MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM

MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN
TRONG CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM
GV: Th.s Đặng Hữu Thọ
Bài tập 1 Một vật đặt giữa dầm đàn hồi tạo cho dầm có độ võng
1
δ
,
1
δ
gọi là độ võng
tĩnh . Cho dầm không có khối lượng. Hãy xác định độ võng cực đại
axm
δ
khi cho vật rơi
từ độ cao H so với độ cao khi dầm nằm ngang.

Hướng dẫn
Gọi dầm có độ cứng là K
Khi cân bằng tĩnh thì:
1
mg K
δ
=
1
mg
K
δ
⇒ =
Động năng của vật ở A và ở B đều bằng 0
Suy ra:
0

p dh
A A+ =
Mà:
ax
( )
( ) . .
p m
dh
A mg H
d A K x dx
δ
= +
= −
Suy ra:
ax
2
ax
0
1
. .
2
m
dh m
A dA K x dx K
δ
δ
= = − = −
∫ ∫
Vì vậy:
2

ax ax
2
ax 1 ax 1 ax
1
( ) 0
2
2 2 0
m m
m m m
mg H K
δ δ
δ δ δ δ δ
+ − =
→ − − =
Giải phương trình, ta có:

2
ax 1 1 1
2
m
H
δ δ δ δ
= + +

2
ax 1 1 1
2
m
H
δ δ δ δ

= − +
(loại)
Vậy độ võng cực đại là:
2
ax 1 1 1
2
m
H
δ δ δ δ
= + +
Bài tập 2: Một hạt có khối lượng m
1
đến va chạm hoàn toàn đàn hồi với hạt có khối
lượng m
2
đang đứng yên (
2 1
m mp
). Xác định góc lệch hướng chuyển động lớn nhất của
m
1
sau va chạm.
Hướng dẫn
Gọi
1 2
,v v
r r
là vận tốc của m
1
, m

2
sau va chạm.

,
α β
là góc lệch hướng chuyển động của m
1
,m
2
so với hướng chuyển động ban đầu
của hạt m
1
sau va chạm.
Áp dụng ĐLBT động lượng, ta có:

1 1 1 2 2
m v m v m v= +
r r r
(1)
Chiếu phương trình (1) lên
phương nằm ngang và phương thẳng đứng, ta có:
v
r
2
v
r
1
v
r
α

β
m
H
axm
δ
A
B

1 1 1 2 2
1 1 2 2
os os
0 sin sin
m v m v c m v c
m v m v
α β
α β
= +
= −
Suy ra:

1 1 2 2 1
os osm v c m v c m v
α β
+ =
(2)

1 1 2 2
sin sinm v m v
α β
=

(3)
Vì va chạm hoàn toàn đàn hồi nên áp dụng ĐLBT cơ năng, ta có:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2
1 1 1
2 2 2
m v m v m v m v m v m v= + ⇒ = +
(4)
Từ (1), suy ra:
2 2 1 1 1
os osm v c m v m v c
β α
= −

2 2 2
2 2 1 1 1
( ) ( os ) ( os )m v c m v m v c
β α
= −
(5)
Từ (3), suy ra:
2 2 2 2
1 1 2 2
( ) (sin ) ( ) (sin )m v m v
α β
=
(6)
Từ (5) và (6), ta có:
2 2 2

2 2 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 2 osm v m v m v m vv c
α
= + −
(7)
Từ (4) suy ra:
2 2 2 2
2 2 1 2 1 2 1
m v m m v m m v= −
(8)
Từ (7) và (8), suy ra:
2 2
1 2 1 1 1 1 2
( ) 2 os . ( ) 0m m v m vc v m m v
α
+ − + − =
(9)
Để bài toán có nghĩa thì phải tồn tại v
1
nghĩa là (9) phải có nghiệm. Khi đó ta có:

/
0∆ >
nên
2 2 2 2 2 2
1 1 2
os ( ) 0m v c m m v
α
− − ≥
Suy ra:

2
2
2
2
1
sin
m
m
α
≤
nên
2
1
sin
m
m
α
≤
Vậy giá trị lớn nhất của góc lệch hướng chuyển động của m
1
là


