Chuyên đề hình 9.k2

Trang 1
* GÓC Ở TÂM − SỐ ĐO CUNG *
 Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn gọi là góc ở tâm.
Cung bên trong góc gọi là cung bị chắn.
 Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn.
 Trong một đường tròn :
o Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
o Hai cung không bằng nhau, cung nào có số đo lớn hơn thì
nó lớn hơn.
 C là một điểm nằm trên
»
AB
⇔
»
»
»
sd AB sd AC sdCB= +
.
 Trong một đường tròn :
o Hai cung bằng nhau nếu hai dây căng cũng bằng nhau và ngược lại.
o Hai cung không bằng nhau, cung nào lớn hơn thì dây căng cũng lớn hơn và ngược lại.
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) nội tiếp ∆ABC (
µ µ
µ
A B C> >
).
a) Gọi I, J, K lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (O) với các cạnh BC, CA, AB. So sánh
các góc ở tâm
·
IOJ
,

·
JOK
,
·
KOI
.
b) Chứng minh rằng với đỉnh A thì
·
µ
0
90
2
A
BOC = +
, tìm các hệ thức tương tự với đỉnh B,
C.
Bài giải Giải thích
a) Vì đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng BC
nên
OI BC
⊥
⇒
·
0
90OIC =
.
Xét ∆OIC có
0
90I =
$

⇒
·
·
0
90IOC OCI+ =
, tương
tự ta có
· ·
0
90JOC OCJ+ =
.
Từ đó ta có :
·
µ
0
180IOJ C= −
.
Tương tự :
·
µ
0
180JOK A= −
và
·
µ
0
180KOI B= −
.
Vì
µ µ

µ
A B C> >
nên
·
·
·
JOK KOI IOJ< <
.
b) Với đỉnh A :
∆IOC = ∆JOC (vì có
µ
0
90I J= =
$
,
OI OJ=
và
OC chung ) ⇒
·
·
1
2
IOC IOJ=
.
Tương tự
·
·
1
2
IOB KOI=

. mà
Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại
đầu mút của bán kính.
Trong một tam giác vuông hai góc nhọn
phụ nhau.
Tổng các góc trong của một tam giác
bằng
0
180
.
Hai tam giác vuông có một cạnh huyền và
một cạnh góc vuông bằng nhau thì chúng
bằng nhau.
Trang 2
·
·
·
( )
µ
µ
( )
0 0
1 1
180 180
2 2
BOC KOI IOJ B C= + = − + −
.
·
µ
µ

( )
(
)
µ
0
0 0
180
180 90
2
BOC B C A= − − + = −
.
Ví dụ 2 : Cho hai đường tròn đồng tâm O hai đường thẳng qua tâm O cắt hai đường tròn đó
tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q như hình vẽ.
a) Có nhận xét gì về số đo của các cung
»
AB
,
»
CD
,
¼
MN
,
»
PQ
.
b) Trong các cung
»
CD
,

¼
MN
,
»
PQ
có cung nào bằng cung
»
AB
?
Bài giải
Bài giải Giải thích
a)
·
·
AOB POQ=
và
·
·
COD MON=
.
⇒
»
AB
,
»
CD
,
¼
MN
,

»
PQ
có số đo bằng nhau.
b) Trong các cung
»
CD
,
¼
MN
,
»
PQ
có chỉ có
cung
»
PQ
bằng cung
»
AB
.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai góc bằng nhau thì hai dây căng tương ứng
bằng nhau.
Vì hai cung trên một đường tròn cùng chắn
hai góc bằng nhau thì bằng nhau.
Ví dụ 3 : Trên đường tròn (O) có cung AB bằng 140
0
; cung lớn AD nhận B làm điểm chính
giữa; cung lớn BC nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD, cung lớn CD.
Bài giải Giải thích

Ta có
»
0
140AB =
; gọi A’, B’ lần lượt là hai điểm đối xứng với hai
điểm A, B qua tâm O.
Thế thì
¼
¼
»
0 0 0 0
' ' 180 180 140 40sd AB sd A B sd AB= = − = − =
.
Vì B là điểm giữa của cung lớn AD nên B’ sẽ là điểm giữa của cung
nhỏ AD hay là
¼
¼
0
' ' 40sd AB sd B D= =
.
Vì A là điểm giữa của cung lớn BC nên A’ sẽ là điểm giữa của cung
nhỏ BC hay là
¼
¼
0
' ' 40sd A B sd A C= =
.
Cung nhỏ

»

¼
¼
»
¼
¼
( )
0 0
360 ' ' ' ' 60sdCD sd A C sd A B sd AB sd B A sd B D= − + + + + =
Cung chắn nửa đường
tròn bằng
0
180
.
Do tính chất đối xứng
của đường tròn.
Vì đường tròn là một
hình tự đối xứng với
tâm đối xứng chính là
tâm của đường tròn.
Trang 3
.
Khi đó cung lớn CD sẽ có số đo
0
300
.
Ví dụ 4 : Cho hình thoi ABCD cạnh a,
·
0
60BAD =
; AC và BD cắt nhau tại O.

1. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn tiếp xúc với cả 4 cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại
E, F, G, H. Tính bán kính R của đường tròn này theo a.
2. Tính số đo của các cung EH, EF, các góc EOH, EOF. Từ đó suy ra HF là đường kính của
đường tròn (O,R) và EFGH là hình chữ nhật.
3. AC cắt đường tròn (O,R) tại I, K. Chứng minh IEFKGH là lục giác đều.
4. Tính diện tích của ABFH theo a.
Bài giải Giải thích
1. Vì ABCD là hình thoi cạnh a nên giao điểm O
của hai đường chéo AC và DB sẽ cách đều bốn
cạnh AB, BC, CD, DA.
Vì
·
0
60BAD =
nên
ABD∆
là tam giác đều cạnh a
nên
3 3
2 2
AB a
AO = =
.
Vì
OE AB
⊥
nên
·
0
90AEO =

. Do ABCD là hình
thoi
· ·
0
0
1 60
30
2 2
BAO BAD= = =
suy ra
AOE
∆
là
nửa tam giác đều cạnh AO ⇒
1 3
2 4
a
R OE AO= = =
.
2.
¼
¼
µ
0 0 0 0
180 180 60 120sd EH sd EOH A= = − = − =

»
¼
µ
0 0 0 0

180 180 120 60sd EF sd EOF B= = − = − =
.
3. Vì
·
·
·
0
... 60IOE EOF FOK= = = =
nên các dây
EF, FK, KG, ... , IE bằng nhau hay EFKGHI là lục
giác đều.
4. Do ABCD là hình thoi nên
//AD BC
⇒
//AH FB
mặt khác
AH HF⊥
nên ABFH là hình
thang vuông.
( )
( )
2
.
.2 3
2 2 4
BF AH FH
a R a
dt ABFH
+
= = =

.
Hai đường chéo của hình thoi vuông góc
nên hai đường chéo chia hình thoi thành
4 tam giác vuông bằng nhau.
Tam giác cân có một góc bằng
0
60
...
Đường cao của tam giác đều
3
2
a
h =
.
Đường chéo hình thoi là đường phân giác
của góc tại đỉnh đó.
Đường cao của tam giác đều
3
2
a
h =
.
Các cung tương ứng bằng nhau thì các
dây căng các cung đó cũng bằng nhau.
Hình thoi ( hình bình hành ) có các cạnh
đối song song với nhau.
Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai
đáy nhân với đường cao.
Trang 4
Ví dụ 5 : Cho tam giác cân ABC, (

AB AC=
). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D. Vẽ đường
tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
a) So sánh các cung DB, BC và DC.
b) Từ O hạ OI, OH, OK lần lượt vuông góc với DC, DB, BC. So sánh các đoạn OI, OH, OK.
Bài giải Giải thích
a) Vì ∆ABC cân đỉnh A nên
·
0
90BAC ≤
⇒
·
0
90DBC ≥
.
Do B nằm trên cung nhỏ CD nên
»
»
»
DB BC DC+ =
⇒
»
»
BD DC<
và
»
»
BC DC<
.
nên

BD DC<
và
BC CD<
⇒
OI OH<
và
OI OK
<
.
b) Vì D nằm trên tia đối của tia BA nên :
Nếu
BD BC=
thì
»
»
BD BC=
và
OH OK=
.
Nếu
BD BC<
thì
»
»
BD BC<
và
OH OK>
.
Nếu
BD BC>

thì
»
»
BD BC>
và
OH OK<
.
Tính chất của tam giác cân : góc ở đỉnh không
quá
0
90
.
Do tổng không đổi.
Cung nào nhỏ hơn thì dây căng nó cũng nhỏ
hơn.
Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn; dây nào
nhỏ hơn thì xa tâm hơn.
Bài tập 1: Gọi MN là đường kính của đường tròn (O,R). AB, CD là hai dây vuông góc với
bán kính OM lần lượt tại I và K, (
OI OK<
) và tạo thành tứ giác lồi ABCD.
a) Chứng minh M là điểm giữa hai cung nhỏ AB, CD và
»
»
sd BC sd AD=
;
BC AD=
, ABCD
là hình thang cân.
b) Chứng minh cung nhỏ AB lớn hơn cung nhỏ CD.

c) So sánh
·
AND
và
·
BNC
;
·
AOC
và
·
BOD
.
d) Trường hợp
2
R
OI =
và
2
2
R
OK =
tính độ dài hai dây AB, CD theo R và các số đo các
góc AOB, COD. Chứng tỏ ∆NAB đều.
Hướng dẫn
a) Đường kính vuông góc dây cung AB, CD suy ra
»
»
BC AD=
.

