ĐỀ tài cơ học CHẤT điểm

CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2019
ĐỀ TÀI: CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cơ học chất điểm là một trong những chuyên ngành của Vật lý học. Cơ học chất điểm
nghiên cứu chuyển động của chất điểm mà phương pháp nghiên cứu nó là toán học giải tích
chặt chẽ như: Giải tích, đại số cao cấp, hình giải tích, phương trình vi phân, tích phân,
phương trình toán – lý…
Trong nhiều năm, các bài toán về cơ học chất điểm xuất hiện thường xuyên trong đề thi
học sinh giỏi Olympic Vật lý các nước và quốc tế. Trong các đề thi học sinh giỏi cấp thành phố,
cấp tỉnh, cấp quốc gia và quốc tế luôn xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến phần cơ học chất
điểm. Do đó, học sinh chuyên Lý, học sinh ở đội tuyển học sinh giỏi Vật lý cần nắm vững kiến
thức và vận dụng giải tốt các bài tập về cơ học chất điểm, để có thể đáp ứng tốt cho các kỳ thi
học sinh giỏi đồng thời cũng là cơ sở để các em nghiên cứu các vấn đề khác trong chương trình
như cơ học Vật rắn, dao động cơ...Để nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp học sinh
dự các kỳ thi học sinh giỏi Vật lý vận dụng linh hoạt vào bài toán lạ, khó, qua kinh nghiệm bồi
dưỡng học sinh giỏi nhiều khóa, chúng tôi chọn đề tài: “ Cơ học chất điểm”.
Trong phần “Cơ học chất điểm”, gồm những nội dung cơ bản sau:
- Động học chất điểm: Nghiên cứu những đặc trưng của chuyển động và những dạng
chuyển động khác nhau.
- Động lực học chất điểm: Nghiên cứu mối liên hệ của chuyển động với sự tương tác
giữa các vật.
- Các định luật bảo toàn: Nghiên cứu giải lớp bài toán bằng cách vận dụng các định luật
bảo toàn.
II. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài này nhằm mục đích hệ thống kiến thức, giúp học sinh lớp 10 chuyên Vật lý và học
sinh các đội tuyển học sinh giỏi Vật lý nắm vững các kiến thức cơ bản để giải bài tập một cách
dể hiểu, từ thấp đến cao, giúp học sinh có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập, hiểu được ý nghĩa
vật lý của từng bài đã giải, rèn luyện thói quen làm việc độc lập, sáng tạo, phát triển khả năng tư
duy,... chuẩn bị cho các kì thi học sinh giỏi. Đồng thời có kiến thức nền tảng để sau này có cơ
hội tìm hiểu sâu hơn về các chuyên ngành liên quan đến cơ học chất điểm.

Chuyên đề được chia làm hai phần:
Phần 1: Cơ sở lý thuyết của cơ học chất điểm.
Phần 2: Phân chia dạng bài tập và một số bài tập minh họa và vận dụng.
PHẦN II : NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
1


A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
1. Hệ quy chiếu
- Do chuyển động cơ học có tính chất tương đối nên phải chỉ ra hệ quy chiếu trong đó ta xét
chuyển động của một vật. Hệ quy chiếu ( HQC) bao gồm vật làm mốc, hệ tọa độ, gốc thời gian
và đồng hồ.
- Trong nhiều bài toán cơ học người ta chỉ đề cập đến hệ tọa độ và gốc thời gian khi ấy phải hiểu
người quan sát đã chọn vật làm mốc gắn với mặt đất
Vật hay hệ vật mà ta quy ước là đứng yên khi nghiên cứu chuyển động của một vật khác được
gọi là hệ quy chiếu. Với cùng một chuyển động nhưng trong các hệ quy chiếu khác nhau sẽ xảy
ra khác nhau.
Vì chuyển động xảy ra trong không gian và theo thời gian nên để mô tả chuyển động trước
tiên phải tìm cách định vị vật trong không gian. Muốn vật ta phải đưa thêm vào hệ quy chiếu
một hệ toạ độ. Trong Vật lý người ta sử dụng nhiều hệ toạ độ khác nhau. Ở đây, sẽ giới
thiệu hai hệ toạ độ hay dùng đó là hệ toạ độ Đề-các (Descartes) và hệ toạ cầu.
a. Hệ tọa độ Descartes
Hệ toạ độ Descartes gồm 3 trục Ox, Oy, Oz tương ứng vuông góc với
nhau từng đôi một, chúng tạo thành một tam diện thuận. Điểm O gọi
là gốc toạ độ. Vị trí của một điểm M bất kỳ được hoàn toàn xác định
r
bởi bán kính vectơ r , hay bởi tập hợp của 3 số (x,y,z) trong đó r là
hình chiếu của điểm mút M của vectơ lên các trục Ox, Oy, Oz tương
ứng, được gọi là 3 toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ Descartes.

b. Hệ tọa độ cầu
Trong hệ toạ độ cầu, vị trí của một điểm M bất kỳ được xác định bởi 3 toạ độ r, θ, φ. Trong đó, r
là độ dài bán kính vectơ, θ là góc giữa trục Oz và r, còn φ là góc trục Ox và tia hình chiếu của t
trong mặt phẳng xOy. Biết ba toạ độ cầu của điểm M, ta có thể tính được toạ độ Descartes của
điểm M theo công thức sau:
 x = r sin θ cos ϕ

 y = r sin θ sin ϕ
 z = r cos θ


2


Trong hệ toạ độ cầu: 0 ≤ θ ≤ 1800 và 0 ≤ φ ≤ 3600. Các đường tròn ứng với cùng một giá trị của
e gọi là Các đường vĩ tuyến, còn các đường tròn ứng với cùng một giá trị của φ gọi là các
đường kinh tuyến. Hệ toạ độ cầu rất thuận tiện khi định vị các địa điểm trên quả đất.

Hình 1.2: Hệ tọa độ cầu

2. Chuyển động thẳng trên trục ox
2.1. Độ dời:
∆x = x2 − x1 ( x2 và x1 là tọa độ của các chất điểm tại các thời điểm t1 và t2 tương ứng).

