Ứng dụng phương pháp tách biến giải một số lớp phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN TUẤN ANH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN
GIẢI MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN TUẤN ANH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN
GIẢI MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY CHUẨN

Hà Nội - 2012


Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Các loại phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Hàm Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Các định lí về tính duy nhất của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5. Phương trình sóng một chiều: Phương pháp tách biến . . . . . . .

16

Chương 2. Phương trình đạo hàm riêng hai chiều . . . . . . . . . .

22

2.1. Bài toán giá trị riêng của phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3. Phương trình sóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.4. Phương trình nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Tài Liệu Tham Khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

1


LỜI MỞ ĐẦU
Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp quan trọng để
giải bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Nó đã được sử
dụng trong suốt thế kỷ qua, và ngày nay vẫn là một phương pháp rất quan
trọng và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Bằng việc sử dụng phương
pháp tách biến kết hợp với nguyên lý chồng chất nghiệm và khai triển hàm
theo hệ cơ sở trực giao, ta có thể giải quyết một số lớp các phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính không thuần nhất.
Mục tiêu của luân văn này là tìm hiểu và trình bày lại các kết quả về
việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải một số phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính không thuần nhất trong không gian hai chiều.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số phương trình đạo hàm
riêng, kiến thức cơ bản của chuỗi Fourier, hàm Bessel sẽ sử dụng trong chương
sau, các định lí duy nhất nghiệm và giới thiệu về phương pháp tách biến.
Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng hai chiều. Sử dụng phương pháp
tách biến và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình sóng, phương trình
nhiệt và phương trình Laplace trên hình chữ nhật, hình tròn.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Lê Huy Chuẩn.
Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành
luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn của mình tời toàn bộ các

thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em
trong suốt quá trình học tập tại khoa.

2


Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp Cao học khóa 2010-2012
chuyên nghành Toán, khoa Toán-Cơ-Tin học đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập tại lớp.
Hà nội, ngày 26 tháng 11 năm 2012
Học viên

Nguyễn Tuấn Anh

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các loại phương trình đạo hàm riêng
Phương trình đạo hàm riêng với ẩn là hàm u(x1 , x2 , . . . , xn ) với các biến
x1 , x2 , . . . , xn độc lập, có dạng
∂u
∂u
∂uk1 +k2 +···+kn
) = 0,
F (x1 , . . . , xn , u,
,...,
,...,

∂x1
∂xn
∂xk1 . . . ∂xknn
trong đó F là một hàm của các đối số trên. Cấp cao nhất đạo hàm riêng của
u, có mặt trong phương trình, được gọi là cấp của phương trình. Phương
trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính, nếu F tuyến tính đối với ẩn hàm
u và tất cả đạo hàm riêng của nó.
Xét phương trình cấp hai của hàm hai biến
a(x, y)

∂2u
∂2u
∂2u
+
b(x,
y)
+ f (x, y, ux , uy ) = 0.
+
c(x,
y)
∂x2
∂x∂y
∂y 2

(1.1.1)

Xét một điểm (x0 , y0 ) cố định. Phương trình (1.1.1) tại điểm (x0 , y0 ) được
gọi là thuộc loại ellip nếu như tại điểm đó b2 − ac < 0, thuộc loại hypecbôn
nếu như tại điểm đó b2 − ac > 0, thuộc loại parabôn nếu như tại điểm đó
b2 − ac = 0. Nếu phương trình (1.1.1) tại mọi điểm trong một miền G đều

4


thuộc cùng một loại thì ta nói rằng phương trình ấy thuộc loại đó trong miền
G.
Bằng phép đổi biến ta có thể đưa phương trình loại ellip, hypecbôn, và
parabôn về các dạng chính tắc.
1. Dạng chính tắc của loại ellip là
uxx + uyy = Φ(x, y, u, ux , uy ).
2. Dạng chính tắc của loại hypecbôn là
uxx − uyy = Φ(x, y, u, ux , uy ) hoặc uxy = Φ(x, y, u, ux , uy ).
3. Dạng chính tắc của loại parabôn là
uxx = Φ(x, y, u, ux , uy ).
Một số phương trình đạo hàm riêng trong vật lý và kĩ thuật: Phương trình
sóng một chiều
2
∂2u
2∂ u
=
c
,
∂t2
∂x2

