TỔNG HỢP CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM ẠẠO HÀM CẦN NHỚ

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

/> /> /> />( )
( )
/> />FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN.
CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Đạo hàm của hàm số sơ cấp
( k ) ' = 0 (k là hằng số)

Đạo hàm của hàm hợp u = u(x)
( kx ) ' = k (k là hằng số)

( x a ) ' = a.x a – 1

(u a ) ' = a.u a – 1.u '
'

'

u'
1
  =−
2 u
u
'
u'
u =
2 u
( sinu ) ' = u '.cos u

1
1
 =− 2
x
 x
'
1
x =−
2 x
( sinx ) ' = cosx

( cosu ) '

( cosx ) ' = –sinx

1
= tan 2 x + 1
2
cos x
1'
( cot x ) ' = − 2 = − ( cot 2 x + 1)
sin x
( ex ) ' = ex

( tan x ) ' =

= – u ' sin u

u'

= u ' ( tan 2 u + 1)
2
cos u
u'
( cot u ) ' = − 2 = −u ' ( cot 2 u + 1)
sin u
( eu ) ' = u '.eu

( tan u ) ' =

/>( )
( )
/> /> />a x ' = a x .lna (a là hằng số)

a u ' = u’a u .lna (a là hằng số)

1
x
1
( log a | x |) ' =
x.ln a

u'
u
u'
( log a | u |) ' =
u.ln a

( ln | x |) ' =

1. (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’

( ln | u |) ' =

Tính chất của đạo hàm
2. (ku)’ = ku’ (k là hằng số)

1
 u  u ' v − uv'  1 
4.   =
;   =− 2
2
v
v
v
v
'

3. (u.v)’ = u’v + uv’

'

/> /> /> /> /> />∫
∫
∗ Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :
ax 2 + bx + c
(ab'−a' b) x 2 + 2(ac'− a' c) x + (bc'−b' c)
Dạng : y =
⇒
y’

=
a ' x 2 + b' x + c '
( a ' x 2 + b' x + c ' ) 2

ax 2 + bx + c
ad .x 2 + 2ae.x + (be − dc)
⇒ y’ =
dx + e
(dx + e) 2
ax + b
ad − cb
⇒ y’ =
Dạng : y =
cx + d
(cx + d ) 2

Dạng : y =

NGUYÊN HÀM

Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản

u là hàm số theo biến x,
tức là u = u ( x)
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
1. dx = x + C
du = u + C

2. ∫ k .dx = k .x + C , k là

*Trường hợp đặc biệt

u = ax + b, a ≠ 0

∫ k.du = k.u + C

hằng số
1

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
x α+1
1 (ax + b)α +1
uα +1
α
α
3. ∫ x α dx =
+ C, α ≠ −1
∫ (ax + b) .dx = a . α + 1 + C
∫ u du = α + 1 + C
α +1

/>∫
∫
∫
/> />∫
∫

∫
/>∫
∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
6.

1
1
dx = ln ax + b + C
(ax + b)
a

1
du = ln u + C
u
1
1
∫ 2 dx = − + C
u
u

1
dx = ln x + C
x
1
1

dx = − + C
5. ∫
x
x2

4.

1
dx = 2 x + C
x

1
du = 2 u + C
u

1
1
du = .2 ax + b + C
a
ax + b

*Nguyên hàm của hàm số mũ
7. e x dx = e x + C
eu du = eu + C

8. e− x dx = −e− x + C

9.

∫a

x dx =

ax

ln a

+ C, 0 < a ≠ 1

1
eax+b dx = eax+b + C
a

e−u du = −e−u + C
au
au du =
+C
ln a

a mx+n dx =

*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
10. ∫ cos x.dx = sin x + C
∫ cos u.du = sin u + C

1 a mx+n
.
+ C, m ≠ 0
m ln a

/>∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>1

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

11. sin x.dx = − cos x + C

sin u.du = − cos u + C

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

12.

1
dx = tan x + C
2
cos x

1
du = tan u + C
2
cos u

∫

1
dx = tan(ax + b) + C
a
cos2 (ax + b)

13.

1
dx = − cot x + C
sin 2 x

1
du = − cot u + C
sin 2 u

∫

1
1
dx = − cot g (ax + b) + C
2
a
sin (ax + b)

1

1

Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt

*Trường hợp đặc biệt u = ax + b
1. ∫ cos kx.dx =

1

sin kx + C

Ví dụ

1

∫ cos 2 x.dx = 2 sin 2 x + C , (k = 2)

/>∫
∫
/>∫
∫
∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
k

1

2. sin kx.dx = − cos kx + C
k
1
3. ekx dx = ekx + C
k

1
sin 2 x.dx = − cos 2 x + C
2
1
e2 x dx = e2 x + C
2

1 (ax + b)α +1
4. (ax + b)α .dx = .
+C
α +1
a

1 (2 x + 1) 2+1
1
(2 x + 1) .dx = .
+ C = .(2 x + 1)3 + C

1
1
dx = ln ax + b + C
(ax + b)
a

1
1
du = .2 ax + b + C
6.
a
ax + b
1
7. eax+b dx = eax+b + C
a
1 a mx+n
+ C, m ≠ 0
8. a mx+ n du = .
m ln a

1
1
dx = ln 3x − 1 + C
3x − 1
3
1
1
2
du = .2 3x + 5 + C =
3x + 5 + C
3
3
3x + 5
1
e2 x+1dx = e2 x+1 + C

5.