2
ax
1
sin
m
m
m

α
=
Bài tập 3: Trên một giá nhẹ gắn trên một tấm gỗ có khối lượng M, đặt trên bàn nhẵn nằm
ngang có treo quả cầu có khối lượng m bằng sợi dây dài l. Một viên đạn nhỏ có khối
lượng m bay ngang xuyên vào quả cầu và mắc kẹt trong đó.
a. Giá trị nhỏ nhất của vận tốc của đạn bằng bao nhiêu để sợi dây quay đủ vòng nếu
tấm gỗ được giữ chặt?
b. Vận tốc đó bằng bao nhiêu nếu tấm gỗ được thả tự do? Trong trường hợp này lực
căng dây bằng bao nhiêu khi dây nằm ngang?
Hướng dẫn
a. Gọi v
0
là vận tốc của đạn ngay trước va chạm
Theo ĐLBT động lượng, ta có:
Vận tốc của hệ đạn-quả cầu ngay sau va chạm là: v
0
/2
Dây quay đủ vòng thì tại điểm cao nhất,
vận tốc của quả cầu v
1
thoả mãn:
T+2mg=2mv
1
2
/l
Theo hệ thức trên, ta có:
v
1min
khi T=0 và
1min

v gl=
Theo ĐLBT cơ năng
vận tốc nhỏ nhất của đạn được xác định bởi điều kiện:
V
1
m
m
2m

2
2
0
1min
2
2
4 5
8 2
mv
mv
mgl mgl= + =
Hay:
0
2 5v gl=
b. Khi tấm gỗ được thả tự do, để dây quay đủ vòng thì vận tốc nhỏ nhất của quả cầu
và đạn đối với điểm treo tại điểm cao nhất là:
min
u gl=
.
Như vậy:trong hệ qui chiếu gắn với trái đất, tại thời điểm quả cầu ở cao nhất, gọi vận tốc
của tấm gỗ và quủa cầu là

u
r
và
v
r
.
Ta có:
min
v u u= +
r r r
Về độ lớn:
min
v u u u gl= − = −
Theo phương ngang không có ngoại lực tác dụng lên hệ nêntheo ĐLBT động lượng, ta
có:

/
0
2 ( )mv Mu m u gl= + −
hay
/
0
2
2
mv m gl
u
M m
+
=
+

(1)
Theo ĐLBT cơ năng, vận tốc nhỏ nhất của viên đạn
/
0
v
xác định từ hệ thức:
2
/2
2
0
2 ( )
2
4
8 2 2
m u gl
mv
Mu
mgl
−
= + +
(2)
Từ (1) và (2):
/
0
8
2 (5 )
m
v gl
M
= +

(3)
• Tìm lực căng dây T: Khi dây nằm ngang, vận tốc của đế gỗ và hình chiếu theo
phương ngang của vận tốc hệ quả cầu- đạn như nhau v
x.
Theo ĐLBT động lượng:

/ /
0 0
(2 )
2
x x
m
mv m M v v v
m M
= + ⇒ =
+
(4)
Theo ĐLBT cơ năng:

2
/2 2
0
2
2
2 (2 )
8 2 2
y
x
mv
mv v

mgl m M= + + +
(5)
Từ (3),(4) và (5) ta tính được:
2
(4 3 )
2
y
m M gl
v
m M
+
=
+
Phương trình chuyển động của quả cầu theo phương dọc dây khi dây nằm ngang là:
2
2
(2 )
y
mv
m M
T
M l
+
=
Vậy lực căng dây T khi dây nằm ngang là:

2
2 (4 3 )
(2 )
mM m M

T g
m M
+
=
+
Bài tập 4: Một quả cầu nhỏ treo vào đầu một đầu dây dài l, đầu kia cố định tại A. Tại O
cách A một đoạn l/2 theo phương thẳng đứng có một cái đinh. Kéo quả cầu đến vị trí dây
AB nằm ngang rồi thả.
a. Tìm tỉ số sức căng dây ngay trước và sau khi dây chạm đinh khi quả cầu qua vị trí
cân bằng?
b. Xác định vị trí trên quỹ đạo tại đó sức căng dây bằng 0, vận tốc của quả cầu lúc đó
bằng bao nhiêu?Sau đó, quả cầu chuyển động như thế nào và lên đến độ cao lớn nhất
bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn
a. Tìm
1
2
T
T
tại C
Chọn C làm gốc thế năng
W
c
=W
B

