Một số vấn đề trong lí thuyết mở rộng hệ động lực

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (23.54 MB, 76 trang )

ti

tf'

1 -P A U

Càc qua t r ì n h t i ^ n d i n h hOU han c h i ^ u t r o n g m$t h$ t h ó h g
l | l p thtJdng Oiitfc mò t a b ^ i citc phudng t r ì n h
A = f(X),x

(1)

(1)
nào

do,

fsM

l à c à c h v i ^ t d i a phtidng cù&. m$t

cijic - t r u S n g v e c t d t r è n M, ttfc l à n h ^ t c à t

phtfdng

—9

K".

td&x tiii^ng

X:M —9 TM

t h d t i ^ p xùc ( T M , p , M ) . V 3 i mpt s o g i à t h i ^ t
duy nhà^t v a k é o d a i n g h i f m cùa

:

€ M

t r o n g dò M l à m$t d a t ^ p kha v i n chié^u
Phiidng t r ì n h

ò t ò n ò m c ó dang

có

toàn

cùai

phàn

( b a o dàm s i / t d n

trình

vi

phàn),

v e c t d n à y s i n h r a mpt dòng pha t r è n M, tt^c l à nhóm m$t

t^i,

triidng
tham

sfìi

c à c phép b i ^ n d 5 i FI :M —» M, t e K, CÙB khóng q i a n p h a - Dòng pha
l ^ i x à c d i n h mpt phàn t d ,

tCfc l à s i / phàn h o a c h M t h à n h

d a o cÙA dòng
Mfìri

giùfa mpt phtidng t r ì n h ó t ó n ó m v 3 i dòng pha v a phàn tc3

càiC.

quy

lièn

h$

tufdng

ùhg

c h o p h é p sCf dyng nhié?u phiidng phàp v a k^t qua c ù a c à c n g à n h

toàn

hpc k h à c nhu" t6p>ò, h ì n h h p c , v . v . , . t r o n g

vi^

t i n h chSrt d i n h t i n h ciia h f . E>ò l à n p i dung cùa
li/c.

Khifi d^u b ^ i c à c nhà t o à n hpc P o i n c a r é ,

t h ^ k^ t r i i S c ,

t r o n g t h ^ ki? n à y ,

nghièn

cuu

càc

l y t h u y ^ t h# dpng

M. L y a p u n o v ttf c u ò i
dà

phàt

tridV» m^nh m@ t r o n g c à c c 6 n g t r ì n h c ù a n h i # u nhà t o à n h p c ,

trong

d ò c o D. B i r k h o f t ,

A- A n d r o n o v , S- P o n t r i a g h i n ,

H a r t m a n , M- Grobman, S- S m a l e ,
d^,

trB

l y t h u y ^ t h# dpng

t h à n h mpt l y t b u y ^ t dpc

...

li/c

Anosov,

P»

v a t h u tSUt^c n h i i ì u k ^ t qua

dep

làp,

V-

t i i d n g dó^i hoàfì c h f n h

v i # c mó t a c à c dt^c t r i i h g d i n h t i n h e ò a phifdng t r ì n h

Tuy n h i è n ,

trong

l y t h u y ^ t cung

nhii

càc

uhq

t h u B n g g $ p hdn c à c phiidng t r ì n h khóng ó t ó n ó m d a n g
X = F(x,t),

X € M,

t

e (R

trong

ótónòm.

dyng

,

ta

:
(2)

-

2

-

O d a y , d o ve? phi[i khóng bStt b i ^ n d ó i v 8 i
c ù a bié^n t nèn nghi^m eòa phiidng t r ì n h
ed phàn t d cung nhii nhòm càc
khan c h o v i f c à p dyng càc

càc

di eh

chuyèn

( 2 ) khóng xàc d i n h t r è n li

phép b i ^ n d ^ i .

Di^u

này

gay

khò

phiidng phàp n g h i è n cuU c ù a h^ dpng li/c

c h o t r i ^ n g hcjp khóng ótónómD^ khS^c phyc dié?u n à y , mpt t r o n g c à c hù6ng c o h i # u
ti€?p c^n phiidng t r ì n h khóng ótónóm t h e o quan

di^m

qua

là

m& r p n g

hf

dpng Ixjlc - mpt phiidng hii3ng bà't d^u h ì n h t h à n h r o n e t

tu'

nhuhg

nàm 6 0 . Ch^ng h a n , x é t h$£
X = g(x,y)

1.

y =

(3)

f(y)

trong d ò y e B ,

(x»y) e M

v 8 i B va M l à h a i da t a p kha

vi

nào

d ò - Co t h # xem ( 3 ) nhii mó h ì n h mpt hf v à t l y , t r o n q dò x

mó

t r ^ n g t h a i ben t r o n g eòa mpt dÓi tii

nghièn

cÙiAf con y b i ^ u t h i

t r ^ n g t h à i ciSa mói t r i i d n g xung q u a n h . Sé

hf (3) n^u g i à thi@^t mói t r t i d n g c h i ù si/ t à c dpng
lu^Lt t r o n g t i / n h i è n t r i i d n g khóng t h a y d ^ i t h e o
inh