và phương trình sóng hai chiều
∂2u
= c2
2
∂t

∂2u ∂2u
+ 2
∂x2
∂y

,

chúng thuộc loại hypecbôn. Phương trình nhiệt một chiều
2
∂u
2∂ u
=c
,
∂t
∂x2

và phương trình nhiệt hai chiều
∂u
= c2
∂t

∂2u ∂2u
+ 2
∂x2
∂y

,

chúng thuộc loại parabôn. Phương trình Laplace hai chiều
∂2u ∂2u

+ 2 = 0,
∂x2
∂y
5


và phương trình Poisson hai chiều
∂2u ∂2u
+ 2 = f (x, y),
∂x2
∂y
chúng thuộc loại ellip.
Định lí 1.1 ([3, Tr. 106]. Nguyên lý chồng chất). Nếu u1 và u2 là nghiệm của
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất, thì bất kỳ tổ hợp tuyến
tính u = c1 u1 + c2 u2 , trong đó c1 và c2 là hằng số, cũng là một nghiệm.
Ngoài ra nếu u1 và u2 thỏa mãn một điều kiện biên tuyến tính thuần nhất,
thì u = c1 u1 + c2 u2 cũng sẽ thỏa mãn.

1.2. Chuỗi Fourier
Định nghĩa 1.1 (Hàm liên tục từng khúc). Một hàm số f được gọi là liên
tục từng khúc trên đoạn [a, b] nếu f (a+ ) và f (b− ) tồn tại, và f là xác định
và liên tục trên (a, b) trừ một số hữu hạn điểm mà tại đó giới hạn trái và
giới hạn phải tồn tại. Một hàm tuần hoàn được gọi là liên tục từng khúc nếu
nó liên tục từng khúc trên mọi đoạn [a, b] bất kì.
Định nghĩa 1.2 (Hàm trơn từng khúc). Một hàm f , xác định trên đoạn
[a, b], được gọi là trơn từng khúc nếu f và f là liên tục từng khúc trên [a, b].
Một hàm tuần hoàn là trơn từng khúc nếu nó là trơn từng khúc trên mọi
đoạn [a, b].
Định lí 1.2 ([3, Tr. 30]. Biểu diễn chuỗi Fourier). Giả sử rằng f là một hàm
tuần hoàn với chu kỳ 2π trơn từng khúc. Thì với mọi x chúng ta có

∞

f (x+ ) + f (x− )
= a0 +
(an cos nx + bn sin nx),
2
n=1

(1.2.1)

trong đó các hệ số Fourier a0 , an , bn được xác định bởi
a0 =

1
2π

π

f (x)dx,
−π

6

(1.2.2)


an =
bn =

π

1
π

f (x) cos nxdx

(n = 1, 2, . . .),

(1.2.3)

f (x) sin nxdx

(n = 1, 2, . . .).

(1.2.4)

−π
π

1
π

−π

Đặc biệt, nếu f là trơn từng khúc và liên tục tại x, thì
∞

f (x) = a0 +

(an cos nx + bn sin nx).

(1.2.5)

n=1

Nhận xét 1.1. Các hệ số an , bn Fourier của f có thể tính theo công thức
sau nhờ tính chất của hàm tuần hoàn
a0 =
an =

2π

1
2π
1
π

f (x)dx,
0
2π

f (x) cos nxdx

(n = 1, 2, 3 . . .),

f (x) sin nxdx

(n = 1, 2, 3 . . .).

0

2π

1
bn =
π

0

Định lí 1.3 ([3, Tr. 39]. Biểu diễn chuỗi Fourier: chu kỳ tùy ý). Giả sử f
là hàm tuần hoàn chu kì 2p, trơn từng khúc. Chuỗi Fourier của hàm f được
cho bởi

∞

(an cos

a0 +

n=1

nπ
nπ
x + bn sin
x),
p
p

(1.2.6)

Trong đó

1
a0 =
2p
an =
bn =

1
p
1
p

p

f (x)dx,
−p
p

f (x) cos

nπ
xdx, n = 1, 2, 3 . . .
p

f (x) sin

nπ
xdx, n = 1, 2, 3 . . .
p

−p

p
−p

Chỗi Fourier hội tụ tới f (x) nếu f liên tục tại x và hội tụ tới
nếu không liên tục tại x.

7

f (x+ ) + f (x− )
2


Định lí 1.4 ([3, Tr. 43]. Khai triển chẵn và khai triển lẻ). Giả sử f (x) là
hàm trơn từng khúc xác định trên khoảng 0 < x < p. Thì f có chuỗi cos mở
rộng

∞

a0
nπ
+
x
an cos
2
p
n=1

(0 < x < p),

(1.2.7)

trong đó
an =

p

2
p

f (x) cos
0

nπ
xdx
p

(n ≥ 0).

