CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Các bài toán về hàm số được ra tương đối nhiều trong các kì thi chọn học
sinh giỏi và thi vào các lớp chuyên THPT. Trong chuyên đề này, ta quan tâm đến
các bài toán về hàm số, bao gồm các vấn đề chính sau đây:
1. Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
3. Chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng.
4. Lập phương trình đường thẳng hay Parabol thỏa mãn điều kiện đã cho.
5. Tìm các điểm đặc biệt: Điểm đồ thì hàm số luôn đi qua, điểm đồ thị hàm số
không thể đi qua.
6. Biện luận sự tương giao của đồ thị.
7. Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình.
8. Tìm điều kiện của tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp tư duy và kỹ năng làm toán được hướng dẫn qua các ví dụ sau:
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN QUA CÁC VÍ DỤ
DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số
b)y =
a)y = x − x + −x + 3x + 10
4
2
2
7− 2x
x − 7x + 10
2
Hướng dẫn giải
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi
x = 0
−2 ≤ x ≤ −1
x4 − x2 ≥ 0
x x − 1 ≥ 0
x ≤ −1
⇔
⇔
⇔ x = 0
2
−x + 3x + 10 ≥ 0 ( x + 2) ( 5− x) ≥ 0 x ≥ 1
1≤ x ≤ 5
−2 ≤ x ≤ 5
2
(
2
)
Chú ý: Ở bài này, học sinh hay bỏ sót giá trị
(
)
x=0
vì đã biến đổi sai là:
x2 x2 − 1 ≥ 0 ⇔ x2 − 1≥ 0
1
7 − 2x
7 − 2x
≥ 0⇔
≥ 0⇔ x < 2
x − 7x + 10
( x − 2) ( x − 5)
2
b)
y=
Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số:
hoặc
7
≤ x≤ 5
2
4x − 12
(1)
x − 6x + 10
2
Hướng dẫn giải
Hàm số được xác định với mọi giá trị của x, khi đó (1) tương đương với:
y.x2 − 2( 3y + 2) x + 10y + 12 = 0(2)
Phương trình (2) phải có nghiệm đối với x
Nếu
Nếu
y= 0
y≠ 0
thì
thì
x=3
∆ ' = 4 − y2 ≥ 0 ⇒ −2 ≤ y ≤ 2
Do đó tập giá trị của hàm số là:
−2 ≤ y ≤ 2
DẠNG 2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ
y=
(
)
2x2 + 6 x2 + 1 ( x − 2) + 5
x2 + 3x − 4
Ví dụ 3: Cho hàm số:
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Chứng minh
y≤ 3
, chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?
( THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2003 – 2004)
Hướng dẫn giải
(
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi
3− y =
b) Ta có:
(
)
x2 + 1 ( x − 2) ≥ 0
⇔ x≥ 2
2
x
+
3x
−
4
≠
0
)
x2 + 1 − 6 x2 + 1. x − 2 + 9( x − 2)
x + 3x − 4
2
2
=
(
x2 + 1 − 3 x − 2
x + 3x − 4
2
)
2
⇒ y≤ 3
x2 + 1 = 3 x − 2 ⇔ x =
Dấu bằng xảy ra khi
9± 5
2
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = 3x + 12 − 3x2
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định:
y2 =
(
−2 ≤ x ≤ 2
3. 3 + 1. 12 − 3x2
)
2
(
)
≤ 4 3x2 + 12 − 3x2 = 48
⇒ −4 3 ≤ y ≤ 4 3 ⇒ maxy = 4 3khix = 3
Mặt khác
y − 3x = 12 − 3x2 ≥ 0 ⇒ y ≥ 3x ≥ −6 ⇒ miny = −6,khix = −2
y=
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
3x8 + 12
(x
4
)
+2
2
Hướng dẫn giải:
12x4
y = 3− 8
≤ 3⇒ maxy = 3 khi x = 0
x + 4x4 + 4
y = 3−
Với
x≠ 0
ta có
x4 +
Mặt khác
12
4
x4 + 4 + 4
