Bài tập đại số 11

Bài tập Toán khối 11
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hai cung đối nhau: -x và x
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
2. Hai cung bù nhau:
x
π
−
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π

π
π
− =
− = −
− = −
− = −
3. Hai cung phụ nhau:
2
x
π
−
và x
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
x x x x
x x x x
π π
π π
   
− = − =
 ÷  ÷
   
   
− = − =
 ÷  ÷
   
4. Hai cung hơn kém nhau Pi:
x

π
+
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
5. Các hằng đẳng thức lượng giác
2 2
2
2
1
. sin cos 1 . 1 tan
cos
1
. 1 cot . tan .cot 1
sin
a x x b x

x
c x d x x
x
+ = + =
+ = =
6. Công thức cộng lượng giác
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
x y x y x y
x y x y x y
x y x y y x
x y x y y x
− = +
+ = −
− = −
+ = +
7. Công thức nhân đôi
2 2 2 2
sin 2 2sin cos : sin 2sin cos
2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x
= =
= − = − = −
8. Công thức nhân ba:
3 3

sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = −
9. Công thức hạ bậc:
2 2
1 cos2 1 cos2
sin cos
2 2
x x
x x
− +
= =
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
= − + +
= − − +
= − + +
11 . Công thức biến đổi tổng thành tích

Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm
1
Bi tp Toỏn khi 11
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
+
+ =
+
=
+
+ =
+
=
A. CễNG THC BIN I
I/. GI TR LNG GIC
Bi 1: Cho

3 3
sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot .
5 2
p
a p a a a a
ổ ử
ữ
ỗ
=-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 2: Cho 5cosa + 4 = 0
( )
o o
180 < a < 270
.Tớnh sina , tana, cota.
Bi 3: Cho
o o o o
tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .= -
Bi 4: Tớnh
tan x cot x
A
tan x cot x
+
=
-
bit

1
sinx = .
3
Tớnh
2sin x 3cosx
B
3sin x 2cos x
+
=
-
bit tanx = -2
Tớnh
2 2
2
sin x 3sin x cosx 2cos x
C
1 4sin x
+ -
=
+
bit cotx = -3
Bi 5: Chng minh:
4 4 2 2 6 6 2 2
a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x

2 2 2 2 2 2
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx
Bi 6: Chng minh cỏc ng thc sau:

2 2

2 2 2
2 2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx
1+cosx
g/
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin y
i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx
tan x.tan y sin x.sin y
Bi 7: * Chng minh cỏc biu thc sau c lp i vi x:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 6 4 4 4 2 4 2
2
4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4

6 6
4 2 4 2
4 4
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x
sin x+cos x-1
E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= ;
sin x+cos x-1
4 4
6 6 4
2 2
sin x+3cos x-1
G=
sin x+cos x+3cos x-1
H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )
2
p
ộ ự
ờ ỳ
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
II/. GI TR LNG GIC CA CUNG C BIT
* Bit 1 HSLG khỏc:
Bi 1: Cho sinx = - 0,96 vi
3
x 2
2
p
p

ổ ử
ữ
ỗ
< <
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

a/ Tớnh cosx ; b/ Tớnh
( ) ( )
sin x , cos x , tan x , cot 3 x
2 2
p p
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ - + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Bi 2: Tớnh:
Giỏo Viờn: Nguyn Vn Bỡnh Http://ALoBe.8Tb.Net Http://VanBinh.Info.Tm
2
Bài tập Toán khối 11

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2cos sin tan
2 2
A 2cos ;
cot sin
2
3 3
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3
cos 2 tan
cos cot
2
p p
a a p a
a
p
a p a
p p p p
a b b a
b b b
p
p b p a
p a b
æ ö æ ö

÷ ÷
ç ç
- + -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
= -
æ ö
÷
ç
+ -
÷
ç
÷
ç
è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
+ + - +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
= - + -
æ ö
- -

÷
ç
- -
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 3: Đơn giản biểu thức:

( ) ( )
( )
( ) ( )
9 5
A sin 13 cos cot 12 tan ;
2 2
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2tan
2 2 2
p p
p a a p a a
p p p
p a a a a
p p p
p a a p a a a
æ ö æ ö
÷ ÷