2.2. Vận tốc
- Vận tốc trung bình VTB =
- Tốc độ trung bình vTB =
- Vận tốc tức thời: v =

∆x

∆t

s
( s là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t)
t

dx
dt

2.3. Gia tốc
- Gia tốc trung bình: aTB =

- Gia tốc tức thời: a =

∆v
∆t

dv
dt

2.4. Các phương trình của chuyển động thẳng đều
a=0; v=hẳng số; x=x0+v.t
3


2.5. Các phương trình của chuyển động thẳng nhanh dần đều
1
x = x0 + v0 t + at 2
2

a= hằng số; v = v0+a.t;

Nếu a cùng dấu với v: Chuyển động nhanh dần đều.
Nếu a khác dấu với v: Chuyển động chậm dần đều.
2.6. Sự rơi tự do:
a= g=9,8m/s2;

1
2

2
v= g.t; s = at

3. Chuyển động cong

y

3.1. Vị trí và độ dời:
- Véctơ vị trí r = OM ;


M
 

- Véctơ độ rời ∆r = MM 1 = r1 − r

1

M
2

Tiêp
tuyến

3.2. Vận tốc


∆r
- Vận tốc trung bình ( theo hướng MM1): vTB =
∆t

 dr
v
=
- Vận tốc tức thời
tiếp tuyến với quỹ đạo.
dt

x

O

3.3. Gia tốc


∆v
- Gia tốc trung bình: aTB =
.
∆t

 dv

- Gia tốc tức thời: a =
.
dt

4. Chuyển động tròn đều
4.1. Tốc độ dài v =

∆s
= const
∆t

Véctơ vận tốc có phương trùng với tiếp tuyến quỹ đạo và có chiều của chuyển động.
4.2. Gia tốc hướng tâm: a ht =
4.3. Tốc độ góc ω =

v2
r

α
= const ( rad/s)
t

Liên hệ giữa tốc độ góc và tốc độ dài: v = ωr

4


4.4. Chu kì và tần số
- Chu kì: T =
- Tần số f =

2π
(s)
ω
1 ω
=
(Hz)
T 2π

5. Chuyển động tròn không đều, gia tốc góc, gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến.
5.1. Gia tốc góc: Khi vật chuyển động tròn không đều thì tốc độ góc không còn là hằng số
mà biến thiên theo thời gian. Khi ấy gia tốc góc kí hiệu γ
γ=

∆ω
dω
khi ∆t → 0 thì γ =
∆t
dt

5.2. Gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến:
- Trong chuyển động tròn không đều, véctơ vận tốc của chất điểm không chỉ thay đổi về
hướng mà còn thay đổi về độ lớn, khi ấy véctơ gia tốc không hướng vào tâm mà làm với

vectơ vận tốc góc α ≠ 90 0 . Ta phân tích véctơ a thành hai thành phần




- Thành phần gia tốc pháp tuyến a n vuông góc với v . Thành phần này chính là gia tốc hướng


tâm. Nó đặc trưng cho sự biến thiên nhanh hay chậm về hướng của v .
a n = a ht =

v2
= ω 2r
r





- Thành phần tiếp tuyến at theo phương của v nó đặc trưng cho sự biến thiên nhanh hay
∆v
∆t
∆ω
= rγ
Thay v = ωr vào ta được at = r
∆t


chậm về độ lớn của v :

at =

Trong đó γ là gia tốc góc của chuyển động tròn không đều có đơn vị là rad/s2.






Tổng a = at + an gọi là gia tốc toàn phần của chất điểm chuyển động tròn không đều.
6. Tính tương đối của chuyển động, công thức cộng vận tốc
6.1. Tính tương đối của chuyển động: Thể hiện ở chỗ vị trí, hình dạng quỹ đạo và vận tốc
của vật trong các HQC khác nhau thì khác nhau
6.2. Công thức cộng vận tốc

5




Gọi vận tốc của vật đối với HQC đứng yên là vận tốc tuyệt đối v13 , vận tốc của vật đối

với HQC chuyển động là vận tốc tương đối v12 , vận tốc của HQC chuyển động đối với HQC


 
đứng yên là vận tốc kéo theo v23 ta có: v13 = v12 + v23
II. ĐỘNG LỰC HỌC
II.1. Các định luật Newton.
II.1.1. Định luật I Newtơn.
Khi một chất điểm cô lập (không chịu một tác động nào từ bên ngoài), nếu đang đứng
yên nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó là thẳng đều.
Định luật quán tính: Một chất điểm cô lập bảo toàn trạng thái chuyển động của nó.
II.1.2. Định luật II Newtơn.
a.Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng hợp

ur

∑ F ≠ 0 là

một chuyển động có gia tốc.
b.Gia tốc chuyển động của chất điểm tỉ lệ với tổng hợp lực tác dụng F và tỉ lệ nghịch

F

∑
với khối lượng của chất điểm ấy: a = k
m

Nếu k = 1 ⇒ a = ∑
→

F

(2.1)

m

Phương trình Newton:

→

∑F = ma

+ Với định luật Newton I:

(2.2)
→

→

→

→

∑ F = 0 → a = 0 ⇒ v = const
→

+ Với định luật Newton II: ∑ F ≠ 0 → a = F ≠ 0
m
→

II.1.3. Định luật III Newtơn.
→

Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực F thì chất điểm B cũng tác dụng
→

→

→

lên chất điểm A một lực F ' , 2 lực F và F ' tồn tại đồng thời cùng phương, ngược chiều và
cùng cường độ.
Nói cách khác tổng hình học các lực tương tác giữa 2 chất điểm bằng không:
ur uur
ur
uur

(2.3)
F = − F ' hay F + F ' = 0
→

→

Chú ý: ở công thức (1.25) tổng 2 lực F và F ' bằng không nhưng tác dụng của chúng
không khử nhau vì điểm đặt của chúng khác nhau.
Tổng các nội lực của một hệ chất điểm cô lập (hệ kín) bằng không.
→

 Phương trình cơ bản của cơ học chất điểm: m a = ∑ F
→

→

 Hệ quy chiếu quán tính: Nghiệm đúng phương trình m a = F
 Lực tác dụng lên chất điểm trong chuyển động cong.

6


→

→

→

a = at + an
→

→

→

m a = m at + m an
→

→

→

F = Ft + Fn

Lực tiếp tuyến Ft = m

dv
dt

Lực pháp tuyến Fn = m

v2
R

*Một số loại lực cơ học
-Trọng lực.
Trọng lực là lực hút của Trái đất tác dụng lên vật, có phương vuông góc với mặt đất,
hướng xuống dưới.
ur

ur

Biểu thức của trọng lực: p = mg .
Độ lớn của trọng lực là trọng lượng.
-Lực căng.
Lực căng xuất hiện khi hai đầu của vật bị kéo căng, lực này có đặc điểm giống với lực
đàn hồi của lò xo khi vi dãn.
-Lực ma sát.
+Lực ma sát trượt: Xuất hiện khi một vật trượt trên mặt một vật khác và cản lại
chuyển động trượt này.
ur

uu
r uuu
r

uu
r

uuu
r

Ta có: R = N + f ms , trong đó N là phản lực pháp tuyến, còn thành phần f ms gọi là lực
ma sát trượt, có độ lớn: f ms = µ N . Với µ là hệ số ma sát trượt ( µ<1), nó phụ thuộc vào bản
chất và tình trạng của mặt tiếp xúc.
+Lực ma sát lăn: Xuất hiện khi một vật lăn trên mặt một vật khác. Lực ma sát lăn cũng
tỉ lệ với áp lực lên mặt đỡ, nhưng hệ số ma sát lăn nhỏ hơn hệ số ma sát trượt nhiều.
+Lực ma sát nghỉ: Xuất hiện khi một vật đứng yên mặt một vật khác và có xu hướng
chuyển động. Lực ma sát nghỉ có độ lớn bằng độ lớn của ngoại lực tác dụng vào vật chùng
nào vật còn chưa chuyển động. Lực ma sát nghỉ có giá trị cực đại, giá trị này còn lớn hơn cả

lực ma sát trượt.
+Lực ma sát nhớt: Xuất hiện ở mặt hai lớp chất lưu chuyển động tương đối so với
nhau.
uuu
r
r
f ms = − rv với r là hệ số ma sát nhớt.

