Tích phân đối với độ đo vecto ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên

• /

TRIÍCÍNG DAI HOG TONG EdP HA NOI

DANG

H.UNG TKAIÍG

4 A r^ni

. v_

:J
TICH PíIATI DOI Vdl DO DO YECTO NGAU IHII^:!
'JA TOAN Tt/ NGAU NHÍEÍT

CHÜYEH ITGAJiH:
Mr Hífü

:

LY THUY£T XAC SÜAT V^ THOÍÍG ) ^
1.01^0¿i

LUÁN- AN TIEN SI KHOA HOC TOAK L I

HA : Í O I -

1992

TOAíí KOC.

•1-

K]JZ LUC

Hd DAÜ
CKI/Q^G I .

3
DO DO VÍ.CTO NGAU NKl£v VA TICH PKAlí NGAU líEÍErí
•?

CUA KA!í TAT DINH

.

. . . .

10

!

I , . DJnh n g h í a va -tijt so cí¿nh l y cd b a n
I I . Sy h j i

10

t'^ cua cac dj do v e c t o ngau nhien.

* 20

I I I . - T i c h p h a n ngau n h i e n cua ham t a t dj.nh v a k h c n g g i a n O r l i c z

. •- 3 2

CHrfdNG I I . TICH PHM NGAU KHIEK CUA HAM NGAU NEIEN DOI VOI
DO DO NGAU IÍEÍÜ;N' VECTO ?N DINH DOI Xl/NG

. • .

I . Dp do ngau n h i e n - v e c t o en d¿.nh d o i xiing

. . .

.^ . . .

.39
^ 39

I I . - Tich p h a n cua ham khong ngau n h i e n d o i v d i d j do
ngau n h i e n

Z^
p

"

. . . . .

.^ . . . .

III. Tich phan. ngau nhien. cua ham ngau nhien ágo l^p vdi Z
IV. Tich phan ngau nhien cua ham ngau nhien phu hj'p vdi Z

.¿i 8

. . • *55
...... 61

F
CHtfONG T i l .

TOAN 10^ NGAU NEIEN GIÜÁ CAC KHONG GIAl.^ BAIÍACH

I . D¿nh n g h i a , t h i dy v a cae t m h

chat tong quat

I I . . SS n'^1 ty cur, cae t o a n t u ngau n h i e n

. . ^

?C

^ . . . .

70

. . * . - . . . . . . .

77

.-..«-

I I I «^ Tac dcng c i a t o a n t ú ngau n h l é a l é n -ur *- b i e n ngau rüiierx . .

^ .-83


p-

T. YI5H CHAT QUY DAO CUA TOAN Ti/ NGAU NHIEN
l . - a c i n e n t n u c chuan bj.

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 9 7

I I . Ycájn t i nxáu n h i e n v 5 i quy d§LO t r o n g V C L(X,Y)

. . . . . . . . .

I I I . líjn:. c h l t ( V , p ) - b i e u d i e n dii^íc cua t o a n t ú ngau n h i e a . . - . - . .
IV. Z^'c -^¿anh cua ni9t t o a n t u ngau n h i e n v 5 l các t o a n
-IS.---i»C

^.- t V
-w¿J\

99
lOS

ti

d^^
T
t.

97

.119
^ry
íf

NGAU NHIEN ON DINK DOI XUÍÍG
/

. . . . . . . . .

I * l o a n r ¿ iirS^ n h i e n Gauss d í i xóng

. . . .

1 1 - t c l n ru i g á u n h i e n on d^nh d o i x5ng

. . - . • . . . ^ . - . . . - »

r z r >C7C

. . . . . . . . . . .

122
.. 122
131
i3S

PHP LDC
^kh
3ANe CAC DAffl Itf CHI DAN
~

i:?o


-3-

•^ ;r
MO DAU
Trong hdn h a i t h e biy quaíVc'i su gop s u c cua n h i e u t h e he các nha
coan h 9 c , b 9 nion g i a i t i c h t o a n h9C da t r o t h á n h :.i9t l a u d a i do 59 v d i
nh-ng t o a nha nguy nga t r á n g l e nhií : F h l p t í n h \ a , t i c h p h a n ,
t r i n h v i phan v a d^o han r i e n g , g i a i

phUdng

t i c h hará . . . No da t r o t h a n h n p t

cong c^ dac l ^ c cho n h i e u nganh ¿choa h9c ky t h u ^ t k h i xu l y các mo
hlnh t a t

dj-nh.

a i i n g , n h v í chúng t a deu b i e t , n g a u n i i i e n c a n t h i e p r a t mánh l i ' ^ t vao
cupe song chúng t a . V i v^y các no h i n h t a t d^nh khong du de phan anh
t h y c t e r á t p h á c t ^ p k h i co stf t a c agng cua nhan t o ngau n i i i e n ^ P h a n
I o n các hf t h o n g va h^ d j n g l u c t r o n g v ^ t l y , c d h o c , Í - i n h t e , s i n h

thái

¿eu l a nhüng hf ngau n h i e n . T r o n g nh3ng nam. g a n day,;:i^t n^-t do nhu cau
phát t r i e n n j i

t ^

cúa t o a n h 9 c , a a t k h á c nhan cung cap z.gt

z j t cong cu cho phép

xigon. n g 5 ,

:¡o t a , p h a n t i c h , d u bao va d i e u k h i e n các he ngau

n h i e n cac c h u y e n g i a ve l y t h u y e t xac s u a t dang ichan t r u c n g x a y dung
toa l a u dai g i a i

t i c h nr:au n h i e n v c l hy V9ng r a n g t u d n g l a i no cung

se co :n9t t a c voc .to I d n khong kesi.Gó t h e t i n chao r a n g , l y t h u y e t 09
d o , t i c h ph'an ngau n h i ? n , p h u d n g t r i n h v i phan ngau n h i e n va t o a n

tu

ngau nhi*en se l a nhUng t o a nha c h m h t r o n g l a u d a i do raa nh5ng ngüc?i
d=t nen laong cho chung l a V;'¿ener,lto v a S k o r o k h o d .
Ve n ^ t l^-ch s u , t i c h phan ngau n i i i e n dau t i e n t r o n g l y t h u y e t
s u á t l a t i c h p h a n cua :n9t han t a t - d^-nh(khong ngau n h i e n ) b m h

xáe
phudng


Izha " i c h doi v5i quá t r i n h chuyen d9ng 3roa'n do V-iéner dUa r a [62] •
Tich phan ngau nhien Wiener da dii^c 30 r9ng cho nhieu qua t r i n h ngau
nhien khác. Levy [29"] xay d\ing t i c h phan ngau nhien ¿oi vo'i quá t r l n h
gia 50 d9C l ^ p , kol-"ogorov [22"] xay diíng t i c h phan ngau nhien doi v á i
X

,

.

.

/

.

