Chuyên đề Các dấu hiệu chia hết

DẠY HỌC NỘI DUNG CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT
TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO SINH VIÊN
TRUNG CẤP SƯ PHẠM TIỂU HỌC.
NGUYỄN THỊ THANH HÀ
Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.
Định nghĩa 1 ( SGK lớp 4 trang 94 và 95 ):
- Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
- Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
Định nghĩa 2( Nguyễn Tiến Tài - Vũ Quốc Chung - Chu Văn Quang.
Toán tập 1. NXB Bộ GD và ĐT – Vụ giáo viên năm 1992 ):
- Một số chia hết cho 2 nếu chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2,
hay nói cách khác chữ số hàng đơn vị của nó là 0, 2, 4, 6, hoặc 8.
- Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị chia hết cho 5, nói
cách khác chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5.
Từ định nghĩa ta rút ra ngay nhận xét: Những số có tận cùng là 0 thì vừa chia
hết cho 2 vừa chia hết cho 5.
Chứng minh:
Thật vậy, giả sử số tự nhiên a =
n n-1 1 0
...
c c c c
được viết thành:
a = c
n
.10
n
+ c
n-1
10

n-1
+ … + c
1
10
1
+ c
0
.
Hay:
a = 10(c
n
10
n-1
+ c
n-1
10
n-2
+ …+ c
1
) +c
0
= 10q + c
0
.
Vì 10 chia hết cho 2 và 5 nên điều kiện cần và đủ để a chia hết cho 2
( hoặc 5) là c
0
chia hết cho 2 ( hoặc 5). Từ đó ta có dấu hiệu trên.
Từ chứng minh tính chất trên ta thấy rằng số tự nhiên a chia hết cho 10
nếu nó có chữ số hàng đơn vị bằng 0. Hay nói cách khác số tự nhiên a

vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 thì chia hết cho 10.
1. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9.
Định nghĩa 1( SGK lớp 4 trang 97):
- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Định nghĩa 2 ( Nguyễn Tiến Tài - Vũ Quốc Chung - Chu Văn Quang.
Toán tập 1. NXB Bộ GD và ĐT – Vụ giáo viên năm 1992 ):
- Một số chia hết cho 3 ( hoặc cho 9 ) nếu tổng các chữ số của nó chia
hết cho 3 ( hoặc 9 ).
Từ định nghĩa ta rút ra ngay nhận xét: Những số chia hết cho 9 thì chia hết
cho 3 nhưng những số chia hết cho 3 chưa chắc chia hết cho 9.
Chứng minh:
Thật vậy, theo công thức nhị thức Newton, ta có:
10
n
= ( 9 + 1)
n
=
1 1 2 2 1 1
... 1
9 9 9 9
n n n n
n n n
C C C
− − −
+ + + + +
Hay:
10
n
= 9(

1 1 2 2 3 1
...
9 9 9
n n n n
n n n
C C C
− − − −
+ + + +
) + 1 = 9q
n
+ 1.
Vậy a = c
n
.10
n
+ c
n-1
10
n-1
+ … + c
1
10
1
+ c
0

= c
n
( 9q
n

+ 1) + c
n-1
(9q
n-1
+ 1) + …+ c
1
( 9 + 1) + c
0

= 9(c
n
q
n
+ c
n-1
q
n-1
+ … + c
1
) + (c
n
+ c
n-1
+ … + c
1
+ c
0
)
= 9q + (c
n

+ c
n-1
+ … + c
1
+ c
0
).
Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ a chia hết cho 3 (hoặc cho 9) nếu tổng các
chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc cho 9). (ĐPCM).
2. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25.
Định nghĩa ( Nguyễn Tiến Tài - Vũ Quốc Chung - Chu Văn Quang. Toán
tập 1. NXB Bộ GD và ĐT – Vụ giáo viên năm 1992 ):
- Một số chia hết cho 4 (hoặc cho 25) nếu số tạo thành bởi hai chữ số
cuối cùng của nó chia hết cho 4 (hoặc cho 25).
Chứng minh:
Thật vậy, giả sử số tự nhiên a =
n n-1 1 0
...
c c c c
được viết thành:
a = c
n
.10
n
+ c
n-1
10
n-1
+ … + c
1