Nếu vật có dạng hình cầu, đường kính d, chuyển động với vận tốc v trong môi trường
thì: f ms = 3π .η .d .v
III. CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN
III.1. Hệ vật, nội lực và ngoại lực
7


1. Đối tượng xét chuyển động trong nhiều trường hợp không phải là một vật mà là một hệ vật
bao gồm từ hai hay nhiều vật tác dụng lẫn nhau. Khi đã xác định được hệ vật thì lực mà các
vật trong hệ tác dụng lên nhau gọi là nội lực còn lực mà các vật ở ngoài hệ tác dụng lên các
vật trong hệ gọi là ngoại lực.
2. Hệ được gọi là cô lập khi không có ngoại lực tác dụng lên hệ hoặc các ngoại lực này cân
bằng nhau.
3. Hệ được gọi là kín khi không có vật chất đi vào hoặc đi ra khỏi hệ
Khi nghiên cứu các hệ cô lập và kín người ta đã phát hiện ra rằng có những đại lượng vật lý
đặc trưng cho trạng thái của hệ được bảo toàn nghĩa là chúng có trị số không đổi theo thời
gian.
Các định luật bảo toàn có vai trò rất quan trọng vì chúng có lĩnh vực áp dụng rất rộng rãi.
Ngoài ra còn cho một phương pháp nghiên cứu mới gọi là phương pháp các định luật bảo
toàn.
III. 2. Động lượng, định luật bào toàn động lượng.
III. 2. 1. Động lượng của một vật



p = mv





III. 2. 2. Định lý biến thiên động lượng: ∆p = ∑ F .∆t
Độ biến thiên động lượng của một vật trong khoảng thời gian ∆t bằng xung lượng của tổng
các lực tác dụng lên vật trong khoảng thời gian đó.
 dp
III. 2. 3. Định luật II Niutơn dạng tổng quát: ∑ F =
dt

III. 2. 4. Định luật bảo toàn động lượng

 

 

p1 + p2 + ... + pn = p1′ + p′2 + .... + pn′

Tổng véctơ của hệ cô lập và kín là một đại lượng bảo toàn
III. 3.Động năng, thế năng, định luật bảo toàn cơ năng.
III. 3.1. Động năng, định lý biến thiên động năng
1
2

2

a. Động năng của một vật Wđ = mv

 

b. Định lý biến thiên động năng: ∆Wđ = ∑ A = ∑ F .∆r

Độ biến thiên động năng của một vật bằng công toàn phần của các lực tác dụng lên vật
III. 3.2. Thế năng và lực thế
III. 3.2. 1. Lực thế
- Một lực được gọi là lực thế nếu công mà nó thực hiện trên một vật không phụ thuộc vào
hình dạng đường đi của vật mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối của đường đi. Nói cách
khác công mà lực thế thực hiện trên một đường kín bằng không.
- Trọng lực, lực hấp dẫn, lực đàn hồi, lực tĩnh điện là lực thế.
- Lực ma sát không phải là lực thế vì công của nó tác dụng vào một vật chuyển động theo
đường kín thì khác không.
8


III. 3.2. 2. Thế năng.
Thế năng là một dạng năng lượng gắn với lực thế. Khi một hệ vật tương tác với nhau bằng
lực thế thì hệ vật dự trữ một thế năng. Khác với động năng, thế năng có nhiều loại ứng với
các lực thế khác nhau.
III. 3.2. 3. Thế năng trọng trường
- Trái đất và một vật tương tác với nhau bằng trọng lực nên hệ “trái đất-vật” dự trữ thế năng
trọng trường có công thức
Wt = mgz
Trong đó m là khối lượng của vật, z là độ cao của vật so với mặt đất ( mặt đất được chọn làm
mốc thế năng)
III. 3.2. 4. Thế năng đàn hồi
- Khi một lò xo bị biến dạng các phần tử của lò xo tương tác với nhau bằng lực đàn hồi. Khi

một lò xo tương tác với một vật khác gắn ở đầu tự do của nó thì thế năng của lò xo cũng là
thế năng đàn hồi của hệ vật-lò xo.
Công thức

Wt =

1
K (∆l ) 2
2

Ta có nhận xét thê năng đàn hồi của lò xo luôn có giá trị dương dù lò xo bị nén hay bị dãn và
thế năng của nó bằng không khi không bị biến dạng.
III.3.3. Cơ năng. Định luật bảo toàn cơ năng
III.3.3. 1. Cơ năng:
Những nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm cho thấy lực thế thực hiện công làm tăng động
năng lên bao nhiêu thì đồng thời cũng làm giảm thế năng của hệ đi bấy nhiêu. Nói cách khác
lực thế thực hiện công không làm thay đổi tổng động năng và thế năng tức là cơ năng của hệ
vì vậy lực thế còn được gọi là lực bảo toàn.W=Wđ + Wt
III.3.3. 2. Định luật bảo toàn cơ năng
Nếu chỉ có lực thế tác dụng giữa các vật trong một hệ cô lập và kín thì động năng của các vật
trong hệ có thế chuyển thành thế năng của hệ và ngược lại nhưng cơ năng của hệ thì được bảo
toàn.
W=Wđ + Wt = const hay ∆Wđ = −∆Wt
III.3.3. 3.Thế năng và vị trí cân bằng (VTCB)
Giả sử một vật chịu tác dụng của lực thế và đứng cân bằng ở vị trí x 0. Khi dịch chuyển vật ra
khỏi VTCB sang vị trí lân cận x = x0 + ∆x sẽ xuất hiện hợp lực F khác không.
- Nếu hợp lực F có xu hướng kéo vật trở về VTCB thì khi dịch chuyển vật từ VTCB ra vị trí
lân cận công của lực F là công âm, công này làm tăng thế năng của vật. Suy ra W t ( x0) có giá
trị cực tiểu so với các điểm lân cận.
- Ngược lại, Nếu hợp lực F có xu hướng kéo vật rời xa VTCB khi dịch chuyển từ vị trí lân

cận về VTCB x0, thì công của lực F làm tăng thế năng của vật. Suy ra W t ( x0) có giá trị cực
đại so với các điểm lân cận.

