Câu 1.
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I là điểm thuộc đoạn
1
SO sao cho SI SO . Mặt phẳng thay đổi đi qua B và I . cắt các cạnh SA, SC , SD
3
V
m
lần lượt tại M , N , P . Gọi m, n lần lượt là GTLN, GTNN của S . BMPN . Tính
.
VS . ABCD
n
A. 2 .
B.
7
.
5
C.
9
.
5
D.
8
.
5
Lời giải
Tác giả : Lưu Thị Thêm,Tên FB: Lưu Thêm
Chọn C
S
P
M
I
N
B
C
O
A
SA
SM x
+) Đặt
SC y
SN
+) Có
, x, y 1 .
SB SD
SO
SD
2
2.3 6
5 .
SB SP
SI
SP
+) Có x y 2
+)
D
SO
6 y 6 x , 1 x 5 .
SI
VS .BMPN x 1 y 5
12
3
3
3
.
VS . ABCD
4.x.1. y.5
20 xy 5 xy 5 x6 x 5 6 x x 2
+) Xét f x
3
, với 1 x 5 .
5 6x x2
3 2x 6
+) Có f x .
5 6x x2
f ' x 0
+)
x 3.
1 x 5
2
.
3
m
3
1
3
m 9
25
+) f 1 ; f 3
; f 5
.
25
15
25
n 5
n 1
15
Email:
Câu 2. Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC bằng a 3 ,
. Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S . ABC có thể
tích nhỏ nhất.
A. AB 2 a 2.
B. AB
3a 2
.
2
C. AB 3a .
D. AB 3a 2.
Lời giải
Tác giả : Nguyễn Văn Quý,Tên FB: Quybacninh
Chọn C
Ta có
.
Kẻ AH SC AH a 3 . Đặt
V S . ABC V A .SBC
.
1
1
AH .S BCS đạt GTNN khi và chỉ khi S BCS xy đạt GTNN.
3
2
Do
(theo giả thiết) nên SA ABC . Suy ra SAC
mà
vng tại A.
Trong
x4
có AC CH AH x 2 3a2 y
y
2
2
2
2
x2
x 2 3a 2
xy
x3
x 2 3a 2
Xét hàm f x
x3
x 2 3a 2
x a 3 . Có
f 'x
3x 2
x 2 3a2
x4
x 3a
2
2
3
x a 3
.
x
3 2a
2
a 3
f 'x
-
0
f x
Vậy: Min xy
Câu 3.
+
9a 3
2
9a 3
khi AB x 2 3a
2
Email:
Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh bên bằng a , góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và
mặt bên bằng . Tìm để thể tích S . ABCD là lớn nhất.
A. 300
B. 450
C. 600
D. 750
Lời giải
Chọn B
Tác giả: Phúc Minh Anh,Tên FB: Phúc Minh Anh
S
K
A
D
M
H
B
C
Do hình chóp S. ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD
Gọi M là trung điểm của CD ta có CD SHM nên SHM SCD
SHM SCD SM
mà
nên từ H dựng HK SM tại K thì HK SCD
do
SH , SK HSK
Hay SK là hình chiếu của SH lên mặt phẳng SCD suy ra SH , SCD
với 0
tam giác SHK vng tại K theo giả thiết ta có HSM
2
Đặt SH h HC 2 a 2 h 2 HM
Tam giác SHM vuông tại H : tan
a2 h2
và BC 2( a 2 h 2 )
2
HM
SH
a 2 h2
2h 2 tan 2 a 2 h 2
2h
a
h 2 (1 2 tan 2 ) a 2 h
1 2 tan 2
1
1 4a3 tan 2
4a 2 tan 2
2
2
2
2
2
2
VS . ABCD BC .SH
BC 2(a h ) 4h tan
3
3 (1 2 tan 2 )3
1 2 tan 2
t 1
Đặt t 1 2 tan 2 Với t 1; tan 2
2
3
2a t 1
.
Xét hàm số f (t )
trên D 1;
3 t t
3
t (t 1)
3 t t
a
a3 3 t
2
f 't .
. 2
3
t3
3 2t t
f ' t 0 t 3
Bảng biến thiên
t
3
1
+
f '(t)
+∞
0
-
4a3
f (t)
9 3
4a 3
Vậy max f t
khi t 3 tan 1 do 0 hay 450 .
2
9 3
Câu 4.
Mail:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA b và vng góc
với ABCD . Điểm M thay đổi trên cạnh CD , H là hình chiếu vng góc của S trên BM .