x
4
4
3
4
+ 4 ≥ 2 x4 4 + 4 = 8 ⇒ miny = khix4 = 4 ⇔ x = ± 4 2
4
x
x
2
x
DẠNG 3. CHỨNG MINH HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN
TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC
Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số:
y = x3 + x2 + x + m− 7
Hướng dẫn giải
3
luôn đồng biến
Với
Xét
x1,x2
bất kỳ mà
(
x1 < x2
) (
)
y2 − y1 = x32 − x13 + x22 − x12 + ( x2 − x1 )
(
)
= ( x2 − x1 ) x22 + x1x2 + x12 + x1 + x2 = 1 =
Do đó
y2 > y1
1
2
( x2 − x1 ) ( x2 + x1 + 1) + x22 + x12 + 1 > 0
2
Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng hàm số:
−2x2 + x + 3
y=
x−1
nghịch biến với x > 1
Hướng dẫn giải
y = −2x − 1+
2
x−1
với
x1,x2
bất kỳ thỏa mãn
1< x1 < x2
thì
2
2
1
y1 − y2 = −2x1 − 1+
−
−
2x
−
1
+
=
2
x
−
x
1
+
(
)
>0
÷
÷
2
2
1
x1 − 1
x2 − 1
( x1 − 1) ( x2 − 1)
Do đó
y1 > y2
Từ đó suy ra hàm số nghịch biến với
x >1
DẠNG 4. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG HOẶC PARABOL
Ví dụ 8: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm I (0; 1) và cắt parabol
y = x2
tại hai điểm phân biệt M và N sao cho
MN = 2 10
(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia HN năm học 2000 – 2001)
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + 1
Xét phương trình
x2=ax+1⇔ x2-ax-1=0
(1)
∆ = a2 + 4 > 0
Với mọi a, (1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (P) tại
4
hai điểm phân
M ( x1;y1 ) ,N ( x2;y2 )
Theo định lý Vi – ét:
x1 + x2 = a,x1.x2 = −1
MN = 2 10 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( ax2 + 1− ax1 − 1) = 40
2
2
( )
( )
⇔ ( a + 1) ( a + 4) = 40 ⇒ a = 4 ⇔ a = ±2
2
2
⇔ a2 + 1 ( x2 − x1 ) = 40 ⇔ a2 + 1 ( x1 + x2 ) − 4x1x2 = 40
2
2
2
Oxy
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ
với
m
là tham số khác 0 và điểm
a) Hãy vẽ Parabol
luôn cắt
( P)
cho parabol
−1 2
x
2
điểm
M ( m;0)
I ( 0;−2)
( P)
b) Viết phương trình đường thẳng
( d)
( P) : y =
( d)
tại hai điểm phân biệt
đi qua hai điểm
A,B
M;I
với độ dài đoạn
. Chứng minh rằng
AB > 4
(THPT Chuyên ngoại ngữ - Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2001 - 2002)
Hướng dẫn giải
a) Học sinh tự vẽ hình.
(d) : y =
b) Phương trình đường thẳng
2
x − 2.
m
Dễ thấy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
−x2 −x2
A x1; 1 ÷,B x2; 2 ÷.
2
2
1
2
2
2
1
1
AB2 = ( x2 − x1 ) + x22 − x12 ÷ = ( x1+ = x2 ) − 4x1x2 1+ ( x1 + x2 ) .
2
2
4
x1 + x2 =
Theo định lí Vi-ét ta có:
−4
,x1x2 = −4.
m
5
Vậy
4
16
AB2 = 2 + 16÷ 1+ 2 ÷ > 16
m
m
Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ
Gọi (d) là đường thẳng đi qua
AB > 4
nên
Oxy
I(0;−2)
.
, cho parabol (P) có phương trình
và có hệ số góc
k
x2
y= .
2
.
a) Viết phương trình đường thẳng (d). Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt
b) Gọi
H,K
A,B
khi
k
thay đổi.
theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên trục hoành. Chứng
minh rằng tam giác
IHK
I
vuông tại .