^^(^c

cùa
thdi

hiii^ftig t r ^ l a i cùa dÓi tiidng n g h i è n ctìti v 6 i mói

tai

có

càc

dinh

gian,

con

tru^ng

xung

quanh l à r a t n h ò , c ó t h ^ bò qua d u d c . Ta cung d i d^n h$ ( 3 )

n^u

x é t hf dpng li/c t r o n g mpt l à n c^n Óng M ci5a mpt d a t ^ p bà't

bi^n

B n à o dò cùa h$ n à y - Theo ngón nguf t o à n c y c , t a c ó mpt phàn
trdn

(M,p,B) va h a i tru?3ng v e c t d X: N —> TM va Y:B —9

TB

mifn p^(X(m)) = Y(p(m)>, V m e M- Trong t p a dp d i a phiidng,
v e c t d X (SìJ<}c b i ^ u d i ^ n bSng h$ < 3 ) , con triiBng Y
t r ì n h t h i i h a i c ù a h f . Già s£f (M,n) va

(B,p)

là

~
càc

thòa
triidng

h&x

phiidng

dòng

ttidng £fng v 8 i c à c t r u ^ n g X va Y. Khi d ò , à n h x^ p : M —9

th8

B

pha
là

5

d ó h g càTu d ò n g

(M,n)

lèn

p(n^m))

va t a n ó i

dòng

CM,n)

(B,p)

tiic

(3)

V m € M,

l à m^ r p n g cùa

t h ò a man d i é f u k i f n

t h i i n h à t có

làs

= p*(p(m))

Chù y r à n g n ^ u y=«>Cy , t )
o
eòa

-

là

dòng

là

b a n dStus ^ ( y

phiidng t r ì n h

Càc p h i i d n g t r ì n h
thu?3ng x u à ' t h i f n
phiidng t r ì n h
nghifm xuàt
(1)

dpc

tinh

nhcf p h t i d n g

phàt

tuy^n

già

à day

tCfc

thtf

phiidng

hai

trình

là

A, -

F(x,t)

(2).

t h u i T n n h à ' t y/Si
trong

di€?m t ù y
x(0)

theo nghifm x ( t )

bi^n

y trèn

= x.

h$ s ó b i e n
phàn:

M, k y

có

dang:

,

? e

E)Ói

hifu

Phiidng t r ì n h

thièn
v3i

x(t)

trong

là

big^n

K'

df

( t ) = 5-^ ( x ( t ) )

I - X

U À

h^
f

{
cho t a

thì

phàn d^ng

trình

sCf x l à

tìi x,

vi

? - A^^- ( t ) ?

K h i dò

,0)»y

trình

d^ng:

t a nh|in diidc

phàn eòa

(B,p)

n g h i f m eòa phiidng

A = g(x,9?(y^,t> ) =

tCfc

teff?

= A

"

(t)

?

X

=

càc

phi/dng t r ì n h

phiidng

tich

? €

K"

( X )

m p t m^ r p n g d ò n g , m p t

Ngoài

(4)
X e M,

trình

phàn,

triidng

vi

hdp r i è n g

p h à n , mpt s ó

phi/dng t r ì n h

d^i

só

eòa

l3p
va

(3).

rà't
mpt

rpng
só

càc

phiidng

- 4 -

t r ì n h l o ^ i khàc cung gSn bò c h a t c h e v 8 i k h à i ni$m

ma

rpng

dpng Ixjtc (xem ch^ng h ^ n , £ 1 6 ] ) . Vi vlLy, l y t h u y ^ t

này

dà

n h i ^ u nhà t o à n hpc quan tàm n g h i è n cOfU t r o n g

nàm

gàn

(xem phàn t à i

l i f u tham khao e ò a

càc

h$

diidc
day

[17]).

Ban l u ^ n àn này nhSm góp phan n g h i è n cin.i mpt sÓ
e ò a ly t h u y ^ t tSing q u à t v ^ mij r p n g h# dpng

khi a

c^nh

li/c.

Npi dung lu|in àn dtii;?c c h i a t h à n h 3 chiidng-

—

Chiidng I t r ì n h bay mpt s ó k h à i nifm va kè't qua d à

bi^t

sd

dtf
—

Chifdng I I d^ c^p dèn v e c t d <ì^c

triing

eòa

m^

t i n h - Nhif t a dà: bi8^t, d ó i v 8 i e à e hf v i p h à n , l y

rpng

tuy^n

thuy^t

só

mu

dite t r i i h g C21] dòng v a i t r ò r a t quan t r p n g t r o n g v i $ c n g h i è n culi
c à c t i n h c h a t t i $ m càn e ò a n g h i f m , ^^c

b i f t t r o n g c à c vàn dd"

ó'n

dinh.

Trong [ 2 ] d à t r ì n h bay l y t h u y ^ t v e c t d
t ^ n g q u à t e ò a s ó rou dlic t r i i n g -

cho

phép

d^c

triihg

-

dang

giai

quy^t

mpt

t r i i 3 n g hdp t 8 i h^n k h i l y t h u y ^ t s ó mu d à c t r u r i g t ò r a con
dò t i n h t ^ , Trong C 2 5 ] , V-M-

Mil l i o n s h i k o v

d^

dinh

só
chiia

nghla

va

càc

ti/

n g h i è n cCfta c à c t i n h chàTt e ò a sÓ mu d à c t r u h g e ò a mpt hp

dà'ng c à u e ò a phàn t h d v e c t d . P h à t t r i ^ n y t u ^ n g CÒÈ. c à c t à c

giai

trèn,

vectd

d|ic

di^n

hình

t r o n g ehiidng I I e ò a lu^Ln àn này

sé

xày

dvmg

t r i i h g eòa m^ r p n g t u y ^ n t i n h va n g h i è n culi t i n h ehà^t
e ò a n ò - BSrkQ c à c h khao s à t thèm càc

t i n h ehatt

Bogdanov dtila r a t r o n g C15]) va sCf dyng ky thu|Lt

eòa
eòa

X-chu^Tn
ly

(do

thuyè't

-

phàn t h S c h i n h ,

: V m e IN, c à c

rpng

tuyén t i n h

trong

chSng h^n c h o h ^

hàm B a i r e

-

(4),

ta

lièn
t^p

dàis

tCf v i ^ c

Xuà't p h à t

ly

bàt

thuy^t

phàn

kifn

t à c h Oift^c

nhàt

là,

chf

ra

v3i

rpng
vi

tuy^n

phàn p h i

eòa

tye

trèn

càc

k^t

bién.