2

2

2 +1

6

2

1 52 x+1
52 x+1dx = .
+C
2 ln 5

2

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

/>∫
∫
∫
∫

/>∫
∫
/>∫
∫
/> /> />1
cos(2 x + 1)dx = sin(2 x + 1) + C

1
sin(ax + b) + C
a
1
10. sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C
a
1
1
dx = tan(ax + b) + C
11.
a
cos2 (ax + b)

9. cos(ax + b)dx =

12.

2

1
sin(3x − 1)dx = − cos(3x − 1) + C
3

1

1
dx = tan(2 x + 1) + C

2
cos2 (2 x + 1)
1
1
dx = − cot(3x + 1) + C
2
3
sin (3x + 1)

1
1
dx = − cot(ax + b) + C
2
a
sin (ax + b)

*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính
bằng phương pháp đổi biến số đặt u = ax + b ⇒ du = .?.dx ⇒ dx = .?.du

HÀNG LOẠT DẠNG ĐẶC BIỆT CÁC EM NHỚ ĐƯỢC THÌ TUYỆT VỜI ÔNG MẶT
TRỜI
du
u α+1
1. ∫ udv = uv − ∫ vdu
α

3. ∫
= ln u + C
2. ∫ u du =
+ C , α ≠ −1
u
α +1

4. ∫ e u du = e u + C

6. ∫ sin udu = − cos u + C

/>∫
∫
/>∫
∫
∫
/>)
(
∫
∫
/>∫
∫
au
+C
ln a
8. ∫ tan udu = ln cos u + C

5. ∫ a u du =

7. cos udu = sin u + C

du

10.

a −u
2

2

= arcsin

u
+C
a

11.

du
1
u−a
= ln
+C
2
2
u −a
2a u + a

13.

du

1
u
= arctan + C
2
a +u
a
a

du

17. ∫

14.

du
1
u+a
= ln
+C
2
a −u
2a u − a
2

u
a2
u 2 + a 2 + ln u + u 2 + a 2 + C
2
2
16.

u 2 + a 2 du =

)

(

12.

2

u 2 + a 2 du
a + u2 + a2
2
2
= u + a − a ln
+C
u
u

15.

9. cot udu = − ln cos u + C

= ln u + u 2 + a 2 + C

u 2 + a 2 du
u2 + a2
=−
+ a ln a + u 2 + a 2 + C

2
u
u
du

1
= − ln
2
2
a
u u +a

u2 + a2 + a
+C
u

/>)
(
∫
∫
/>∫
∫
(
)
/>∫
(
)
∫
/>∫
∫

/>∫
∫
/>u +a
2

2

18. ∫

u 2 du

u
a2
2
2
=
u + a − ln u + u 2 + a 2 + C
2
2
2
2
u +a
du
u
=
+C
3
2
2
2

2
2
a
u
+
a
u +a

19.

21.

23.

u 2 a 2 − u 2 du =

25.

u
2u 2 − a 2
8

a2 − u2 +

4

a
u
arcsin + C
8

a

1 a + a2 − u2
= − ln
+C
a
u
u a2 − u2
du

20.

22.

24.

28.

29.

u2 − a2
− u2 − a2
du
=
+ ln u + u 2 − a 2 + C
u2
u

30. ∫

∫

=−

u2 + a2
+C
a 2u

a 2 − u 2 du =

u 2
a2
u
a − u 2 + arcsin + C
2
2
a

u 2 du

u 2
a2
u
a − u 2 + arcsin + C
2
2
a

a2 − u2

=−

du

u

27.

2

u2 u2 + a2

26.

u
a2
2
2
u − a du =
u − a − ln u + u 2 − a 2 + C
2
2
2

du

a −u

2

2

2

=−

1
a2 − u2 + C
2
a u

u2 − a2
a
du = u 2 − a 2 − a cos + C
u
u

du

u −a
2

2

= ln u + u 2 − a 2 + C
3

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

/>∫
∫
(
)
∫
∫
/>(
)
∫
/>∫
∫
/>∫
/>∫
∫
/>∫
∫
31.

32.

u 2 du

u
a2
u 2 − a 2 + ln y + u 2 − a 2 + C
2
2

=

u2 − a2
du

u2 − a2

u2 − a2

=−

u

a2 u2 − a2

+C

34.
u 2 du
1
2
= 3 ( a + bu ) − 4a ( a + bu ) + 2a 2 ln a + bu  + C


a + bu 2b
du
1 b
a + bu
= − + 2 ln

+C
36. 2
u ( a + bu )
au a
u

38.

du

u ( a + bu )

2

=

40. u a + budu =

1
1
a + bu
− 2 ln
+C
a ( a + bu ) a
u
2
( bu − 2a )
15b 2

( a + bu )

3

31.

u 2 du
2
=
8a 2 + 3b 2 u 2 − 4abu ) a + bu + C
3 (
15b
a + bu
1
44. ∫ cos 2 udu = ( u + sin 2u ) + C
2
2
46. ∫ cot udu = − cot u − u + C

42. ∫

=

u2 − a2
+C
a 2u

u2 u2 − a2
udu
1
= 2 a + bu − a ln a + bu + C

33.
a + bu b
35.