(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007)
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng
(d) : y = kx − 2
Xét phương trình
∆ ' = k2 + 4 > 0
x2
= kx − 2 ⇔ x2 + 2kx − 4 = 0
2
k
với mọi
, suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt
⇒ A(x1;y1),B(x2;y2)
thì
H(x1;0),K(x2;0)
Vậy tam giác
IKH
x1x2 = −4
vuông tại
nên
A,B
x1,x2
IH2 = x12 + 4,IK 2 = x22 + 4,KH2 = ( x1 − x2 )
Theo Định lí Vi-ét thì
(1)
Khi đó
2
IH2 + IK 2 = x12 + x22 + 8 = KH2
I
DẠNG 5. TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ
6
Ví dụ 11. Cho hàm số
y = mx2 + 2(m− 2)x − 3m+ 1
a) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị
b) Tìm các điểm trong mặt phẳng
Oxy
m
.
mà đồ thị hàm số không thể đi qua.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử
M(x0;y0)
là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua, khi đó:
y0 = mx02 + 2(m− 2)x0 − 3m+ 1
với mọi
m
x02 + 2x0 − 3 = 0
⇔ (x + 2x0 − 3)m+ 1− 4x0 − y0 = 0 ⇔
⇒ M(1;−3) / M(−3;13)
1− 4x0 − y0 = 0
2
0
b) Giả sử điểm có tọa độ
(x0;y0)
là điểm mà đồ thị hàm số không thể đi qua.
Khi đó phương trình (1) không có nghiệm đối với
Ví dụ 12. Cho các đường thẳng
(dm)
x = 1
m⇔ 0
y0 ≠ −3
hoặc
x0 = −3
y0 ≠ 13
có phương trình:
a) Chứng minh rằng các đường thẳng
(dm)
luôn đi qua một điểm cố định.
(dm)
A(−1;−2)
m
b) Tìm để khoảng cách từ điểm
đến
là lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử các đường thẳng
Khi đó với mọi
Hay với mọi
(dm)
luôn đi qua
y0 = (2m− 1)x0 − 4m+ 3
(2x0 − 4)m+ 3− x0 − y0 = 0
M(x0;y0)
với mọi m,
với mọi m
2x − 4 = 0
x = 2
⇔ 0
⇔ 0
⇒ M(2;1)
3
−
x
−
y
=
0
y
=
1
0
0
0
b) Hạ
AH
vuông góc với
(dm) AH
,
là khoảng cách từ
7
A
đến
(dm) AH ≤ AM.
.
.
Vậy
AH
lớn nhất bằng
AM
khi
Phương trình đường thẳng là
AM
vuông góc với
(dm)
.
y = x−1
, vuông góc với khi và chỉ khi
1(2m− 1) = −1⇔ m = 0
DẠNG 6. BIỆN LUẬN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Ví dụ 13. Trong mặt phẳng tọa độ
parabol
a) Tìm
Oxy
, cho đường thẳng
(d) : 2x − y − a2 = 0
và
(P) : y = ax2(a > 0)
a
để
( d)
cắt P tại hai điểm phân biệt
A,B
. Chứng minh rằng
A
và
B
nằm
bên phải trục tung.
b) Gọi
T=
xA ,xB
là hoành độ của
A
và
B
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
1
+
xA + xB xA .xB
(Vòng 1, THPT Chuyên – TP Hà Nội, năm học 2005 – 2006)
Hướng dẫn giải
a) Xét phương trình
( d)
cắt
( P)
ax2 = 2x − a2 ⇔ ax2 − 2x + a2 = 0
(1)
tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' > 0 ⇔ a < 1.
Kết hợp với điều kiện
nằm bên phải trục
Oy
0< a< 1
ta có . Khi đó (1) có hai nghiệm dương nên
.
8
A,B
b)
2
1
xA + xB = > 0
⇒ T = 2a + ≥ 2 2.
a
a
xA .xB = a > 0
Vậy khi
minT = 2 2
a=
khi
1
.