9


Tóm lại thế năng của vật tại VTCB có giá trị cực tiểu (VTCB bền) hoặc cực đại ( VTCB
không bền). Nói cách khác tại VTCB ta có:

dWt ( x )
=0
dx

III.4. Cơ năng và lực ma sát trượt
- Nếu có lực ma sát trượt tác dụng vào các vật trong hệ thì cơ năng của hệ không được bảo
toàn mà giảm đi. Phần cơ năng giảm đi chủ yếu chuyển thành nhiệt năng.
- Định luật bảo toàn năng lượng trong trường hợp này được viết như sau:
W1 = W2 + Ams với Ams = Fms S

IV. Các định lý về động lượng, mômen động lượng.
IV.1. Động lượng và các định lý về động lượng.
ur
Giả sử một chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của một lực F (hay nhiều lực). Theo
định luật II Newton, ta có:



 

dv 

d ( mv ) 
ma = F ⇔ m
=F⇔
= F ⇔ d (mv ) = Fdt
dt
dt


Đặt K = mv : gọi là véc tơ động lượng

(2.4)

Động lượng là đại lượng véc tơ được xác định bằng tích số giữa khối lượng và véc tơ


vận tốc: K = mv
(2.5)
Thay (2.5) vào (2.4) ta có

dK
=F
dt

(2.6)

*Định lý 1: Đạo hàm động lượng của một chất điểm đối với thời gian có giá trị bằng lực (hay
tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm đó.
uu
r ur
uu

r uur uur K2 uu
r t2 ur
d
K
=
Fdt
⇔
∆
K
=
K
−
K
=
d
K
Từ (2.6) ta có thể viết:
2
1
∫ = ∫ Fdt
K1

(2.7)

t1

*Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó
có giá trị bằng xung lượng của lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó.

 ∆K


Nếu F = const thì F =
∆t

(2.8)

Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong đơn vị thời gian có giá trị bằng lực tác
dụng lên chất điểm đó.
*ý nghĩa của động lượng và xung lượng của lực.
- Ý nghĩa của động lượng: Khi khảo sát về mặt động lực học chất điểm ta không thể
chỉ xét vận tốc mà phải đề cập đến khối lượng. Nghĩa là vận tốc không đặc trưng cho chuyển
động về phương diện động lực học. Do đó mà động lượng mới đặc trưng cho chuyển động về
phương diện động lực học. Khi hai vật va chạm đàn hồi với nhau thì kết quả va chạm được
thể hiện bằng động lượng của các vật. Vậy động lượng đặc trưng cho khả năng truyền chuyển
động.

10


- Ý nghĩa của xung lượng: Về mặt động lực học thì kết quả tác dụng của lực không
những phụ thuộc cường độ lực tác dụng mà còn phụ thuộc thời gian tác dụng của lực. Nếu
cùng một lực tác dụng nhưng thời gian tác dụng khác nhau thì kết quả tác dụng sẽ khác nhau.
IV.2.Mô men động lượng, định lý về mô men động lượng.
IV.2.1.Khái niệm mômen lực và mômen động lượng đối với một điểm.
+Mômen lực:
r
ur
ur
Gọi r là véc tơ nối gốc O với điểm đặt của lực F , khi đó mô men lực F đối với điểm
uur r ur

O là: M = r ∧ F
(2.9)
→

→

→

→

→

+Mô men động lượng: L = r × K = r × m v (2.10)
IV.2.2.Định lý về mômen động lượng.
Giả sử gốc O đứng yên, lấy vi phân hai vế biểu thức (2.13) theo thời gian ta nhận
được:
ur
r
uu
r
r r dK
d L d r uu
(2.11)
=
∧K +r∧
dt
dt
dt
r
r

uu
r
uu
r
r
r d K r ur uur
dr r
d r uu
d K ur
Vì O đứng yên nên
= v , do đó
∧ K = 0 , còn
= F do đó r ∧
=r∧F =M .
dt
dt
dt
dt
ur
d L uur
Khi đó (2.14) trở thành:
(2.12)
=M
dt

*Định lí 1: Đạo hàm của mô men động lượng của chất điểm theo thời
gian bằng mô men của ngoại lực tác dụng lên chất điểm đó.
ur uur
ur uu
r uu

r L2 ur t2 uur
d
L
=
M
dt
⇒
∆
L
=
L
−
L
Từ (2.12) ta có:
2
1 = ∫ d L = ∫ Mdt
L1

(2.13)

t1

*Định lí 2: Độ biến thiên mô men động lượng của chất điểm trong một
khoảng thòi gian nào đó bằng xung lượng của mô men lực tác dụng lên
chất điểm trong khoảng thời gian đó.
V. Phương pháp các định luật bảo toàn
Phương pháp các định luật bảo toàn là phương pháp vận dụng các định luật bảo toàn cho
những hệ cơ học để giải các bài toán cơ học. Nó gồm những nội dung chính sau:
V.1. Chọn hệ vật cho phù hợp với bài toán và xác định xem hệ có thỏa mãn điều kiện áp
dụng các định luật bảo toàn hay không

a. Điều kiện để áp dụng định luật bảo toàn động lượng là
- Hệ phải cho là kín và cô lập.
- Nếu hệ không cô lập nhưng tổng đại số các hình chiếu của các ngoại lực theo một hướng mà
triệt tiêu thì áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo hướng đó.
- Nếu trong quá trình tương tác, va chạm, các nội lực xuất hiện lớn hơn rất nhiều so với ngoại
lực thì có thể bỏ qua ngoại lực và hệ cô lập.
b. Điều kiện để áp dụng định luật bảo toàn cơ năng là
- Hệ kín và cô lập.
11


- Các nội lực trong hệ phải là lực thế.
- Nếu nội lực là lực ma sát trượt thì cơ năng của hệ giảm đi ( trong khi đó thì động lượng toàn
phần của hệ vẫn bảo toàn ) khi ấy cần áp dụng định luật bảo toàn năng lượng
V.2. Xác định trạng thái ban đầu và trạng thái cuối của hệ. Áp dụng hai định luật bảo
toàn động lượng và cơ năng cho hai trạng thái này.
- Phải chỉ rõ HQC quán tính khi tính động lượng và động năng của các vật.
- Phải chỉ rõ mốc thế năng khi tính thế năng của hệ.
VI. Nguyên lý tương đối Galilê.
VI..1. Phép biến đổi Galilê.
VI.1.1.Không gian và thời gian trong cơ học cổ điển
Ta xét hai hệ quy chiếu O và O’ gắn với hai hệ trục toạ độ Oxyz và O’x’y’z’. hệ O
đứng yên, hệ O’ trượt dọc trục Ox đối với hệ O sao cho O ' x ' ↑↑ Ox, O ' y ' ↑↑ Oy, O ' z ' ↑↑ Oz .
Ta gắn vào mỗi hệ một đồng hồ để chỉ thời gian. Ta xét một chất điểm chuyển động trong hệ
O, tại thời điểm t nó có toạ độ x,y,z. Các toạ độ không gian và thời gian tương ứng của chất
điểm trong hệ O’ là x’,y’,z’ và t’.
*Quan điểm của Newton:
-Thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc hệ quy chiếu : t’ = t (2.14)
-Vị trí không gian có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu. Do đó : chuyển động có
tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu.