/

cua - r l n h gia so t r u c g i a o , t í c h phan nay cong ri9t v a i t r o then chot
y

trong l y t h u y e t các quá t r i n h dling.

j

:-I¿rt buce ngo^t then chot da (xzcz thuc h i e n b c i I t o nhem thu'c h i f n
cua zrinh lAy t i c h phan ngau nhien cho ca cac haní nrau nhien . Trong
ccng t r i n h noi t i e n g r 2 o l I t o da xay dung t i c h phan ngau nhien doi vdi
quá - r l n h chuyen d9ng Brov.-n cho các ham ngau nhien phü htíp( adapted)
vci cuy dfo binh phudng khá t i c h . T i c h phan Itcmgay nay da t r á thanh
n r í n ngü thong dung cua cac chuyen g i a ve he d9ng Idc ngau n h i e n va
cd hpc ngau nhi'en.iügn t§ii,co mjt huáng nghien cúu dang thu hut sií
cuan ta-Ti cua nhieu nguol l a nham ^6 bo g i a t h i e t phu hdn t r o n g d^-nh
nghia t i c h phan Ito.M9t so t i c h phan I t o suy r9ng da duoc dua r a , d a n

J

J

^

den nhung sií phat t r i e n l y thuyet thu v^., t r o n g do dang chú y n h a t l a
t i c h phan Skorokhod, t i c h phan Oga-\'/a va t i c h Tjhan S t r a t o n o v i c h . (Xin

xe- {l'^^fS}^

' [^^]

^^- ^^^" -i^^ ¿ dó

).

:.9X h-cng md rpng :-;hac l a :>:ay dung t i c h phan ngau nhien cho cac

cua zT^nn rong c u s í he:. .Cn^ng h^n^.ift l y "cnuyet ve t i en phan ngcu nniei
cua cac hain nüau nhien kha doán l^y doi v c i ^:9t s e n i . n a r t i n g a l e da dd^c
nghien cuu khá ran rg ¿ My,Fháp( xeni h i c h t e l e r ["4"] va thu :nuc ó do )'


-5^

^

r

y^

y^

J

*¡9t hiiéng mé rjng khác nua l a xay dtíng t i c h phan ngau nhien b 9 i , t i e p
t'^c c'ong v i f c cua I t o \2.1~\ doi v5i qua t r i n h tong quat hdn ( xem[26 j
[_27j va thu 3^c t ^

do ) .

•TÍch phan ngau nhien Wiener cháng cua l a t i c h phan doi v c l ag do

ngáu nhi*en ca::: sinh bci quá t r i n h chuyen d9n^ Brov/n.Dp do ngau n h i e n
nay co t í n h chat l a j .

giá tr^. t r e n các t^p r b i n h a i i a nhüng b i e n

.

/

ngáu nhien djc l^p.iu tuíng ve dj do ngau nhien co tinh chat nay lan •
dáu tien xuat hien trong cong trinh cua Sochner |_3 J

. Urbanik £ 5 3 ] sú

"'

d'jing no t r o n g l y thuyet d^ bao qua t r i n h dung ch^.t khong ton t ^ i nioaen'
cap ¿ . Tich phan ngau nhien cúa các ha;n t a t d4.nh doi v é i d9 do ngau

nrie'n ce t m h chat nay duf'c nghien cuu bói Urbanik va 'úoyczynsid. £ 5 8 ] ,
5u r:c r9ng t i c h phan ngáu nhien kieu náy cho cae háa t a t á:^nh nhfin
giá tr;i. t r e n khong gian Banaeh diíjíc th^te h i f n boi Hoff.riann-Jorgensen
[ l e ] , Okasalii [33'}

va

ícosinsld. [ 3 6 , 3?']

Ghüdng I va chudng I I cua lu|.n án dánh cho v i f c nghien cúu ág do
vec to ngau nhien nhf.n giá tr^. trong khong gian Banaeh va t i c h phán

cúa han g i a t r i . th^c ( ngáu nhien va khong ngáu nhien) doi vdi chung.
Va chúng t o i cung chi x e t cae 09 do ngáu niiien co t m h c h a t : ü i á t r ^
t r i n các t j p r d i nhau l a nhúng bien ngáu nhien 090 l^p ,
Dp do vec t e ngau nhien npt n^t l a su^ T^Ó r j n g tií nhien cua d9 do
"^

^

1

^

«

^

j

ngáu nhien giá tr^. thyc nói c tren.M^t khác cung co the coi no la sü

nio rjng * * ngau nhien' ' hay sii ngau nhien hoa cua khai nifm 09 do vectc
nh^n gia tr^ trong ^:hong gian Banaeh du^-c n¿;'hien cúu rat ky" trong giai


t i c h ha:n( xen Fia"]

) . T i e t 1 cúa chudng I t r l n h b¿y d^nh nghia va nijt

so t i n h c h a t ed han cua dj do vecto ngáu nhien va t i c h phán cua hám
/

'

J

,

,

y/

t a t dj-nh g i a t r j th^jíc doi v5i chúng.Tiet 2 chiidng I dua r a rn9t so
kieu h9i t'^ cua dj do vecto ngau nhien va quan h | giúa cae iiieu h9i t^
ay.Trong t i e t 3 chudng I chúng t o i mo t a khong gian các haii kha t i c h
doi v é i mpt l á ü các dj do vecto ngáu nlaien sinh boi m^t h9 nao do cae
i

J
phan bo ehia vo h^n.
Chudng II
dó

danh cho viec xay d^ng tich phán ngáu nhien

u la ham ngau nhien con

Z

( udZ

§

lá ¿9 do vecto ngau nhien on dJ.nh,aoi

'£.\in^ tuy y.Tiet 1 trlnh bay d^nh nghia va cac tính chat quan tr9ng
cua cac do do Z . Quá trlnh V.iener nh^n giá tr^. trong khong gian Banaeh
P
diia ra bci N.V.Thu fh^l
Is. .r:9t tru'cJng agp rieng cua cac do do ngau
^

^/

^

nhien Gauss doi rAng

.
Z

«

^^

/

. I»hd lá :^gt bucc trung gian , trong tiet 2

chung toi khao sat trudc het trucng hcp u la ha:: khong ngau nhi^n.Tie'p
theo trong tiet 3. dj.nh nghia va tich chat cua tich phán ngáu nhien

í'
udZ

diídc t h i e t lf.p trong hai triiong h9'p:

/

u 090 l § p v§i Z , Z
n

7

lay giá trj trong khong gian Banaeh l o ^ t^-on di.nh va trüdng h^p
•

<

.

la phu hdp vdi h9 19c sinh ra bci Z , ¿
T)

u

lay giá tri trong khong giaa

"O

y^

Banaeh q - t r d n deu hoa ( q \ p neu p < 2 , q r. 2 neu p zi 2. ) .Kdn nüa,
khi Z l a do do ngáu nhien vecto iviener , t í c h -ohán
P
"

ludZ
J
P

dtfdc xáy
'

d^ng theo cach t i e p c^n Ogav;a [32 "j cho i^.gl harringáu nhien u dgc l | p
vai Z

,khong can

g i a t h i e t gi ve hlnh hpc cua kh'ong gian Banaeh.


-7Bai toan xay difng t i c h phán ngáu nhien Skorokhod cho ág do ncáu nhie'n
vecto uauss hay con dang DO ngo.

Trong g i a i t i c h toan hpe, chúng t a b i e t rang t i c h phan ch^ng qua
mjt l o ^

la

toan tú tuyen t í n h dfc b i ^ t nhun-- quan trpng nhat.i^y t h u y e t

các toan tú tuyen t í n h tong quat da ducc ap dung r a t hifu qua o.e nghien
cuu cae phudng t r i n h vi phan va d^o ha;/. rie'ng.Tüdng ty nhu v 5 y , t i e h
\

r^

^

' .

.

->

.

y.

