Các bài toán cực trị trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------------------------

ĐINH VĂN TUYÊN

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------------------------

ĐINH VĂN TUYÊN

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chủ tịnh hội đồng bảo vệ

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG

TS.Lê Đình Định

Hà Nội - 2016


STT
MỤC LỤC

01

Lời cảm ơn…………………………………………………………………….02
Lời nói đầu…………………………………………………………………….03
Bố cục chính của luận văn………………………………………………… ..04
Một số ký hiệu dùng trong luận văn………………………………………...07
Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị………………………………………………08
1.1

Các đẳng thức cơ bản trong tam giác……………………………….08

1.2

Một số bất đẳng thức đại số cơ bản………………………………....12

1.3

Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác…………………………...15

Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác…………………………….17
2.1 Một số phƣơng pháp giải các bài toán cực trị trong tam giác……..17
2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ ……………………………………….....18
2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai…………………………….....21
2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm ……………………………………….29
2.1.4 Dùng các bất đẳng thức đại số cơ bản……………………………...33
2.2 Một số bài toán cực trị trong tam giác……………………………….44
Chƣơng 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác…………...55
Kết luận…………………………………………………………………….....77
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………....78

3


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Lê Đình Định người thầy đã trực tiếp giảng dạy,
hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường
Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đã
trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã
giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

4


LỜI NÓI ĐẦU
Các bài toán cực trị trong tam giác là một phần quan trọng của toán sơ cấp, và
nó có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức trong tam giác ở phương pháp giải. Có

rất nhiều các dạng toán thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề này.
Điểm khác biệt quan trọng giữa bài toán cực trị trong tam giác và bài toán bất
đẳng thức trong tam giác là: bài toán bất đẳng thức trong tam giác biết trước cái
đích ta phải đi đến (tức là biết cả hai vế), còn bài toán cực trị trong tam giác thì
không.
Ví dụ:
a. (về bài toán bất đẳng thức trong tam giác): Cho tam giác ABC , chứng minh rằng
3 cos A  2cos B  2 3 cos C  4

b.(về bài toán cực trị trong tam giác): Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức

M  3 cos A  2cos B  2 3 cos C

do vậy bài toán cực trị trong tam giác có độ phức tạp hơn bài toán bất đẳng thức
trong tam giác. Tuy nhiên, nếu nắm vững được các phương pháp giải các bài toán
bất đẳng thức trong tam giác thì cũng dễ dàng làm được các bài toán cực trị trong
tam giác, và ngược lại.
Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, các bài toán
liên quan đến Các bài toán cực trị trong tam giác cũng hay được đề cập và thuộc
loại khó. Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, cực trị trong tam giác hay nhận
dạng tam giác đã được đề cập nhiều ở các tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh
chuyên toán bậc trung học phổ thông.
Các kết quả nghiên cứu về nội dung này đến nay đã tương đối đầy đủ và hoàn
thiện. Chính vì vậy để có kết quả mới có ý nghĩa về nội dung này là một việc làm
rất khó đối với bản thân tôi.

5

Tuy nhiên, với sự nỗ lực và nhận thức của bản thân, trong luận văn của mình
tôi đã cung cấp một số kiến thức cơ bản về đẳng thức và bất đẳng thức trong tam
giác, và hệ thống được một số phương pháp trong việc giải bài toán cực trị trong
tam giác, nêu ra được một số bài toán cực trị trong tam giác. Đồng thời tôi cũng đưa
ra được một số cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác.
Trong quá trình hoàn thành luận văn tác giả đã không ngừng nỗ lực để học
hỏi, tìm tòi và sưu tầm các bài toán cực trị trong tam giác. Tuy nhiên, do sự hiểu
biết của bản thân, điều kiện thời gian và khuân khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc
chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những khiếm khuyết. Tác
giả mong được sự chỉ dạy của các thầy (cô) giáo và các quí bạn đọc để luận văn của
tôi thêm hoàn thiện hơn.