(1.2.8)

Cũng như thế, f có một chuỗi sin mở rộng
∞

bn sin
n=1

nπ
x
p

(0 < x < p),

(1.2.9)

trong đó
p

2
bn =
p

f (x) sin
0

nπ
xdx
p

(n ≥ 1).

Trên khoảng 0 < x < p, chuỗi (1.2.7) và (1.2.9) hội tụ tới

(1.2.10)
f (x+ )+f (x− )
2

.

Định lí 1.5 ([7, Tr. 178]. Khai triển chuỗi Fourier sin kép). Cho f (x, y) là
một liên tục trên miền K = {(x, y)|0 < x < a, 0 < y < b}, với các đạo hàm

riêng fx và fy bị chặn, đồng thời các đạo hàm riêng fx , fy , fxy liên tục. Khi
đó chúng ta có thể khai triển f (x, y) thành chuỗi Fourier sin kép như sau
∞

∞

f (x, y) =

Bmn sin
n=1 m=1

mπ
nπ
x sin
y,
a
b

(1.2.11)

trong đó hệ số chuỗi Fourier sin kép Bmn được cho bởi
Bmn =

4
ab

b

a

f (x, y) sin
0

0

mπ
nπ
x sin
ydxdy.
a
b

1.3. Hàm Bessel
Phương trình Bessel bậc p ≥ 0 là
x2 y + xy + (x2 − p2 )y = 0,
8

x > 0,

(1.3.1)


Một nghiệm của phương trình Bessel là
∞

(−1)k
k!Γ(k + p + 1)

Jp =
k=0

trong đó

x
2

2k+p

,

(1.3.2)

∞

tx−1 e−t dt.

Γ(x) =
0

Jp được gọi là Hàm Bessel bậc p thứ nhất. Chú ý rằng Jp bị chặn tại 0,
J0 (0) = 1, và Jp (0) = 0 nếu p > 0.
Nghiệm thứ hai của phương trình Bessel
Yp =
trong đó

Jp (x) cos px − J−p (x)
,
sin pπ

∞

J−p =
k=0

(−1)k
k!Γ(k − p + 1)

x
2

(1.3.3)

2k−p

.

(1.3.4)

Hàm Yp độc lập tuyến tính với Jp được gọi là Hàm Bessel bậc p thứ hai. Đặc
biệt, hàm Bessel thứ hai không bị chặn gần 0.
Hàm Bessel Jp có vô số không điểm dương. Chúng ta kí hiệu các không
điểm theo thứ tự tăng dần
0 < αp1 < αp2 < · · · < αpj < · · · .
Do đó αpj được gọi là không điểm dương thứ j của Jp . Chúng ta được các
hàm
Jp

αpj
x ,
a

j = 1, 2, 3, . . . .

(1.3.5)

αpj
,
a

j = 1, 2, 3, . . . .

(1.3.6)

Để đơn giản kí hiệu, ta đặt
λpj =

Như vậy λpj là giá trị không điểm dương thứ n của Jp bị thu nhỏ bởi một
đại lượng không đổi

1
a.

9


Định lí 1.6 ([3, Tr. 252]. Tính trực giao của hàm Bessel đối với một lượng).
Với p ≥ 0 và a > 0. Cho Jp (λpj x) (j = 1, 2, . . .) như trong (1.3.5) và (1.3.6).
Thì
a

Jp (λpj x)Jp (λpk x)xdx = 0

với j = k,

(1.3.7)

0

và
a

Jp2 (λpj x)xdx =
0

a2 2
J (αpj )
2 p+1

với j = 1, 2, . . . .

(1.3.8)

Định lí 1.7 ([3, Tr. 253]. Chuỗi Bessel bậc p). Nếu f là trơn từng khúc trên
[0, a], thì f có một khai triển chuỗi Bessel bậc p trên khoảng (0, a) được cho
bởi

∞

f (x) =

Aj Jp (λpj x),
j=1

trong đó λp1 , λp2 , . . . là các không điểm thu hẹp của hàm Bessel Jp cho bởi
(1.3.6), và
Aj =

a

2
2 (α )
a2 Jp+1
pj

f (x)Jp (λpj x)xdx

(1.3.9)

0

Các số Aj được gọi là hệ số Bessel-Fourier thứ j của hàm f . Trên khoảng
(0, a), chuỗi hội tụ tới f (x) khi f liên tục và tới

f (x+ )+f (x− )
2

nếu gián đoạn

tại điểm đó.
Định lí 1.8 ([3, Tr. 255]. Dạng tham số của phương trình Bessel). Cho

p ≥ 0, a > 0, và cho αpj biểu thị không điểm dương thứ j của Jp (x). Với
j = 1, 2, . . . , hàm Jp (