x = x '+ OO ', y = y ', z = z '

(2.18)

-Khỏng cách giữa hai điểm của không gian có tính chất tuyệt đối không phụ thuộc hệ
quy chiếu.
*.Phép biến đổi Galileo.
Ta xét chuyển động của chất điểm trong hệ O. Coi rằng
thời điểm ban đầu O và O’ trùng nhau O’ chuyển động thẳng đều
dọc theo trục Ox với vận tốc V. Khi đó: OO ' = Vt .
Theo (2.18), ta được: x = x '+ Vt , y = y ', z = z ', t = t ' (2.15)
Ngược lại: x ' = x − Vt , y ' = y, z ' = z , t ' = t
(2.16)
Các công thức (2.19) và (2.20) được gọi là phép biến đổi
Galileo.
VII.Tổng hợp vận tốc và gia tốc.
Ta xét hai hệ quy chiếu O và O’ gắn với hai hệ trục toạ độ Oxyz và O’x’y’z’. hệ O
đứng yên, hệ O’ trượt dọc trục Ox đối với hệ O sao cho O ' x ' ↑↑ Ox, O ' y ' ↑↑ Oy, O ' z ' ↑↑ Oz .
Với O là hệ quy chiếu quán tính đứng yên gọi là hệ quy chiếu tuyệt đối và O' là hệ quy chiếu
tương đối.
Vị trí của chất điểm đối với hai hệ O và O' xác định bởi vectơ bán kính r = OM và
r ' = OM ' . Đặt R = OO' , ta có hệ thức:

(2.17)
Lấy đạo hàm theo thời gian của (2.17), ta được:
r = r' + R

12

dr dr ' dR dr ' dR
hay v = v' + V
=
+
=
+
dt dt dt dt ' dt

(2.18)

Vận tốc tuyệt đối của chất điểm bằng tổng vectơ của vận tốc tương đối của chất điểm
đó và vận tốc theo.
Lấy đạo hàm theo thời gian của (2.18), ta được:
dv dv' dV dv' dV
hay a = a ' + A
=
+
=
+
dt dt
dt
dt ' dt

(2.19)

Gia tốc tuyệt đối của chất điểm bằng tổng vectơ của gia tốc tương đối của chất điểm
đó và gia tốc theo.
VII.1. Nguyên lý tương đối Galilê.
Mọi hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều với hệ quy chiếu quán tính cũng là hệ quy
chiếu quán tính.

Nguyên lý: Các phương trình cơ học trong mọi hệ quy chiếu quán tính có dạng như
nhau.
Các hiện tượng (định luật) cơ học xảy ra giống nhau trong các hệ quy chiếu quán tính.
VII.2. Hệ quy chiếu không quán tính - lực quán tính.
ur
Khi hệ O’ chuyển động có gia tốc so với hệ O ( A ≠ 0 ). Khi đó nhân hai vế của (2.24)
với khối lượng m của chất điểm ta có:
r
uu
r
ur
ma = ma ' + m A
uu
r
r
ur
⇔ ma ' = ma + (− m A)
r ur
Do O là hệ quán tính nên ma = F , vì thế biểu thức cuối cùng được viết thành:
uu
r ur
ur
ma ' = F + (−m A)
ur
Như vậy trong hệ O’ ngoài ngoại lực F tác dụng lên chất điểm còn có thêm một lực
uur
ur
Fqt = −m A tác dụng. Lực này được gọi là lực quán tính và luôn có chiều ngược chiều của véc
ur
tơ gia tốc A của hệ O’ đối với hệ O. Hệ O’ lúc này được gọi là hệ quy chiếu không quán tính.

13


B. MỘT SÔ BÀI TẬP VẬN DỤNG
LOẠI 1: BÀI TẬP VỀ ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
Dạng 1: Bài tập về con đường ngắn nhất
Bài 1: Trên một mặt cầu bán kính R, vòng tròn lớn( vòng tròn bán kính R) là con đường ngắn
nhất giưa hai điểm. λ là vi độ, φ là kinh độ. Hay xác định chiều dài con đường ngắn nhất giưa
Pari(λ1= 48052’; φ1= 2020’) và Tokyo(λ2= 35042’; φ2= 139030’). Biết bán kính trái đất:
6,37.106m( Trái đất không tuyệt đối là hình cầu).
Hướng dẫn giải
r r

d = Rα với cosα= er .er . Khi sử dụng hệ tọa độ cầu ta được: cosα= sinθ1 sinθ2.cos(φ2- φ1)+
cosθ1 cosθ2 với θ1=900- λ1; θ2=900- λ2 do đó α=87020’ và d= 9,7.103km.
1

2

Bài 2: Một xe buýt và một xe đạp chạy trên cùng một đường thẳng và cùng chiều với tốc độ
không đổi, lần lượt là 63 km/h và 33 km/h. Khoảng cách từ xe tải đến xe buýt luôn luôn bằng
khoảng cách từ xe tải đến xe đạp. Tìm vận tốc của xe tải đối với xe buýt.
Hướng dẫn giải
xe buýt (A), xe đạp(B) và xe tải(C) khi chuyển động tạo thành một tam giác cân. Chọn hệ tọa
độ như hình 1.13.
xe C: vCx=vH=

v A + vB
;

2

2
vCy
+ vC2x = vC2 ;

2

v A + vB 
÷
 2 

vCy= vC2 − 

r
r r
v +v
v −v
vCA = vC − v A . Chiếu lên hai trục v(CA) x = vCx − v Ax = A B − v A = B A
2

2

v(CA)y=

2

v +v 
v − A B ÷
 2 

2
C

2

2
( CA)

v

 v −v 
=  B A ÷ + vC2
 2 

2

v +v 
−  A B ÷ = vC2 − v AvB ⇒ v(CA)=25 km/h
 2 

Bài 3: Một chiếc ôtô xuất phát từ điểm A trên đường cái, ô tô này cần
đến điểm D (trên đồng cỏ) trong t,hời gian ngắn nhất. Biết
AC = d ; CD = l . Vận tốc ô tô chạy trên đường cái (v 1)lớn hơn vận tốc ô tô
trên đồng cỏ (v2) n lần. Hỏi ô tô phải rời đường cái tại một điểm B cách C một đoạn x là bao
nhiêu?

14


Hướng dẫn giải

Thời gian ô tô chạy trên đường cái từ A đến B:

t1 =

Thời gian ô tô chạy trên đồng cỏ từ B đến D: t 2 =

d−x
v1

x2 + l 2
.
v2

Tổng thời gian chạy từ A đến D của ô tô :
t = t1 + t 2 =

Đặt:

d−x
+
v1

x2 + l 2 = d − x +
x2 + l 2
n.
.
v1
v2
v1

d − x + n x2 + l 2
f ( x) =
v1

f’(x) = 0 ⇔ x=

l
n −1
2

⇒ f ' ( x) =

nx
1
nx − x 2 + l 2
+
=
.
v1 v1 x 2 + l 2
v1 . x 2 + l 2

.