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S . ABH theo a, b .
A.
a2b
.
12
B.
a2b
.
24
C.
a2b
.
8
Tác giả: Nguyễn Anh Quân
Lời giải
Chọn A
D.
a2b
.
18
Face: Nguyễn Quân
Cách 1.
BH SH
BH SAH BH AH , nên H thuộc đường tròn đường kính AB .
Do
BH SA
Gọi K là hình chiếu vng góc của H lên cạnh AB . Dễ dàng suy ra được
Thể tích VS . ABH
1
1
ab.HK
SA.SABH b.SABH
.
3
3
6
Do đó để thể tích lớn nhất thì HK lớn nhất. HK lớn nhất khi H là điểm chính giữa cung
a
AB , tức là H trùng với tâm hình vng ABCD hay M trùng với D . Khi đó HK .
2
Vậy Vmax
a 2b
.
12
Cách 2.
BH SH
BH SAH BH AH
Do
BH SA
1
b
b HA2 HB 2 b. AB 2 a 2b
VS . ABH SA.SABH HA.HB .
3
6
6
2
12
12
Vậy Vmax
Câu 5.
a 2b
khi HA HB H trùng với tâm đáy, hay M D
12
Email:
Gọi x, y, z là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của thùng giấy dạng hình hộp chữ nhật khơng
có nắp trên (hình vẽ). S là tổng diện tích xung quanh và đáy cịn lại. Trong các thùng có cùng
diện tích S , tìm tổng x y z theo S của chiếc thùng có thể tích lớn nhất.
A. x y z
3S
.
6
B. x y z
5 3S
.
6
C. x y z
3S
.
3
D. x y z
5 3S
.
2
Tác giả : Nguyễn Duy Chiến,Tên FB: Nguyễn Duy Chiến
Lời giải
Chọn B
Ta có S xy 2 xz 2 yz
3
Theo Cauchy
1 S
xy 2 xz 2 yz 3 2 2 2
S
4 x y z 4 x 2 y 2 z 2 4V 2 V
3
2 3
3
3
S
5 S 5 3S
x yz
3
2 3
6
Dấu “=” xảy ra khi xy 2 xz 2 yz x y 2 z
Email:
Câu 6.
2a 3
và O là tâm của đáy. Mặt
3
phẳng ( P) thay đổi chứa SO và cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại các điểm M , N
Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
( M , N khác A ). Khi góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng ( P) có số đo lớn nhất, hãy tính
AM 2 AN 2
A. a2 .
B.
3a 2
4
C.
369 a 2
.
400
D.
8a 2
.
9
Lời giải
Tác giả : Nguyễn Thị Vân Tên Facebook: Vân Nguyễn Thị
Chọn D
Gọi H là hình chiếu của A trên MN , ta có AH MN , AH SO AH SMN
H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SMN
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SMN là góc HSA
900 nên HSA
lớn nhất khi sin HSA
lớn nhất
Do góc 00 HSA
a 3
AH
OA
1
Ta có sin HSA
3
SA SA 2a 3 2
3
1
khi H O
2
đạt giá trị lớn nhất bằng
Vậy sin HSA
Hay góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng P đạt giá trị lớn nhất khi MN AO
Khi đó đường thẳng MN đi qua O và song song với BC
2
8a 2
AM AN a AM 2 AN 2
3
9
Min - Max hình học khơng gian_Khai thác Tính chất hinh học_Nguyễn Đình Trưng
Câu 7.
Email:
Cho khối chóp S . ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA SB SC a. Đặt
x SD 0 x a 3 . Tìm x theo a để tích AC.SD đạt giá trị lớn nhất.
A. x
a 3
.
2
B. x
a 3
a 6
a 6
.
C. x
.
D. x
.
3
2
3
Tác giả : Nguyễn Đình Trưng,Tên FB: Nguyễn Đình T-Rưng
Lời giải
S
D
A
O
C
B
Ta có ABCD là hình thoi cạnh a nên SOC BOC OS OB OD tam giác SBD
vuông tại S .
2
2
Suy ra BD a x OB
a2 x2
;
2
AC 2OC 2 BC 2 OB 2 3a 2 x2 . Do đó AC.SD x 3a 2 x2 .
x 2 3a 2 x 2 3a 2
3a 2
AC.SD
Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si, ta có x 3a x
.
2
2
2
2
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 3a 2 x 2 x 2 3a 2 x 2 x
Vậy x
Câu 8.
a 6
.
2
a 6
thì tích AC.SD đạt giá trị lớn nhất.