^

phan nj-'au nhien cúng lá :-:o"t vi du quan tr9ng cúa toan tú ngau nhien.
Do uo r:pt -5' thuy-^t tong quat ve toan tu ngau nnien co the va can phai
phát trien, cúng nhu ung dung vao các phudng trlnh vi phan ngau nhien..
M^t khac toan tú ngau nhien cúng la nipt sy no rpng td nhien cúa các
/
T
^' /
Sí ^ ^ ^
J

^
^

toan tú tuyen t í n h khi chuyen tí? -.ao h m h t a t d^-nh sang .-no hlnh ngau
nhien.C-ia su rang i-.gt he thong diidc -:io t a ooi toan tu A: X —^ Y
trong do -. l á t§^p hcp cái váo( i n p u t ) con '1 l a t^p h^'p cai

ra(output)

A dude ggt l á quy lu'^t tac djng cua he thong hay ed cau b i e n doi c á i
vao thanh c a i r a . Trong r.o hlnh t a t d 4 n h , c a i r a hoán toan düoc xac
/

V

^

X

/

y^

S^

^

J

d}.nh bci cai váo va quy lu^t tac dpng. Trong ;ao hlnh ngáu nhie]:^,bie't

V

.

^

4

^

,

^

c

y>^^

dupc cri. vao X va cuy lu'^t tac d9ng A ta chí nhieu lar: bie't du9'e
•pnan co xac suat

cua caí ra na thoi.^;nut v^y,n:9t toan tu ngau nnien

A la -;t pnep tuong ung T.OI X ^ A
-^
.
?
-^
^

.-ot oien ngau nnien Ax co tr^ trong
^/

khong gian Y.Toan tú ngau nhien tuyen tinh giua cae khong gian Hilbert
düfc nghien cúu dáu tien bci S::oro::hod £441 • T:r ong các chudng 3,4 va
5 chúng t?i se danh cho viec nghien cúu các toan tú n'ck^:^ nhien(tuyen
tinh) giua hai khong gian Banaeh.


y!

Chudng III

i

.

I

trlnh báy các vi d^,cáe tính chat chung cua toan tu

ngáu nhie'n,di.nh nghía 4 l o ^ hfi ty cúa day cac toan tú ngau nhien va
inci quan he giua cac I c ^ h9i tu ay.Chung toi da ág.t düoc :ii9t so ket
qua DUCC uau trong viec d^nh ngnia tac aong cua ::;ot tran tu ngau nnien
iu X váo Y Ion zgt

bien ngau nl:ien ce tr^ treh X./cu tran tu ngáu nhien

lá toan tú tich phán ngau nhien thi tac d^ng náy cho ta d^-uh nghia
i

'^

^

^

tich phan ngau nhien cua '.^gt ha::i ngau nhien.
Trong chudng 4 chúng toi nhin injt tran tú ngau nhien tu k saiig Y nhü
. ^
s
J:"
ys
; J /
.
^
'
2
lá :zgt trucng ngau nhien düoc chi so hca boi t^p tha... so X.Suan diem

^

J

,

^ - ?. X-. .
y<~

/

-^

,V

-

- .

1

-)

\

y\

^

nay dan den cac cau hoi ve t m h chat quy d=^.o cua trüdng ngau nhien
nay..nal toan ngnien cuu t m h cnat cuy u^o cua truong ngau nhien aa thu
tá~ cua nhi^u tac gia nhü r ernique ,Kono ,karcu3 ,^ud; sy
nut su cuan ta

(x5n/23 J

va tnu j-ue t ^ i dp

j.^ac

7

.

y^

^

. ?

/

tac gia nay ue c^.p chu yeu t o i

tinh chat bj. c h ^ hay t i n h chat l i e n tuc cua cuy' d^o v5i í^p tham so
l a knong gian n e t r i c compact khong co cau t r u c tuyen t m h . i^hieu dieu
iiien düp'c dua r a dais bao sü ton t ^ i ni9t ban sao cúa A c6 quy d^o nam
trong mpt l ó p con V các toan tu tuyen t i n h l i e n tuc hoac l á dan bao
£ü ton t p . cua 3:91 "^9 '^^ í^don t r e n V có cung phán bo hüu h ^

chie'u

v5i A.
chudng

cuoi eíing nghien cúu n9t l á p '.úik quan tr 9ng cae toan tú

ngau n h i e n : Lop cae toan tú ngáu nhien on d4.nh.Da chúng ziinh dü9'c
rang luoi toan tú ngau nhien on dj.nh,doi xúng cháp nh|in iri9t bieu d i e n
düci d ^ g liipt t i c h phan ngáu nhien.Trong trtfdng h^p toan tú ngáu n h i e n

~ -• ^ ".-

„ • " —

r, • • , -

-'.-,-

« • • -.

-» .

•

-1. - ^ V-

•• - ^

> - - - . !

-..^ t.n -. c. -•.

- - ;^ !-. c

ngau nnicH cu j . - ^.it:. C^J.J C.*_L U-C t

T p

. ,q ^

- . r, n rr

" 1 ' ;^

TTi

^,* '-'-¿¿j *,ni.('..yn5 n*i.j

v-ac .:et qua cnu yeu cua l u ^ n an ua au¿;c -oao cao

.nao l u ^

c

- Xe : ^ na k l c s u a t t^.i Vien Tc£n t r v c n g I-^.i h9c t c n g hjfp W r o c l a w , H a l a n
nár. h9c 1 - S 5 / 1 9 S 6

va h9i t h a c ::ác s u a t qaoc tei t ^ i Trung t a n Toan q u í c

te' ¿ a n a c h naír 1 9 9 0 .
-cji

t:;ao Aac s u a t

-/let na:-; na:^ x 9 c ^ , n ^ i ngn^ t - i a i

.,icn t o a n c'jc j . r > i

hpc cúa Khoa T o á n - C d - T i n h j c DHTH Há n j i 1 9 5 9 , 3 9 9 1

J

/
ac ke't qua náy

,

dude c'ong bo trong các cong trlnh [49 -

:?7]

/
"D,
y

"1 T-*

.ac -'^ua t-Thon^ ke

/
. .^._^«^e.. ÍJ^
- ri--^-!^ -^^j. i-^-'C i,ong •-9_-' --es. i'•9— -¿=-0 »-u. ^ t- * .&....'.'^c..c
ou.

_.. es...» » C I Ü

MTuug,C-iac su T i e n sy :':gu7£in u-j-j Tien da iir.uyen i ; n i c h , d c n r vi-sn -/a
t ^ c nnung u i e u r:i^n t.-u¿in l ; i

l'c

rnc t a c g i a :;can t n a r h ban -u~n veo:..
/

- i a clian t h a n h ca.n dn Giác sü T i e n ¿v ?:^uvon V?n T h u , ^ i á c sü T i e n
j ;^ w

;/'v

j-::^r. .r-an :.nu u5 cr.c n.nieu y r^in cuy r: = u -.t tac gia hoan thien lu^n an.
Tac gi.a curg x:.n zr.e^n thanh ca^' dn cac thunh ^len trcng .lei-ms ,.ac
/

^

Euat cua 'Jrucng :;=i ri^c rong ncp h a .-191 va . ' l e n Toan ncc vr nnung y
I
/
. . / *

.--•-r-

•'5

- •• r^ -

^ ' * '

•: = ??

-"-,

lir,v:r'r-

. . - ^

''"•"ir-';"'

*

*--r^

:• ^

,

.

^\-

,

.

*

•

-

^

.--T

.