αpj
a x)

là nghiệm của phương trình Bessel bậc p

dạng tham số,
x2 y (x) + xy (x) + (λ2 x2 − p2 )y(x) = 0,

(1.3.10)

cùng với điều kiện biên
y(0) hữu hạn,
khi λ = λpj =

αpj
a ,

y(a) = 0,

(1.3.11)

và chúng là nghiệm duy nhất của (1.3.10) − (1.3.11), trừ

ra các bội vô hướng. Hơn thế nữa, các nghiệm thỏa mãn (1.3.7) và (1.3.8) và
như vậy chúng trực giao trên đoạn [0, a] đối lượng hàm x.
10

Ta có

∞

(x/2)2k+p
.
k!Γ(k + p + 1)

p

Jp (ix) = i

k=0
p

Như vậy, bỏ đi thừa số i chúng ta có hàm biến thực. Hàm này được xác
định

∞

Ip (x) =
k=0

(x/2)2k+p
k!Γ(k + p + 1)

(1.3.12)

và được gọi là hàm Bessel chỉnh sửa bậc p thứ nhất. Dễ dàng chỉ ra được

hàm Bessel chỉnh sửa bậc p thỏa mãn phương trình Bessel chỉnh sửa bậc p
x2 y + xy − (x2 + p2 )y = 0.

(1.3.13)

Hàm Bessel chỉnh sửa thứ nhất dương và đồng biến trên miền x > 0.
Hàm
2
[I−p (x) − Ip (x)]
(1.3.14)
sin pπ
cũng là thỏa mãn của phương trình Bessel chỉnh sửa, và độc lập tuyến tính
Kp (x) =

với Ip . Hàm này được gọi là hàm Bessel chỉnh sửa thứ hai. Đặc biệt hàm
Bessel chỉnh sửa thứ hai không bị chặn gần 0.
Định lí 1.9 ([3, Tr. 232]. Khai triển chuỗi kép Fourier-Bessel). Cho hàm
f (r, θ) xác định liên tục trên 0 < r < a và 0 < θ < 2π, với các đạo hàm
riêng fr và fθ bị chặn, đồng thời các đạo hàm riêng fr , fθ , frθ liên tục. Khi
đó f (r, θ) có thể khai triển thành chuỗi như sau
∞

∞

f (r, θ) =

Jm (λmn r)(amn cos mθ + bmn sin mθ),

(1.3.15)

m=0 n=1

trong đó hệ số amn và bmn cho bởi
a0n
amn =
bmn =

a

1
=
2
2
πa J1 (α0n )

2
πa2 Jm+1
(αmn )

0
2π

f (r, θ) cos mθ Jm (λmn r)rdθdr,
0

0
a

2
2

πa2 Jm+1
(αmn )

f (r, θ)J0 (λ0n r)rdθdr,
0
a

2

2π

2π

f (r, θ) sin mθ Jm (λmn r)rdθdr,
0

0

với m, n = 1, 2, . . . .
11


1.4. Các định lí về tính duy nhất của nghiệm
Định lí 1.10 ([2, Tr. 90]. Phương trình Laplace). Giả sử Ω là một miền
giới nội với biên S trơn từng mảnh và f (P ) là một hàm liên tục cho trước
trên S.
Giả sử hàm u(P ) điều hòa trong Ω, liên tục trong miền đóng Ω ∪ S và tại
biên S giá trị của hàm u trùng với hàm f (P ). Khi đó u(P ) được xác định
một cách duy nhất trên Ω ∪ S.
Chứng minh. Giả sử bài toán có hai nghiệm là u1 (P ) và u2 (P ). Đặt v(P ) =

u1 (P ) − u2 (P ), thì v là hàm điều hòa, liên tục trong miền đóng Ω ∪ S và
v|S = 0. Theo nguyên lý cực đại trên biên, ta có v(P ) = 0 trong Ω, do đó
u1 (P ) = u2 (P ) trong Ω.
Định lí 1.11 ([2, Tr. 72]. Công thức Green). Giả sử Ω là một miền giới nội
−
trong R2 , giới hạn bởi biên S trơn từng mảnh, →
n là véctơ pháp tuyến trong
của S. Giả sử u(x, y), v(x, y) là hai hàm bất kì có đạo hàm riêng cấp hai liên
tục trong Ω và các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền đóng Ω ∪ S.
Chúng ta có công thức Green như sau
∂u ∂v
∂u ∂v
+
∂x ∂x ∂y ∂y

u∆vdxdy +
Ω

dxdy +

Ω

u

∂v
dS = 0.
∂n

S

Chúng ta xét bài toán truyền nhiệt. Giả sử Ω ⊂ R2 là một miền giới nội,
ta kí hiệu V = {(x, y, t) | (x, y) ∈ Ω, t > 0}, tìm nghiệm u(x, y, t) của phương
trình
∂u
= a2
∂t