37.

du
1 a + bu
= ln
+C
a ( a + bu ) a
u

udu

( a + bu )

2

=

a
1
+ 2 ln a + bu + C
b ( a + bu ) b
2


1
a2

a
+
bu
−
− 2a ln a + bu 
2
3 
a + bu
( a + bu ) b 

udu
2
41.
= 2 ( bu − 2a ) a + bu + C
a + bu 3b
1
43. ∫ sin 2 udu = ( u − sin 2u ) + C
2

39.

+C

du

u 2 du

=

∫

/>(
)
∫
/>(
)
∫
∫
/>∫
∫
∫
/>∫
∫
∫
∫
45. tan 2 udu = tan u − u + C

47. sin 3 udu = −

1
2 + sin 2 u cos u + C
3

1
tan 2 u + ln cos u + C
2
1
n −1
sin n − 2 udu
51. sin n udu = − sin n −1 u cos u +
n

n
1
53. tan n udu =
tan n −1 u − tan n − 2 udu
n −1

1
2 + cos 2 u sin u + C
3
1
50. cot 3 udu = − cot 2 u − ln sin u + C
2
1
n −1
52. cos n udu = cos n −1 u.sin u +
cos n − 2 udu
n
n
Cụ thể với n lẻ thì tách, còn n chẵn thì hạ bậc
−1
54. ∫ cot n udu =
cot n −1 u − ∫ cot n − 2 udu
n −1

49. tan 3 udu =

48. cos3 udu =

55. ∫ sin au.sin budu =

sin ( a − b ) u

−

sin ( a = b ) u

+C

/>∫
∫
/>∫
∫
∫
∫
∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>)
(
)
∫ (
)
(
)
∫ (
/>∫
56. sin au.cos budu = −

cos ( a − b ) u
2(a − b)

−

cos ( a + b ) u
2 (a + b)

+C

60. u n cos udu = u n sin u − n u n −1 sin udu

62. sin au.e

64.

u

2
1
ln ( au ) ) + C
(
2

66. ln u 2 + a 2 du = u ln u 2 + a 2 + 2a.arctan

68.

bx

a.sin ax + b.cos ax ) ebx
(
dx =
+C

a 2 + b2
63. ln ( au ) du = u ln ( au ) − u + C

a 2 + b2

=

57. u sin udu = sin u − u cos u + C

61. cos ax.e

b sin au − a cos au ) ebu
(
du =
+C

ln ( au ) du

2(a − b)

59. u n sin udu = − u n cos u + n u n −1 cos udu + C

58. u cos udu = cos u + u sin u + C

bu

2(a − b)

u
− 2u + C
a

b

65. ln ( au + b ) du =  u +  ln ( au + b ) − u + C, a ≠ 0
a

67.
u+a
ln u 2 − a 2 du = u ln u 2 − a 2 + a.ln
− 2u + C
u −a
1
69. eau du = eau + C
a

4

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

/>∫
∫
∫
/>∫
∫
∫
/> /> />∫
∫
/>u ln ( au + b ) du =

bu 1 2 1  2 b 2 
− u +  u − 2  ln ( au + b ) + C
2a 4
2
a 

70. ueu du = ( u − 1) e u + C

72. u n .eau du =

u 1 
71. u.eau du =  − 2  eau + C
a a 
2
2
1
73. u.e − au du = − e − au + C
2a

u n eau n n −1 au

− u .e du + C
a
a

I - PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

A. Phương pháp biến đổi số thuận t = v ( x )
b

Tính tích phân I =

b

f ( x ) dx = g ( v ( x ) )v ' ( x ) dx

a

a

Bước 1: Đặt t = v ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục và đổi cận

Bước 2: Biểu thị f ( x ) dx theo t và dt: f ( x ) dx = g ( t ) dt

/>∫
/>∫
∫
∫
/>( )
/>Bước 3: Tính I =

v( b )

v( a )

g ( t ) dt

Nếu phân tích được như trên ta áp dụng trực tiếp
b

I=

b

b

f ( x ) dx = g ( v ( x ) )v ( x ) dx = g ( v ( x ) )d (v ( x ))
'

a

a

a

B. Phương pháp biến đổi số nghịch x = u ( t )

Bước 1: Đặt x = u ( t ) , t ∈ [α ; β ] sao cho u ( t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α ; β ] , f u ( t ) được

xác định trên đoạn [α ; β ] và u (α ) = a; u ( β ) = b

Bước 2: Biểu thị f ( x ) dx theo t và dt: f ( x ) dx = g ( t ) dt
β

Bước 3: Tính I = ∫ g ( t ) dt

/> />∫
∫
/>∫ ( )
/> />∫
/>∫
α

C. Phương pháp biến đổi số u ( x ) = g ( x, t )

Dạng 1: I =

β

α

Dạng 2: I =

β

α

Dạng 3: I =

1
1

f ( ln x ) dx đặt u = ln x ⇒ du = dx
x
x

1
1
1
f ln ( ln x ) 
dx đặt u = ln x ⇒ du = dx hoặc u = ln ( ln x ) ⇒ du =
dx
x ln x
x ln x
x