-•^r:^ *-

*

r^ -

f

^

- r f^

,

r"-'"''j

/

~ ^ r-

'

.~~^

-10CHÜONG I
•^
/
'^
7
^
^
DO DO VECTO NGAU NHIEN VA TICH PHAI^: NGAU I7ÍIIEN CUA HAi-: TAT DINfí

I • Dj.nh n g h i a va rnpt so u i n h l y cd ban
Gia sú X l á nipt khong g i a n Banaeh ::há l y va (T, ^ i ) ^á ngt
g i a n do.i:a:t t ^ n

F : 2ür

—^

L''(JI)

tú

o
dude g ^ i l á

cae b i e n ngáu n h i e n X - g i á t r j

khbng

¿J/

váo knong g i a n L " ( J 1 )
i
o
"¡gt ág do ngáu n h i e n X - g i a

tr^ neu:
Vci £ici day

(i- ) các t|:p roí nhau cúa

E(E^), r(E ) , . . .
* '

2y

, cac cien ngáu nhiea

la djc l'^p va
OD
°=*

^(

L/E

Jil^^)

)=

trong

L'^(II).

D9 do ngáu nhien X-giá tr^. düoc g9i lá doi ::üng neu vci rioi ^ 6 ZL
-^(-) lá bien ngáu nhien eó phán bo dci xúng. Trong lu^^n án náy, chúng
toi chu yeu se de c^p tci trucng hdp doi
^

^

-

-^

>^

hpt (kie.u trajcua r neu

j^^(E) =. O

ky hieu su .-J.en náy lá
:-:-t h9
I F^, s ¿ 3 j

TATI^.

T'

tren

keo theo

I

dieu khiea
düp^e gji lá -'gt

F(E) =: O

h.c.c.

dp ao"y^

va ta

F « y^ »
các ¿o do ngáu n h i e n v e c t o ¿üoc g 9 i l á

cpng t i n h ueu r.Tu v c i .:5i day

{-L- 1 các t | p r o i nhau cuc
-. r. .

_

S

b"t a co

00
, , _

ü-

s ' :.a
Di.nh l y 1 . 1

Giá sú

i[ ^Fs '

hg ccá
á c do ao n-á"^ n h i e n X£s e6 ^ j i l á :^ct h9

gia tr4-,uSi xúng.Ngoái r a , t c giá t h i € t
^ien

j ^

che -r.gl F^ . k h i d¿ ho í ^ ^,E

the.^ r ^ g
t ^

\ lá

ten tvi

d; do di'eu

5~-c9ng t i n h

aeu


-11'
neu va chí n | u

y

m9i t > O

, s £ J ( lá

l i - sup

j i A - l i e n tyc aeu theo nghia s a u : Vói

PI IIF (E) II > t J

= O

/A(^) - ^ 0 ^ s 6 5
Chúng 2:inh

L-ii sú

jF

1 iá

y u - l i e n tyc deu va (E ) l á n9t day
oo
cac t^n 2-/-do d ü p c r d i nhau.Ta co lim ^ ( L-/ E ) = O .Do do
OO

-)

-1

lia sup ? h 21 ^s^^'' •' > M ~ ^^"^ ^""^ "'^ í " ^s^^^»"^)!! • ^ ^j "°
V^y 5 F

1 -^

S^-cJng t i n h deu-

Ngüpc l ^ j g i a su

ÍE ^

lá

l i e n tuc deuJZhi do

C^-cJng t m h d^u nhüng chung khong
lini

sup P í H F (E) Ij *> t i

jU(E) ->0
t \ O

^

^^^ -^'9^

s

nao d o .

V|.y eo ton z^

^ "^ ^

va 11191 day (A ) cae t^p do dü^'c sao cho

= [ U r_(Aj|l > t ]
^

iá

F (E) s

O

r

;j.

"

00

dpi n. Dát
uó

^

JÍÁ-

V^A

¿

vá

ju(\)

4 2"'' víi

o^

,

h ^ c . c . Dat
*

B .= Í^B

.Ho rang

E z . T N B , E
1"^
l ' n

+ l

/u.(B) r O do
- b
n

\ B
n+1
00

Ta có (E )
•

l a a o t day cae táp r d i nhau v o i

^

•

F (3) — O nen
s
'

cua I r ^ ta có
ri-

c-'

'

F (B ) s n

co

;

B

\

°

)
F (2 ) .Do t m h
^-^ s k

?| l l f , ( \ ) l l > t ]

-

B ^
fc:^nH

\J JL

.Vi

^^

S^ -cong t i n h deu

o

n
s
Ap a^ng cat aejrxg tnue j-ievy ta co
sup S
Dieu nay .lau thuán vci (l-l).D4.nh l y dude chung - i n h .

(1-1)


c-

Hg cua 1.2

¿ i á sü F l a d^ to ngáu nhien X-gia tr^. doi •i^'ú.ríg vdi dj d

dieu lüaien

iu.

.Khi do F

lá

y u - l i e n tyc

p - l i n r (i:.)

-

tüc l a

o

0

jU(ii) - ^

"^

7

/

Ket qua sau day l a d^ng ngau nhien cua c^nh l y Vitaly-Hahn-Saks
i>j.nh l y 1.3

Giá sú (F^ ) l á ziot day do do ngau nhien X-giá t r i , doi

xúng b^. dieu khien bdi eíing 1391 d9 do j ^

.Gia sú rang vdi mói E ^

ton t a i

D- li2¡ F (E);.i:hi dó:
n
(F ) l á
/U-lien tyc deu

1)
2>

H M t$p

F : X —^
'^

^

L^(il)

xác dinh boi

o

F(E) ::. p-liis F (E)

'

n

l a :2ft Q9 do ngau nhien X-gia t r j . , d o i xüng vói 6.g do dieu khien
Chúne; siinh 1) Gia sú rang (F ) khong
"^ ^ ' ^ i C "^ O

va m^t day (A )

sup
va

íU.(A )

^ 2

/U-

jW_-lien tye deu.Khi do ton t§LÍ

Pj 11F^(A^)|| ^

3t j

^

Zf £

(1-2)

v d i ^191 p .

z2

bdi

d(A,B) =: yC(.(A A B ) .

Bang cach x e t các lop tüdng düdngC dong nhat cae dieni A va :; eó dkhoang cach bang O) ta thu ^•ú.úz ':ígt .-.hong gian ^ e t r i c d£.y du ( J ! , d ) .
^ay g i c vci -01 k,.':y hieu

Z. .

l a t^p cac uie:ri 1 (- ¿j

H í 'n'-^ - ':.^-^ll > t ] <^ ¿
._

.

cac t|.p do dude sao cho

D-j.nh nghia j:?t tua khoang cách t r e n

-'

2

l a n^t t ^ p uong.Tn^t v ^ y . g i a su h_. ^
1

sao cho

^'i ^^?i -^^^ > ^^¿,,
*\

tüc l a

,


^

;E.

va

I)

—>c>o.Vi

-?^

i (F A L
n i

)

vá y (i^ r\E^
n
i

)

l a ^ce l a c . i c i x t n r t a co
"^['ly^^^

-^^(-)11 >

t]

P j fl-^^U_. A ^)11 > ^ "i
~

PÍ

H J ^ ( „ ) - F^.(E)11

Ko rang ¿

-V-/2.-

? p l F^(E^ A E) - F ^ ( E ^ A E J 11 >

"~>

(E)

•* —

'i

=

>

^

-''^'^-

i -^oc-

tjr

theo hf quá 1.2.V^.y

ve;i r.oi n.Cho i —^ oo

d (1-3) t a thu düdc

t j

22^

^ £ . Do d¿

E ^

'-^^ dj-nh l y 5 a i r e fon t ^

2-^

.
chüa npt h m h

o

kc^

/

\

^

;ao cho E ¿

>o,£ e

/U(E iíiS ) < r ..Chú y rang
J
o
o
(2 \JI.
) A E r E A E^
>•
o
o
o

pJ U r (£ rM=; - i\a

¿-Í

neu

k

(E

A

E )A E r
o

o
t a co

r\i:'')\\ > t]

va

E HE
o

^ í(1-4)

^[ 11V- ^^^ - ^i:^^ ^^^ II > '] ^ ^
neu

/w.(-) <' r
vá

n S k . Tien theo. vi F (.1) ;:; F (E vy E ) J
^ o
^
o
'
^
n
n
c
F^(E (^z")
t-^ (1-4) t a co
pJ || Y^(1) - F^^ (E) H > 2tj,<¿É neu
A^ (E) <' r
J
^ o
t p . r^ \
V^

O

, n. S k . Do he qua 1.2
-^ o
sao cho

-''{fi ^ a í ^ ) l l > 3 t ]

/

/

v é i rnoi rn ^ 1 , 2 , . . . k
o

P Jll ^ (i^)ll >

11 ^ £

<3£

^^(E)

n?u

/.

neu

>U.(í^) < r

<; n i n ( r ^ , . . . , r ^

.