Bảng biến thiên:

Vậy ô tô phải rời đường cái tại B cách C một đoạn x =
cần thiết của ô tô sẽ là: t min

l
n −1

2

, lúc đó thời gian ngắn nhất

d + l n2 −1
=
.
v1

Bài 4: Có hai vật m1 và m2 chuyển động thẳng đều với vận tốc lần


lượt là v1 và v 2 . Vật m2 xuất phát từ B. Tìm khoảng cách ngắn
nhất giữa chúng trong quá trình chuyển động và thời gian đạt được
khoảng cách đó? Biết khoảng cách ban đầu giữa chúng là l và góc
giữa hai đường thẳng là α .
Hướng dẫn giải
Giả sử sau thời gian t khoảng cách giữa hai vật là ngắn nhất. Khoảng cách đó sẽ là:
15


d=

A' B 2 + BB' 2 −2 A' B.BB'.cos α

⇒ d = (l − v1t ) 2 + (v 2 t ) 2 − 2(l − v1t )v 2 t cos α

= (v1 2 + 2v1v 2 cos α + v2 2 )t 2 − 2l (v1 + v 2 cos α )t + l 2
hay

d = d min ⇔ t =

l (v1 + v 2 cos α )
v1 + 2v1v 2 cos α + v 2
2

2

Và khoảng cách bé nhất giữa chúng lúc đó sẽ là:
d min =

−∆
4a

⇒ d min =

lv 2 sin α
v1 + 2v1v 2 cos α + v 2
2

2

Bài 5: Có hai tàu A và B cách nhau một khoảng a đồng thời tàu A và B chuyển động với vận
tốc không đổi lần lượt là v và u ( v > u ) . Tàu B chuyển động trên một đường thẳng (đường
thẳng này vuông góc với đoạn thẳng nối các vị trí ban đầu của hai tàu, còn tàu A luôn hướng
về tầu B. Hỏi sau bao lâu tàu A đuổi kịp tàu B ?
Hướng dẫn giải:
Ta gắn hệ trục 0 xy trùng với mặt phẳng nước và trục 0x cùng phương chiều với chuyển động
của tàu B , còn tàu A nằm trên phần dương của trục 0y ở vị trí ban đầu có toạ độ là ( 0, a ) .
Tàu A chuyển động với vận tốc v luôn hướng về phía tàu B với vận tốc gồm hai thành phần:

dx

v x = dt = v cos α

v = dy = −v sin α
 y dt

Lấy vế chia vế hai phương trình trên và ta rút ra:
dx
1 dy
dy
=−
= − cot α
dt
tan α dt
dt
y
tan
α
=
⇒
ut
− x = y cot α
Ta lại có:
ut − x

(1)
(2)

Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:

u−

dx
dy
y dα
= cot α
−
dt
dt sin 2 α dt

(3)

16


Thay (1) vào (3) ta suy ra:
u=−

y dα
sin 2 α dt

(4)

Mặt khác: dy = −v sin α ⇒ dt = − dy

(5)

v sin α

dt

Thay dt từ (5) vào (4): u = v
Lấy tích phân 2 vế:
y

y dα
dy sin α

hay

u dy
dα
=
v y sin α
u

α

u dy
dα
u y
α
α  y v

=∫
⇔ ln = ln tan  Suy ra: tan =  
∫
v a y π sin α
v a
2

2 a

2
α
Mặt khác ta lại có:
2 tan
2
2
2 =
=
sin α =
−1
u
u
α
α
α  y −v  y  v

1 + tan 2
 tan  + tan
2
dy
2
2  a  +  a 

dt = −
và
v sin α
u
u

−


nên
(*)
a  y  v  y  v   y 
dt = −
  +   d 
2v  a 
a  a



Lấy tích phân 2 vế phương trình (*):
u
u
−


a  y  v  y  v   y 
∫0 dt = − 2v ∫a  a  +  a   d  a 


av
2
t = v − u2
t

hay

Vậy sau thời gian

0

av
v − u2
2




a  1
1 
⇔ t=
+
u
u
2v 
1+ 
1−
v
v


tàu A sẽ đuổi kịp tầu B.

N

a C

M

Bài 6: ( Đề thi HSG Quốc gia năm 2017-2018):
L

“Running man” là câu chuyện về một cổ động viên tên là Tiến
l
b
chạy đuổi theo một chiếc xe buýt của đội bóng mà anh yêu
A
H
thích. Cho a và b là hai con đường thẳng song song và ngăn
cách nhau bởi một thảm cỏ. Tiến ban đầu ở điểm A, bến xe
ình 1
buýt ở điểm M, các điểm C và H được chọn sao cho ACMH là hình chữ nhật có chiều rộng d
và chiều dài l = d (Hình 1).
1. Biết độ lớn vận tốc mà Tiến khi chạy trên các đường là v1 còn khi chạy trên thảm cỏ là v2
= v1/n với n = 2 và v1 không đổi.
a) Tiến cần phải chạy theo quỹ đạo có dạng gồm các đoạn thẳng như thế nào để thời

17

d
H


gian đến bến M là ngắn nhất?
b) Khi quan sát thấy xe buýt bắt đầu rời bến M hướng về C với vận tốc không đổi và
có độ lớn V = 2v2 thì Tiến quyết định chạy theo đường thẳng qua thảm cỏ để gặp xe buýt. Từ
điểm A, Tiến cần chạy theo hướng nào để gặp được xe buýt?

2. Xe buýt chuyển động từ bến M hướng về C với vận tốc không đổi có độ lớn V = 36 km/h.
Tại thời điểm xe buýt đi qua điểm N với
(xem hình vẽ) thì Tiến bắt đầu di
chuyển từ điểm A với vận tốc ban đầu bằng không. Tiến chọn cách chạy sao cho véc-tơ vận
tốc của mình luôn hướng về xe buýt, còn độ lớn vận tốc luôn tăng để đảm bảo mình luôn tiến
lại gần xe buýt với tốc độ không đổi. Tiến có đuổi kịp xe buýt không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
a) Gọi D là vị trí Tiến bắt đầu băng qua thảm cỏ. Để thời gian chạy là nhỏ nhất, Tiến chuyển
động theo quỹ đạo của tia sáng truyền từ môi trường có vận tốc truyền v1, sang môi trường
có vận tốc truyền v2 và do đó, tuân theo định luật khúc xạ ánh sáng tại D
;

;

Từ đây, ta tính được :

b) Gọi N là vị trí Tiến gặp xe buýt và đặt .
Thời gian chuyển động của Tiến và xe buýt là như nhau nên

=>
Dạng 2 : Bài tập về chuyển động chuyển động ném
Bài 7: Một chiếc côngtenơ đặt sao cho mặt trên nằm ngang được cần cẩu cẩu lên thẳng
đứng lên cao với gia tốc a = 0,5m/s2. Bốn giây sau khi rời mặt đất người ngồi trên mặt
côngtenơ ném một hòn đá với vận tốc v0 = 5,4m/s theo phương làm với mặt phẳng ngang
0
côngtenơ góc α = 30 .

a. Tính thời gian từ lúc ném đá đến lúc nó rơi xuống mặt đất. Biết côngtenơ cao h = 6(m)
b. Tính khoảng cách từ nơi đá chạm đất đến vị trí ban đầu của tấm bê tông (coi như một
điểm). Lấy g = 10m/s2.