2
Email:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung
điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại
V1
V
+min 1
V
V
17
C. S
24
M và N. Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD. Tìm S= max
A. S
1
2
B. S
1
4
D. S
3
4
Tác giả: Đỗ Thế Nhất Face: Đỗ Thế nhất
Lời giải
Chọn C
Đặt x =
Ta có
V
SM
SN
, y=
. Tính 1 theo x và y.
SB
SD
V
VS . AMK SM SK 1
x
y
.
x VS . AMK V . Tương tự ta có VS . ANK V
4
VS . ABC
SB SC 2
4
Suy ra
V1 x y
(1)
V
4
1
Lại có Do V1 = VS.AMN+ VS.MNK và VS.ABC = VS.ADC = V. Mà
2
VS . AMN
SM SN
xy
.
xy VS . AMN
V
VS . ABD
SB SD
2
VS .MNK
VS .BDC
SM SN SK
xy
xy
.
.
VS .MNK
V
SB SD SC
2
4
VS.KMN
VS.CBD
Suy ra
V1 3xy
(2)
V
4
Từ (1) và (2) suy ra y
Vì y 1
x
1
. Do x>0; y> 0 nên x>
3x 1
3
x
1
1
1 x . Vậy ta có x ;1
3x 1
2
2
Xét hàm số f(x) =
V1 3xy
3x 2
3 x(3 x 2)
1
=
với x ;1 . Có f’(x) =
.
V
4
4(3x 1)
4(3 x 1) 2
2
BBT:
Từ BBT suy ra
Câu 9.
min
V1
V
V
1
3
1 3 17
; max 1 S
3
V
8
3 8 24
Email:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, AB 1 , cạnh bên SA 1 và vng góc
với mặt phẳng đáy ABCD . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động
45 . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S . AMN là ?
trên đoạn CB sao cho MAN
A.
2 1
.
9
B.
2 1
.
3
C.
2 1
.
6
2 1
.
9
D.
Tác giả : Đào Văn Tiến
Lời giải
Chọn B
Đặt DM x , BN y ta có
BAN
tan DAM tan BAN x y . Suy ra y 1 x .
tan 45 tan DAM
. tan BAN
1 xy
1 x
1 tan DAM
2
và AM AD 2 DM 2 x 2 1 , AN
1 x
AB 2 BN 2 1 y 2
1
1 x
1
1
x2 1
f
Vì vậy V SA.S AMN SA. AM . AN sin 45 f x
3
6
6 x 1
2 1
2 x 2 1
.
x 1
2 1
.
3
Email:
Câu 10. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại A,
DBC , DAC , DAB
lần lượt tạo với mặt phẳng
ABC
AB 3a, AC a. Mặt phẳng
các góc 90, , trong đó
90. Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A.
3a3
B.
.
13
3a 3
.
4
3a3
D.
.
8
3a 3 2
C.
.
10
Lời giải
(Gv: Trịnh Văn Thạch, facebook: www.facebook.com/thachtv.tc3)
Chọn A
D
h
A
E
x
a
3a
F
y
B
Kẻ DH BC tại H .
Do DBC ABC DH ABC .
F
B
A
y
H
x
E
a-y
C
Kẻ HE AC tại E ; HF AB tại F . Suy ra
DAC , BCD DEH
Suy ra
DAB , BCD DFH
H
C
DH
tan HE
h y
Ta có
h xy
x h
cot HF
DH
Mà
x a y
ya y a 3
x 3 a y h xy 3 y a y 3
.
3a
a
2
2
hmax
a 3
1
1 a 3 3a 2 a 3 3
. Suy ra Vmax hmax .S ABC .
.
.
2
3
3 2
2
4
Email:
Câu 11. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SCD) bằng 2 a . Gọi
là góc giữa mặt bên hình chóp với đáy của hình chóp đó. Với giá trị nào của thì thể tích của
khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất?
A. arcsin
2
.
3
B. 450 .
C. arccos
2
.
3
D. 600 .
Lời giải
Họ và tên: Đỗ Tấn Bảo
Tên FB: Đỗ Tấn Bảo
Chọn A
Gọi O là tâm hình vng ABCD thì SO vng góc với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp
S.ABCD.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Suy ra CD (SMN).
Gọi K là hình chiếu của N lên SM. Suy ra MK (SCD) nên NK d N, SCD .
Từ AB || CD suy ra AB || (SCD). Do đó NK d A , SCD 2a .
CD MN
Ta lại có
SCD , ABCD .