> °

Dieu náy t r a i vdi (1-2).V^y (F )
n

lá

2) Theo IJ v é i a o i t "^ O,

"ton t p . r S O sao che

sup
Cho n - ^

c^

£- > ^

? í 1ÍE^(E)|1 ^
t a thu d;de

t |

^

PÍ||F(E)!|

ton

).

°

/ ^ - l i e n tuc deu.
•'

¿

n-eu

> t ? < L neu

JK(E)

<

r.

jUXE) <

r.V^y

•


-14F la

i x - l i e n tuc.P.o r a n g F l á C9ng t i n h hüu h ^ n . G i á s ú (s^ ) l á day
00

cac t a p do dude r c i nhau v á x. =

L/^

^Zhl

d6ÍF('¿

pj 1|F(E) - ¿F(Z, )||> t] ^ pj H ^(OK
v i F l a y u - - l i e n t ^ e . D o dó F l á
&lc t a de" c^p ¿en v±ec

^ y

/

)\

l á ooc l $ p v á

)|| > t ]

-> O

5~-c9ng tinh.D4.nh l y düjíe chúng minh

t i c h phan cua n 9 t há.~ l i h í n g ngau n h i e n ,

7

g i a t r ^ t h ^ c . ^ ü c h phan cua ra9t h á ü ( k h o n g ngau n h i e n )
'

^

^

kh"oag g i a n Banaeh doi v ó i ngt

=-

*

^

co tr^. t r e n
/

ngt

•

ag do ngáu n h i e n d o i x ü n g , g i a t r ^

th^c

düfc x a y ¿ ü n g b c i E o s i n s k i £361 . Gia s u M- l á a9 do ngáu n h i e n g i a tr4.
t h ü c . N e u f: i —^X
'

l á r:ot hám don g i a n f r V x 1
Z-/ 1 A

c a e t ^ p r c i nha.u,x. ^

i

i' = 1

X
fdMt h i t a d^nh n g h i a
X y^ z M C A n A . )
.*—'

1

1

ó do (A, ) l á
i

1

vdi A A

2L

•

Kjt has f: T —^ X gpi lá :-:-kha tich neu ton t ^ -gt

day i f 7

các

has den gian (í ) sao cho
n

i)

f

-^

f

M-h.k.n. •

•*

n
ii)

Vfe s p i

A ^ 2I/

í tiáy

( f di-1

hgl

t y theo xac

suat..

:.-_bhl tt ii cc h t a d ^ t

.-.eu f l1^a :--kh£
\fdH

:z

p - l i a r f n

A

A

T^p hjfp các han f eo tr^. t r e n X l á k - k h a t i c h t a k^ h i f l i l a

^(:':,X)

B|.y g i c ? , g i a s ú F l á ¡ngt (I9 do ngáu n h i e n X - g i a t r ^ d c i xüng
do d i e u k h i e n AA, t ^ e u f
¿^
ll

u.l

(A.)

jf¿^ -

l á mgt háns t h ^ e ddn g i a n t r e n T

v d i d9

f

-

r d i nhau t h i t i c h phan cua f t r e n t ^ p E d o i v 5 i F

2 , \nA^r\E)

.Kpt hk:n f: T ~»H

dUpc rji ik P-khl

J =. I

tich neu eo ton tp. day (f ) các há:a don gian sao cho


•1^-.
1)

f

—^ r

yu.-h.k.n.
*

n
ii)

vói noi E £ 2 L

F-khá t / c h t a d^t
Chu y

day

j \ f dF 'I

h9i t^ theo xac suát.Keu f l a

ffdF

-^ p - l i r : f f dF

no rang neu f l á han ddn gian t h i

f idF

vá

E
xüng 09c l^D vá
có

IfdF -

IfdF

F í y Tí dF 11 > 1 1

+

V fdF

I fc¿r
c
E

l a doi

."í^l b á t dang thiic hevy t a

^ 2P í 11 f fdF ¡i '^ t \

. Do do, d i e u k i f n

i i ) tüdng düdng vdi dieu k i | n
iii)

Dáy

J ( í dF I

hpi t y theo xac suat.^'. ... ,:.

Ta* chóng
iiinh/ «rang
nghia
t r e n l a dung dán.Muon v^y chí can chüng

__v _ _ >v
\ - ^ d^nh
,,*
to rang neu ( r ^ ) l a day han ddn gian h9i t^ t o i O yt>L-h.k^n. va day
I ( f dF ^

h j i tu theo xáe s u a t t h i

d^t Z (E) ^ \ f QF

.Ta có

Z

Z(E) -

/

•?

Cf dF = O . T h | t v^y,

l á ::Í9t ág do ngáu nhi'en X-giá t r i . , d o i

xüng voi d9 tío dieu khien AA .Vl
do theo-dj^nh ly- I..3

p - lim

p - l i n Z (E)

ton t§á vdi - o i E do

p-lim ¿ (E) l a m9t dj do ngáu n h i e n X-

7

a t r j . doi xiing b^. dieu khien b c i

/u. .Do dj.nh l y ^gorov t a eó the
00

phán ho^ch T thanh cac tap rdi nhau 7 =

\J E

sao cho

K-=0 i^

va f

n

h f i tu deu t c i O t r e n noi E .Vói k > 1
k

^

/u(E ) :z O

- ' o

t a có
•

P

(¿ day t a g i á sú

f

z
n

<

u

tr?n tap
1

2P i a a x I u j f l ^ F C E ^ A A j 11 >

2PJsup|f^(t)¡fiF(T)ll > t j

tt\

A A E
i
k

)

t i - 2 P Í sup ¡f^(t)l H F ( . j | l > t 1

( SÚ dyng b$t dang thúc ..v,apien[43] )

^


-16*
Vl

sup/f

* 21

(t)|

—> O

'

khi

n —*» oo

nen

Z(E ) = p - l i 2 i Z (E )

k

11

Z

k-

O.Ta

t ^ \
:ó

/C(i^) = O

i¿n

ü(E^) = O.Vi^y

p - l i m f f ^ d F = Z(T) =

J

a ( E ^ ) -- O
' k'

nhi¿ mong ziuon.
T^p hf^p t a t ca các han t h y c k h i t i c h d o i v ó i dg do ngáu n h i e n X - g i á
/
trj. F t a ky h i | u l á

^
( F ) . R o r a n g anh x ^ f —^ f f d F l á t u y e n t í n h
X

til

«L (F)
X

váo

L (SI ).Whoai r a neu E , . . . * , £
o
í
1
n

c a c b i e n ngau n h i e n

CfdF , » . » T

ffdF

E

E

1

xe 1 ^

Mgnh de
/U TO dáy

G i l sú (f

•

n

[ ( I dF I

;^ia s ú

)

l á ágc

l á c a c t ^ p r"c?i n h a u
'
l§p.