6


Bố cục của luận văn bao gồm:
Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị
Chương này gồm các định lí, công thức và một số đẳng thức, bất đẳng thức
cơ bản trong tam giác như: định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, các công thức
tính diện tích tam giác, công thức tính bán kính, công thức đường trung tuyến,
công thức đường phân giác, công thức hình chiếu, một số đẳng thức cơ bản
trong tam giác, một số bất đẳng thức đại số cơ bản thường gặp, một số bất đẳng
thức cơ bản trong tam giác.
Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác
Gồm 5 phần:
Phần 1: Sử dụng các tính chất của tích vô hướng
2

  
a) a . b  a.b

 n 
b)   ai   0
 i 1 

để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác
Phần 2: Sử dụng tính chất về dấu của tam thức bậc hai.
Cho f  x   ax 2  bx  c
a)   0  af  x   0; x

  0

b) Nếu  sao cho: af    0 thì 
   x1 ; x2 

để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác
Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác.
Phần 4: Dùng các bất đẳng thức để giải bài toán cực trị trong tam giác.
Phần 5: Nêu ra một số bài toán cực trị trong tam giác.

7


Chƣơng 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác.
Trong chương này tác giả dùng các kiến thức phổ thông, các đẳng thức và
bất đẳng thức cơ bản trong tam giác, các bất đẳng thức đã biết, bất đẳng thức
Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Trêbưsep, bất đẳng thức
Jensen … để xây dựng lên các bài toán cực trị trong tam giác.
Ngày … tháng 12 năm 2016
Học viên

8


Một số ký hiệu dùng trong luận văn
1) ABC : tam giác ABC
A;B;C: là các đỉnh, đồng thời là số đo ba góc của tam giác ABC.
a; b;c: lần lượt là số đo độ dài ba cạnh BC; AC; AB.
2) ha ; hb ; hc : là độ dài các đường cao tương ứng các cạnh a; b; c.
3) la ; lb ; lc : là độ dài các đường phân giác tương ứng các cạnh a; b; c.
4) ma ; mb ; mc : là độ dài các đường trung tuyến tương ứng các cạnh a; b; c.
5) ra ; rb ; rc : là bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng các góc:A;B;C.
6) R; r: là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.
7) p; S: thứ tự là nửa chu vi và diện tích tam giác ABC.
8) Min; max: lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
9)  : với mọi.
10) CMR: chứng minh rằng.
11) Đpcm: Điều phải chứng minh.
12)  ;  ;  : lần lượt là tập số thực, tập số nguyên, tập số tự nhiên.

9


Chƣơng 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác
1.1.1. Các định lí và công thức cơ bản trong tam giác.
1.1.1.1. Định lý hàm số sin :

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

1.1.1.2. Định lý hàm số cos :
a2  b2  c2  2bc.cos A

b2  a 2  c2  2ac.cos A
c2  a 2  b2  2ab.cos A

1.1.1.3. Định lý hàm số tan :
A B
tan
a b
2

a  b tan A  B
2
B C
bc
2

b  c tan B  C
2
tan

CA
ca
2

C

A
c  a tan
2
tan

1.1.1.4. Công thức tính diện tích tam giác
SABC 

1
1
1
ah a  bhb  chc
2
2
2




1
1
1
ab.sin C  bc.sin A  ca.sin B
2

2
2

abc
 pr  ( p  a)ra  ( p  b)rb  ( p  c)rc
4R

 2R2 sin A sin B sin C

 p( p  a)( p  b)( p  c)

10

(công thức He - ron)


1.1.1.5. Công thức bán kính:
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
R

a
b
c
abc



2sin A 2sin B 2sin C 4S

- Bán kính đường tròn nội tiếp:

r  ( p  a) tan

A
B
C S
 ( p  b) tan  ( p  c) tan 
2
2
2 p

- Bán kính đường tròn bàng tiếp:
ra  p tan

A
S

2 pa

rb  p tan

B
S

2 p b

rc  p tan

C
S


2 pc

1.1.1.6. Công thức đƣờng trung tuyến
ma 2 

b2  c 2 a 2

2
4

mb 2 

c 2  a 2 b2

2
4

mc 2 

a 2  b2 c2

2
4

1.1.1.7. Công thức phân giác trong
lb 

2ca
B
cos

ca
2

lc 

2ab
C
cos
ab
2

la 

2bc
A
cos
bc
2

1.1.1.8. Công thức hình chiếu
a  b.cos C  c.cos B  r (cot

B
C
 cot )
2
2

11

b  a.cos C  c.cos A  r (cot

A
C
 cot )
2
2

c  a.cos B  b.cos A  r (cot

B
A
 cot )
2
2

Chứng minh ( Xem trong [1] )
1.1.2. Một số đẳng thức cơ bản trong tam giác
Trong mọi ABC ta luôn có:
A
2