CD
SM
Do đó MN
Suy ra VS . ABCD
NK
2a
a
.
SO OM . tan
sin sin
cos
1
1
1 4a 2
a
4a 3
2
.
S ABCD .SO MN .SO . 2 .
3
3
3 sin cos 3sin 2 cos
Vì vậy VS . ABCD nhỏ nhất f ( ) sin 2 cos lớn nhất, với 00 900 .
Đặt t cos , 0 t 1 thì VS . ABCD nhỏ nhất f t 1 t 2 t t t 3 lớn nhất với 0 t 1 .
Dựa vào bảng biến thiên thì VS . ABCD nhỏ nhất
1
1
2
2
cos
sin
arcsin
.
3
3
3
3
t
Email:
Câu 12. Cho lăng trụ đều ABC. A' B 'C ' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a . Lấy các điểm M , N nằm
trên cạnh BC ; P, Q lần lượt nằm trên cạnh AC , AB sao cho MNPQ là hình chữ nhật. Hình hộp
chữ nhật MNPQ.M ' N ' P 'Q ' nội tiếp trong lăng trụ đều ABC. A' B 'C ' có thể tích lớn nhất là :
A.
a3 3
4
B.
a3
8
a3 3
8
C.
D.
a3 6
4
Tác giả : Lê Thị Phương Liên facebook : Phuonglien Le
Lời giải
Chọn C
P
A
M
Q
C
N
B
A'
Q'
P'
B'
N'
M'
C'
Gọi độ dài đoạn MN là x với (0 x a) thì MQ
a x
2
Thể tích của hình hộp chữ nhật MNPQ.M ' N ' P 'Q ' là V
Xét hàm số f x
a 3x a x
2
có f ' x
3
.
ax a x 3
2
.
a 3
a
a 2x ; f ' x 0 x
2
2
a3 3
. Nên chọn C
8
Câu 13. Cho hình chóp S. ABCD . Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt các cạnh SA; SB; SC ; SD lần
lượt tại M , N , P, Q . Gọi M ', N ', P ', Q ' lần lượt là hình chiếu của M , N , P, Q lên mặt đáy. Tìm
Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật MNPQ.M ' N ' P 'Q ' là
tỉ số
A.
SM
để thể tích khối đa điện MNPQ.M ' N ' P ' Q ' lớn nhất.
SA
SM 3
.
SA 4
B.
SM 2
.
SA 3
C.
Lời giải
1
.
2
D.
SM 1
SA 3
Chọn B
Đặt
SM
SN SP SQ
x . Suy ra
x.
SA
SB SC SD
Gọi h, h ' lần lượt là chiều cao hình chóp và chiều cao khối đa diện MNPQ.M ' N ' P ' Q ' .
Do MN / / AB nên ta có
SM MN
MN
x
MN x. AB .
SA
AB
AB
Tương tự ta có BC x.NP
Ta có S MNP x 2 .S ABC S MNPQ x 2 S ABCD ( Vì tam giác MNP đồng dạng tam giac ABC )
Mặt khác ta có
AM h '
AS
h
SA SM h '
SA
h
h'
1 x h ' 1 x h
h
Ta có VMNPQ.M ' N ' P 'Q ' h '.S MNPQ 1 x h.x 2 .S ABCD 1 x x 2 .h.S ABCD
Do h, S ABCD không thay đổi nên VMNPQ .M ' N ' P 'Q ' đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 1 x x 2 đạt
lớn nhất.
3
x x
1 x
xx
4
2 2
4.
Ta có 1 x x 2 4. 1 x
22
27
27
Dấu xảy ra khi và chỉ khi 1 x
x
2
x .
2
3
Câu 14. Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x , các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích
khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. x 6 .
B. x 14 .
C. x 3 2 .
Giáo viên: Trần Luật
Lời giải
Chọn C
D. x 2 3 .
Facebook: Trần Luật
Gọi M , N lần lượt là trung điểm CD và AB ; H là hình chiếu vng góc của A lên BM .
CD BM
Ta có:
CD ABM ABM BCD .
CD AM
Mà AH BM ; BM ABM BCD ; AH BCD .
Do ACD và BCD là hai tam giác đều cạnh 2 3 AM BM 2 3.
Tam giác AMN vng tại N , có: MN AM 2 AN 2 9
3
3.
2
x2
.
4
Mặt khác ta lại có:
S BCD
3
2 3
4
VABCD
1
1 x 36 x 2
3
AH .S BCD
.3 3
x 36 x 2 .