^
^

•L,(F)
X

s a o cho

f

n

—> f

1 . 1|

H Cf dF — Cg dF[l

vá

Cf dF
I • H-,

^ ^ cae F - e h u a n t r e n L C T , ^ ^

< 1/n

ílg ' n

f

"^ ^ ^^

V^y f l á F - k h a t i c h v á

theo djnh nghia

(fdF — J

" Í^n"^ -

^U)

|| < 1/n
n *lj ^

(^o d^nh n g h i a t i n h k h a t i c h ) . G i a

p-li:a f^:i'^= ^ -"^^ ^9 11^ • ^nUl

Djnh l y 1 . ^

t h e o d9 áo

h 9 i t y t h e o x a c s u a t . K h i do f l á F - k h a t i c h v a

v a L ( i 2 - ) - V a i iioi n t a chon hasi ddn g i a n g sao cho
o
n
va

s5

f H " ^ 0.'

.

í^eu f l a í - k h a t i c h t h i v d i zigl hájn g b^. e h | n

han

gf

cung F-icha t i c h v a t a co
P p l
cí do

|gf
II S I

dFll >
^

t j ^ 2 P h g | | ^ | l f f d F II

>

t"\

(1-5)

©ss- s u p I g 1 .

l í ó i r i e n g n y i han: bj. c h | j i deu F - k h á
Chún^ a i n h

^TUCC

thi

n

=. p - l i . ^

ffdF
Ghúnf: .uinh

\y

tich.

h e t t a chúng n i n h b a t dang t h ü c ( 1 - 5 )

cho han g l á


\j/Vi fv y.. •.;'.'-i.H. c. ^ ii.-\ ^i^^I

•17-

y/dS

No Y.

-VN.

-

•

han dda giaiuGiá SU g r

1. 1
JCy h i f u
u.
1
A.

/

J

1

=i

i=. 1

Theo b a t d L g t h á c Kwapien[43]
P[|ÍZU. f j | >

fdF

:

A.

t a co

tj,<¿p[-a.|u.lll | 4

PJIljgf «i^ll > * ]
II > t ] = 2 P | | | g | ( ^ . l l

=*

J f d F II y

üay g i ^ g i a sá g l á has bj. c h ^ b i t ky.Ch9n dáy hám ddn gian g^
ciio

Ig I

g I
nloo

* ] ^< ^ | l l ^ n - S . I | o o l l i ^ ' ^ í l > ' ]

-^

khi n,E —^ oo.Vfiy dáy j (g fdF 7 hjii t^ theo xác s u á t . V l g f
theo

sao

—5> O U)o (1-3) düng cho hám ddn glán t a co
'^

^^llJ^Sn-V^'^">

t a i gf

t]

°

hpi t ^

AA-d9 do nen theo m|nh de 1*4 t a k e t l u ^ rang gf l a

F-khá tích..Cho n - ^ o o » t a thu dtís?c (1-5) Kói r i e n g , v i haa f =. 1

l á F-kha t i c h nen m9i ham bj. c h ^ l á F-kha

tich»
Dj.nh l y 1.6

Giá sú M l á m9t ág do ngáu n h i e n thy:c doi xúng vói 09 do

dieu khieiL ju. •líeu g : l* —^ X l á m9t hám H-kha t i c h t h i han t ^ p F
xac dj-nh! bSi

F(E) -

CgdM

lá

n9't d j do ngau nhien X-giá t r j . bj.

dieu k h i e n b c i JJL

. Edn nüa,a'9t han

vá chi neu han fg

l a K-kha t i c h . T r o n g trüdng hj'p nay t a co

i- = í
Chúng cinh

khi

a(E )

f: T —^ E

l a F-kha t i c h neu.

fg dM

-rüéc het ta hay chi ra rang

p- l i d

\ gdM Z'

—^ O.Th^t v | y theo hf qua 1.2 kháng d4.nii náy dung cho

ham don gian g.Neu g l a han :-i-kha t i c h b a t k y , e o ton t ^
gian. g
m

sao cho

n - l i n \ g dM r.
'
J m

\gdl^
j

..Dat
*^

Y
n,.n

t
i '--

.KJ

cae ham ddn
( g dM
J m
n-

18/

X ^

{ ffá>' .

Voi noi n co dinh p - Ü K T

r O .DO b á t dang thúc Levy

n

Do dó

l i e suTD --[t X II > 2 t 1 ^ limsup P h x

lin P^ j T
lia PfcZ

-T

||>t|

+

I -J? t ] ^ 2P J 11 ÍCg^ - g)dl-l|| •> t i .Cho m —> oo t a thu dtísJc
l l > 2 t l = 0.

Bay gio g i á sú (E ) l á dáy các t j p r c i nhau vá E - L / E *Ro r a n g
n

-n-z 1 ^
< \ gdK ( l á dpc l ^ p , d o i xúng.Ta có
'
.
j gdM -

p-lim ¿

^ \ ed*í *

ígoK -

J gdK

fgdM

ttí^Ht.^

.vl

lim

tic lá

Je

ju( L / E ) -

ígdM r T UdM

^

-"e

^i^E^

Tiep t h e o , g i á sú f l á F-kha t i c h . T o n t ^

dáy f

O

t a suy r a

trong

L (Jl).

^

"*

^

các ham ddn gian. sao
9

/%.*

cho f

-^

f

AX—h.i.c*c. ya

p-lim

^

f dF z VfdF .De kiem t r a r a n g

ff dF ^ Cí gdK .."tí. f^g —^ fg j L ^ h . c ^ c .

va

( f gdH

h9i t ^ theo xac

s u a t nen theo n p t n | n i i de tüdng tü mfnh de 1.4 trong^36"] t a co fg l á
k-iiha t i c h vá

ffg d>: - p - lim

ff g d>:

p-lim ff dF = í fdF .

2ígü9"c 1 ^ g i á sú fg l á -I-ltha t i c h . D f t A r / t :

] f ( t ) l s $ n ¡ vá f

=: f, 1
n

/

.N

.

. , ,

. ' , ,

^,

..•:Í

V

/..

b j c h ^ ±c do l á F-kha tich(dj.nh l y 1.5) •Theo dieu vua mói chúng

f
JL

ninh

f f dF =. ( f g dK . v l
j n j n

\(f

- f _ ) s d--- = \ fg drl

uU
¿^ A ) - ^ 0
J ^ n m ' ^

khi n,m - ^ oo cho nen

—^ O theo xac suat.Hdn núa f

—^ f

yu-

h.c.c^V^y theo n | n h de 1.4 f l á F-khá tich-D^nh l y dü^c chúng n i n h .
Bang l ^ p lu^D tüdng t y t a ci


-19i>3nh I v 1 . 7

u i l s ¿ 5 l á d9 do ngáu n h i e n X - g i a t r j . . . • & ! d9 do d i e u kh-

i e n yU ^ " e u f l á h a s t h ^ c F-kha t i c h t h i hám t ^ p G r a e d4.nh b S i

fdF

l á GJ do ngau n h i e n X - g i á t r j . dü9'c d i e u k h i e n b § i ju

e

-

,

Djah l y l . S

-Gia s ú F l á dg áo ngáu n h i e n X - g i a t r j . ¿ o i z^úng v d i d9 do

dieu khien. ^

^ (f

)

l á dáy han i - i i h á t i c h s a o cho

lim f

( t ) 'Z. f

(t)

j

/U-h^c-c.