ç ç
= + - - + - + -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= - + - - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= + + - - - + - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
÷
Bài 4: Đơn giản biểu thức:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

o o o o o
A sin a sin 2 a sin 3 a ... sin 100 a
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
p p p p= + + + + + + + +
= - - - + + + - + -
Bài 5: Đơn giản biểu thức:

( ) ( )
( )
( )
o o
o o o
19
tan x .cos 36 x .sin x 5
2sin 2550 cos 188
1
2
A B
9
tan368 2cos638 cos98
sin x .cos x 99
2
p
p p
p
p
æ ö
÷
ç
- - -

÷
ç
-
÷
ç
è ø
= = +
æ ö
+
÷
ç
- -
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 6: Chứng minh:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
2 2
a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0
85 3
b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1
2 2
p p
p p
- + - + =

æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ + + + + + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:

A B C
a /sin(A B) sinA; b/ cosA cos(B C) 0; c/sin cos ;
2 2
3A B C
d/ cosC cos(A B 2C) 0; e/sin A cos 0
2
+
+ = + + = =
+ +
+ + + = + =
III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
o o o o o
15 ,75 ,105 ,285 ,3045
Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
7 13 19 103 299
, , , ,
12 12 12 12 12
p p p p p

Bài 10:Tính
cos x
3
p
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
biết
12 3
sin x , ( < x < 2 )
13 2
p
p=-
Bài 11:Cho 2 góc nhọn
,a b
có
1 1
tan ,tan
2 3
a b= =
. a/ Tính
( )
tan a b+
b/ Tính

a b+
Bài 12:Cho 2 góc nhọn x và y thoả :
x y
4
tan x.tan y 3 2 2
p
ì
ï
ï
+ =
ï
í
ï
ï
= -
ï
î
a/ Tính
( )
tan x y ;tan x tan y+ +
b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm
3
Bài tập Toán khối 11
Bài 13:Tính
tan x
4
p
æ ö
÷

ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
biết
40
sin x
41
=-
và
3
< x <
2
p
p
Bài 14:Tính
tan
4
p
a
æ ö
÷
ç
+
÷
ç
÷

ç
è ø
theo
tana
. Áp dụng: Tính tg15
o
Bài 15: Tính:
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
o o
tan 25 tan 20 1 tan15
A sin 20 cos10 sin10 cos 20 B C
1 tan 25 .tan 20 1 tan15
3 tan 225 cot81 .cot 69
D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F
3
cot 261 tan 201
+ +
= + = =
- -
-
= - = + =
+
Bài 16:Tính:

3
a / A cos x cos x cos x cos x

3 4 6 4
2 2
b/ B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x
3 3 3 3
p p p p
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Bài 17:Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

2 2 2 2 2 2
2 2
A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3 3 3

p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + - = + + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Bài 18:Chứng minh:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
a / cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a
b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a
c/sin a b .cos a b sin a cosa sin bcosb
d /sin a sin a 2 sina
4 4
p p
+ - = - = -
+ - = - = -
+ - = +
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - =

÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh:

1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
A B B
6/ tan tan tan
2 2
p
= -
= -
æ ö
÷
ç
¹
÷
ç

÷
ç
è ø
+
C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
+ =
+ + =

( học thuộc kết quả )
Công thức biến đổi:
Bài 20:BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
( ) ( )
o o
2
a / sin .sin b / cos5x.cos3x c/ sin x 30 cos x 30
5 5
p p
+ -
( ) ( ) ( )
d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e /8cos x.sin 2x.sin 3x;
f / sin x .sin x .cos 2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a
6 6
p p
æ ö æ ö

÷ ÷
ç ç
+ - - - -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

Bài 21:BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm
4
Bài tập Toán khối 11

( ) ( ) ( )
a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x; c / sin5x sin x
d / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tana
+ - +
+ - - + + -
Bài 22:HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -
( )

2 2 2
2 2 2
4cosA.cosB.cosC
13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2

( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23:Chứng minh
ABCD
vuông nếu:

2 2 2
sin B sin C
a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2
cos B cos C
+
= = + + + =
+

Bài 24:Chứng minh
ABCD
cân nếu:
2
C sin B
a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2 tan B tan A.tan B; d / 2cosA
2 sin C
= + = + = =

Bài 25:Chứng minh
ABCD
đều nếu:
1 3
a / cosA.cosB.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cosA cos B cosC
8 2
= + + = + + + + =
Bài 26:Chứng minh
ABCD
cân hoặc vuông nếu:

( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+ -
= = =
+ -
Bài 27:Hãy nhận dạng
ABCD
biết:

2 2 2
sin A
a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C
cos B

+ + = + + = =
B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
A
B
có nghĩa khi B
0
≠
(A có nghĩa) ;
A
có nghĩa khi A
0
≥
2)
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤

3)
sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2
2 2
x x k k k
π π
π π π
= ⇔ = ⇔ + ⇔ − +
4)
os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2
2
c x x k c k c k
π
π π π π

= ⇔ = + ⇔ ⇔ +
5) Hàm số y = tanx xác định khi
2
x k
π
π
≠ +
Hàm số y = cotx xác định khi
x k
π
≠
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x
+
+
3) y = sin
4x +
4) y = cos
2
3 2x x− +
5) y =
2
os2xc
6) y =
2 sinx−
Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm

5
Bài tập Toán khối 11
7) y =
1 osx
1-sinx
c+
8) y = tan(x +
4
π
) 9) y = cot(2x -
)
3
π
10) y =
1 1
sinx 2 osxc
−
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin
2
(-x) =
[ ]
2
sin(-x)
= (-sinx)
2
= sin
2
x

Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ
D
; Kiểm tra
,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng

− = →


− = − →


− ≠ ± →

0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n,kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y =
1
2
tan
2
x 5) y = sin
x

+ x
2
6) y = cos
3x
III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 ÷
 
Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
+ π + π
 ÷
 
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng
( )
2 ; 2k k−π + π π
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2 ; 2k kπ π + π

Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
;
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 ÷
 
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
;k kπ π + π
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên
;
6 3
π π
 
−
 ÷
 
2) y = cosx trên khoảng
2 3
;
3 2
π π
 
 ÷
 
3) y = cotx trên khoảng

3
;
4 2
π π
 
− −
 ÷
 
4) y = cosx trên đoạn
13 29
;
3 6
π π
 
 
 
5) y = tanx trên đoạn
121 239
;
3 6
π π
 
−
 
 
6) y = sin2x trên đoạn
3
;
4 4
π π

 
−
 
 

7) y = tan3x trên khoảng
;
12 6
π π
 
−
 ÷
 
8) y =sin(x +
3
π
) trên đoạn
4 2
;
3 3
π π
 
−
 
 
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số
Hàm số

Khoảng
3

;
2
π
 
π
 ÷
 
;
3 3
π π
 
−
 ÷
 
23 25
;
4 4
π π
 
 ÷
 
362 481
;
3 4
π π
 
− −
 ÷
 
y = sinx

y = cosx
y = tanx
y = cotx
Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm
6
Bài tập Tốn khối 11
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K
⇒
y = A.f(x) +B
®ång biÕn trªn K nÕu A > 0
nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0



Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn
[ ]
;−π π
2) y = -2cos
2
3
x
π
 
+
 ÷
 
trên đoạn
2
;

3 3
π π
 
−
 
 
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý :
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤
; 0
≤
sin
2
x
≤
1 ; A
2
+ B
≥
B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x-
2
π
) + 3 2) y = 3 –
1
2
cos2x 3) y = -1 -
2
os (2x + )

3
c
π
4) y =
2
1 os(4x )c+
- 2 5) y =
2 sinx 3+
6) y = 5cos
4
x
π
+
7) y =
2
sin 4sinx + 3x −
8) y =
2
4 3 os 3 1c x− +
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b

b
m f x f b f x f a= =
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f a f x f b= =
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên đoạn
;
2 3
π π
 
− −
 
 
2) y = cosx trên đoạn
;
2 2
π π
 
−
 

 
3) y = sinx trên đoạn
;0
2
π
 
−
 
 
4) y = cos
π
x trên đoạn
1 3
;
4 2
 
 
 
C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
sin u = sin v ⇔



+−=
+=
ππ
π
2

2
kvu
kvu
( k ∈ Z )
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π ,sinx = -1 ⇔ x = -
2
π
+ k2π
cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a
2
+ b
2
≠ 0
Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔
)cos(.
22
ϕ
−+

xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
asinx +bcosx = c ⇔
)sin(.
22
ϕ
++
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm
7
Bài tập Tốn khối 11
Cách 2 :
Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z
Với x ≠ π + kπ đặt t = tan