B
2

1.1.2.1. sin A  sin B  sin C  4cos cos cos

C
2

1.1.2.2. sinh 2 A  sin 2B  sin 2C  4sin A sin B sin C
1.1.2.3. sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  2cos A cos B cos C  2
1.1.2.4. cos A  cos B  cos C  4sin

A
B
C
sin sin  1
2
2
2

1.1.2.5. cos 2 A  cos 2B  cos 2C  4cos A cos B cos C 1
1.1.2.6. cos2 A  cos2 B  cos2 C  2cos A cos B cos C  1
Chứng minh:
Các bài từ 1.1.2.1. đến 1.1.2.6. đều chứng minh tương tự nhau đó là sử dụng các
công thức lượng giác để biến đổi vế trái thành vế phải .
Lƣu ý: A  B  C   . Ta chứng minh 1.1.2.3. các ý còn lại tương tự
Ta có
sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C
1  cos 2 A 1  cos 2 B


 1  cos 2 C
2
2
 2  cos( A  B) cos( A  B)  cos 2 C
 2  cos C  cos( A  B)  cos C 
AC  B

A B C
sin
2
2
 2(1  cos A cos B cos C )
 2  cos C.(2).sin

1.1.2.7. cot

A
B
C
A
B
C
 cot  cot  cot cot cot
2
2
2
2
2
2

1.1.2.8. tan

A
B
B
C
C

A
tan  tan tan  tan tan  1
2
2
2
2
2
2

12

:


1.1.2.9. cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A  1
1.1.2.10. tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C ( ABC không vuông)
Chứng minh
Cách chứng minh của bốn bài từ 1.1.2.7. đến 1.1.2.10. tương tự nhau, ta
chứng minh bài 1.1.2.9.
Ta có: cot( A  B)   cot C


cot A cot B  1
  cot C
cot A  cot B

 cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A  1
A
2

B
2

1.1.2.11. cos cos cos
1.1.2.12. tan

C
p
;

2 4R

sin

A
B
C r  4R
;
 tan  tan 
2
2
2
p

A
B
C
r
sin sin 
2

2
2 4R

cot

A
B
C p
 cot  cot 
2
2
2 r

Chứng minh ( Xem trong [1] )
1.1.3. Một số bài toán đẳng thức dạng tổng quát
Chứng minh rằng trong mọi ABC và k  ta luôn có:
1.1.3.1. sin(2k  1) A  sin(2k  1) B  sin(2k  1)C
 (1)k 4cos(2k  1)

A
B
C
cos(2k  1) cos(2k  1)
2
2
2

1.1.3.2. sin 2kA  sin 2kB  sin 2kC  (1)k 1 4sin kA sin kB sin kC
1.1.3.3. cos(2k  1) A  cos(2k  1) B  cos(2k  1)C
 1  (1)k 4sin(2k  1)

A
B
C
sin(2k  1) sin(2k  1)
2
2
2

1.1.3.4. cos 2kA  cos 2kB  cos 2kC  1  (1)k 4cos kA cos kB cos kC
1.1.3.5. tan kA  tan kB  tan kC  tan kA tan kB tan kC
1.1.3.6.
cot(2k  1)

A
B
C
A
B
C
 cot(2k  1)  cot(2k  1)  cot(2k  1) cot(2k  1) cot(2k  1)
2
2
2
2
2
2

1.1.3.7.