K>-í có

p—lim

ff dF z:

í f dF

n e u vá c h i n e u (f >

l a F - k h a t i c h dSu t h e c n g h í a sau : Voi 291 t *> O

lim sup P^ H íf dF I ^ t ]
^(E) - ^ O
Chung n i n h
d^Tih l y 1.7

=.0

. p

i=ia s u ? - l i m ff dF : ; Cf dF . D^t
t a có

£

? - l i s G (E) := G (E) .-TÍf dj.nh i f I . . 3 t a k ^
(f

C f dF . T h e o

l á cae dg do n g a u n h i & i . X - g i á t r i . , d o i xiSng v é i

dg do d i e u khi e n f\A^ . T i e p t h e o v d i n'oi i:- ^ H

aeu t u c l á

G (E) r

do dj.nh l y I . . 5

lu§Ln. (G ) l á

yix-lien

tyc

) l a J - k h a t i c h deun.

Sgtijíc l ^ , g i a s ¿ ( f ), l a kha t i c h d e u . T h e o d3.nh l y E g o r o v v 5 i moi m
ton t ^

tlip E ^
•

2^

s a o cho

/u(E
J
m

) ' <

m

vá l i m f
^r\_
n

deu t r e n E . ^ ^ t
I
( f dF, Y f f d F , X =L f f d F ,
'^
n.,m
J n ' n ^ - J o ' n
\ n
m
c
^^
^
.
/w-(E ) :; C i¿n do t i n h k h a t i c h deu t a có
Vi l i s

lia Sil í'ílU^^ - \
s

a

-

m

n

J

- ??<^ ijl jT_
í ^ -- 22 l11l >> tt \] ==p [P}n jIMf ^f.d FdFl j11 >> t tj
( ""->

vá

Ecb. nSa t h e o dj.nh l y I . 5 t a co

O

khi

o

X = ff dF
\ o

1|> t U li^ sup PÍ|1 ff dF 11 7 t ] = 0

^

f

m - * oc


-20-

E
m
vl

?

- sup If ( t ) - f ( t ) !
t, £

a

• n

->

o

khi

n -^oo

.V|y t h i

o

^P[üX^-^ll>3t]^lTÍp[||X^-Y^Jl>tj+.lT^^^
p[|| Y, -XII > t] :. I ^ P[i|x^ - i,^Jl> t]+ p[ 11 Y^ - XII yt]
Cho m - > oo t a d^jíc

pj|(x^ - xH > 3 t ^ zi O. V ^ p-lim

D^inh l y 1.9 ( d¿7ih if

.

f f^dF = ^t^dF

^..

hgl ty b^ c h ^ )

Giá sú F l a ég áo ngíú nhien X-gia trj. doi xúng vói dg do, dieu khien. yu.
Eeu day (f ) cae haa F-kha t i c h hg± t y
If ( t ) | < g ( t )
yái

p - lis

yu.-h..c.c. t a i f va t a co

v é i mji t 5 do g l a hám F-kha t i c h t h i f l a F-kha t i c h

ff dF =

CfdF

..oi r i e n g , dang thuc t r e n xáy r a neu (f ) l a dáy hám b j c h ^ hgl
Chung minh

Xac d^nh ham h

vá h ( t ) = O iStt
n
f

n

lim

— h g
n*

g ( t ) r O..Ta có

h ( t ) :r

f ( t ) / g(t)

1.5

l a F-kha t i c h vá t a có

E

( theo d^nh l y

/U(E)s>0 E

vá h | quá l ^ ) . D i e u náy chung to

djnh l y l . c

neu g ( t ) # O

íl h II .• ^ 1 .Theo djnh l y
n oo

sup P|l( (f^dF ll> t " j ^ 2 lim P j¡) f gdF )1 > t ( =: O

yu. (E) ->0
1.7

b¿i

ty t d i f

(f ) l a F-khá t i c h deu.Ap d^ng

t a CO dieu phai chúng minh..

I I . S\í h o i tu cua các dp do vecto npiáu n h i e n
J

^

.

-.

.

^

Trong t i e t nay chung t o i sé d4.nh nghia
09" do v e c t c n¿kz. nhie^n vá nghi"en cúu

.r ./
giua cnung-

^

J

y?

4.

>

/

T.9"t so liieu h9i tu cua cae

t i n h chat' cúng nhü :20i quan hf


-eii>inh n^hla iUl

Gia sú (F ) n ;^ O l á dáy cae d9 do ngáu nhien Xn ''
gia t r i . l a noi ^tnr. F
hÍL tu t d i t
vá v i e t v- lim F ^ T
nem
'^
'
^
n
o
"
n
o
.

voi üoi E

t - l i n F (E) z: F (E)
n
o
/

^

^

I h í du CLu^t. 60 I c n che cae 09 do vecto ngau nhien)
^ a sú F l a up do ngáu nhien X-gia trj. sao cho
Xác di-nh has ü : 2 / —> ^

^^

^^(^) =

E[P(^)])

E || F(E) ||< oo^
-^'

VE¿¿J*

l a m9t d9 do X-

g i a trj. khong ngau nhien.Th^.t v^y g i á sú (E ) l a dáy cae t ^ p rcfi nhau
CD

va. E ^ \^I1

, ? 1 E í F(E) II < 00

[ 1 7 ] t a ce'

lim E jj F(E) -

t r o n g tSpo chuaa cúa ^^g

do do theo á:i.nh l y Hoffmann-Joxgensen.

^^'^V'^'

" '^^^^

^^^^' "

^

^^^ ^^

do XJ' dÜ9c g9i l á dg do ky V9ng cua F..Gia su

(F ) l a dáy cac ban sao ágc l a p cua F.TÍí lu'^t so l á i ^ o r t e r - í i o u r i e r
n
X
uci ve:
ngau nhien X-gia tr^. ^l'/,di.nh l y 3 . 1 . 1 . ^ t a co
'n

P- lim ¿X^k^^^]/^ - ''^-^^

^°'^ ^f^ ^ '^^^ ^ = Í H ^ulA ta

*^- *

có

6.= 1

:>- l i n G n

D-jnh n^hia 2>-2

H •
Ta noi rang day (F )

Vdi noi d l y hiíu hgín (E
hpi t u / t c i
/

"5^

(F

, ..,£ )

{E ),.^^F

V o l

hji t^ tdi F

n
trong ¿ /

( E ))

o k /

t a co

theo phan bo neu

o
X f F (E ) , . . ,F (E ) V

. a dáy nhü thüo^ng i f

^.f;x , . . , X : V
v l
n-

ky hi^u Iti^t nhan bo dong tho'i cua (X , . . . , X )
1
n
Dinh l y 2 . 3
Giá sú ( F ^ ) , n ;>.0 l á cae dg do ngáu nhien X-gia t r j . .
khi do F

n

h j i ty theo phan bo t d i F
' o

neu va chi neu vói_ nSi E,F (E)
•
n

h j i tu t c i F (E) theo thán bo*.
o
Cnunrr n i n h

^ a sü (^^ , E ^ , . . . , E ^ )

:ó co t a n ^ ^ -ft

hg hüu h ^

l a n f t dáy- hüu h^n t r o n g ¿ y ^rChj

«
. / L r l A ., ..^,A
.,A
v^LtrlA

I các
t a p r'di
cae t^p
r o i nhau sao cho


-Z¿'
noi E.

ll hgp cua xjt so t^p nao dó cua
'

""

dang

f

^F (E ) n i "

•

X
rz.