b) OI < OK ⇔ AB > CD.
d)
3AB R=
,
2CD R=
,
·
0
120AOB =
,
·
0
90COD =
. Mặt khác ∆NAB cân và
·
0
60ANB =
.
Trang 5
* GÓC NỘI TIẾP – GÓC GIỮA TIẾP TUYẾN VÀ MỘT DÂY *
 Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh
chứa hai dây cung của đường tròn đó.
 Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
 Trong một đường tròn :
 Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
 Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng
chắn một cung thì bằng nhau.
 Các góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm
cùng chắn một cung.
 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

 Hai góc nội tiếp bằng nhau hoặc chúng cùng chắn một cung hoặc chúng chắn hai cung
bằng nhau.
Ví dụ 1 : Cho ∆ABC, vẽ hai đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau ở điểm thứ hai D.
a) Chứng minh rằng ba điểm B, C, D thẳng hàng.
b) Đường thẳng AC cắt đường tròn đường kính AB tại E và đường thẳng AB cắt đường tròn
đường kính AC tại F. Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.
Bài giải Giải thích
a) Do AB là đường kính nên
·
0
90ADB =
.
Do AC là đường kính nên
·
0
90ADC =
.
⇒
·
·
·
0
180BDC BDA ADC= + =
hay B, C, D
thẳng hàng.
b) Do AB là đường kính nên
·
0
90ABE =
⇒

BE AC
⊥
.
Tương tự
CF AB⊥
, mà
AD BC⊥
chứng
tỏ AD, BE, CF đồng quy.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng
0
90
.
Hai cạnh của một góc bẹt nằm trên một
đường thẳng.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng
0
90
.
Vì ba đường cao của tam giác đồng quy tại
một điểm.
Ví dụ 2 : Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Qua A kẻ cát tuyến
cắt các đường tròn (O), (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D. Tia BD cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai M. Các tia OB, BO’ lần lượt cắt đường tròn (O’) tại các điểm thứ hai N, P.
a) So sánh
·
ACB
,
·
'BOO

.
b) So sánh
·
CAM
,
·
PAN
.
Bài giải
Bài giải Giải thích
Trang 6
a)
·
»
·
·
1 1
'
2 2
sd ACB sd AB sd AOB sd BOO= = =
.
b) Tương tự ta có
·
·
'ADB BO O=
do đó :
·
¼
·
·

·
1
2
sdCAM sdCM sdCBM sd ACB sd ADB= = = +
·
·
·
·
»
·
1
' '
2
sdCAM sd BOO sd BO O sd PBN sd PN sd PAN= + = = =
.
Số đo của góc nội tiếp bằng
nửa số đo của cung tương
ứng.
Số đo của góc ở tâm bằng số
đo của cung tương ứng.
Ví dụ 3 : Cho ∆ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ), gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
và M là điểm chính giữa cung nhỏ AB, từ M vẽ dây cung MN // BC cắt AB, AC lần lượt tại
D, E, vẽ đường cao BH.
a) Chứng minh :
·
·
CAN BAM=
; ∆ECM và ∆EAN cân.
b) Chứng minh BCNM, AMCN là những hình thang cân.
c) Chứng minh các tam giác DAN, DMB đồng dạng với nhau, suy ra

. .DA DB DM DN
=
.
d) Biết
·
0
120BOC =
và
·
0
90BOA =
; tính các góc của ∆ABC và ∆AMN.
Bài giải Giải thích
a) MN // BC nên
»
»
MB NC=
⇒
·
·
CAN BAM=
.
Vì M là điểm giữa của
»
AB
nên
»
»
MB MA=
.

Vì
»
»
MB NC=
và
»
»
MB MA=

⇒
»
»
MA NC
=
⇒
·
·
ACM NMC=
hay ∆ECM cân đỉnh E, tương
tự ∆EAN cân đỉnh E.
b) Vì MN // BC nên
»
»
MB NC=
⇒
MB NC=
⇒ BCNM là hình thang cân. Vì
»
»
MA NC=

nên
MA NC
=
và MC // AN ⇒ AMCN là hình thang cân.
c) Vì
·
·
AND MBD=
( cùng chắn
»
MA
).

¶
¶
1 2
D D=
( đối đỉnh ) ⇒ ∆DAN ∝ ∆DMB.
Hai cung của một đường tròn
chắn giữa hai đường thẳng
song song thì bằng nhau.
Hai góc nội tiếp của một
đường tròn chắn hai cung
bằng nhau thì bằng nhau.
Hai góc nội tiếp cùng chắn
một cung thì bằng nhau.
Bài giải Giải thích