2
1
2
c

mv mgl⇔ =

2
2
c
v gl⇒ =
Phương trình chuyển động của quả cầu:

P T ma+ =
r r
r
(1)
Tại C: -P+T=ma
ht
( )
ht
T m g a⇒ = +
Trước khi chạm đinh:
2
1
( ) 3
c
v
T m g mg
l
= + =
Sau khi chạm đinh:
2
2
( ) 5

/ 2
c
v
T m g mg
l
= + =
Suy ra:
1
2
3
5
T
T
=
b. * Xác định vị trí D tại đó T=0
Tại D thì T=0 nên
2 2
1 1
2
os os
/ 2
v v
pc m c
l gl
α α
− = ⇒ = −
chứng tỏ D ở trên 0
2 2
1
1

1 1
w w (1 os )
2 2 2
2
os
3
c D c
l
mg c mv mv
c
α
α
= ⇔ − + =
⇒ = −
A
B
C
O
D
x
y
suy ra
1
5
(1 os )
2 6
l l
h c
α
= − =

Vậy D cách A một đoạn theo phương thẳng đứng một đoạn:
5
6 6
l l
H l= − =
• Chuyển động của vật, độ cao
/
H
:
Quả cầu được ném xiên tại D với vectơ vận tốc
v
r
hợp với
x
D
một góc:
1
β π α
= −
;
3
gl
v =
Ta có:
( )
. osx v c t
β
=

( )

2
1
.sin
2
y gt v t
β
= − +
suy ra:
2 2
2 2
27 9
tan .
2 os 28 4
g
y x x x x
v c
β
β
= − + = − −
. Quỹ đạo là một phần của parabol
• Quả cầu lên đến vị trí cao nhất tại M.

2 2
sin
5
2 54
M
v
l
h

g
β
= =
M cách A theo phương thẳng đứng một đoạn:

/
2
27
M
l
H H h= − =
Bài tập 5:Một vật có khối lượng m=1kg trượt trên mặt ngang với vận tốc v
0
=5m/s rồi
trượt trên một nêm như hình vẽ. Nêm ban đầu đứng yên, khối lượng M=5kg, chiều cao
của đỉnh H, nêm có thể trượt trên mặt ngang. Bỏ qua ma sát và mất mát động năng khi va
chạm.
a. Tìm vận tốc của vật và nêm trong hai trường hợp: H=1m và H=1,2m
b. Tìm v
0min
để v
0
>v
0min
vật vượt qua nêm cao H=1,2m.

Hướng dẫn
a. Vận tốc cuối cùng của vật và nêm:
Gọi H
0

là độ cao tối thiểu của nêm để vật m lên đến đỉnh và cùng trượt với nêm.
Theo định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng , ta có:

( )
0
mv m M v= +

( )
2 2
0 0
1 1
2 2
mv M m v mgH= + +
Suy ra:
2
0
0
1,04
2 ( )
Mmv
H m
g M m
= =
+
Trường hợp 1: H=1m:
Vật m trượt qua đỉnh nêm và trượt xuống mặt phẳng ngang
Gọi v
1
,v
2

là vận tốc cuối cùng của vật và nêm
Ta có:
0 1 2
( )m v v Mv− =

2 2 2
0 1 2
1 1 1
2 2 2
mv mv Mv= +
Suy ra:
0 1 2
( )m v v Mv− =
(1)

2 2 2
0 1 2
( )m v v Mv− =
(2)
Giả sử v
2
≠
0. Từ (1) và (2) ta có: v
0
+v
1
=v
2
(3)

Thay (3) vào (1), ta có: m(v
0
-v
1
)=M(v
0
+v
1
) (4)
Suy ra
1 0
0
m M
v v
m M
−
= <
+
vô lí
Vậy V
2
=0
⇒
v
1
=v
0
=5m/s
Trường hợp 2: H=1,2m>H
0

: Vật lên đến độ cao H
0
rồi trượt xuống.
Tương tự như trên ta có:

/ /
0 1 2
0v v v+ = ≠

/ /
0 1 0 1
( ) ( )m v v M v v− = +
Suy ra:
/
1 0
3,33( / )
m M
v v m s
m M
−
= = −
+

/ /
2 0 1
1,67( / )v v v m s= + =
b. Tính v
0min
.
Với v

0min
, vật lên nêm cao 1,2m thì dừng lại cùng chuyển động với nêm với vận tốc v
mv
0min
=(m+M)v

2 2
0min
1 1
( )
2 2
mv m M v mgH= + +
Suy ra:
0min
2 (1 ) 5,37( / )
m
v gH m s
M
= + =
.
H
Bài tập 6: Đứng trên một chiếc cầu nhỏ bắc qua con kênh, một bạn học sinh nhìn xuống
và ước tính độ cao của cầu so với mặt nước H
0
=10(m). Để kiểm tra ước đoán của mình
có chính xác không. bạn ấy dùng sợi dây nhẹ đàn hồi có độ cứng K=100N/m. Nhận thấy,
nếu thả xuống sát mặt nước thì kết quả sẽ không chính xác do sợi dây không thẳng. Bạn
ấy đã dùng một quả cầu kim loại có khối lượng riêng
3
8,8( / )g cm

ρ
=
để nối vào một
đầu dây và điều chỉnh sợi dây sao cho nếu thả tự do quả cầu rơi đứng thì quả cầu sẽ
xuống sát mặt nước nếu ước đoán của mình hoàn toàn chính xác. Tuy nhiên, khi thả
xuống thì quả cầu chìm vào nước, kéo lên đo đoạn dây bị ướt dài h=0,25m. Cho biết quả
cầu có khối lượng m=3125g, nước dưới kênh không chảy, có khối lượng riêng
3
0
1,2( / )g cm
ρ
=
, độ nhớt không đáng kể. Từ những dữ liệu đã đưa ra, hãy tính độ cao
thực sự của cầu.
Hướng dẫn
Gọi độ cao thực sự của cầu so với mặt nước là H, chiều dài tự nhiên của dây là
l
.
Theo bài ra thì: Nếu chiều cao của cầu là H
0
thì dây sẽ giãn sao cho vật chạm mặt nước
nghĩa là lúc đó vận tốc của vật bằng 0.
Theo ĐLBT năng lượng, ta có:

2
0 0
1
( )
2
mgH k H l= −

Suy ra:
0
0
2
7,5( )
mgH
l H m
k
= − =
(1)
Độ cao thực chất của cầu là H, vật chìm vào nước ở độ sâu x. Theo ĐLBT năng lượng, ta
có:
2
0
1
( ) ( )
2
m
mg H x gx k H x l
ρ
ρ
+ − = + −
(2)
Để tìm liên hệ giữa x và l, ta sử dụng đoạn dây chìm trong nước có độ dài tự nhiên
h=0,25m.
Khi vận tốc của vật bằng 0 thì lực căng dây bằng:
( )T k H x l= + −
(3)
Đây chính là lực căng của đoạn dây dài h được kéo đến độ dài x. Độ cứng của đoạn dây
này là:

/
.k l
k
h
=

/
( ) ( )
kl
T k x h x h
h
⇒ = − = −
(4)
Cân bằng hai vế (2) và (4), ta có:
( )
l
H x l x h
h
+ − = −
Suy ra:
.l x
x H
h
+ =
hay
.H h
x
l h
=
−

(5)
Thế (5) vào (2) suy ra:
2
0
. . 1 .
( ) ( )
2
m
H h H h H h
mg H g k H l
l h l h l h
ρ
ρ
+ − = + −
− − −
(6)
Thay các dữ kiện bài ra vào (6), ta tìm được hai nghiệm:
H
1
=9,7(m) và H
2
=5,4 (m)
Kết hợp với điều kiện
x h>
suy ra H
2
=9,7(m) là thoả mãn
Vậy bạn học sinh đó đã đoán khá chính xác, sai số
3%
.

Đây là một số bài tập tôi lựa chọn. Mong quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em
học sinh góp ý để tôi hoàn thiện mình hơn. Tôi xin chân thành biết ơn.