2
x
ta được phương trình bậc hai theo t :
(c + b)t
2
– 2at + c – a = 0
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a
2
+ b
2
- c
2
≥ 0 .
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1.
2sincos3
=−
xx
, 2.
1sin3cos
−=−
xx
3.
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
, 4.
4
1
)

4
(cossin
44
=++
π
xx
5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx
−=−
, 6.
tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x
− = +

7.
3(1 cos2 )
cos
2sin
x
x
x
−
=
8.
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1. 2cos
2
x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin
4
x + cos
4
x) = 2sin2x – 1
5. sin
4
2x + cos
4
2x = 1 – 2sin4x 6.
x
x
2
cos
3
4
cos
=
7.
2
3
3 2tan
cos

x
x
= +
8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9.
2
6sin 3 cos12 4x x+ = 10.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = 0 .
Cách 1 :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
• Xét
cos 0x
≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx.
Cách 2: Thay sin
2
x =
2
1
(1 – cos 2x ), cos
2

x =
2
1
(1+ cos 2x) ,
sinxcosx =
2
1
sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi
đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =
2
π
+ kπ ,k∈Z.
Bài tập :
1. 2sin
2
x – 5sinx.cosx – cos
2
x = - 2
2. 3sin
2
x + 8sinxcosx + ( 8
3
- 9)cos
2
x = 0
3. 4sin
2
x +3
3

sin2x – 2cos
2
x = 4
4. 6sinx – 2cos
3
x = 5sin2x.cosx.
5.
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
6/ Phương trình dạng : a( cosx
±
sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm
8
Bài tập Tốn khối 11
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
−
t
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx - sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
t
−
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos
2
x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 =
xcos
3
, 6/ 4sin
4
+12cos
2

x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx
2/
x
x
2
cos
3
4
cos
=
ĐS : x = k3π , x= ±
4
π
+k3π , x = ±
4
5
π

+k3π
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos

2
(
−
4
π

2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x
= 1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -
4
π
+ k π
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
xcos
1
ĐS : x = k2π , x = ±
3
π
+k2π
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1

7/ 2cos

2
2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x

10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x


12/ tan
3
( x -
4
π
) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π
+

kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4
π
+ kπ
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin
2
x + 2sin 2x –3 +7cos
2
x = 0 .
2/ cos
3
x – sin
3
x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm
9
Bài tập Tốn khối 11
4/ sin
3
x + cos
3
x = 2( sin

5
x + cos
5
x ) ĐS : x=
4
π
+
2
π
k

5/ sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx ĐS : x =
4
π
+kπ
6/ 3cos
4
x – sin
2
2x + sin
4
x = 0 ĐS :x = ±
3

π
+ kπ v x=
4
π
+
2
π
k

7/ 3sin
4
x +5cos
4
x – 3 = 0 .
8/ 6sinx – 2cos
3
x = 5sin 2x cosx
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG .
Giải các phương trình sau :
1/ cos
3
x + sin
3
x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin
3
x + cos
3

x =
2
3
sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 =
0
5/ sin
3
x – cos
3
x = 1 + sinxcosx 6/
3
10
cossin
sin
1
cos
1
=+++
xx
xx

7/ tanx + tan
2
x + tan
3
x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6

8/
x
2
sin
2
+ 2tan
2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin 2x 10/ cos
3
x – sin
3
x = - 1
11/ 2cos 2x + sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2( sinx + cosx ).


IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC .
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2
3/ sin
2
x + sin

2
3x – 3cos
2
2x = 0 4/ cos3x cos
3
x – sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1

5/ sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4

x 8/ sin
4
x + cos
4
x – cos
2
x = 1 – 2sin
2
x cos
2
x
9/ 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin
3
x. 10/
x
x
xx
sin
cos1
sincos
=
−
+

11/ sin
2
)
42

(
π
−
x
tan
2
x – cos
2
2
x
= 0 12/ cotx – tanx + 4sinx =
xsin
1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
15/
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x
x

xx
x
16/ sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =
19/ tanx +cosx – cos
2
x = sinx (1+tanx.tan
2
x
)
20/ cotx – 1 =

2
cos2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
+ −
+
21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =
D. TỔ HP
Tóm tắt giáo khoa
Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm
10