3
3
6
6
Ta có: VABCD
2
3 3.
1
3
3 x 2 36 x 2
AH .S BCD
x 36 x 2
.
3 3.
3
6
6
2
Dấu bằng xảy ra khi x 36 x 2 x 3 2 .
Vậy VABCD lớn nhất bằng 3 3 khi x 3 2 .
Email:
Câu 15. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo
bởi B’D và (B’D’C) đạt giá trị lớn nhất.
A. x = 1
B. x = 0,5
C. x = 2
Lời giải
D. x 2
Tác giả: Nguyen Van Tỉnh FP: Duongtinhnguyen
Chọn A
B'
C'
A'
D'
B
A
C
D
Gọi H là hình chiếu của D lên mặt phẳng (B’D’C) suy ra sin( B ' D, ( B ' D ' C ))
Mặt khác DH d (C ';( B ' D ' C ))
x
2x2 1
DH
DH
B'D
2 x2
(Sử dụng đường cao trong tam diện vuông
C’B’D’C).
sin( B ' D, ( B ' D ' C ))
Góc
lớn
DH
DH
x
x2
B'D
2 x4 5x2 1
2 x2
( x 2 2)(2 x 2 1)
nhất
khi
sin( B ' D, ( B ' D ' C )) lớn
nhất.
Xét
hàm
số
2
f (t )
t
2t 2
f '(t ) 2
2t 5t 1
(2t 5t 1)2
2
f(t) lớn nhất khi t = 1 suy ra x = 1.
Email:
Câu 16. Cho tứ diện ABCD có AB AC BD CD 1 . Khi thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất
thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng
A.
1
.
3
B.
2
.
3
C.
1
.
2
D.
1
.
3
Lời giải
Tác giả : Trần Như Thanh Nhã, FB: Nhã Trần Như Thanh
Chọn D
Gọi H , K lần lượt là trung điểm của BC và AD .
Theo giả thiết: ABC cân tại A và DBC cân tại D
BC AH , BC DH BC ADH BC HK
Và AH DH AD HK Do đó: d AD; BC HK
Đặt BC x 0 x 2 .
2
AH DH
x
DC 2 HC 2 1
2
4 x2
2
Gọi I là hình chiếu của A lên HD AI ( BCD )
1
1 1
1 1
S BCD . AI . BC .DH . AH ; v мAI AH V ABCD x. 4 x 2
3
3 2
6 4
V ABCD
2
2
3
Xét hàm số f ( x ) x 4 x x 4 x trкn 0; 2 ; f '( x) 3 x 4 ; f '( x ) 0 x
Vmax
2 3
3
AH ( BCD )
I H
2 3
4 x2
6
x
DH
3
2
3
ΔAHD vuông cân tại H HK DH
2
3
2
3
Email:
Câu 17. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao
cho mặt phẳng (DMN) vng góc với mặt phẳng (ABC). Đặt AM x; AN y . Tìm x, y để diện
tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
A. x y
2
3
B. x y
1
3
C. x y
7
4
1
2
D. x ; y
2
3
Lời giải
Chọn A
Tác giả : Nguyễn Trung Nghĩa
A
M
N
B
D
C
+ Ta có S AMN S AHM S AHN xy
x y
0 x 1
3
+ Theo bất đẳng thức cô si 3 xy x y 2 xy xy
4
9
+ Ta có S AMN
1
3 xy
AN . AM sin 60
2
4
S AMD
1
3x
AD. AM sin 60
2
4
S AND
1
3y
AD. AN sin 60
2
4
2
1 2
; MN 2 x 2 y 2 xy
3
2 3
+ Ta có DH AD 2 AH 2
Vậy Stp
3xy
3
1
x y
4
4
6
Đặt 1 t xy
tức là x y
x y
2
3xy 3xy
x y
2
3xy
1
2
3 xy 3 xy .
2
4
4
Ta thu được giá trị nhỏ nhất của diện tích tồn phần đạt được khi t xy ,
9
9
2
3
Email:
Câu 18. Trong mặt phẳng cho đường trịn T đường kính AB 2 R . Gọi C là một điểm di động
trên T . Trên đường thẳng d đi qua A và vng góc với mặt phẳng lấy điểm S sao cho
SA R . Hạ AH SB và AK SC . Tìm giá trị lớn nhất Vmax của thể tích tứ diện SAHK .
A. Vmax
R3 5
.
75
B. Vmax
R3 5
.
25
C. Vmax
R3 3
.