13


A
B
B
C
C
A
tan(2k  1)  tan(2k  1) tan(2k  1)  tan(2k  1) tan(2k  1)  1
2
2
2
2
2
2
cot
kA
cot
kB

cot
kB
cot
kC

cot
kC
cot
kA


1
1.1.3.8.

tan(2k  1)

1.1.3.9. cos2 kA  cos2 kB  cos2 kC  1  (1)k 2cos kA cos kB cos kC
1.1.3.10. sin 2 kA  sin 2 kB  sin 2 kC  2  (1)k 1 2cos kA cos kB cos kC
Chứng minh
Bài 1.1.3.1. là bài tổng quát của Bài 1.1.2.1.
Ta có: sin(2k  1) A  sin(2k  1) B  sin(2k  1)C 
2sin(2k  1)

A B
A B
C
C
cos(2k  1)
 2sin(2k  1) cos(2k  1)
2
2
2
2

 2(1)k cos(2k  1)

C
A B
A B
cos(2k  1)

 cos(2k  1)

2
2
2 

 (1)k 4cos(2k  1)

A
B
C
cos(2k  1) cos(2k  1)
2
2
2

Bài 1.1.3.2.; bài 1.1.3.3.; bài 1.1.3.4. lần lượt là bài tổng quát của bài
1.1.2.2.; bài 1.1.2.3.; bài 1.1.2.4. cách chứng minh tương tự bài 1.1.3.1.
Bài 1.1.3.5. là bài tổng quát của bài 1.1.2.10.
Ta có: tan kA  tan  k  k ( B  C )   tan(kB  kC ) 

tan kB  tan kC
1  tan kB tan kC

Từ đó có được: tan kA  tan kB  tan kC  tan kA tan kB tan kC
Bài 1.1.3.6. là bài tổng quát của bài 1.1.2.7. chứng minh tương tự bài 1.1.3.5.
Bài 1.1.3.7. là bài tổng quát của bài 1.1.2.8.
Ta có
tan(2k  1)

A
 BC
 tan(2k  1)( 
)
2
2
2

B
C

 cot (2k  1)  (2k  1) 
2
2




1
B
C

tan (2k  1)  (2k  1) 
2
2


14

B
C
tan(2k  1)
2
2

B
C
tan(2k  1)  tan(2k  1)
2
2
1  tan(2k  1)

Từ đó ta có đựơc:
tan(2k  1)

A
B
C
C
A
tan(2k  1)  tan(2k  1) tan(2k  1)  tan(2k  1) tan(2k  1)  1
2
2
2
2
2

Bài 1.1.3.8. là bài tổng quát của bài 1.1.2.9. cách chứng minh tương tự bài
1.1.3.7.

Bài 1.1.3.9. là bài tổng quát của bài 1.1.2.6.
Ta có: cos2 kA  cos2 kB  cos2 kC 
1
2

1
2

= (1  cos 2kA)  (1  cos 2kB)  (1) k cos kC cos k ( A  B)
 1  (1)k cos kC cos k ( A  B)  cos k ( A  B)
 1  (1)k 2cos kA cos kB cos kC

Bài 1.2.3.10. là bài tổng quát của Bài 1.2.1.3. chứng minh tương tự bài
1.2.3.9.
của bài tập 1.2.1.; bài tập 1.2.2.; bài tập 1.2.3.
1.2. Một số bất đẳng thức đại số cơ bản
1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số không âm: a1 , a2 ,..., an Ta có bất đẳng thức:
a1  a2  ...  an n
 a1a2 ...an
n

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an
1.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski
Cho n cặp số bất kì: a1 , a2 ,..., an ; b1, b2 ,..., bn
Ta có bất đẳng thức:
(a1b1  a2b2  ...  anbn )2   a12  a22  ...  an2  b12  b22  ...  bn2 

Hay gọn hơn:

15


2

 n
  n 2  n 2 
  ai bi     a i   bi  Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:
 i 1
  i 1  i 1 
k : ai  kbi (*)

Với i  1, 2,..., n (nếu bi  0; i(*) được viết:

a
a1 a2

 ...  n )
b1 b2
bn

1.2.3. Bất đẳng thức Trêbƣsep
Cho hai dãy số sắp thứ tự giống nhau:
a1  a2  ...  an ; b1  b2  ...  bn

Ta có bất đẳng thức sau:
 a1  a2  ...  an  b1  b2  ...  bn   a1b1  a2b2  ...  anbn 





n
n
n


 


(*)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a1  a2  ...  an b1  b2  ...  bn
;