β

f e x e x dx đặt u = e x ⇒ du = e x dx

α

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng

Dạng 4: I =

β

α

b

Dạng 5: I =

a.e x + b ta có thể giải theo hướng đặt t = a.e x + b

f [ cos x ] .sin x dx đặt u = cos x ⇒ du = − sin dx

f [sin x ] .cos xdx đặt u = sin x ⇒ du = cos xdx

a

5

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
a.sin 2 x + b.sinx
Để tính tích phân dạng ∫
dx ta đổi biến bằng cách đặt t = c + d .cosx
c + d .cosx
b
 sin 2 x 
sin 2 x
 du = sin 2 xdx
Dạng 6: I = ∫ f   2  sin 2 xdx đặt u =  2 ⇒ 
 cos x 
a
cos x  −du = sin 2 xdx

/> />∫
/>(
)
∫
/>∫
/>(
)
/>∫
Dạng 7: I =

β

1
1
f  tan ( ax + b ) 
dx đặt u = tan ( ax + b ) ⇒ du =
dx
2
2
cos ( ax + b )
cos ( ax + b )

α

Hoặc: I =

β

α

Dạng 8: I =

1
f  tan ( ax + b )  1 + tan 2 ( ax + b ) dx đặt u = tan ( ax + b ) ⇒ du =
dx
2
cos ( ax + b )
β

1
1
dx
f cot ( ax + b )  2
dx đặt u = cot ( ax + b ) ⇒ du = − 2
sin ( ax + b )
sin ( ax + b )

α

Hoặc: I =

β

α

1
dx
f cot ( ax + b )  1 + cot 2 ( ax + b ) dx đặt u = cot ( ax + b ) ⇒ du = − 2
sin ( ax + b )

β

Dạng 9: I = ∫ f ( sin x + cos x )( sin x − cos x ) dx đặt u = sin x + cos x ⇒ du = − ( sin x − cos x ) dx
α

/>∫
∫
/> /> />Dạng 10: Tính I =

β

a 2 − x 2 .dx , ( a > 0 )

α

Hoặc: I =

β

α

1

a − x2
2

.dx

, ( a > 0)

 π π
Đặt x = a sin t ⇒ dx = a cos t , với t ∈  − ; 
 2 2

(Biến đổi để đưa căn bậc hai về dạng

a 2 − a 2 sin 2 x = a 2 cos x = a cos x

A2 tức là


 π π
t = α ' ∈ − ; 

x = α
 2 2
Đổi cận: 
⇒
.

π
π


x = β
'
t = β ∈  − ; 
 2 2

 π π

 π π
Chú ý: vì t ∈  − ;  ⇒ α ' , β ' ∈  − ;  ⇒ cos t > 0
 2 2
 2 2

/> />∫
∫
∫
/>∫
∫
∫
/>∫
∫
/> />⇒I=

β

a − x .dx = I =
2

β'

2

α

a − a sin t .a cos tdt = a
2

2

2

α'

β'

2

cos 2 tdt

α'

Đến đây ta hạ bậc tính bình thường
Hoặc: I =

β

1

a 2 − x2
TỔNG QUÁT:
α

Tính I =

β

a −u
2

2

dx =

β'

α'

a cos t

a 2 − a 2 sin 2 t

( x )dx , ( a > 0 )

α

β'

dt = dt

hoặc: I =

α'

β

α

1

a2 − u2 ( x)

dx , ( a > 0 )

Tương tự: Đặt u ( x ) = a sin t

Dạng 11 : Môt số dạng khác:

6

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
1
a
ta đặt: x = sin t với
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: a 2 − b 2 x hay
2
2
b
a −b x

/> /> /> /> />∫
∫
/>a
 π π
t ∈  − ;  khi đó dx = cos tdt và

b
 2 2

a 2 − b 2 x 2 = a cos t hoặc t = a 2 − b 2 x 2

b 2 x − a 2 hay

- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng:

1

ta đặt: x =

b2 x − a 2
a
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: x ( a − bx ) ta đặt: x = sin 2 t
b
β

Dạng 12: I =

a + x .dx , ( a > 0 ) hoặc I =
2

β

1

2

α

a + x2
2

α

Đặt x = a tan t

a
b sin t

dx

a+x
a−x

Dạng 13: I =

3− x
dx .
1+ x

1

/> /> />∫
∫
/>Ví dụ : Tính tích phân sau: I = ∫
0

Giải:

3− x
−x + 3
4
−8tdt
⇒ t2 =
⇒x= 2
− 1 ⇒ dx = 2
1+ x
x +1
t +1
(t + 1) 2

Đặt t =

 x = 0 t = 3
Đổi cận: 
⇒
t = 1
x = 1

−8t 2 dt
t 2 dt
.
=
8
2
2
2

2
(
t
+
1)
(
t
+
1)
1
3

1

Khi đó: I =

3

 π π
Đặt t = tan u , u ∈  − ;  ⇒ dt = (tan 2 u + 1)du
 2 2
π

u=

t
=
1



4
Đổi cận: 
⇒
 t = 3
u = π

3

/> />(
)
∫
∫
∫
∫
/> />∫
/> />∫
π

⇒ I =8

3

tan u tan u + 1 du

π

2

π

2

(tan 2 u + 1) 2

=8

4

3

π

4

π

= ( 4u − 2sin 2u ) π3 =

π

4

3

π

2

π

3

3
tan udu
2
=
8
sin
udu
=
4
(1 − cos 2u )du
tan 2 u + 1
π
π
4

4

− 3+2.

Chú ý:

1

Phân tích I =

0

β

Dạng 14: I =

α

3− x

1+ x

dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn.

( x − a )( b − x )dx

7

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

/>∫
/>∫
∫
∫
∫
/>(
)
/> />∫ ( )

/>2a

Ví dụ: Tính tích phân sau: I =

x 2 − a 2 .dx , ( a > 0 )

a

x2 − a2 = t ⇒

Đặt

⇒ dx =

tdt

t 2 + a2

x

x2 − a2

dx = dt ⇒ xdx = x 2 − a 2 dt = tdt

a 3

t 2 dt

⇒ I=

t 2 + a2

0

a 3

=

t 2 + a 2 − a 2 dt

a 3

=

t 2 + a2

0

t + a dx = −
2

0

Dạng 15 : Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f ( x ) =
thể đặt x =

a 3

2

0

1

a +b x
2

2

2 n

a 2 dt

t 2 + a2

với n =1;2;3; …thì ta có

a
 π π
tan t với t ∈  − ; 
b
 2 2
β

Dạng 16: Tính tích phân: I =

α

f x n +1 x n dx đặt u = x n +1 ⇒ du = ( n + 1) x n dx

Dạng 17: Tính tích phân : I = ∫ f

( x)

1
x

dx đặt u = x ⇒ du =

1
2 x

dx

/> /> />∫ ( )
/>)
∫ (
Dạng 18: Tính tích phân: I = ∫ f ( ax + b )dx đặt u = ax + b ⇒ du = adx

KĨ THUẬT TÁCH THÀNH TÍCH

- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số nhưng ta tách một cách khôn khéo đế đặt
- Thông thường có một số dạng sau đây:
β

a. I =

α

f x n +1 x n dx đặt t = x n +1 ⇒ dt = ( n + 1) x n dx

1

Ví dụ 1: (ĐH Kiến Trúc – 1997) Tính tích phân sau: I = x 5 1 − x 3
0

6

dx =

1
168

HD:

− dt
3x 2
1
1
1 6
1 6 7
1  t7 t8 
1
I = ∫ t (1 − t )dt = ∫ ( t − t )dt =  −  =
30
30
3  7 8  168

/> />∫
/>∫

/> />∫
/>Đặt: t = 1 − x 3 ⇒ dt = −3 x 2 dx ⇒ dx =

1

Ví dụ 2: (ĐH TK2 - A2003) Tính tích phân: I = x 3 1 − x 2 dx
0

Cách 1: Đặt t = 1 − x 2

1

1

1 
2
1
I = t (1 − t )dt =  t 3 − t 5  =
5  0 15
3
0
2

2

Cách 2: Đặt t = 1 − x 2
Cách 3: Đặt t = x 2

π

2

Cách 4: Đặt x = cos t ⇒ I = sin 2 t cos3 tdt
0

1

Cách 4.1. Đặt sin t = u ⇒ cos tdt = du ⇒ I = ∫ u 2 (1 − u 2 )du
0

8

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

/>∫
/>∫
∫
∫
∫
/>∫
∫
∫
/> />∫
/>π

2

Cách 4.2. I = sin 2 t (1 − sin 2 t )d (sint ) .
0

π

Cách 4.3. I =

π

π

π

1
1 1 − cos 4t
1
12
sin 2 2t costdt =
cos tdt =
cos tdt = − cos 4t cos tdt
40
40
2
80
80
2

2

2

1

1

1

3
1
1
1
(1 − x 2 − 1) 1 − x 2 d (1 − x 2 ) =
(1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −
1 − x 2 d (1 − x 2 )
Cách 5: I =
20
20
20

KĨ THUẬT NHÂN

2

dx

Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I =

x 1 + x3

1

Giải:

2

Ta có:

∫x

dx

2

=∫

x 2 dx

/> /> />∫
∫
∫
∫
/>(
)
( )
( )
1

1 + x3

1

x 3 1 + x3

Đặt: t = 1 + x3 ⇒ t 2 = 1 + x 3 ⇒ 2tdt = 3 x 2 dx ⇒ x 2 dx =
x = 1
t = 2
Đổi cận: 
⇒
 x = 2 t = 3
Khi đó:
2
2
dx
x 2 dx
2
I=
=
=
3
3
1 + x3 3
1 x 1+ x
1 x