∂2u ∂2u
+ 2
∂x2
∂y

+ f (x, y, t),

(x, y, t) ∈ V,

(1.4.1)

với điều kiện ban đầu
u(x, y, 0) = ϕ(x, y),

(x, y) ∈ Ω,

(1.4.2)

và điều kiện biên
u(x, y, t) = µ(x, y, t),
12

(x, y) ∈ S, t > 0,

(1.4.3)


trong đó S là biên của Ω.
Định lí 1.12 ([2, Tr. 351]. Phương trình nhiệt). Giả sử u(x, y, t) là nghiệm
của bài toán (1.4.1) − (1.4.3) sao cho nó khả vi liên tục hai lần đối với (x, y),
một lần đối với t trên V . Khi đó nghiệm u(x, y, t) được xác định một cách
duy nhất trên V .
Chứng minh. Để tiện cho việc trình bày, chúng ta xét a = 1. Để chứng minh
định lí ta chứng minh rằng nếu u1 (x, y, t), u2 (x, y, t) là hai nghiệm bất kỳ
của (1.4.1) − (1.4.3) thì hiệu
u(x, y, t) = u1 (x, y, t) − u2 (x, y, t) = 0
trong V . Thực vậy, hiệu u(x, y, t) thỏa mãn:
∂u
=
∂t

∂2u ∂2u
+ 2
∂x2
∂y

(x, y, t) ∈ V,

(1.4.5)

(x, y) ∈ S, t > 0,

(1.4.6)

Gọi t là một giá trị sao cho t ≥ 0. Xét tích phân:
u2x + u2y dxdy.

I(t) =
Ω

Đạo hàm theo t tích phân phụ thuộc tham số t ta có
I (t) = 2
Ω

∂ut ∂u ∂ut ∂u
+
∂x ∂x
∂y ∂y

dxdy.

Áp dụng công thức Green ta được
I (t) = −2

ut ∆xy udxdy − 2
Ω

Từ (1.4.6) ta có ut = 0;

(1.4.4)

(x, y) ∈ Ω,

u(x, y, 0) = 0,
u(x, y, t) = 0,

,

ut

∂u
dS.
∂n

S

(x, y) ∈ S, t > 0 và từ (1.4.4) ta có
u2t dxdy ≤ 0.

I (t) = −2
Ω

13


Mặt khác từ (1.4.5) suy ra ux (x, y, 0) = uy (x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ Ω, do đó
I(0) = 0, và nhận thấy rằng I(t) ≥ 0. Như vậy I(t) = 0, ∀t ≥ 0, hay
∂u
∂u
∂u
=
=
= 0,

∂x
∂y
∂t

(x, y, t) ∈ V .

Vây u(x, y, t) = 0 trên V .
Xét bài toán truyền sóng. Giả sử Ω ⊂ R2 là một miền giới nội, ta kí hiệu
V = {(x, y, t) | (x, y) ∈ Ω, t > 0}, tìm nghiệm u(x, y, t) của phương trình
∂2u
= a2
2
∂t

∂2u ∂2u
+ 2
∂x2
∂y

+ f (x, y, t),

(x, y, t) ∈ V,

(1.4.7)

với điều kiện ban đầu
(x, y) ∈ Ω,

u(x, y, 0) = ϕ(x, y),
∂u

(x, y, 0) = ψ(x, y),
∂t

(1.4.8)

(x, y) ∈ Ω,

(1.4.9)

(x, y) ∈ S, t > 0,

(1.4.10)

và điều kiện biên
u(x, y, t) = µ(x, y, t),
trong đó S là biên của Ω.
Định lí 1.13 ([2, Tr. 294]. Phương trình sóng). . Giả sử u(x, y, t) là nghiệm
của bài toán (1.4.7) − (1.4.10) sao cho nó và các đạo hàm riêng của nó cho
tới cấp hai liên tục trên V . Khi đó nghiệm u(x, y, t) được xác định một cách
duy nhất trên V .
Chứng minh. Để tiện cho việc trình bày, chúng ta xét a = 1. Để chứng minh
định lí ta chứng minh rằng nếu u1 (x, y, t), u2 (x, y, t) là hai nghiệm bất kỳ
của (1.4.7) − (1.4.10) thì hiệu
u(x, y, t) = u1 (x, y, t) − u2 (x, y, t) = 0

14


trong V . Thực vậy, hiệu u(x, y, t) thỏa mãn:
∂2u

= a2
∂t2

∂2u ∂2u
+ 2
∂x2
∂y

u(x, y, 0) = 0,
∂u
(x, y, 0) = 0,
∂t
u(x, y, t) = 0,

,

(x, y, t) ∈ V,

(x, y) ∈ Ω,

(1.4.11)
(1.4.12)

(x, y) ∈ Ω,

(1.4.13)

(x, y) ∈ S, t > 0,

(1.4.14)

Gọi t là một giá trị sao cho t ≥ 0. Xét tích phân:
u2t + u2x + u2y dxdy.