LJÍT

-V^y thi moi ^J^\'>

co

^

b F (A )
i j n. 3

á do b;, . = O
' iJ

h o | c 1 iihong ph^i
'

thu9c n .V^y
F CE,) \
n

/P„(AJ
n 1

1

B¡
F (E )
n k
d

tío

B r (b

I

(2-1)

F (A ).
a p

)

Giá sü F (A) hpi tu theo phan bo t5i F (A) vSi n'oi Af
n
o

¿^

.Vi

/

cae P (A )
H-X

doc lat) nen luat phan bo cúa ( F (A )r — r ^ (A ) bji t^
n x
" P

•Su tSi luat vh^

bo cua

(F (A ).,*^-,F (A ) ) ^TÍ2 dang th^c (2-1) ta
o i
o p
...
suy r a l u a t uhan bo cua ( F (E ) , . . . . » F (E ) ) h9i t ^ yeu t S i luglt
n i
n k
/
phán bo cua ( F (E ) » . * * , F (E ) ).Vay F h9i ty t d i F theo phan b o .
o 1
o k
n

o
Khang áinh. ngüfc l § i l á h i e n nhienD'j.nh l y sau day l á mjt minh ho^ cho k h a i nifm h 9 i t^ theo phan b o .
Djnh l y 2 . 4 ( L~^zih. l y g i o i h^n trung tan cho cae d9 do ngau nhien)
¿ i a su F l á ág áo ngau n h i e n , doi xúng X-giá trj. sao cho vdi n o i
E ^ X-

t a có

E U FÍE)II < oo .IÍhQ.ái r a g i a sú rang X l a khong gian

l o f i 2.Elhi do néu
ngáu n h i e n

F

l a m'9t day cae ban sao d9e l ^ p cua F t h i 09 do

G - I 2 ^ ^b-y \^^^

^^^ ^^ theo phán bo t d i n p t dg do

ngáu n h i ? n Gauss doi xúng X-giá t r j . .
(. hg do ngau n h i e n G düp'e g9i l a Gauss neu vdi 1191 E £;• 2 ^

,G(E) l á

: i e n eó phán bo Gauss )
¡hún/' n i n h

Cíia su ií l á dj do ngáu n h i e n thuc sao crio vdi -'oi A ^ G",

-23W(A) ce pnan be Gauss v c i ky V9ng O,phudng s e i P ( A ) , c dáy do do ngáu
n h i e n 7. xkz

á^n^

t r e n ^ o n g g i a n do

t%z các ha.- f

: ÍT

Idia t i c h t h i

í fdv,

d^o t r ü n g l \
3*3 cúa [ 1 7 ]
\|| f/I

—>

X

la

(il, ?

,P).-'o' b i e u

«L (vV)

lá

W-khá t i c h . Da b i e t r a n g neu f l a W-

l á .:-9t b i e n ngáu nhie"n Gauss X - g i a tr^. v é i hám

ext ji/:f ( u / ) ,x'>| ^ d P ( u ; ) j

( x e . : . [ l 7 ] ) -Theo d ; n h l y

n e u X ce lo¿ii 2 t h i n o i han f

d?/ l á \^-kha t i c h vá
^ ]¡ f fdí. ji^

: JT.

—> X

do düjíc voU

t a co
^

C C J f y~ dP

U-2)

o do ü lá ~9t hang s? khong ph^ thU9c vao f
Ta xac d-,nh han G : X

"^ if(ií) ^Sí

= I

Ü(E) -

• '

\F(E)dW
^

/

,

./

G l a n 9 t ág do ngau n h i e n G a u s s , d o i x^ing X - g i a t r J - . T h ^ t v ^ y , t a h a y
o^
/
chúng t e r a n c n e u (E ) l á n o t dáy cac t a o rcíi nhau vá E •= \J F.
thi
•
oo
^
^

dáy b i e n ngau n h i e n G(E ) l á doc l a n vá
)
^{^ ) •= G(E)
trong
n
^-^^
n
L ( - T D . v é i (u ; c
o,
k

¿,

(a, ) C ^'
k

E erpj^i 2 ; \ . < G ( - ^ ) , a ^ > ]

*•

Vl cae

= E e x p j i j J ^ ^ ( E ^ ) ,a^,^u^^ dV, j

-

fe

¿ í^,,) l a ¿gz l | p va doi xüng n'en dang t h ü c t r e n cho

^ ^ ? Í - S fK^^^i^)'Vv^l~ ^ ]

Dieu n a y cnung t e

ÍG(Z.^)")

CD

CÓ

t a co

F(.)=

2 2 -^-::)
n-^1

"

= 1 T

exp/i

ta

O H E , ^ ) , a u _ \ ^ dV. I

-

a j e if^p .Edn n ü a , t h e o d^^nh l y ; : . 5 flTl

'^

trong

L^(Jl)
^

.y^^y t h i ->:
^^- o^^ ...

^2-2)
V- - /

^^a s u y

ra

ta


•¿H'

lin £ ||G(E)

-

C lim

\|1F(E) -

V^y

G(E) ^

2^G.(E )|| ^ ^ ü ^ 4 Í F ^ ^ ) " Z ^ ^ " '1 ^^' "^
¿ E ( F . _ ) | | ^ dP
d<¡

\

=

O ,

y

G(E )

^

y

trong L ^ ( í l )

do do t r o n g

T i e p t h e o , b d i d4.nh l y 3*¿ í-'''-^ "] ^^ ^^

l'(iD.

- CE) r L 2 _ / "I ^ ^ ) j / \ / ^ ^

t ^ t d i GCL) t h e o ::han bb -y'^.y t ü di-ni. l y 2 . 3 t a l:ez l u ^ n

G

h9i

-""^í^
tu

t d i G t h e o phan be .iJ^nh l y :;üoc ehüng n i n h .

^

i-Í9t d9 do ngáu n h i e n X - g i a t r ^ G düoc g 9 i l a dong l u ^ t v d i n 9 t d^ do
ngau n h i e n X - g i a t r ^ i iihác va t a v i e t

G O: F

han

.....

(E ,...,E. ) trong
1
K:

/_.

ta eo

^ ( G ( E ^ ), ...,G(E.^)) =z
> . _ . - . .

^

,-

.^ X

^

.f- -

xío rang sü n^i tu cur. day (F )

neu v d i n o i day htíu

(F(E^ ) , ....,F(E,_))

r

izeo theo su h9i z^

uói 5"

theo nhan

be cua day de tci F^.Dieu khang d^nh ngüdc l§i se nung
sau
í^lnh l y 2^5

G i á su (F ) , n ^ O

l á dáy cae d9 do ngau n h i e n , d c i xung
xú

X - g i a t r j . b^ d i e u Ichien b o i dj do ju{ .i-ígoai r a , l i h o n g g i a n n e t r i e
car. s i n h b c i

JIA (xác d^nh nhü t r o n g chung n i n h dj-nh l y 1 . 3 )

^
l y . K h i do eo t o n t ^
(n 7,0)
^

va

Chúnp- ninh

(G )
n
Giá sú

dáy

G

^
h9i tu tal
K^T

Xét cae bien ngáu nhien

,d

kha

^_,
d
cae d^ de ngau n h i e n s a o cho G c==. F
•
"
n
n
G
o

= U, )

lá t'l'p den dúóc

f ^ - ÍF^(A^)|^

theo phán bo, ta eo lu|"t phán bo cua
cua

m

(H

[

.Vl
hg'l

trú rn|.t trong C^!» ,d)
F

ty yeu

hg± ty. toi. F

o

/
tfi lu^t phán bo

5^. Theo dí.nh ly quen biet cua Skorokhod cc^ t3n t=ií cae oían