18


Hướng dẫn giải:
a. Sau 4s độ cao của người đứng trên mật côngtenơ là:
a⋅t2
5 ⋅ 42
H+
=6+−
= 10(m)
2
2

Vận tốc của người lúc đó:
v1 = a.t = 0,5.4 = 2

m
s .

→

Gọi v 0 là vận tốc của viên đá đối với người thì vận tốc viên đá đối
→
→
→
với đất :
v = v 0 + v1
Chiếu lên:
v x = v 0 cos α = 5,4 ⋅ 0.86 ≈ 4,7(m / s)
5,4

v y = v1 + v 0 sin α = 2 +
= 4,7(m / s)
2
vy
⇒ tgβ =
≈1
vx

0x:
0y:

vậy β = 45 0

Chọn trục oxy như hình vẽ gắn vào mặt
đất. Phương trình chuyển động của viên đá theo
gt 2
phương oy:
y = 10 + v sin β ⋅ t −
2

với

v = v + v = 6,65(m / s)

vậy:

y = 10 + 4,7 ⋅ t − 5t 2

2
x

2
y

Lúc đá rơi xuống đất: y = 0 ⇒ 10 + 4,7 ⋅ t − 5t 2 = 0 ⇒ t ≈ 2s
b. Khoảng cách từ nơi đá rơi đến vị trí ban đầu của côngtenơ: L = v x t = 4,7.2 = 9,4 m
Bài 8: Người ta đặt một súng cối dưới một căn hầm có độ sâu h. Hỏi phải đặt súng cách vách
hầm một khoảng l bao nhiêu so với phương ngang để
tầm xa S của đạn trên mặt đất là lớn nhất? Tính tầm xa
này biết vận tốc đầu của đạn khi rời súng .
Hướng dẫn giải:
Phương trình vận tốc của vật theo phương ox :
v x = v 0 cos α

Phương trình vận tốc của vật theo phương oy:

v y = v 0 sin α − gt

y = v 0 sin α ⋅ t −

gt 2
2
19


Phương trình chuyển động:
Phương trình vận tốc:

x = v 0 cos α ⋅ t ;

v x = v 0 cos α
v y = v 0 sin α − gt

Để tầm xa x là lớn nhất thì tại A vận tốc của vật phải hợp với mặt ngang một góc 450 có
sin α − cos α
vx = v y ⇒ t =
⋅ v0
nghĩa là tại A:
(1)
g

Hơn nữa ta phải có sau thời gian này:
v 0 cos α ⋅ t = l
x = l

⇔

gt 2
v
sin
α
⋅
t
−
=h
y = h
 0
2


( 2)
(3)
2

v
l
Từ (2) ⇒ t =
(3) kết hợp với (1) ⇒ l = 0 cos α .(sin α − cos α ) (4)
g
v 0 cos α

Thay t từ (1) vào (3) ta được:
gh 1
1 gh
2
+
cos
α
=
−
;
2 v 02
v 02 2
2
v
l = 0 (sin α cos α − cos 2 α )
Thế vào (4):
g
v 02 1 g 2 h 2 1 gh
Từ (1) : l =

(
− 4 − + 2)
g
4
2 v0
v0
sin 2 α =

⇒t =

vy =

1 gh
1 gh
+ 2 −
−
2 v0
2 v 02

⋅ v0 ⇒ v y = v0

g

1 gh  1 gh
1 gh 
+ 2 −
+ 2 −
−
2 v0  2 v0
2 v 02 




1 gh
1 gh
1 gh
1 gh
− 2 ⇒ v A = v 02 ( − 2 ) + ( − 2 ) = ( − 2 ) ⋅ (v 02 + 1)
2 v0
2 v0
2 v0
2 v0

⇒ S max

 1 gh  2
 − 2 . v 0 + 1
2 v0 
v
=
=
g
g
2
A

(

)

Vậy phải đặt súng cách vách hầm một khoảng:

l=

v 02 1 g 2 h 2 1 gh
(
− 4 − + 2)
g
4
2 v0
v0

thì tầm xa của đạn trên mặt đất là lớn nhất và tầm xa này bằng
 1 gh  2
 − 2 . v 0 + 1
2 v 
0 

g

(

)

.

20


Bài 9: Ở mép của một chiếc bàn chiều cao h, có một quả cầu đồng

chất bán kính R = 1(cm).
Đẩy cho tâm 0 của quả cầu lệch khỏi đường thẳng đứng đi qua A,
quả cầu rơi xuống đất vận tốc ban đầu bằng 0. Tính thời gian rơi và
tầm xa của quả cầu(g = 10m/s2). ( R ≤ h)
Hướng dẫn giải:
Ban đầu quả cầu xoay quanh trục quay tức thời A. Lúc bắt đầu rơi khỏi bàn vận tốc của nó
là v, phản lực N bằng 0, lực làm cho quả cầu quay tròn quanh A là trọng lực p cos α :
v2
p cos α = m
⇒ v 2 = 9 R cos α
R

(1)

Theo định luật bảo toàn năng lượng:
mgR = mgR cos α +

Từ (1) và (2) suy ra:
2

Thay cos α =
3
lúc đó:

cos α =

1
mv 2
2

(2)

2
5
→ sin α =
3
3

vào phương trình (1) ta được vận tốc của vật
v=

2
gR
3

Giai đoạn tiếp theo vật như một vật bị ném xiên với góc α và với vận tốc ban đầu:
v=

2
gR
3

Theo đề bài R << h do vậy ban đầu ta xem 0 ≡ A
Chọn trục 0' xy như hình vẽ .0' ≡ A
 x = v cos α .t


1 2
 y = v sin α .t + 2 gt
1 2

Khi chạm đất y = h , nên: v sin α .t + 2 gt = h

Thay


2
gR
v =

3

5

sin
α
=

3

vào phương trình trên ta tìm được:

21



− 10 gR +
t1 =
3



− 10 gR −

t 2 =
3


10 gR + 54 gh
3.g
10 gR + 54 gh
3. g

<0

Vậy sau t = − 10 gR + 10 gR + 54 gh
Tầm bay xa của vật:

(loai )

thì vật sẽ rơi xuống đất.