27
D. Vmax
R3 3
.
9
Lời giải
Tác giả: Bùi Nguyên Phương,Tên FB: Bùi Nguyên Phương
Chọn A
S
H
K
A
I
B
C
Do SH AHK nên tứ diện SAHK có chiều cao SH khơng đổi. Do đó thể tích VSAHK đạt giá
trị lớn nhất khi và chỉ khi diện tích S AHK đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: BC SAC BC AK . Mà AK SC AK SBC AK KH .
Do điểm K ln nhìn đoạn thẳng AH cố định dưới một góc vng nên AHK có diện tích lớn
nhất khi K là điểm chính giữa nửa cung trịn đường kính AH (có hai vị trí của K ).
Ta có: SB 2 SA2 AB 2 R 2 4 R 2 5 R 2 SB R 5 .
Xét SAB vuông tại A có: SA2 SH . SB SH
Và: AH .SB SA. AB AH
SA2
R2
R 5
SB R 5
5
SA. AB R .2 R 2 5 R
.
SB
5
R 5
1 AH
AH 2 R 2
. AH
Diện tích lớn nhất của AHK là: Smax .
.
2 2
4
5
1
1 R 5 R 2 R3 5
Vậy: Vmax . SH . S max .
.
.
3
3 5
5
75
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có DA DB DC 6 và đơi một vng góc với nhau. Điểm M thay
đổi trong tam giác ABC . Các đường thẳng đi qua M song song DA, DB , DC theo thứ tự cắt
các mặt phẳng DBC , DCA , DAB lần lượt tại A1; B1 ;C 1 . Tìm thể tích lớn nhất của khối
tự diện MAB
1 1C 1 khi M thay đổi.
A.
1
3
B.
2
3
C. 1
D.
4
3
Lời giải
Tác giả: Trần Văn Minh Chiến
Tên FB: Hung Ho
Chọn D
D
B1
C1
A
A1
C
M
B
Ta có
V
MB1 VMABD MC 1
VMBCD d M , BCD MA1 MA1
. Tương tự MADC
;
VABCD
6 VABCD
6
VABCD d A, BCD AD
6
Suy ra MA1 MB1 MC 1 6 . Mặt khác MA1 ; MB1; MC 1 đơi một vng góc nên
3
VMA1B1C1
1
1 MA1 MB1 MC1 4
MA1.MB1.MC1
6
6
3
3
Dấu " " xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC .
Bình luận: Bài này hồn tồn có thể làm mạnh giá thiết bằng cách chỉ cần cho tứ diện ABCD
có thể tích bằng 36 . Kết quả bài tốn khơng thay đổi.
Email:
Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA a 3 và SA vng góc
với mặt phẳng đáy. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho
450 . Tính tỉ số giữa giá trị lớn nhất với giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S. AMN
MAN
.
A. 2 2 2 .
B.
1 2
.
2
1 2
.
6
C.
D. 2 2 1 .
Lời giải
Tác giả: Đặng Việt Đông Tên FB: Đặng Việt Đơng
Chọn B
S
A
D
N
B
C
M
1
a 3
.S AMN .
Ta có VS . AMN SA.S AMN
3
3
Do M , N là 2 điểm di động và SA cố định nên thể tích của khối chóp SAMN phụ thuộc vào
diện tích tam giác AMN .
Ta có các cách tính diện tích tam giác AMN như sau:
Cách 1.
Đặt BM x, DN y; x, y 0; a .
Tam giác CMN vuông tại C nên
MN 2 CM 2 CN 2 hay MN 2 a x a y .
2
2
Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác AMN ta có
MN 2 2a2 x2 y2 2a2 x2 a2 y2
MN 2 AM 2 AN 2 2 AM . AN cos MAN
Suy ra a x a y 2a 2 x 2 y 2 2 a 2 x 2 a 2 y 2
2
2
ax ay a 2 xy ax ay a 2 xy y
2
2
Diện tích tam giác AMN là
a 2 ax
.
ax
S AMN S ABCD S ABM S ADN SCMN
Xét hàm số f x
Ta có f ' x
1 2
a a 2 x2
a xy .
.
2
2 xa
x2 a 2
trên đoạn 0; a .
xa
x 2 2ax a 2
x a
2
Ta lại có f 0 f a a; f
; f ' x 0 x
2 1 a 2
2 1 a .
2 1 a .