CHÚ Ý: Nếu hai dãy số trên sắp xếp ngược chiều nhau thì bất đẳng thức (*)
đổi chiều.
1.2.4. Bất đẳng thức Jensen
Bất đẳng thức Jensen là bất đẳng thức áp dụng cho hàm lồi. Trước hết
xin nhắc lai định nghĩa hàm lồi.
1.2.4.1. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a; b . Hàm f được gọi là lồi
trên đó nếu thoả mãn điều kiện sau đây:
Nếu x1 x2   a, b  , m, n  0 : m  n  1 thì f  mx1  nx2   mf  x1   nf  x2 
1.2.4.2. Hàm số y  f  x  xác định trên đoạn  a, b gọi là lõm trên đó, nếu
như -f(x) là lồi.
Điều kiện đủ dùng để xét xem khi nào một hàm số là lồi (hoặc lõm)
Cho f(x) là hàm liên tục đến đạo hàm cấp hai trên  a, b  .
- Nếu như f ''( x)  0; x  (a, b) thì f ( x) là hàm lồi trên  a, b 
- Nếu như f ''( x)  0; x  (a, b) thì f  x  là hàm lõm trên  a, b 

16


1.2.4. 3. Bất đẳng thức Jensen
Cho f  x  là hàm lồi trên  a, b . Giả sử x1 , x2 ,..., xn   a, b
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
 x  x  ...  xn
f 1 2
n


 1
  n  f  x1   f  x2   ...  f  xn 


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2  ...  xn .
1.3 . Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác.
a) cos A  cos B  cos C 
b) sin A  sin B  sin C 

3
( ABC nhọn)
2

3 3
2

c) sin

A

B
C 3
 sin  sin 
2
2
2 2

d) cos

A
B
C 3 3
 cos  cos 
2
2
2
2

e) cos A. cos B. cos C 
f) sin A. sin B. sin C 
A
2

B
2

A
2

B

2

g) cos . cos . cos
h) sin . sin . sin

1
8

3 3
8

C 3 3

2
8

C 1

2 8

i) cot A  cot B  cot C  3 ( ABC nhọn )
j) tan A  tan B  tan C  3 3 ( ABC nhọn).
k) tan

A
B
C
 tan  tan  3
2
2

2

l) cot

A
B
C
 cot  cot  3 3
2
2
2

m) tan A.tan B.tan C  3 3

17


A
2

B
2

n) tan . tan . tan

C
1

2 3 3

Chứng minh (Xem trong [1])

18


Chƣơng 2

Các bài toán cực trị trong tam giác

2.1. Một số phƣơng pháp giải bài toán cực trị trong tam giác.
Nhận xét: Tuy số lượng các bài toán bất đẳng thức cũng như các bài toán cực trị
trong tam giác tương đối nhiều và khó, nhưng nếu chúng ta nắm được các cách giải
và vận dụng linh hoạt thì nó sẽ trở thành đơn giản. Các cách giải đó là gì? đó là dựa
vào các phép biến đổi tương đương và sử dụng các phương pháp giải phù hợp như
phương pháp vectơ, phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp đạo hàm…đó là
sử dụng một số bất đẳng thức đã biết. Đặc biệt, đó là chú ý đến một đánh giá rất
quan trọng sau về hàm số lượng giác cos , tức là cos x  1 với mọi x . Dấu đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi x  0 .
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
M  sin A + sin B - cos C

Lời giải
Ta có
M  s in A  sin B  cos C  2sin

A B
A B
C
cos
 cos C  2cos  cos C

2
2
2

Lại có:
2

C
C 
C 
C 1 3 3

2cos  cos C  2cos   2cos 2  1  2  cos    
2
2 
2 
2 2 2 2


Vì vậy:
M  sin A  sin B  cos C 

3
2

3
Vậy max M  khi và chỉ khi
2

A  B

2


C 1  tam giác ABC cân tại C với C 
3
cos 

2 2


Ví dụ 2. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P  sin A  sin B 

19

1
cos C
3


Lời giải
Ta có:
P  sin A  sin B 

1
A B
A B 1
C 1
cos C  2sin
cos


cos C  2cos 
cos C
2
2
2
3
3
3

Lại có:
2 cos

C 1
C 1
C

cos C  2 cos 
(2 cos 2  1)
2
2
2
3
3
2

2 
C
3
3 1 5 3




 cos 
 
2 2 
2
6
3
3
1
3

Vì vậy: sin A  sin B  cos C 
Vậy max P 

5 3
6


5 3
khi và chỉ khi tam giác ABC cân tại C với C 
3
6

2.1.1. Phƣơng pháp vectơ
Sử dụng các tính chất
 



a. a . b  a.b
2

 n 
b.   ai   0
 i 1 

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
T= 3 cos A  2cos B  2 3 cos C
Lời giải
  

