Dạng toán tách một phân số thành tổng hai phân số có tử số là 1

D ng toán tách m t phân s thành t ng hai phân s có t s là 1ạ ộ ố ổ ố ử ố
ây là m t m o r t hay khi mu n vi t m t phân s b t k (a,b là s t nhiên và 0 < a < b) d i d ng t ng cácĐ ộ ẹ ấ ố ế ộ ố ấ ỳ ố ự ướ ạ ổ
phân s có t s là 1, m u s khác nhau. M o này tôi c ng ã ti t l cho h c sinh c a mình. Song có nh ng ố ử ố ẫ ố ẹ ũ đ ế ộ ọ ủ ữ
bài không c n gi i theo m o y mà có cách gi i nhanh h n nhi u y. Chúng ta cùng bàn bài toán sau: ầ ả ẹ ấ ả ơ ề đấ ở
Bài toán1 :
Hãy vi t phân s sau d i d ng t ng các phân s có t s là 1, m u s khác nhau. ế ố ướ ạ ổ ố ử ố ẫ ố
a) 13/35 ; b) 5/12 ; c) 6/35
Bài gi i:ả
a) 13/35 = (5 + 7 + 1)/35 = 5/35 + 7/35 + 1/35 =
= 1/7 + 1/5 + 1/35
b) 5/12 = (4 + 1)/12 = 4/12 + 1/12 = 1/3 + 1/12
c) 6/35 = (5 + 1)/35 = 5/35 + 1/35 = 1/7 + 1/35
* L i bànờ : T i sao ta l i tách:13=5+7+1; 5=4+1; 6=5+1 mà không tách thành t ng các s khác? Xu tạ ạ ổ ố ấ
phát t tính ch t phân s : Khi nhân (ho c chia) c t và m u cho m t s t nhiên khác 0 ta c ừ ấ ố ặ ả ử ẫ ộ ố ự đượ
phân s có giá tr b ng phân s ã cho nên c n tách t thành t ng các s là c c a m u. ố ị ằ ốđ ầ ử ổ ố ướ ủ ẫ
Bài toán 2 :
Vi t phân s 5/12 thành t ng các phân s có t s là 1, m u s khác nhau. ế ố ổ ố ử ố ẫ ố
* L i bàn:ờ Phân s ã cho có t s là 1 v y nó là t ng c a các phân s nào có t là 1, m u s khác ốđ ử ố ậ ổ ủ ố ử ẫ ố
nhau?
Trên c s phép gi n phân: ơ ở ả
1/[a x (a +1)] = 1/a - 1/(a + 1) suy ra 1/a = 1/(a + 1) + 1/[a x (a + 1)]
V y: 1/3 = 1/(3 + 1) + 1/[3 x (3 + 1)] = 1/4 + 1/12 ậ
Nh v y n u phân s ã cho có t s khác 1 và m u s là s nguyên t thì m i nên dùng “m o” như ậ ế ốđ ử ố ẫ ố ố ố ớ ẹ ư
b n ã nêu. Làm m t ... bi t m i. Nh ng bi t m i v n ch a . Có ph i không các b n? ạ đ ộ ế ườ ư ế ườ ẫ ư đủ ả ạ

Tuy nhiên, cho n m t hôm, tôi c ng ã “ti t l ” m o này cho h c sinh c a mình, nh ngđế ộ ũ đ ế ộ ẹ ọ ủ ư khi tôi cho
bài toán:
Tách phân s 3/10 thành t ng 2 phân s có t s là 1 và m u s khác nhau, có bao nhiêu cách tách ố ổ ố ử ố ẫ ố
nh th ? ư ế
Ch a kp nói gì thì m t trò “c ng” c a tôi ã nhanh tay tách: ư ị ộ ư ủ đ
3/10 = (2 + 1)/10 = 2/10 + 1/10 + 1/5 + 1/10 (nh nh n xét 10 ch có 2 c s có t ng b ng 3 là 1 và ờ ậ ỉ ướ ố ổ ằ

2). Do ó ch có 1 cách tách duy nh t (?) M t h c sinh khác sau khi mày mò r t rè th a: Th a cô! đ ỉ ấ ộ ọ ụ ư ư
Hình nh còn 2 phân s 1/4 và 1/20 khi c ng l i v n b ng 3/10 y ! V y th c t có bao nhiêu cáchư ố ộ ạ ẫ ằ đấ ạ ậ ự ế
tách phân s 3/10 thành t ng c a 2 phân s có t s là 1, m u s khác nhau? Các b n có th th y ố ổ ủ ố ử ố ẫ ố ạ ể ấ
qua cách l p lu n d i ây.ậ ậ ướ đ
Gi s : 3/10 = 1/x + 1/y (v i x y và x, y khác 0) ≠ả ử ớ
Do x y và bình ng nên ta gi s x < y thì 1/x > 1/y . Ta có: 1/x < 3/10 ≠ đẳ ả ử
M t khác theo tính ch t c a trung bình c ng ta có: ặ ấ ủ ộ
( 1/x + 1/y) : 2 < 1/x
nên 3/10 : 2 < 1/x , 3/20 < 1/x < 3/10
V y: 3/20 < 3/(3.x) < 3/10 . Ta có: ậ
3.x = 12, 15, 18 suy ra x = 4, 5, 6.
Th các giá tr c a x thì ch có x = 4, x = 5 th a mãn. ử ị ủ ỉ ỏ
V y bài toán ch úng hai cách tách nh trên. ậ ỉ đ ư
L i bàn: ờ Nh v y cách làm nh TTT 16 ch áp d ng c khi tách m t phân s a/b thành t ng hai ư ậ ư ỉ ụ đượ ộ ố ổ
phân s có t s là 1 và m u s không l n h n m u s c a phân s ban u. úng là h c m t ... ố ử ố ẫ ố ớ ơ ẫ ố ủ ố đầ Đ ọ ộ
bi t m i. Nh ng bi t m i qu th c v n ch a ... ph i không các b n?ế ườ ư ế ườ ả ự ẫ ư đủ ả ạ