Suy ra max f x a; min f x 2 2 1 a a ( 2 1) S AMN
2
0; a
0; a
a
2
2
Vậy tỉ số giữa giá trị lớn nhất với giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S. AMN bằng
Cách 2:
Đặt DAN
Ta có:
AM
a
a
, AN
0
cos(45 )
cos
S AMN
1
1
a2
2
AM . AN .sin 450
0
2
2 cos .cos(45 ) 2
2
2a 2
2
a2
.
4 cos 450 cos(450 2 )
2
2
cos(450 2 )
2
a2 2
a
Mặt khác: 0 cos(45 2 ) 1
a 2 ( 2 1) S AMN
2
2 2
0
Cách 3:
2
2
2
BM x AM x a
2
MN 2 (a x)2 (a y )2
Đặt
2
2
AN y a
BN y
Theo định lý cosin ta có :
MN 2 AM 2 AN 2 2 AM . AN .cos 450 a 2 xy a( x y )
S AMN
Đặt :
1
a 2 xy
AM . AN .sin 450
2
2
xy t 0 a 2 t 2 2at t 0; ( 2 1)a
S AMN
a2 t 2
2
a2
S
t0
AMNmax
2
2
S
AMNmin a ( 2 1) t a ( 2 1)
Cách 4. (Hình học thuần túy)
2
1 2
2
P
A
D
N
B
C
M
Dựng đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng DC tại P , khi đó ta chứng
minh được AMN ANP MN NP và BM CN MN MN NC CM 2a Vì
1
MN MC CN và MN MC 2 CN 2
MC CN từ đó suy ra 2 2 1 a MN a
2
Email:
Câu 21. Một người thợ gò làm một cái thùng đựng nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp bằng tơn. Biết
rằng đường chéo hình hộp bằng 6dm và chỉ được sử dụng vừa đủ 36dm 2 tôn.Với yêu cầu như
trên người thợ làm được cái thùng có thể tích lớn nhất là Vdm3 . Giá trị của V gần giá trị nào nhất
trong các giá trị sau?
A. 11, 3 .
B. 11,32 .
C. 11,31 .
D. 11,33 .
----------------------------------------------Lời giải.
Tác giả: Trần Văn Nam,Tên FB: Trần Văn Nam
Chọn C
Gọi kích thước của khối hộp là x, y, z ( x, y, z 0) theo bài ra ta có
x y 6 2 z
x 2 y 2 z 2 36 x y z 6 2
xy
yz
zx
18
xy
yz
zx
18
xy 18 6 2 z z
2
Ta có 6 2 z 72 4 6 2 z z z 0; 4 2
Thể tích: xyz z 3 6 2 z 2 18 z f ( z )
f '( z ) 3z 2 12 2 z 18; f '( z ) 0 z 2; z 3 2
Khi đó Max f ( x) Max f (0), f ( 2), f (3 2), f (4 2) f ( 2), f (4 2) 8 2 11,31
0;4 2
Vậy thể tích lớn nhất của thùng 8 2 11, 31 khi ( x; y; z) ( 2; 2;4 2) và các hốn vị của nó.
Email:
Câu 22. Gọi V là thể tích nhỏ nhất của khối chóp tứ giác đều trong số các khối chóp tứ giác đều có khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và
đường thẳng chứa một cạnh bên hình chóp bằng 3 .Khi đó V bằng bao nhiêu?
A. V 3 .
C. V 9 3 .
B. V 9 .
D. V 27 .
Lời giải.
Tác giả: Trần Văn Nam ,,Tên FB: Trần Văn Nam
Chọn B
Xét hình chóp tứ giác đều S . ABCD , đặt AB x , SO h . Với O là tâm của hình vng ABCD
SO ABCD . Qua O kẻ đường thẳng OH vng góc với SA với H SA .
BD AC
Ta có
BD SAC BD OH .
BD SO
Suy ra OH là đoạn vng góc chung của SA và BD .
OH 3 .
Theo bài ra, ta có d d SA, BD OH
Tam giác SAO vng tại O , có đường cao OH suy ra
1
1
1
1
1
2
2 2
3 OH 2 SO 2 OA 2
h
x
Lại có
.
1
1
2
1
1
1
2 2 2 2 2
3 h
x
h
x
x
1 1
2
3
3 h 2 . x 4 hx 27 .
AM GM
1
1
Vậy VABCD SO.S ABCD hx 2 9 V 9
3
3
Tác giả: Trần Văn Nam,,Tên FB: Trần Văn Nam
Gmail:
(Họ tên : Phạm Văn Bình,,Tên FB: Phạm văn Bình)
Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung
điểm của SC . Mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi V1 là
thể tích của khối chóp S . AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số
A.