I(t) =
Ω

Đạo hàm theo t tích phân phụ thuộc tham số t ta có
I (t) = 2
Ω

∂ 2 u ∂u ∂ut ∂u ∂ut ∂u
+
+
∂t2 ∂t
∂x ∂x
∂y ∂y

dxdy.

Áp dụng công thức Green ta được
ut (utt − ∆xy u)dxdy − 2

I (t) = 2
Ω

Từ (1.4.14) ta có ut = 0;

ut

∂u
dS.
∂n

S

(x, y) ∈ S, t > 0 và từ (1.4.4) ta nhận được
I (t) = 0.

Mặt khác từ (1.4.13) suy ra ux (x, y, 0) = uy (x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ Ω, kết hợp
với (1.4.12) ta được I(0) = 0. Như vậy I(t) = 0, ∀t ≥ 0, hay
∂u
∂u
∂u
=
=
= 0,
∂x
∂y
∂t
Vây u(x, y, t) = 0 trên V .

15

(x, y, t) ∈ V .


Hình 1.1: Hình dạng ban đầu của dây bi kéo ra, u(x, 0).

1.5. Phương trình sóng một chiều: Phương pháp

tách biến
Giả sử một đoạn dây đàn hồi được kéo dài trên trục thực với các đầu
mút được gắn chặt tại x = 0 và x = L (Hình 1.1). Cho u(x; t) biểu thị vị trí
tại thời điểm t của điểm x trên dây. Thế thì u(x; t) thỏa mãn phương trình
sóng một chiều
2
∂2u
2∂ u
=c
,
∂t2
∂x2

0 < x < L, t > 0.

(1.5.1)

Để tìm u(x; t). Chúng ta sẽ giải phương trình với điều kiện biên
u(0; t) = 0 và

u(L; t) = 0

với mọi t > 0,

(1.5.2)

và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = f (x) và

∂u

(x, 0) = g(x)
∂t

với 0 < x < L.

(1.5.3)

Điều kiện biên là trạng thái ở hai đầu dây bị giữ chặt trong mọi thời
điểm.Trong điều kiện ban đầu cho hình dáng ban đầu của dây là f (x) và vận
tốc ban đầu là g(x).
Chúng ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp tách biến. Để làm nổi bật ý
tưởng của phương pháp này chúng ta chia ra làm ba bước cơ bản.

16


Bước 1: Tách biến trong (1.5.1) và (1.5.2)
Ta tìm nghiệm khác không của (1.5.1) có dạng
u(x; t) = X(x)T (t),

(1.5.4)

trong đó X(x) là hàm chỉ phụ thuộc vào x và T (t) chỉ phụ thuộc vào t. Bài
toán bây giờ là tìm X và T nên đơn giản hơn. Lấy vi phân (1.5.4) đối với x
và t, ta được
∂2u
= XT
∂t2

và

∂2u
= X T.
∂x2

Thế vào (1.5.1) ta được
XT = c2 X T,
chia hai vế cho c2 XT , ta được
T
X
=
.
c2 T
X

(1.5.5)

(Ta sẽ không quan tâm về XT bằng 0 ). Trong phương trình (1.5.5) vế trái
là một hàm chỉ phụ thuộc vào t, và vế phải là một hàm chỉ phụ thuộc vào
x. Do các biến t và x là độc lập, nên cả hai vế của (1.5.5) phải bằng hằng
số. Tức là
T
=k
c2 T

và

X
=k
X

trong đó k là một hằng số không đổi tùy ý được gọi là hằng số tách. Chúng
ta viết lại các phương trình tách ra như hai phương trình vi phân thông
thường
X − kX = 0

(1.5.6)

T − c2 kT = 0.