Gọi e1; e2 ; e3 thứ tự là các vectơ sau đây



 BC  CA  AB
e1 
; e2 
; e3 
.
BC
CA
AB

Ta có

  2
0   2e1  3e2  e3   4  3  1  2



3 cos A  2cos B  2 3 cos C

3 cos A  2cos B  2 3 cos C  4 (đpcm)


 
Vậy max T  4  2e1  3e2  2 3e3  0

Suy ra

20




 
 A  900
 3e  e 2  (2e ) 2
e2 .e3  0

2
3
1







B  600 .


1


2



2
e1e2  
 2e1  e3   3e2

C  300
2












Ví dụ 4. Cho tam giác ABC , tìm giá trị nhỏ của biểu thức sau:
P  cos A   cos B  cosC  .x; x  

Lời giải.
  
  
Chọn e1 , e2 , e3 theo thứ tự là các vectơ đơn vị cùng chiều với các vectơ BC, CA, AB .

Ta có:
  
 2  2  2
  

( xe1  e2  e3 ) 2  0  x 2 e1  e2  e3  2 xe1 e2  2e2 e3  2 xe3 e1  0
 x 2  1  1  2 x cos C  2 cos A  2 x cos B  0
x2
 cos A  (cos B  cos C ) x  1  , x  
2

Vậy
   
x2
1  x.e1  e2  e3  0
2
 e  e 2  ( x.e ) 2
2  cos A  x 2
1
 2 3
B  C
 2

 2
   2

  x.e1  e3    e2    x  2 x cos B  0  
A.
x

2sin
  
 x 2  2 x cos C  0

 2
2


( xe1  e2 ) 2  e3


max P 

 

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của:
M = cos 2 A  cos 2B  cos 2C
Lời giải
Gọi O và R là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Dựng hình
bình hành ABCD , ta có:
   
OA  OC  OB  OD
   

 OD  OA  OB  OC
 2
  
 OD  OA  OB  OC

  



2

0

 OD 2  3R 2  2 R 2   cos 2C  cos 2 B  cos 2 A   0
 cos 2 A  cos 2 B  cos 2C 

3
2

21


Vậy max M 

 
3
khi và chỉ khi: OD  0 tức điểm D trùng với điểm O hay D là
2

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay tam giác ABC cân với góc

B

2

,AC 
3
6

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC , tìm giá trị nhỏ nhất của:
P= 3(cos 2 A  cos 2B)  cos 2C
Chú ý: Giả sử


 
sin m.OA  sin n.OB  sin p.OC  0

 2 A  m; 2 B  n; 2C  p.


m  n  p  2

Lời giải
Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R .
Ta có:
 


3.OC

OA  OB 



2

0

 
 
 
 OA2  OB 2  3OC 2  2OA.OB  2 3 OA.OC  2 3 OB.OC  0
 5R 2  2 R 2 (cos 2C  3 cos B  3 cos 2 A)  0
 cos 2C  3(cos 2 B  cos 2 A)  

Vậy Pmin=

5
2

5
khi và chỉ khi:
2

 
 
1  1 
3  
OA  OB  3OC  0  OA  OB 
OC  0
2

2
2


 
 sin1500.OA  sin1500.OB  sin 600.OC  0

Hay A  B 

5

;C 
12
6

Ví dụ 7. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của:
Q = 3  cos 2 A  cos 2C   cos 2B
Lời giải.
Tương tự bài toán trên, từ bất đẳng thức:

22




OA 

 
3OB  OC



2

0

   
 
 OA2  3OB 2  OC 2  2 3OA.OB  2OA.OC  2 3 OB.OC  0

Ta thu đựơc:
5R 2  2 R 2 ( 3 cos 2C  cos 2 B  3 cos 2 A)  0
5
 cos 2 B  3(cos 2 A  cos 2C ) 
2
5
2

