18 5
5 4 22 18 10 3 18,(2)
x x x
x x x x x
x x x x x x x
− − + ≥
⇔ + = − − + ⇔
+ = + − + − −
Gi
ả
i (2) ta có (2)
4 2 4 2 4 2 2 2
2 9 9 5 3 18 2 9 9 5 ( 3)( 6)
x x x x x x x x x x
⇔ − + = − − ⇔ − + = + −
2 2 2 2 2
2 ( 6) 3( 3) 5 ( 3)( 6)
x x x x x x
⇔ − + + = + −
Đặ
t:
2 2
6, 3
a x x b x
= − = +
ta có:
2 2
2 3 5 (2 3 )( ) 0
2 3
a b
a b ab a b a b
a b
=
+ = ⇔ − − = ⇔
=
+ V
ớ
i a = b ta có:
2 2
4 2
0
7 61
6 3
2
7 3 0
x
x x x x
x x
≥
+
− = + ⇔ ⇒ =
− − =
+V
ớ
i 2a = 3b ta có:
2 2
4 2
0,( (1))
2 6 3 3 3
33 27 0
x tm
x x x x
x x
≥
− = + ⇔ ⇔ =
− − =
K
ế
t lu
ậ
n: V
ậ
y PT có 2 nghi
ệ
m nh
ư
trên
Bài 14:
Gi
ả
i PT:
2 2
9 6 10 (3 1) 9 8
x x x x
+ − = + −
Lời giải:
Đặ
t
2
9 8( 0)
t x t
= − ≥
ta có:
2 2
9 8
t x
= −
PT
2 2
6 2 (3 1) (3 1) 6 2 0
t x x t t x t x
⇒ + − = + ⇔ − + + − =
2 2 2
(3 1) 4(6 2) 9 18 9 (3 3)
x
x x x x x
∆ = + − − = − + = −
3 1 3 3
3 1
2
3 1 3 3
2
2
x x
t x
x x
t
+ + −
= = −
⇒
+ − +
= =
V
ớ
i
2
1
3
3 1 9 8 3 1
3
2
8 6 1
x
t x x x x
x
≥
= − ⇒ − = − ⇔ ⇔ =
− = − +
V
ới
2
2 3
2 9 8 4
3
t x x= ⇔ − = ⇔ = ±
Bài 15:
Gi
ả
i PT :
2 2 2
( 2 ) ( 1) 2( 2 1) 13
x x x x x
+ + + + − =
MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Lời giải:
Đk:
2
2 1
x x
+ ≥
Nhận xét:
2 2 2 2 2 2
( 2 ) 1 ( 2 1)( 2 1) ( 2 1)( 1)
x x x x x x x x x
+ − = + − + + = + − +
PT
2 2 2
( 2 1)( 1) ( 1) 2( 2 1) 12
x x x x x x
⇔ + − + + + + − =
Đặt
2
( 1) 2( 2 1)
t x x x
= + + −
ta có
2
4
1
12 0
6
2
t
t t
t
=
+ − = ⇔
= −
+ Với
4
t
=
ta có:
2
2 2
1
( 1) 2( 2 1) 4
( 1) ( 2 1) 8
x
x x x
x x x
≥ −
+ + − = ⇔
+ + − =
4 2 2
1 1
1
( 1) 2( 1) 8 0 ( 1) 4
x x
x
x x x
≥ − ≥ −
⇔ ⇒ ⇔ =
+ − + − = + =
+ Với
6
t
= −
ta có:
2
2 2
1
( 1) 2( 2 1) 6
( 1) ( 2 1) 18
x
x x x
x x x
≤ −
+ + − = − ⇔
+ + − =
4 2
2
1
1
1 1 19
( 1) 2( 1) 18 0
( 1) 1 19
x
x
x
x x
x
≤ −
≤ −
⇔ ⇔ ⇒ = − − +
+ − + − =
+ = +
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Giải các phương trình sau.
a)
2
4 1 5 14
x x x
+ = − +
Đ/s: Nhóm bình phương, x = 3
b)
4 3 2 3 2 11
x x x
+ + + − =
Đ/s: Nhóm bình phương,
5
4
x
=
c)
4 2 2 2
2 2 16 2 6 20 0
x x x x x x
− − + + − + =
Đ/s: Nhóm bình phương,
2
x
=
d)
2 2
2( 1) 3 1 2 2 5 2 8 5
x x x x x x
− + + = + + − −
Đ/s:
Nhóm bình ph
ươ
ng,
(
)
2
2
2
( 1) 3 1 2 2 1 0 1
PT x x x x x
⇔ + − + + + − + = ⇒ =
Bài 2:
Giải các phương trình sau.
a)
2 2
24 15 3 2
x x x
+ − + = −
Đ/s: Liên hợp, x = 1
b)
2
5( 3)
1 2 4
2 18
x
x x
x
−
+ − − =
+
Đ/s: Liên hợp,
3
3; 1;
2
x = −
c)
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x
−
+ − − =
+
Đ/s: Liên hợp,
2
; 2
3
x
= ±
Bài 3:
Giải các phương trình sau.
a)
2 2 2
(3 2) 1 2 2
x x x x
+ − + = + +
Đ/s: Đặt ẩn không hoàn toàn,
14
x = ±
b)
2 2
3
(3 1) 2 1 5 3
2
x x x x
+ − = + −
Đ/s: Đặt ẩn không hoàn toàn,
1; 5
x x
= ± =
MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
c)
2 2
6 10 5 (4 1) 6 6 5
x x x x x
− + = − − +
Đ/s: Đặt ẩn không hoàn toàn,
59 3
10
x
−
=
Bài 4:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau.
a)
2
2 6 1 4 5
x x x
− − = +
Đ/s: Đặ
t
ẩ
n
đư
a v
ề
h
ệ
đ
x lo
ạ
i 2,
1 2; 2 3
x x= − = +
b)
2
6 2 8
x x x
− − = +
Đ/s: Đặ
t
ẩ
n
đư
a v
ề
h
ệ
đ
x lo
ạ
i 2,
7 3 5 5 41
;
2 2
x x
+ −
= =