(1.5.7)

và

Tiếp theo là tách biến trong điều kiện biên (1.5.2). Sử dụng (1.5.4) và điều
kiện biên, ta có
X(0)T (t) = 0, X(L)T (t) = 0 ∀t > 0,
17


Nếu X(0) = 0 hoặc X(L) = 0, thì T (t) = 0 với mọi t > 0, và như vậy, từ
(1.5.4), u đồng nhất không. Để tránh nghiệm tầm thường, ta xét
X(0) = 0 và

X(L) = 0.

Như vậy chúng ta đi đến bài toán giá trị biên trong X:
X − kX = 0,

X(0) = 0 và X(L) = 0.

Bước 2: Giải các phương trình độc lập
Nếu k dương, lấy k = µ2 với µ > 0, lúc này phương trình ẩn X trở thành
X − µ2 X = 0,
với nghiệm tổng quát
X(x) = c1 cosh µx + c2 sinh µx
Do X(0) = 0 và X(L) = 0 , kéo theo X = 0. Như vậy, trường hợp k > 0 cho
nghiệm tầm thường.
Khi k = 0, phương trình vi phân rút gọn thành X = 0 với nghiệm tổng
quát X(x) = c1 x + c2 . Chỉ có một khả năng duy nhất thỏa mãn điều kiện
biên của X đó là c1 = c2 = 0, một lần nữa dẫn đến nghiệm tầm thường
u = 0. Khả năng cuối cùng cần kiểm tra là
k = −µ2 < 0.
Bài toán giá trị biên tương ứng ẩn X là
X + µ2 X = 0,

X(0) = 0 và X(L) = 0.

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là
X = c1 cos µx + c2 sin µx.
18


Điều kiện X(0) = 0 kéo theo c1 = 0, và do đó X = c2 sin µx. Điều kiện
X(L) = 0 kéo theo
c2 sin µL = 0.
Bỏ nghiệm tầm thường X = 0, ta lấy c2 = 1, với ép buộc
sin µL = 0.
Từ đó ta có
µ = µn =

nπ
,
L

n = ±1, ±2, . . . ,

và do đó
X = Xn = sin

nπ
x,
L

n = 1, 2, . . . .

Chú ý rằng giá trị âm của n chúng ta nhận được nghiệm như nhau ngoại trừ
sự thay đổi về dấu; do đó các nghiệm tương ứng với các n âm có thể bỏ đi.
Bây giờ chúng ta quay trở lại (1.5.7) và thế k = −µ2 = −
T + c

nπ
L

nπ 2
L

ta được

2

T = 0.

Nghiệm tổng quát của phương trình này là
Tn = bn cos λn t + b∗n sin λn t,
trong đó ta có tập
λn =

nπ
,
L

n = 1, 2, . . . .

Kết hợp nghiệm X và T mô tả bởi (1.5.4), ta thu được tập vô hạn nghiệm
tích của (1.5.1), thỏa mãn tất cả các điều kiện biên (1.5.2):
un (x, t) = sin

nπ
x(bn cos λn t + b∗n sin λn t),
L

n = 1, 2, . . . .

Các nghiệm trên còn được gọi là các nghiệm cơ bản của phương trình truyền
sóng. Vì tất cả các nghiệm trên đều thỏa mãn phương trình tuyến tính đồng
nhất (1.5.1) và điều kiện biên (1.5.2), theo nguyên lý cộng nghiệm, mọi tổ
19

hợp tuyến tính cũng sẽ thỏa mãn (1.5.1) và (1.5.2). Tuy nhiên không khó để
thấy rằng nói chung, một sự kết hợp tuyến tính như vậy có thể không thỏa
mãn các điều kiện ban đầu (1.5.3). Vì vậy, thúc đẩy bởi nguyên lý chồng
chất, coi tổ hợp tuyến tính ”vô cùng”
∞

sin

u(x, t) =
n=1

nπ
x(bn cos λn t + b∗n sin λn t)
L

như là một nghiệm của bài toán giá trị biên (1.5.1) − (1.5.3).
Bước 3: Chuỗi Fourier nghiệm của toàn bộ bài toán
Để giải quyết vấn đề một cách trọn vẹn. Chúng ta cần phải xác định rõ
các hệ số chưa biết bn và b∗n để hàm u(x; t) thỏa mãn điều kiện ban đầu
(1.5.3). Bắt đầu với điều kiện thứ nhất trong (1.5.3), tại thời điểm ban đầu
t = 0 thay vào chuỗi vô hạn u, ta được
∞

bn sin

u(x, 0) = f (x) =
n=1

nπ
x,

L

0 < x < L.

Giả sử rằng f (x) có khai triển Fourier, chuỗi vế phải ở trên là chuỗi khai
triển sin của f . Các hệ số bn là các hệ số của sin. Theo định lí (1.4):
2
bn =
L

L

f (x) sin
0

nπ
xdx,
L

n = 1, 2, . . . .