Bài

dl/cjc

con

càc

bàt

h$ dpng

li/c,

L5]).

I.U-

h$ v i

culi t r o n g

mèS r p n g

ly

Trang

va
phi

tuy^n

nhàn x é t

phàn,

d^c

VE? k ^ t

dò.

ThCf h a i

bàt
là,

tuy^n
bi^n
xuà't

tuy§^n b a n g h ^ t u y è ' n t i n h

dié^u k i $ n n h ò e ò a

f

v e c t d dàc

f,

vàn

eòa

nhi^u

bòi

canh

va

V.Fhòa

gàn,

thòa
qua

truhg

h § sÓ L i p s c h i t z

tinh

d^

có

theo

man

diéu

này:

e ò a m^ r p n g
phàt

phi

tCf y t i i ^ g

n h d p h é p xàTp x i '

thiidng ehf

di/dc

(khi

khài
^i/

eòa

triing

tuy@'n
tinh

khà

ThCf

s i / t à c h dX/dc c à p ffi > O dS

thuy^t

ma r p n g

phàn t h 3 con

tinh

SLT

Bronnnstein

t^i

b i ^ n e ò a mò r p n g

toàn cyc,

v8i

l i eh

eóng t r ì n h

t à c h d t i d c m u ) . D i ^ u n à y c h o p h é p dx/a ra

hdn c à c

này,

phàn

lièn

l i / e d à có

tham khao eòa

m u . Có t h ^ c ó h a i

d l / d c cSTp m > O d ó i
"min"

(4)

tàp

di^u

thSnh

t a nh^n

phàn t h 3

dà chiing minh si/ t ó n

trèn

va n g h i è n

dié?u k i ^ n

dang

mpt

xung quanh mpt d i # m b à t dpnq eòa

t h d con bàt

nghla Lipschitz

dói

trèn

n g h i è n ciifu d a n g d i $ u e ò a m p t à n h x ^

li^u

m^ r p n g

(C17],[18])

d t f d c càc

me?

Unq d y n g

b i ^ n d à d l / d c de' c | l p dté'n t r o n g

(xem phàn t à i

Cherny

M. K h i m = 0 ,

b à ' t bi#^n e ò a h $ d p n g

da t ^ p M vào c h i n h n ò ,

eòa

triiVig càp m eòa

r S n g càc

phàn tuyè'n t i n h

q u a n d[én c à c

t o à n ve? c à e aa

già

tò

tye

ly

Millionshikov.

Chiidng I I I

tàc

chtjfhg

lièn

tham b i ^ n -

ké^t l u f l n Oilf^c

m$.t, k i # u G . t r o n g

d& d a t a p

va do dò

khóng g i a n

v e c t d df^iC t r i i h g e ò a h ^ v i

qua eòa V-M-

là dinh

t h à n h phàn eòa v e c t d dàc

l à càc

mlit k i ^ u G,

t|lp C t r ù

-

k é t q u a c h ò yé^u d à t h u d i i d c

ràng

trù

5

di/cje
m=0

ni^m

tàch

phàn
tuy^n
xàp
thCf

t h ò a man

là

bi^t
g à n m&
xf

h$

nhà't,
trong

-

l à n clLn e ò a n g h i $ m d ù h g - V i

6

v $ y s é hdp l y

hòi

v ^ s i / gàn b£ng nhau t h e o n g h l a

dòl

hòi

mB r p n g

tuyé^n t i n h

phi

chi* t r o n g

mpt

trình

bay eàe

Bronstein

phi

rpng)

va

dòi

toàn cyc
v8i

c3it
m&

bang

m^

rpng

khóng.
rpng

khao

Do

tuy^n

sàt

t u y ^ n gàn chung-

triihg

hóa dtitjc

t u y ^ n g à n m^ r p n g

(suy

( t h e o n g h l a mu)

càc

Trong

§2

rpng)-

Càc

hdp

s é dxidc s u y

tuy^n

k&t
m5f

ra

càc

tCf k&t

i—phàn

th6

tinh

thòa

eòa

I-U.