=

3

dt
1
=
2
t −1 3
2

2tdt
3

3

1 
 1
−

 dt
t
−
1
t
+
1


2

3
1
 1 t −1  3

1 1
2 −1 1
2 +1
1
ln t − 1 − ln t + 1
=  ln
=  ln − ln
= ln
 = ln

3
2  3 t +1  2 3  2
2 +1 3 2 2 −1 3

1

2 −1

2

/> />)
)
(
(
)
∫
∫
∫ (
∫(
)

)(
)
(
/>∫
∫
∫
∫
/> /> />1

Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I = ∫
0

x3

x + x2 + 1

dx

Giải:
1

I=

0

1

x3

1

x3

x + x +1
2

dx =

0

1

x2 + 1 − x

x2 + 1 + x

x2 + 1 − x

1

= x3 x 2 + 1dx − x 4 dx = x 2 x 2 + 1.xdx −
0

0

0

1

dx =

x2 + 1 − x

x3

x +1− x
2

0

2

1

dx =

x 3 x 2 + 1 − x 4 dx

0

1
x5 1
1
= x 2 x 2 + 1.xdx −
5 0 0
5
J

Đặt: t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx
 x = 0 t = 1

Đổi cận: 
⇒
x = 1
t = 2
Khi đó:

9

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

/>∫
∫
∫
∫
/> /> /> /> />∫
2

J=

2
3
1
2 3
2 1
5


1
1  2
1 2
1 2
1 2 2 2 32 2
2
t . dt =
t
−
t
dt
=
t
dt
−
t
dt
=
t
− t


1
1
2
2 1
2
2
5
3

1
1


( t − 1)

1

5
2

3

2
1 22 1 4 2 2 2 2 2 2 2
=
− −
+ =
−
+ =
+
5 5 3 3
5
3
15
15 15

KĨ THUẬT CHIA

- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số hay phương pháp phân tích:

β
1 
1 
1
1 


- Một số dạng: I = f  x ±  1 ∓ 2  dx đặt t = x ± ⇒ dt = 1 ∓ 2  dx
x 
x
x 
x 


α
1+ 5
2

∫

Ví dụ: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I =

x2 + 1
π
dx =
4
2
4
x − x +1

/> />∫
∫
∫
/> />1

Giải:

1+ 5
2

Ta có:

x +1
dx =
x − x2 + 1
2

1+ 5
2

4

1

1

1+

1
x2

1
x −1+ 2
x

dx =

2

1+ 5
2

1

1 

1 + 2 
x 

dx
2
1

 x −  +1
x


1
1 


⇒ dt = 1 + 2  dx
x
x 

x = 1
t = 0

Đổi cận: 
1 + 5 ⇒ t = 1

x =

2
1
dt
Khi đó: I = ∫
1+ t2
0

Đặt: t = x −

/>(
)
/> />∫
∫
∫
/> />∫
/>Đặt: t = tan u ⇒ dt = 1 + tan 2 u du
u = 0
t = 0 

Đổi cận: 
⇒
π
t = 1
u = 4
π

π

π

4
4
dt
1 + tan 2 u
π
=
du
=
du = u 4 = .
Khi đó: I =
2
2
4
0 1+ t
0 1 + tan u
0
0
1

KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI TỬ SỐ CHỨA ĐẠO HÀM Ở MẪU SỐ
1

Ví dụ : Tính tích phân sau: I =

x3
dx
8
1
+
x
0

Giải:

10

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
1
1
x3
x3
dx
=
Ta có: ∫

∫0 1 + x 4 2 dx
1 + x8
0
( )

/>(
)
/> /> />∫
∫
∫
∫
( )
/> />Đặt: x 4 = tan t ⇒ x3 dx =

1
 π π
1 + tan 2 t dt với t ∈  − ;  .
4
 2 2

t = 0
x = 0 
⇒ π
Đổi cận: 
x = 1
t = 4

π

1

1

3

3

π

x
x
dx =
Khi đó: I =
8
4
0 1+ x
0 1+ x

2

π

1 1 + tan t
14
1
π
dx =
dt
=
dt = t 4 = .

2
4 0 1 + tan t
40
4
16
0
2

4

KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC

/> />∫
∫
/> />1

Ví dụ: Tính tích phân sau: I = ∫

( 7 x − 1)99

101
0 ( 2 x + 1)

dx

HD:

dx
1  7x −1 
 7x −1 

 7x −1 
=
Phân tích: I = 


 d

2
9 0  2x + 1 
 2 x + 1  ( 2 x + 1)
 2x + 1 
0
99

1

1 1  7x − 1 
= ⋅


9 100  2 x + 1 

100

1

0

=

99

1

1
 2100 − 1
900

KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN LIÊN KẾT

/>∫
/> /> />∫
∫
∫
/> />∫
∫
π

Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I =

2

0

sin x

sin x + cosx

dx

Giải:

x = 0
 π

t =
Đặt: x = − t ⇒ dx = − dt . Đổi cận: 
π ⇒ 2
2
 x = 2
t = 0
Khi đó:

π

0

I =−

π

2

π

sin  − t 
2 

π


π

sin  − t  + cos  − t 
2 
2 
π

Vậy I + I = 2 I =

2

0

π

dt =

2

0

π

sin x + cos x

2

π

cos t

cos t + sin t

π

π

dt =

2

cos x

cos x + sin x

0

dx

π

dx = dx = x 2 = ⇒ I =
2
4
sin x + cos x
0
0

11

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

/>∫
/> /> />∫
∫
∫
/> />∫
∫
π

sin 3 x
dx
3
3
sin
x
+
cos
x
0
2

Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I =
Giải:

x = 0

 π

t =
Đăt x = − t ⇒ dx = − dt . Đổi cận: 
π ⇒ 2
2
 x = 2
t = 0
Khi đó:
π

π
π
sin 3  − t 
0
3
2
2
cos t
cos3 x
2

I =−
dt =
dt
=
dx
cos3 t + sin 3 t
cos3 x + sin 3 x



3 π
3 π
π
0
0
sin  − t  + cos  − t 
2
2

2 

π

π

π

π

2
sin x + cos x
π
π
dx
=
dx = x 2 = ⇒ I =
Vậy I + I = 2 I =
3
3

2
4
0 sin x + cos x
0
0
3

2

3

e− x
ex
dx
dx và J = ∫ x
Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I = ∫ x
e + e− x
e + e− x
0
0
1

1

/>∫
/>(
)
(
)
∫

∫
/> />Giải:

1

Ta có I + J = dx = 1
0

1 d e x + e− x
1
e x − e− x
e2 + 1
x
−x
−1
I−J = x
dx
=
=
ln
e
+
e
=
ln
e
+
e
−
ln

2
=
ln
−x
0
2e
e x + e− x
0 e +e
0
1

Từ đó suy ra: I =

1
e2 + 1
1
2e 
1
ln
+
và J = 1 + ln 2


2
2e 
2
e + 1 

MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
1

1

∫ x (1 − x ) dx = ∫ x (1 − x )

/> />∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>∫
∫
/>1.Ta luôn có :

n

m

n

0

m

dx

0

2.Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [− a, a ] thì :
a

I=

f ( x )dx = 0

−a

3.Cho a > 0 và f ( x ) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .

f (x )
dx = f ( x )dx
ax + 1
−α
0
α

Ta có :

α

4.Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [0,1] . Ta luôn có :
π

x. f (sin x )dx =

0

π

2

π

f (sin x )dx

0

5.Cho hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
a +T

Ta luôn có :

a

T

f ( x )dx = f ( x )dx
0

12

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
Nếu hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn có :

/>∫

∫
/> />∫
/>∫
/>∫
/>T

f ( x )dx =

T
2

f ( x )dx

T
−
2

0

II-TÍCH PHẦN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI, MAX – MIN

b

Muốn tính I =

f ( x ) dx ta đi xét dấu f ( x ) trên đoạn [a, b] , khử trị tuyệt đối

a
b

Muốn tính I = max[ f ( x ), g (x )]dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [a, b]
a
b

Muốn tính I = min[ f ( x ), g ( x )]dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [a, b]
a

Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ( áp dụng cho từng khoảng nghiệm)
IV- NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ

/>)
∫ (
/> />)
) ∫(
∫ (
/>Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel

Dạng 1:

R x, ax 2 + bx + c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.

2
a > 0
− ∆   2ax + b  
2
→ ax + bx + c =
 
1 + 

4a   − ∆  

∆ < 0

R x, ax 2 + bx + c dx =

S t , 1 + t 2 dt Tới đây , đặt t = tan u .

t=

2 ax +b
−∆

2
a < 0
− ∆   2ax + b  
2
Dạng 2: 
→ ax + bx + c =
 
1 − 
4a   − ∆  
∆ < 0

∫ R (x,

)

∫ S (t ,

)

/> />) ∫(
)
∫ (
/>∫
∫
/> />)
∫ (
/>)
∫ (
ax 2 + bx + c dx =

t=

1 − t 2 dt Tới đây , đặt t = sin u .

2 ax + b
−∆

2

a > 0
∆  2ax + b 
2
Dạng 3: 
→ ax + bx + c =
 − 1

4a  − ∆ 
∆ > 0


R x, ax 2 + bx + c dx =

S t , t 2 − 1 dt Tới đây, đặt t =

t=

Dạng 4 (dạng đặc biệt) :

2 ax + b

1
.
sin u

∆

dx

(αx + β )

ax 2 + bx + c

dt

=

t=

1

αx + β

αt 2 + µt + ζ

Một số cách đặt thường gặp :
S x , a 2 − x 2 dx

đặt x = a. cos t

0≤t ≤π

S x , a 2 + x 2 dx

đặt x = a. tan t

−

π

2


π

2

13

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
a
π
2
2
∫ S x, x − a dx đặt x = cos t t ≠ 2 + kπ
 ax 2 + bx + c = xt ± c ; c > 0

2
 ax 2 + bx + c = t (x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0
S
x
,
ax
+
bx
+
c
d
x
đặ
t
∫

 ax 2 + bx + c = ± a .x ± t
; a>0



ax + b
ax + b 
; ad − cb ≠ 0
đặt t = m
∫ S  x, m cx + d 
cx + d



)
(
/> />)
(
/> /> /> />V-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

/>∫
∫
/> /> />Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] , thì ta có :
b

b

udv = [uv ] a − vdu
b

a

a

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln x hay u = log a x .
*ưu tiên 2 : Đặt u = ?? mà có thể hạ bậc.
Nhớ “NHẤT LỐC, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ".

* - KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO SƠ ĐỒ.

/>∫
/> /> /> /> />Câu 1: Một nguyên hàm ( x − 2) sin 3 xdx = −

( x − a ) cos 3 x 1
+ sin 3 x + 2017 thì tổng S= ab +c
b
c

bằng

A. S = 14

Giải
Sơ đồ giải
Đạo hàm

B. S = 15

C. S = 3

D.S = 10.

Nguyên hàm

x-2

(+)

sin3x

1

(-)

−

cos 3 x
3

−

sin 3 x
9

0

14

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
a = 2
cos 3x sin 3x

Theo sơ đồ ta có I = − ( x − 2)
+
+ C ⇒ b = 3 ⇒ S = ab + c =15( B)
3
9
c = 9


/> />∫
/> /> /> />Câu 2 : Biết

x 2 e x dx = ( x 2 + mx + n)e x + C. Giá trị mn là

A.6

B.4

Giải
Ta có sơ đồ
Đạo hàm

C.0

D.-4

Nguyên Hàm

x2

(+)

ex

2x

(-)

ex

2

(+)

ex

0

ex

/> />∫
/> />I = x 2 e x − 2 xe x + 2e x + C = ( x 2 − 2 x + 2)e x ≡ ( x 2 + mx + n)e x + C

Vây

 m = −2

⇒
⇒ mn = − 4( D)
n = 2

a
15 a
 4− x 
là phân số tối giản,
Câu 3 : Biết I = I = x.ln 
dx = − ln − c, Với a,b,c ∈ N * và
b
2 b
 4+ x
0
khẳng định nào sau đây đúng.
A. a + b = 2c.
B. a + b = 3c.
C. a + b = c.
D. a + b = 4c.
Giải
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
Nguyên Hàm
x
4− x
ln
(+)
4+ x
8
x 2 − 16

(
)
( kỹ thuật thêm bớt trong từng phần)
x 2 − 16
2
a = 3
 x 2 − 16 4 − x
1
15 3

Vậy ta có I = 
ln
− 4 x  = − ln − 4 ⇒ b = 5 ⇒ a + b = 2c (C )
4+ x
2 5
 2
0
c = 4

Với hàm logarit ta đạo hàm đến khi nào mà tích của cột trái và cột phải tính được nguyên hàm thì
dừng.
2
a
b
b
Câu 4 : Biết I = ∫ ( x 2 + x) ln xdx = ln 2 − với a, b, c∈ Z* và tối giản. Tính S = ab + c
3
c
c
1

A.806.
B.559.
C.1445.
C.1994
Giải.
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
Nguyên Hàm
lnx
(+)
x2 + x
1
x3 x 2
(-)
+
x
3 2
1

/> /> /> /> /> />15

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN
a = 14
  x3 x2 
 x 3 x 2   2 14

55 
Ta có I =   +  ln x −  +   = ln 2 − ⇒ b = 55 ⇒ S = ab + c = 806 ( A)
36 
 9 4  1 3
 3 2 
c = 36

/> />∫
/> /> /> />π

a − beπ
Chọn đáp án đúng
c
B. c − a − b = 9
C. c − a − b =12

2

Câu 5: Cho I = e 2 x .sin 3 xdx =
0

A. c − a − b = 8
Giải .
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
sin 3x
(+)
3cos 3x
(-)

−9sin 3x

D. c − a − b = 7 .

Nguyên Hàm
e2 x
e2 x
2

(+)

e2 x
4

/>∫
/> /> />π

π

e

3e
9 2 2x
Vậy I = 
sin 3 x −
cos 3 x  2 −
e .sin 3 xdx
3
 2
0 40

2x

2x

I

a = 3
π

4  e2 x
3e2 x
3 − 2eπ

⇒I= 
sin 3x −
cos 3x  2 =
⇒ b = 2 ⇒ ( A)
13  2
4
13
0
c = 13

Với dạng bài có hai hàm tuần hoàn, ta đạo hàm ( hoặc nguyên hàm) đến khi nào hàm lượng
giác quay về ban đầu thì dừng
VI - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

/> /> />∫
/>∫
/> />a. Công thức tính diện tích :

•

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b là:

b

S=

f ( x) dx .

a

•

Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và hai đường thẳng x = a , x = b là:
b

S=

f ( x) − g ( x) dx .

a

b. Công thức tính thể tích :

16

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

/> /> />∫
/> /> />•

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f ( x ) , trục Ox ( y = 0 ) và hai đường thẳng x = a , x = b quay xung quanh trục Ox tạo

thành một khối tròn xoay có thể tích là: V = π

b

[ f ( x)]

2

dx .

a

c. Thể tích vật thể.
d. Bài toán vật lí.
e. Tính tổng.
f. Tính độ dài dây cung.

/> /> /> />
/> /> /> /> /> />17

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3