10
1
+ c
0
.
Hay:
a = 10
2
(c
n
10
n-2
+ c
n-1
10
n-3
+ …+ c
2
) +10c
1
+ c
0
= 100q + 10c
1
+ c
0.
Vì 100 chia hết cho 4 và 25 nên a chia hết cho 4 ( hoặc 25) khi và chỉ khi
(10c
1
+ c

0
) chia hết cho 4 ( hoặc 25). (ĐPCM).
Từ chứng minh trên ta rút ra ngay nhận xét:
- Số tự nhiên a chia hết cho 100 khi và chỉ khi (10c
1
+ c
0
) chia hết cho 100
mà 0
≤
(10c
1
+ c
0
) < 99 suy ra (10c
1
+ c
0
) = 0
⇔
c
1
= c
0
= 0.
Hay một số chia hết cho 100 nếu nó có 2 chữ số tận cùng bằng 0.
- Số tự nhiên a vừa chia hết cho 4 vừa chia hết cho 25 thì chia hết cho 100 và
ngược lại số tự nhiên a chia hết cho 100 thì chia hết cho cả 4 và 25.
Trong chương trình đào tạo trung cấp sư phạm Tiểu học không giới thiệu
dấu hiệu chia hết cho 8 và 125 cũng như không giới thiệu dấu hiệu chia hết

cho 11 tuy nhiên ta dễ dàng suy ra các dấu hiệu chia hết đó như sau:
3. Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125.
Với cách chứng minh hoàn toàn tương tự trên ta rút ra được dấu hiệu
chia hết cho 8 và 125 là:
- Số tự nhiên a chia hết cho 8 ( hoặc cho 125 ) nếu số tạo thành bởi ba
chữ số cuối cùng của nó chia hết cho 8 ( hoặc cho 125).
Và ta có nhận xét:
- Số tự nhiên a chia hết cho 1000 nếu nó có 3 chữ số tận cùng là 0.
- Số tự nhiên a chia hết cho 1000 thì chia hết cho 8 và 125 và ngược
lại số tự nhiên a vừa chia hết cho 8 vừa chia hết cho 125 thì chia hết
cho 1000.
4. Dấu hiệu chia hết cho 11.
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng
các chữ số hàng lẻ là một bội của 11.
Chứng minh:
Trước hết, ta nhận xét rằng một lũy thừa của 10 sẽ có dạng 11q + 1 hoặc
11q – 1. Thật vậy,
10
n
= (11 -1)
n
=
( ) ( )
n-1 n
1 n-1
n n-1
n n
- +...+ 11 +
-1 -1
C C

11 11
hay :
11
n
= 11.
( )
( )
( )
n-1
n
1 n-1
n-1 n-2
n n
- +...+ +
-1 -1
C C
11 11
= 11q + (-1)
n
Vậy 10
n
=
11 1, 2
11 1, 2 1, .
q n k
q n k k
+ =


− = + ∈Ν


Khi đó số tự nhiên a =
n n-1 1 0
...
c c c c
được viết dưới dạng:
a = C
0
+ C
1
(11 - 1) + C
2
(11q
2
+ 1) + …+ C
n
(11q
n
+ (-1)
n
)
hay:
a = (C
0
+ C
2
+ …) – (C
1
+ C
3

+ …) + 11q.
Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ a chia hết cho 11 khi và chỉ khi
(C
0
+ C
2
+ …) – (C
1
+ C
3
+ …) chia hết cho 11. (ĐPCM).
Ngoài các dấu hiệu trên ta còn có thể chứng minh một số chia hết cho 2 hoặc
3, v.v…nhờ các bổ đề sau:
Bổ đề1: Tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho n , (n
≥
2 ).
Khi đó ta có:
- Nếu một số tự nhiên phân tích được thành tích của 2 số tự nhiên liên
tiếp thì số đó chia hết cho 2.
- Nếu một số tự nhiên phân tích được thành tích của 3 số tự nhiên liên
tiếp thì số đó chia hết cho 3.
- Nếu một số tự nhiên phân tích được thành tích của 4 số tự nhiên liên
tiếp thì số đó chia hết cho 4.
- Nếu một số tự nhiên phân tích được thành tích của 5 số tự nhiên liên
tiếp thì số đó chia hết cho 5.
- v.v…
Bổ đề 2:Biết a chia hết cho b và c, ƯCLN(b, c) = 1 thì a chia hết cho bc.
Từ bổ đề 2 ta suy ra ngay:
- Một số chia hết cho 2 và 5 thì chia hết cho 10.
- Một số chia hết cho 4 và 25 thì chia hết cho 100.