tuy^n

tinh

qua

rpng

th3

auà

trèn

khi

= 00-

vi

Dai
tinh

lu|ln àn dà diidc

phàn" eòa

h p c Su' pham I )

dinh

(suy

Cherny cho t r i i ^ n g

Npi dung eòa

Toàn,

va dlic

phi

hyperbolic

va V.F-

hyperbolic

trình

tai

b i ^ n e ò a mò r p n g

man d i é u k i $ n

làry r

t à c h diidc

doi

n i $ m r—phàn t h 8 v a r—eàf'u x ^ e ò a m p t p h à n

nhàm chCrhg m i n h s i / t ó n
con bàt

s é (Stia r a d i n h n g h l a

b i é n e ò a m^ r p n g

khài

trèn

l à n càn nào dò eòa n h à t

III

t h ò a man diè^u k i ^ n

phàn t h 3 con b à t

Lipschitz

t u y ^ n gà'n t h e o n g h l a L i p s c h i t z

dò t r o n g § 1 eòa chtfdng
tinh

hdn n^u t h a y

lièn

chò t r i ,

trvft5ng d a i
tai

hpi

h p c T o n g hphiidng

h o à c s é dl/
trình

vi

bó trong

trình

hpc do g i à o

nghi
hpi

khoa hpc

nghi

phàn Szeged
C3],

bay t ^ i

C22],

quóe

xèmina
s i i Vu

Tuàn

h à n g nàm cùa
t^

(Hungary)
C14J,

"Phifdng

[1].

v^

ly

thàng B/88

(Dai
khoa
thuy^t
va

dà

- 7

-

B^n l u | l n àn ^ii<}c hoàn t h à n h v 8 i s i / g i u p d ^ h ^ t siifc t ^ n
eòa nhufhg

g i à o v i è n hu3ng dàn l à

IHoàng Hgu D u d n ^

cÓ

Giào

sti

Ti^n

tinh

sy

va Phó Tié^n s y T r a n Vàn N h u n g , Tàc g i à '

biè't

dn sàu sà'c v€? s i / g i u p d 9 d ó -

Nhàn d i p n à y ,

t à c g i à cung x i n bay

tò

long

cam

t h à n h t 3 i càc t h à n h v i è n t r o n g xèmina "Phiidng t r i ni i v i
t^ giai

tich,

dn
phàn"

khoa Toàn - Cd - T i n hpc vÈ? nhOhg y k i ^ n dòng

quy bau d ó i v 8 i n p i dung lu^Ln à n , cung n h i i nhiJng sy*
k h i eh 1 ^ d ó i v 3 i t à c g i à t r o n g qua t r ì n h

Hà n p i , ngày

chàn

dpng

làm v x # c -

t h à n g 4 nàm 1989

va
góp

vièn,

- 8 CHUON6 I
MOT 90 CAU TRUC TOPO CAN THIET

§l.Phàn th8 va phàn th3 vectd.
I-1-1.Phàn th8 tong quàt - càc

djnh nghla [34]

Phàn thS là mpt bp ba (X,p,B) trong dò X va B là hai
gian tòpo, con p : X-»B là ành x^ lièn tye va lèn, tCfc là

khóng
p(X)=B,

Khi dò X dgl- khóng gian toàn th^, con B là day eòa phàn
th3.
V3i m^i b e B, t|ip h<?p p'"*(b) = CxeX : p(x)=b>
dgl. th8 t»i diem b eòa

phàn th3-

Bia su' (X,p,B) va (X',p',B') là hai
càc

=X^

phàn

thS-

C|LP

(#,^)

ành x^ lièn tye $ :X — • X' va ^ :B — » B' sao cho bi^u (Sa
X

—

9

X'

"i i"B

g i a o h o à n , d g l - cà'u

x^

eòa

9 B'

phàn

th3

(X,p,B)

vào

phàn

( X ' , p ' , B ' ) . Do ip dìidc xàc d i n h duy n h à t hÒx $ va diéU k i # n
hoàn eòa b i ^ u d ò nèn c ó t h ^ ky h i ^ e à u xa phàn

th8

(*,^)

thd
giao
ehf

bang mpt chìi $ -

Ph^m t r ù c ó c à c v | i t l à

phàn t h d , con e à u xa l à cà'u x^ phàn

t h 8 dtidc ky h i $ u l à Bun-

N^u B = B' va ^ == Id t h ì $ diidc g p i l à B-càu x a .
v à o d ò , t ó n t ^ i $"

va i

cung l à B-càu x^ sX'—» X t h i

l à B-dSTng e à u cùa càc phàn t h 3 t r è n -

N^u
ta nói

them
$

- 9 -

Ky hifu Bun B dùng d ^ ehf ph^m trù có càc

vàt là càc

phàn

th8 day B, con eàu x^ giù'a chùng là B-càu x^.

Phàn th3 (X',p',B) dgl. phàn th3 con eòa phàn

thS

(X,p,B)

né'u X' là khóng gian con eòa X va p'-p | X'.

Tong Whitney eòa hai phàn th3 (X,p,B) va

(X',P'.B)

trong

Bun B là phàn th8 (X e X',p e p ' , B ) , & day
X ® X' = f(x,x') : X e X, X' € X', p(x)=p'(x')}
(p e p')(x,x') = p(x) = p'(x') v3i (x,x') e X e X'
nhii v|iy (p e p' )"* = X^ x X^

(b e B ) .

Nhòm tòpo5 Là mpt tàp h(;?p G y/iia là nhòm, vù'a la khóng gian
tòpo sao cho ành x^ tCf e x G — 9 S xàc dinh b&i
Già su' G là nhòm tòpo nào d ò , G-khóng

(s,l) lièn tye.

gian

phai X là

khóng gian tòpo X, trèn dò tàc dpng phài eòa nhòm G, t(ic

là

ành

xa lièn tye X x G — • X « dàt tiidng ùhg (x,s) sao cho :
i)

V X e X va s,t e 6, ta có x(st) = (xs)t

ii)

V X e X c ó x l = X, ^ d a y 1 l à ddn v i e ò a nhòm G.