Tương tự, ta xác định bn từ điều kiện ban đầu thứ hai trong (1.5.3). Đạo
hàm riêng chuỗi u theo biến t, và thay t = 0, ta được
∞

b∗n λn sin

g(x) =
n=1

nπ
x.
L

Giả sử g(x) có khai triển Fourier, vế phải là khai triển cos của g, ta có
b∗n λn =

2
L

L

g(x) sin

nπ
xdx, n = 1, 2, . . . .
L

g(x) sin

nπ
xdx, n = 1, 2, . . . .
L

0

Thay các giá trị λn , ta được
b∗n

2

=
cnπ

L
0

20


Ta đã xác định được tất cả các hệ số trong chuỗi đại diện cho nghiệm u. Ta
tóm tắt lai kết quả như sau.
Kết quả 1.1. Nghiệm của phương trình truyền sóng một chiều
2
∂2u
2∂ u
=
c
,
∂t2
∂x2

0 < x < L, t > 0,

với điều kiện biên
u(0; t) = 0

u(L; t) = 0

và

với mọi t > 0

và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = f (x)

và

∂u
(x, 0) = g(x)
∂t

với 0 < x < L,

(giả thiết thêm rằng f , g có thể khai triển thành chuỗi Fourier và thỏa mãn
điều kiện tương thích f (0) = f (L) = g(0) = g(L) = 0)
là

∞

u(x, t) =

nπ
x(bn cos λn t + b∗n sin λn t)
L

sin
n=1

(1.5.8)

trong đó
bn =

2
L

L

f (x) sin
0

nπ
xdx,
L

b∗n =

2
cnπ

L

g(x) sin
0

nπ
xdx,
L

(1.5.9)

và
λn = c

nπ
,
L

n = 1, 2, . . . .

21

(1.5.10)


Chương 2

Phương trình đạo hàm
riêng hai chiều
2.1. Bài toán giá trị riêng của phép biến đổi
Laplace
2.1.1. Bài toán giá trị riêng của phép biến đổi Laplace
trên một hình chữ nhật
Chúng ta xét bài toán giá trị riêng gồm phương trình
∆u =

∂2u ∂2u
+ 2 = −ku,
∂x2
∂y

0 < x < a,

0 < y < b,

(2.1.1)

với điều kiện biên
u(x, 0) = 0,

u(x, b) = 0 với 0 < x < a,
(2.1.2)

u(0, y) = 0,

u(a, y) = 0 với 0 < y < b.

22


Giả sử u(x, y) = X(x)Y (y) thay vào (2.1.1), tách biến, và sử dụng điều kiện
biên, chúng ta nhận được các phương trình
X + µ2 X = 0,

X(0) = X(a) = 0,

(2.1.3)

Y + v 2 Y = 0,

Y (0) = Y (b) = 0,

(2.1.4)

trong đó µ2 + v 2 = k.
Nghiệm của phương trình (2.1.3) là X = c1 cos µx + c2 sin µx. Thế vào
điều kiện biên của X suy ra c1 = 0, µ = µm =
Xm (x) = sin

mπ
x,
a

mπ
a ,

m = 1, 2, . . . , và do đó

m = 1, 2, . . . .

Hoàn toàn tương tự với phương trình (2.1.4), ta nhận được
v = vn =

nπ
,
b

Yn (y) = sin

nπ

y;
b

n = 1, 2, . . . .

Như vậy chúng ta nhận được nghiệm của (2.1.1)-(2.1.2) có dạng
kmn = π

2

m2
n2
+ 2
a2
b

,

umn = sin

nπ
mπ
x sin
y,
a
b

trong đó m, n = 1, 2, . . . . Chúng ta tóm tắt lại kết quả như sau.
Kết quả 2.1. Giá trị riêng của bài toán (2.1.1) − (2.1.2) là
k = kmn = π 2

n2
m2
+
a2
b2

,

m = 1, 2, . . . , n = 1, 2, . . . .

(2.1.5)

Mỗi giá trị riêng kmn tương ứng hàm riêng
sin

nπ
mπ
x sin
y.
a
b

(2.1.6)

2.1.2. Bài toán giá trị riêng của phép biến đổi Laplace
trên một hình tròn
Chúng ta xem xét bài toán giá trị riêng gồm phương trình Helmholtz trên
đĩa bán kính a,
∆φ(r, θ) =

∂ 2 φ 1 ∂φ
1 ∂2φ
+
+
= −kφ(r, θ),
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2

0 < r < a, 0 < θ < 2π,
(2.1.7)

23