- Một số chia hết cho 8 và 125 thì chia hết cho 1000.
- Một số chia hết cho 2 và 3 thì chia hết cho 6.
- Một số chia hết cho 3 và 5 thì chia hết cho 15.
- Một số chia hết cho 4 và 5 thì chia hết cho 20.
- v.v…
Bây giờ ta sẽ chứng minh các bổ đề.
Bổ đề 1:
Gọi n số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, … a + (n - 1) , (n
≥
2).
Đặt A = a.(a + 1).(a + 2)…(a + n - 1).
Ta cần chứng minh A chia hết cho n với n
≥
2.
- Nếu a chia hết cho n coi như bài toán xong.
- Nếu a chia n dư 1, a có dạng n.t + 1 suy ra a + (n – 1) chia hết cho n
nên A chia hết cho n (bài toán đúng).
- Nếu a chia n dư 2, a có dạng n.t + 2 suy ra a + (n - 2) chia hết cho n
nên A chia hết cho n (bài toán đúng).
- v.v
- Nếu a chia n dư n – 1, a có dạng n.t + (n – 1) suy ra a + 1 chia hết
cho n nên A chia hết cho n (bài toán đúng). (ĐPCM).
Chứng minh bổ đề 2:
Vì a
M
b
. ,a b q q⇒ = ∈ Ν
. (1)
Vì a
M

c
. ,a c p p⇒ = ∈ Ν
. (2)
Mặt khác: ƯCLN(b, c) = 1
. 1, .b c t t⇒ = + ∈ Ν
(3)
Thay (3) vào (1) ta được:
a = (c.t + 1)q = c.p
.( . )q c p t q c⇒ = − M

. ,q c k k⇒ = ∈ Ν
. (4)
Thay (4) vào (1) ta được:
. . ,a b c k k= ∈ Ν
hay a chia hết cho b.c (ĐPCM).
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Dạng 1: Chọn hoặc điền đáp án đúng dựa vào dấu hiệu chia hết.
Ví dụ 1: Cho các số sau: 1234, 531, 2485, 2345, 2008, 1256, 1350.
a. Những số chia hết cho 2 là:
1234 ….. 2008 …… 1256 …… 531 …… 1350 …..
b. Có tất cả các số chia hết cho 2 là:
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
c. Những số chia hết cho 5 là:
531 …… 2485 …….. 2345 ……. 1350 …… 1256 ……
d. Những số chia hết cho 2 và 5 là:
1350 ……. 1256 ……. 2345 ……
e. Những số chia hết cho 4 là:
1234 ……. 1350 ……. 1256 …… 2008 ……. 2485 …….
f. Những số chia hết cho 3 là:
1350 …… 531 …… 2345 …… 1234 …….. 2008 ……

Ví dụ 2: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai?
a. Một số không chia hết cho 2 thì có chữ số hàng đơn vị là 1, 3, 5, 7, 9.
b. Những số chẵn thì chia hết cho 2.
c. Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.
d. Những số chia hết cho 2 và 4 thì chia hết cho 8.
e. Những số không chia hết cho 4 mà có chữ số hàng đơn vị là 2 thì chữ
số hàng chục có thể là 2, 4, 6, 8.
f. Những số lẻ luôn chia cho 2 dư 1.
g. Những số chia hết cho 2, 3 và 5 thì chia hết cho 30.
h. Những số chia cho 5 dư 1 có chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 6.

2. Dạng 2: Lập các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết.
Ví dụ 3: Với 3 chữ số 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a. Chia hết cho 2 ?
b. Chia hết cho 5 ?
Lời giải:
a. Theo bài ra thì số chia hết cho 2 phải có tận cùng là 4. Do đề bài
không yêu cầu các chữ số phải khác nhau nên những số thỏa mãn yêu
cầu đề bài là:
444 334 554 354 534 344 544 454 434.
b. Theo bài ra số chia hết cho 5 phải có tận cùng là 5. Các số thỏa
mãn là:
555 445 335 345 435 445 545 535 455.