3 3.g
2
2 − 10 gR + 10 gR + 54 gh
gR . .
3 3.g
3
3

S = x = v cos α .t =

(

2 2R
S =.
− 10 gR + 10 gR + 54 gh
27 g

)

Bài 10: Hai vật được ném đồng thời từ một điểm trên mặt đất với
vận tốc có độ lớn như nhau, cùng bằng v0. Vật 1 được ném
nghiêng góc α so với phương ngang, vật 2 được ném lên theo
phương thẳng đứng. Bỏ qua sức cản của không khí.
Hỏi góc α
bằng bao nhiêu để khoảng cách giữa hai vật là cực đại? Tính
khoảng cách cực đại đó.

y

v0
O

Hướng dẫn giải

α

x

Chọn hệ quy chiếu gắn với đất, hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc thời
gian tại thời điểm ném. Phương trình chuyển động của hai vật:

2v sin α
gt 2
x1 = (v0 cos α )t
với t ≤ 0
y1 = (v0 sin α )t −
gt 2
x
=
0
Vật 2: 2
; y2 = v0t −
2

2

2v
t≤ 0
g

với

g

Khoảng cách giữa hai vật ở thời điểm t là
d 2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 2v02t 2 (1 − sin α ) với t ≤

⇒ d2 ≤

2v0 sin α
g

8v04
sin 2 α .(1 − sin α )
g2

Có:

8v04
32v04 sin α sin α
2
sin
α
.(1
−
sin
α
)
=
.
.
.(1 − sin α )
g2
g2
2
2

Từ bất đẳng thức Cô si
 sin α sin α
32v 4  2
d ≤ 20 . 

g
2

Vậy d = d max khi

+

3


+ 1 − sin α ÷
4
2
 = 32v0
27
27 g 2

⇒ d max =

4 2 v02
.
3 3 g

sin α
2
= 1 − sin α ⇒ sin α = ⇒ α = 42 0
2
3
22

Bài 11( Olimpic Czech): Từ độ cao h so với mặt đất, người ta ném một quả bóng nhỏ lên
mái nhà theo phương làm với phương ngang một góc α, còn mái nhà nghiêng một góc β so
với phương ngang. Quả bóng chạm mái nhà tại điểm P cách chỗ ném một khoảng d theo
phương ngang và ở độ cao H. Quả bóng va chạm đàn hồi với mái nhà,
và sau đó rơi xuống đất. Xác

PP

y

định:

βP

V0

1)Vận tốc ban đầu v0 của quả bóng.

HP

2)Góc γ mà vận tốc của quả bóng tạo với αP
phương ngang và độ lớn vận

nảy lên

tốc v1 của quả

h

bóng trước khi chạm.
O

3)Vị trí quả bóng rơi xuống đất

x

d

Ý 1) đầu tiên hãy giải tổng quát, sau đó áp dụng bằng số với trường hợp H=3.5m, h=1.5 m,
d=5.0 m, α=600,β =300. Các ý 2),3) chỉ cần giải cho trường hợp cụ thể. Lực cản của không
khí không đáng kể. Va chạm
của quả bóng coi là hoàn toàn

PP

y

đàn hồi.

βP

V0

Hướng dẫn giải

HP

αP

Chọn hệ trục tọa độ OXY

h

như hình vẽ

O

Tọa độ điểm va chạm của
bóng:
x= d, y= H

d

x

Phương trình chuyển động của quả bóng:
1
2

2
x= v0tcosα, y= y = h + v0t sin α − gt

Từ phương trình của x suy ra thời gian chuyển động: t =

x
và thay vào y.
v0 cos α

23

1
x2
y
=
h
+
x
tan
α
−
g
Biến đổi y ta được:
2 v02 cos 2 α

(1)

Thay vào (1) các giá trị của x,y ta được:
H = h + d tan α −

v0 =

d
cos α

1
d2
g 2
từ đây tìm được biểu thức của v0

2 v0 cos 2 α

g
, thay số => v0 = 8,582 m/s
2(d tan α − H + h

b)Thời gian của bóng kể từ khi được ném đi đến lúc va chạm với mái nhà:
t1 =

x
= 1,165s . Vận tốc của bóng tại thời điểm này:v1x= v0cosα= 4,29 m/s
v0 cos α

v1y= v0sinα- gt1= -4,00m/s.
Vận tốc có độ lớn: v1=
γ = arctan

v1 y
v1x

v12x + v12y

=5,87 m/s, tạo với phương ngang một góc :

= −430 .Vậy sau va chạm với mái nhà, bóng sẽ nảy lên dưới góc

δ = 1800 − 2 β − γ = 77 0

3)Chọn gốc tọa độ tại điểm va chạm của quả bóng với mái nhà, trục x hướng sang trái, trục y
hướng lên. Tọa độ của quả bóng kể từ khi va chạm:

1
2

x= v1tcosδ, y = v1t sin δ − gt 2
Khi bóng rơi tới đất , tọa độ của nó là y=-H. Thay vào trên ta có

1 2
gt − v1t sin δ − H = 0
2

Thời gian của quả bóng từ lúc va chạm với mái nhà đến lúc rơi xuống đất t=1,61 s
Khoảng cách từ chỗ ném đến chỗ bóng rơi: d’=d-v1tcosδ=2,9 m
Dạng 3: Bài tập về chuyển động tròn
Bài 12: Hai vòng tròn bán kính R, một vòng đứng yên, vòng còn lại chuyển động tịnh tiến
r
sát vòng kia với vận tốc .v0Tính vận tốc của điểm cắt C giữa hai vòng tròn khi khoảng cách
giữa hai tâm : 0102 = d
Hướng dẫn giải
Chọn gốc thời gian t = 0 lúc 2 vòng tròn bắt đầu tiếp xúc
ngoài.
Tại một thời điểm nào đó sau gốc thời gian thì ta có phương
trình chuyển động của điểm C :

24


v0 t d

 x = 01 D − AD = R − 2 = 2



2
 y = AC = R sin α = R 1 − cos α 2 = R 1 −  d 

 2R 
d ' = −v 0

Ta có:

d

x = 2


2
2
 y = 4R − d

4

Suy ra:

v0
1

vCx = 2 d ' = − 2
⇒
d .v0
− 2dd '
vCy =

=
2.2 4 R 2 − d 2 2 4 R 2 − d 2

2

⇒v= v

2

⇒

Cx

+v

v=

2

Cy

dv0
 v 
2
=  − 0  + (.
.)
2
2
 2
2 4R − d

v0 R

4R 2 − d 2

Bài 13: Một chất điểm chuyển động chạm dần trên bán kính R. sao cho tại mỗi điểm gia tốc
tiép tuyến và gia tốc pháp tuyến luôn có độ lớn bằng nhau. Tại thời điểm ban đầu t=o, vận tốc
của chất điểm đó là v0 .
Hãy xác định:
a. Vận tốc của chất điểm theo thời gian và theo quãng đường đi được.
b. Gia tốc toàn phần theo vận tốc và quãng đường đi được.
Hướng dẫn giải:
a.Theo đề bài ta có:

at = a n ⇒ −

dv v 2
=
dt R

⇔−

dv dt
=
v2 R

(1)

25