2
.
3
B.
1
.
8
C.
V1
?
V
1
.
3
D.
Lời giải
Chọn C
Cách 1
S
P
M
B
I
N
C
O
A
Đặt a
SM
SN
, b
, 0 a; b 1 .
SB
SD
D
3
.
8
Ta có
V
V
1 SM SP SN SP 1
V1 VS . AMP VS . ANP
S . AMP S . ANP
.
.
= a b (1)
V
V
2VS . ABC 2VS . ADC 2 SB SC SD SC 4
Lại có
V
V
1 SM SN SM SN SP 3
V1 VS . AMN VS . PMN
S . AMN S . PMN
.
.
.
= ab (2).
V
V
2VS . ABD 2VS .CBD 2 SB SD SB SD SC 4
1
3
a
a
. Từ điều kiện 0 b 1 , ta có
1,
a b ab a b 3ab b
4
4
3a 1
3a 1
1
hay a .
2
Suy ra
V1 3 a 2
Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích
.
.
V 4 3a 1
a 0 L
3 3a 2 2a
3 a2
1
0
; a ;1 , ta có f ' a .
Đặt f a .
.
2
a2
4 (3a 1)
4 3a 1
2
3
3 2 1
V
1
f f 1 ; f , do đó Min 1 Min f a
V a 1 ;1
8 3 3
2
2
2 1
f .
3 3
Cách 2 : (Tham khảo ý kiến Cô Lưu Thêm)
Từ giả thiết và cách dựng thiết diện ta có :
a
SA
SB
SC
SD
1; b
;c
2; d
ac bd 3
SA
SM
SP
SN
Khi đó
Min
V1 a b c d
6
3
3
1 V 1
1
2
V
4a.b.c.d
4.1.2.bd 4b.d
3 V 3
bd
4
2
V1 1
V 3
Email:
Câu 24. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh
AB, AC sao cho mặt phẳng DMN vng góc với mặt phẳng ABC . Gọi S là diện tích tồn
phần của tứ diện DAMN . Tìm giá trị nhỏ nhất của S ?
A.
3(4 2)
.
9
B.
2 32
.
4
C.
2 3 2
.
4
D.
3(1 2)
.
9
Lời giải
Tác giả : Lâm Điền An,Tên FB: Lâm Điền An
Chọn A
D
C
B
N
M
H
A
Kẻ DH MN , do DMN ABC suy ra DH ABC .
Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là trọng tâm của tam giác đều ABC .
Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN :
S S AMD S AND SDMN S AMN
+
1
1
AD.AM.sin 600
AD.AN .sin 600
2
2
1
1
0
DH .MN + AM.AN .sin60 . =
2
2
Mặt khác: S AMN
6
3xy 3xy 1
6
3
1
xy ;
. AM.AN .sin600 =
2
4
S AMN S AMH S ANH =
Suy ra
3xy
1 3
1
1
AM.AH.sin300
AN .AH.sin300 .
x y .
4 3
2
2
3
1 3
xy = .
x y x y 3xy ; 0 x, y 1
4
4 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của S 3xy
Từ 3 xy x y 2 xy xy
6
3xy 3 xy 1 ; x y 3 xy , 0 x; y 1
6
2
4
xy .
3
9
4
1
3 xy 1 3. 1
9
3
S 3 xy
Suy ra min S
3 4 2
6
4
6
4 1
3 xy 3 xy 1
3
3. .
6
9
6
9 3
9
3(4 2)
2
, khi x y .
9
3
Email:
Câu 25. Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 1 (m) như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần đậm của tấm
nhôm rồi gập lại thành một hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng x (m) sao cho bốn đỉnh của
hình vng gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tìm giá trị của x để khối chóp nhận được có thể
tích lớn nhất.
A. x
2
4 .
B. x
2
3 .
C. x
2 2
5 .
D. x
1
2
Lời giải
Tác giả: Quách Phương Thúy
Tên FB: Phương Thúy
Chọn C
Đường chéo hình vng cạnh 1 là
2
OC
2
x
2 OE
2
2 x
EC OC OE
2 2
2
2 x x 2
Khi đó h CE OE
2 2
2
2
2
1
1
V x2h x2
3
3
4
2 x x 2 1 2 2 2 2 x 1 x 1 2 x
x
2
2
3
4
3
2
1
Xét hàm số f ( x) x 4 1 x 2 trên 0;
2
f x 4 x3 5x 4 2