G-khóng

gian

G—khóng g i a n

t r a i dhJ(}c d i n h n g h l a tLfdng t i /
l à G-khóng g i a n t r a i hoàc p h a i .

Già su' X va Y l à h a i G - khóng g i a n . Anh x^ h : X —9 Y
dgl-

G-cà'u

"1

Càc

x^ n é u h ( x s ) = h ( x ) s v 3 i mpi x e X va s «e G.

di^m

X

va

x'

eòa

G-khóng

gian

X

nào

dò

dgl

G - t i i d n g diidng n é u t o h t ^ i phan tÙ s € G s a o c h o x s = x ' .
Ro r à n g d a y l à quan h$ tiidng dxidng. L3p ttfdng diidng chCfa
€ X t h e o quan h# n à y ,
d g l quy d^o eòa x-

tue

l à t^Lp hdp [ x s , s e G> ky h i ^ u b«^i

x
xG

IO

T|lp h d p t à t

c a c à c quy dao x 6 ,

ky h i $ u l à X mod

Phàn t h 8

toh t a i dóhg phói

6-phàn

tòpo

thi/dng

t h 8 n^u X l à G-khóng

diit^c

gian

va

t h 8 c ó t h S l à G-khÓng g i a n

F.

f : X mod G —* S s i n h ra

dang cà'u:

a ( X ) = ( X , n , X mod G) —> ( X , p , B ) .

G i à s u 19 = ( X , p , B )
Khi d ò r? l à d g l -

x e X v8i

6.

(X,p,B) d g l .

(l,f)2

-

tam

l à G-phàn

t h i i d n g n ^ u c ó G-dlTng e à u
h : ( X , p , B ) —* ( B x F , p r , B )

7) d g l .

tàm

thifdng

dia

p h i / d n g n é u Vb e B . t ó n t a i

e ò a b t r o n g B v a G-dà'ng e à u
0(U)

là

d g l - mpt

phàn

thd

bgTn d ò t r è n

Atlas

tich

p h à n t h d hiOiU)
(Ux

U eòa

r)\U

MÒi

h

trong

dò

nhii

v^y

p h à n t h 3 7?

e ò a B p h à n t h 3 r) ( v 8 i d a y B v a t h S l à G - k h ó n g g i a n

l à h p t ù y y d ^ n g [ ( h . ,V. ) > ,
eòa B, con h

i e 3,

^? d a y [V. } , i e 3

l à b à n d ò t r è n V e ò a >)- P h ò tV. J d g l .
V

atlas

F,pr,U).

—9

l à n c|Ln U

l.

V

là
k^t
'

'

phò

m^

hdp

v3i

•

[ ( h ,V ) > t

i

Già su* [(h ,V^)>, i e 3 là mpt atlas eòa G-phàn th3 y).
bà't ky i,j € 3 tón t^i ành x^ diide xàc dinh duy nhà't
V

g :

V3i
V

— > G sao cho h,(b,y) = h (b,g. (b)y) v8i mói diè'm (b,y) e
J

n V.)

F)

J

^

i j

X F . C à c à n h x ^ g. . n à y e ò c à c
i)

Q . (b) = g

ii)

g

(b)

(b)g

= 1«=G

(b)

'

tinh chat

sau:
V b e V n V n V
V b e V
V

iii)

g

(b)

= g

(b)""*

V b e V

n V

n
(V
i

11

Hp c à e à n h x a g : V
ij

i)

-

iii)

dgl

t

nV

h # hàm c h u y é ' n e ò a G - p h à n

1 . 1 . 2 Djnh

tòpo, F là 6 -

chat

t h S r) t r o n g a t l a s lih ,V. >

k h ó n g g i a n v a {g > l à

là

nhòm

h ^ hàm c h u y è n d ò i v 8 i

phò

( c h i n h xàc d^n

t h d rj v 8 i t h 8 F c ó a t l a s

[(h

Phàn

thd

vectd

-

càc

Phàn t h 3 ( X , p , B ) d g l - p h à n

djnh

thd

G

mpt

phép

B-dàhg

,V ) } s a c c h o

c h u y é ' n tiidrig ù h g v 3 i a t l a s n à y t r ù n g v 3 i h § [ g

1-1,3-

tinh

l à p h ò mÒ e ò a k h ó n g g i a n B ,

CV.}- Khi d ò t o h t ^ i d u y n h à t
) G-phàn

càe

ly [34]

G i à sCf t v >, i e J

eàu

— » G , i , j € J c ó

j

[34]

thyc

t h 8 X^ e ò a n ò ( b € B) c ó cà'u t r ù c e ò a mpt

hàm

>-

nghla

vectd

hf

n

c h i é u né^u mÒi

khóng

gian

vectd

n

b

n h i è ' u t r è n IR v a t h ò a man d i # u k i ^ n t à m t h i i d n g d i a
mói b € B , t o h t ^ i
p

l à n c à n V v a V-dSTng c^u

(V) s a o c h o v 3 i mói x e V, h^n c h ^ xxK

x ^ h l à dl^ng e à u e ò a e à e k h ó n g g i a n
Càu

xa e ò a

(X',p',B')

phàn

vectd
LlX^

• b

vectd

l à e à u x^ phàn t h d

L : p " * ( b ) —> ( p ' ) ' * ( ^ ( b ) )