Vậy max Q  khi và chỉ khi:

  
1 
3  1  
OA  3.OB  OC  0  OA 
OB  OC  0
2
2
2



 
0
0
0
 sin 30 .OA  sin120 .OB  sin 210 .OC  0

Hay A 


12

;B 


3

;C 

7
12

Nhận xét: Ở phương pháp Vectơ này đòi hỏi ngưởi sử dụng cũng phải rất linh hoạt,
tuy nhiên thông qua 7 ví dụ ở trên thì chúng ta nhận thấy một điều là:
Bài toán có dạng P  x cos A  y cos B  z cos C thì ta sử dụng phương pháp gọi
  
  
e1 , e2 , e3 theo thứ tự là các vectơ đơn vị cùng chiều với các vectơ BC, CA, AB và sử






dụng tính chất 0   k.e1  m.e2  n.e3  sao cho m.n  x, k.n  y, k.m  z.
2

Bài toán có dạng P  x cos 2 A  y cos 2B  z cos 2C thì sử dụng phương pháp gọi
O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và sử dụng tính chất






 k.OA  m.OB  n.OC 

2

 0 sao cho m.n  x, k.n  y, k.m  z.

2.1.2. Phƣơng pháp tam thức bậc hai
Sử dụng tính chất về dấu của tam thức bậc hai.
Cho f  x   ax 2  bx  c
a.   0  af  x   0; x
  0

b. Nếu  sao cho: af    0 thì 
   x1 ; x2 

23

Ví dụ 8. Cho tam giác ABC với a, b, c là độ dài 3 cạnh, p là nửa chu vi
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M  ab sin 2 A  bc sin 2 B  ca sin 2 C  p 2 .
Lời giải
Ta có
4M   a  b  c   2ab 1  cos 2 A  2bc 1  cos 2 B   2ac 1  cos 2C   0
2

 4M  f  a   a 2  2  b cos 2 A  c cos 2C  a   b2  c 2  2bc cos 2B   0

Xem f  a  là tam thức bậc hai của a



'   b cos 2 A  c cos 2C   b2  c 2  2bc cos 2B
2



   b sin 2 A  c sin 2C   0
2

 4.M  0; a
 M  0; a

Vậy max M  0
a  b cos 2 A  c.cos 2C
b cos 2 A  a  c cos 2C (1)



b sin 2 A  c cos 2C  0
b sin 2 A  c sin 2C (2)

 b 2   a  c cos 2C   c 2 sin 2 2C
2

 a 2  c 2  2ac cos B  a 2  c 2  2ac cos 2C
 cos 2C  cos B  0.
 cos

2C  B
2C  B
cos
0
2
2

 2C  B  0.  3

 2C  B  0.  4 

Xét đẳng thức (3):


C 
2C  B    2C    B  
2

sin 2C   sin B

Thay vào (2): b sin 2 A  c sin B
 sin 2 A   sin C  0  A 

24


2

( mâu thuẫn).


Vậy (3) không xảy ra.
Từ đẳng thức (4)  A  C. Thay vào (2) có được
b sin 2 A  c sin 2 A .

Cần nhận xét A 


2

 sin 2 A  0

Từ đó suy ra: b  c
Suy ra A  B  C.
 ABC đều.

Ví dụ 9. Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P  2sin

A
B
C
 sin  sin
2
2
2

(1)

Lời giải
Ta có (1)  2cos

BC
BC
B C
 2sin
.cos
 p0
2
4
4

 4sin 2

Ta có '  cos2

BC
BC
B C

 2sin
.cos
 p20
4
4
4

B C
B C
 .(4).( P  2)  cos 2
 4(2  P)  0
4
4

 P  2

cos 2

B C
4  2 1  9.
4
4 4

B C

cos 4  1
9
1

 B  C  2 arcsin .

Vậy max P   
B C
4
4
 B  C cos 4
1
sin



4
4
4


Ví dụ 10. Cho tam giác ABC , với mọi x   tìm giá trị lớn nhất của :
P  cos A   cos B  cosC  .x

Lời giải:
Ta có
P  1  2sin 2

A
BC
B C
 2cos
cos
.x, x  
2
2

2

25