B-eàu

th8

là tuy^n

l à B-càu x^ L:

p h à n t h 3 h:Vx[R'*' —•
—»

D

vào

(X)

phàn

s a o cho han

eòa

ành

thd

vectd

eh^

tinh-

x^ v e c t d eòa phàn t h 8 v e c t d

(X',p',B')

Vdi

vectd-

(X,p,B)

{L.^p)

phiidng-

(X,p,B)

vào

phàn

th8

X —» X' s a o c h o h^.i c h e '

: X^ —9 X; t u y ^ n t i n h V b e B .
b

b

V3i khóng gian B cho trù8c, ky hi^u VB
trù có càc

v|lt là eàe phàn thd vectd trèn B,

- dùng d^ ehf
con

eàu

xa

ph^m
gii?a

- 12 -

chùng là càc B - eàu x^Già s ^ (X,p,B) là phàn th3 vectd va X^ là tàp con eòa khóng
gian X sao cho p(X ) = B v à ( X , p | X , B ) cung là phàn
o
o
' o
con phép nhùng X

th3

vectd

e X là B-càu xa vectd. Khi dò (X^,p|X^,B) dgl.

phàn thd vectd con eòa phàn thd vectd (X,p,B).
Metric Riemann trèn phàn th3 vectd (X^pjB) là ành xa
tye gs X e X — 9 \R sao cho Vb e B, ành

xa

glX^xX^
•

hù3ng t r è n
g(x,y)
trèn

t h S X . SO ||x|| = 4 g ( x , x )

t h i i d n g dMi$c t h a y

(X,p,B)

toh

Hàm t h i / e

tai

lièn

bang < x , y > -

metric

tye

dgl

N§ù

b

tich

vò

x

X,

o

ehuà'n
B

là

lièn

eòa

e

là

paracompact

thì

X dgl

chugTn t r è n

phàn

Riemann.

|| .

|| x à c d i n h

t h 3 v e c t d n ^ u h^n c h ^ eòa nò t r è n

trèn

X ^ ( b € B)
b

là

chu^n.

1,1.4, Djnh ly. [17]
Già su' (X,p,B) là phàn th8 vectd vdx day compact, at
là dòng phói, (L,©-) là d^ng eàu eòa phàn thd

(X,p,B)

B —9 B

vào

eàu nò trong ph^m trù VB, (9^,e) là cà'u x^ eòa phàn th6 trèn
chinh no trong ph^m trù Bun, hdn nùà pi

X —^ X

thòa

man

ki^n Lipschitz theo nghla 3 \ > Os ||^(x) - ??(y)|| < X||x - y||
x,y € X, p(x) = p ( Y ) . N^u Lip p < ||L'^||"* thì (L + p,ay
cà'u trong ph^m trù Bun va ta có càe bàt dà'ng thùe:

Lip [(L + ^) J
f

Lip l(L+^)

-1 -

L

< [||L''||-' - Lip (^)l-'
-lì
I <

IlL'Mr*- ^iP^^)

—
||L-^||-*- Lip(^)

là

d^ng
vào

diè\i
V
daTng

13 §2.

MÒ r p n g nhòm c à e p h é p bii^n d ò i -

Già si^ T l à nhóm t ó p ó . Tàc dpng o e ò a T t r è n T-khÓng g i a n X
d g l nhóm c à e phép b i ^ n d ò i va dtfdc ky b i ^ u l à

(X,T,cy)

Già s€f ( X , T , n ) va ( B , T , p ) l à h a i nhóm c à c
Anh x^ l i è n t y e p:X —9 B d g l . d ò n g e à u

va

ky

phép

biè^n

hi$u

bòi

dÒi-

p s ( X , T , n ) —» ( B , T , p ) n^u p ( n ( x , t ) ) = p ( p ( x ) , t ) , xeX, t e T.

N^u

thèm v à o dò p(X) = B t h ì

eòa

t a nói ràng

(X,T,n)

( B , T , p ) bang dòr/g eàu p hay p : ( X , T , n )
e ò a nhòm càc

—9

là

mÒ

(B,T,p)

rpng

là

mÒ r p n g

p h é p bié^n d ò i ( s a u này g p i t à ' t l à mÒ r p n g ) .

Già sCf ( X , p , B ) l à phàn t h S v e c t d ,

( X , T , n ) va ( B , T , p )

là

nhóm t ó p ó e à e phép b i ^ n d ò i , thèm v à o dò p : ( X , T , n ) —9

(B,T,p)

l à dóhg e à u . Ta g p i mÒ rpng ps ( X , T , n ) —9 ( B , T , p ) l à t u y ^ n
né^u Vb € B, t € T, à n h xa

ohx^

—9

• b

X

tuyén

tinh,

hai

tinh

Ò

day

t.
p <b>

n*^=njtxX.
M ò rpng (nói chung phi tuyé^n) (X,T,X)

—»

(B,T,p)

dgl

m ò rpng Lipschitzian n^u V t e T, eàu x^ X*^: X — 9 X eòa phàn th3
Riemann (X,p,B) thòa mah diéu ki^n Lipschitz va
sup Ì L Ì P

(XS:

|t|

< t^l

< 00

v3i

moi t

G i ^ sCf (X,T,\) va (X,T,)u) là hai mÒ rpng
(B,T,p), bào toàn nhàt càt khóng e eòa phàn
ttfe là X ^ © ^ ) - M N © ^ ^ ) = ^p\t.>'

^

^y

^^

(X,T,X) va (X,T,/j) là (t^,£^) - gàn nhau
n^u có :

Lipschitzian
thd

là

khóng gian tuy^n tinh X , e e B- Cho t > O,
e
o

>0-

vectd

vectd
^

theo

>

(X,p,B)

khóng
o,

eòa

ta

eòa
nói

o
nghla

Lipschitz

-

sup

G i ^ si^ P

|LÌP

va P
1

14

-

(X' - f/)z

| t | < t^J

l à càe ti/ dòng eàu c h i ^ u eòa

Kcr P
va P
X

2

= P
i

- P ) t h ò a man P

t

i

= X - Kcr P

1

2

(X,p,B)

( tCfc

2

l à c à c e à u xa t u y ^ n t i n h e ò a p h à n t h S v e c t d
s a o cho P

< ^^

2

vào c h i n h

+ P^ = 15P (X) = X
1

1

(X,p,B)

2

1

-

1,2),

L

= X . KhÒng h ^ n c h ^ t o n g q u à t ,

l à c à e phép e h i è u vuòng g ó c ,

(1 =

có t h ^ c o i

k h i d ò ||P^|| = ||P^|| = 1 .

nò

X^

P

1

va

s é l à h a i p h à n t h d v e c t d c o n e ò a X.

G i à sCf W l à p h à n t h d v e c t d c o n e ò a

(X,p,B)

va

h

>

O,

Ky

hi^us
C(W,h)

Do P

= |a

+ b,

va P
1

a e W, b j . W, pia)

= p{b),

||b|| <

h||a||l

là càe phép chi@^u vuóng góc nèn s
2

C(X^,h) = |M e X: IJP^J < h||P^ ) j |

C(X^,h) = | K e X: ||P^J < h||P^J|}

§3-

X — chu^n

trèn

G i à su' A l à khóng g i a n

khóng

Dinh

tuy^n

tinh

tuy^n t i n h n chi^u t r è n

phàn tù^ k h ó n g l à © v a A l à t à p Od^c

1-3.1.

gian

ii)

\{a

"^".

nghras

di^u ki^ns

Xtca)

trodng K v8i

s a p thCf t y b ò i q u a n h f

Anh xa X: A — • A dgl X-chu^n trèn A nèu nò

1)

[15]

^ X(a),

V e e K, a e A.

-^ a' } ^ max {:X(a),X(a')>, a,a'

^A.

thòa

man

hai

1,3.2,

Tinh chat

a)

Néfu e ?* O t h ì

b)

X(0) ^ X(a)

e)

X ( a +a + - - . + a
1

d)

eòa

X(ca) = X(a)
,V e e IR, a e A

2

) *^ max [ X ( a ) , X ( a ) , . ^ . , X ( a
m

1

X ( c a =c a + . . - + C
1 1

N^u X ( a
1

,a

) , X(a

,...,a

2

I,3,3•

Di nh

a

) =

)J
'n

> X(a ) V i = 1 , 2 ,

,m t h ì

X(a)

),...,

X(a

2
m

1

m m

1

vectd fa

-

X-chu^n.

N^u e ?^ O va X ( a )

tt)

IS

) d ó i mpt k h à c nhau

thì

h$

sÒ e ò a A diXitfc sa'p

x0'p

Tri

> dpc l à p tuyéTn t i n h .

nghra

G i à ^Ù a = ( a , a , . . . , a ) l à mpt có
1 2

n

t h e o thCf t i / t à n g dan e ò a X—chuSfn:

X(a ) = X(a ) = , . - =
1

(tCf n a y v ^ s a u ,

X(a

2

n

)

k h i n ó i e d s Ò , t a l u ó n h i # u l a e d E Ò da diidc sà'p

xfiTp t h ù t i / ) -

Cd SÒ n à y d g l .
a = ca
l

va e

-*-ca
i
1

2

+.

X - c d s Ò n^u V a e A b i ^ u d i ^ n dii(^c d i i 3 i dang
- . + c a

t
2

^ O thì

1,3.4.

v8i

l < i

l i .

< i
1

<-,.

<

i

2

<

n

j

j

t a d^u e ò X ( a ) = X ( a

Djnh

ly

).

( s i / t ò n t a i e ò a X-có

G i à SLf et = ( a - a , , . . , a

sÒ)
A-

Khi

dò tòn tai ma tran C eò d^ng tam giàe dùdi vdi càc phàn t^

trèn

1 2

) l à mpt e d s Ò b à t ky cùa

rt

dùdng ehéo bang 1 sao cho a'

= aC là X-cd sÒ cùa

A.

1.3.5. Djnh ly
Già si^ (a ,a ,. .. ,a ) là mpt \~có
1

2

( a ' , a ' , . - - a ' ) l à X - c d sÒ e ò a A k h i v a e h f
1

2

n

Vi=l,2,-.-,n«

sÒ eòa A, Khi

dò:

n

khi

X(a )

=

X(a' )
L

Ì

-

§4.

Càc

hàm B a i r e

1,4-1-

Djnh

va

16

tinh

tri

chSrt [ 4 ]

nghla

Cho X l à mpt k h ó n g g i a n
liry g i à

-

tópó.

f

l à hàm x à c d i n h t r è n

X,

t r o n g IR.

f dgl. hàm Baire l3p O n#u f lièn tye,
f dgl. hàm Baire 13p 1 néfu tòn
lièn tye trèn X sao cho

f(x) = lim

t^i

day

hàm

f (x)

Vx e X

Mpt càch tong quàt, f dgl. hàm Baire Idp k+1
day hàm

f «f ,
1

cho

f(x)

n'

= lim

Ky h i ^ u

Djnh

Già s ^ f
tai

défm dii<5c càc

§5,

1-5.1.
N^u
ps

U —9 E '

là hàm Baire 1 3 D k, Vi e IN

—>(R, t l à

l à hàm B a i r e

qua

b^

k >

tÓpÓ

k i é ' u G^ ( tcfc

là

X.
giao

tyc-

B ò dè^ [ 5 ]
A:E —» E '

l à d ^ n g e à u giijfa h a i

l à à n h x^ L i p s c h i t z

vdi

ành-

® E , E '

Hdn n i ? a , n ^ u E = E
1

E(ò)

sao

sung.

trong E thì

1

Idp

Idp t ù y y t r è n khóng g i a n

t à p C e X t r ù màt k h à p n S i ,

kèt

tai

ly

|A~*|~*) v 8 i U l à t à p l ò i

=> E ( ò )

hàm B a i r e

t à p mò t r o n g X) s a o c h o f JC l à hàm 1 i c n

Vài

tòn

V x e X .

n

H ( X ) = [ f s X

1.4.2.

néTu

V

f(x)

— ^ 00

n

Khi d ò t ò n

,f ,.. v3i f

2

f^,f^,..-,f^

e E (6)

2

sé kéo t h e o h(U)

2

l à h ì n h eàu ddn vi

L(^)

khóng g i a n Banaeh
<

=•

à n h xa

=E'

e E ' ,
1

h = A +
A^A'

2

=» E ' ( ò )

2

bàn k i n h ó t r o n g E va

:

(m(A)
p

là

eA'
1

® E'(ò),
1

m
thì

va
=
ddm
U

2

trong

dò:

"/^.tvr

- 17 «-^^

(m(A ) - 2 L(^)) ó.
ngoài ra, h~

,_.

i=l,2

là ành xa Lipschitz v3i L(h) < (m(A) - L(^))

1.5,2. Bò d g . [17]
Già ^ù

(X,d) là khóng gian metric d ò , A

là

tópó f :XxA — 9 X là ành x^ lièn tye sao cho Va e A,

khóng
f : X

gian
—9

X

a

xàc dinh bòi

f(x)=

Lipschitz. Già ^Ù

f(x5a),

x

e

X

thòa

man

3 X: O < X < 1 sao cho Lip(f ) < X

diè'u
Va

ki#n
e

A,

a

Khi dò, n^u ky hi^u x
X thi ành x^

là dié^m bàt dpng eòa ành xa co f : X

A 3 a (—» x

e X lièn tye.

a

s -

—»

-

18

CHUONG

II

VEC TO DAC TRUNB CUA MO RON6 TUYEN T I N H
,

VA CAC T I N H CHAT D I E N H I N H

§1,

Bò sung

I I . 1.1,

v#

Djnh

X-chu^n

nghla

Cd SÒ ( a ,a . . . . . a

) e ò a A d g l . có
n

1 2

sÒ X - c h u à ' n

t à c n^u mpi

-•

e d SÒ ( a ' , a ' , . . . , a ' ) b à ' t k y e ò a A , t a d ^ u c ó X ( a . ) ^ X ( a ' . )
1

2

n

V

i.

Vi=l,2,...,n

11,1.2.

BÒ d g

G i à sCf a -

(a,a , . . . , a

N^u a € A s a o c h o h $
tinh

) l à m p t có

[a,..-,a

,a

sÒ X-chu2fn tà'i:

,...,a

,a}

dpc

cùa

l§p

A,
tuyé^n

t h ì X ( a ) > X(a. ).
k
Ch£fng

minh-

Ky h i ^ u ó

•<ó
X

-<-,--<6
Z

l à t à t cà eàe g i à t r i

i X(a ) , i=l,2,.-.,n> va n

eòa t^p hdp

khàc

nhau

là sÒ càc phàn tÙ

trong

8

{a ,a ,---,a } có X-cbu^n ^ 6.- Khi dò, n^u X(a) -< X(a )

thì

ehf

có hai trùKng hdp:
a)ò

ì.

t+i

b) X(a) - <5.

v3i i nào dò thòa man n

t

Trong cà h a i triidng
oe' = ( a , . . . , a
1

< k
i

n.

hdp,

,a,a

l.

n. - 1

so sành càe v e c t d
,,....,a,

L

k-l

,a,

k+1

tiidng ùhg eòa ed sÒ

,,-.,a

n

) v a có

sÒ :

(a,,,*,a
,a
,a
,.,,«a.-a
....•a )
1
' n.
n. +1 ' n. +2 '
' k ' k+i '
' n
i

ta

t

\

thày X(a) < X ( a ^ ^ ^ ) , va càc vectd
i

X-chu^n khóng

l8n

h d n X - e h u I f n cùa

càc

con
vectd

l^i

eòa

tùdng

a'

tS^u

ùhg eòa a , a

có

-

II.l,3,Mfnh

19

-

de?.

M p t e d SÒ e ò a A l à X - c d s Ò k h i

va ehf

khi

nò l à

ed

sÒ

X—ehuà*n tà'e

Chiing

minh.

G i à s u ' ( a , a , . . - , a ) l à m p t X-có
1

m p t e d SÒ b à t

2

sÒ v a

(a' ,a: , - . , ,a' )

n

1 2