2
Ví dụ 14. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba đường thẳng:
1
(d3) : y = −ax + a3 − a2 − .
(d2) : y = x − 1
3
;
Tìm a để
(d1)
cắt
(d2 )
(d1) : y = −x + 1
;
tại một điểm thuộc
(d3)
(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007 – 2008)
Hướng dẫn giải
Dễ thấy
(d1)
cắt
(d2)
tại
M ∈ (d3) ⇔ −a + a3 − a2 −
Ví dụ 15. Cho parabol
M(1;0)
1
3
3
3
= 0 ⇔ 4a = (a + 1) ⇔ a 4 = a + 1 ⇔ a =
3
(P) :y = x2
và đường thẳng
a) Chứng minh rằng đường thẳng
( d)
luôn cắt
1
.
3
4 −1
(d): y = mx + 1
.
parabol ( P)
tại hai điểm phân biệt
với mọi giá trị .
b) Gọi
A(x1;y1)
của biểu thức:
và
B(x2;y2 )
là các giao điểm của
(d)
và
(P)
. Tìm giá trị lớn nhất
M = (y1 − 1)(y2 − 1)
(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm, năm học 2009 – 2010)
Hướng dẫn giải
a) Xét phương trình
x2 = mx + 1 ⇔ x2 − mx − 1 = 0
9
(1)
∆ = m2 + 4 > 0
với mọi nên(1) có hai nghiệm phân biệt , suy ra
tại hai điểm phân biệt
b) Theo định lí Vi-ét:
A(x1;y1)
và
( d)
luôn cắt
( P)
B(x2;y2 )
x1 + x2 = m,x1x2 = −1
M = (y1 − 1)(y2 − 1) = (x12 − 1)(x22 − 1) = x12x22 + 2x1x2 − (x1 + x2 )2 + 1 = −m2 ≤ 0
Vậy
maxM = 0
m= 0
khi
DẠNG 7. DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN
SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 1Bài Tìm
m
đề phương trình sau có nghiệm:
2
2x
2x
x2 + 1÷ − 4. x2 + 1 − 5+ m = 0
Hướng dẫn giải
t=
Đặt
2x
⇒ −1≤ t ≤ 1
x +1
2
, ta được:
2
2
t2 − 4t − 5+ m = 0 ⇔ t − 4t + 4 = 9− m ⇔ (t − 2) = 9− m.
Đặt
k = t− 2
thì
−3 ≤ k ≤ −1⇒ 1≤ k2 ≤ 9
Do đó để phương trình có nghiệm thì
1≤ 9 − m ≤ 9 ⇔ 0 ≤ m ≤ 8.
Ví dụ 17. Tìm m để đồ thị của hàm số
trục
Ox
,ta có:
k2 = 9 − m
y = x3 − 2(m+ 1)x2 + (6 − m)x + 10m− 12
cắt
tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Ta có:
y = (x − 2)(x2 − 2mx − 5m + 6)
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục
Ox
tại ba điểm phân biệt thì phương trình
10
x2 − 2mx − 5m+ 6 = 0
phải có hai nghiệm phân biệt khác 2
m > 1
m < −6
⇔
10
m
≠
9
DẠNG 8. CÁC BÀI TOÁN KHÁC
f(x) =
Ví dụ 18. Cho hàm số
f3(x) = ff[ 2(x)] ;...
. Tìm
1
1− x
. Xét dãy các hàm số
f1(x) = f(x) ff2 =
;
[ f1(x)]
;
f2020(x).
Hướng dẫn giải
Ta có:
1
;
1− x
1
x−1
1
f2(x) = ff[ 1(x)] = f
=
=
;
÷
x
1− x 1− 1
1− x
1
x − 1
f3(x) = ff[ 2(x)] = f
=
= x;
÷
x 1− x − 1
x
f3(x) = ff[ 3(x)] = f1(x).
f1(x) = f(x) =
Ta có:
1
1− x khi n = 3k + 1
fn(x) = x khi n = 3k
x−1
khi n = 3k + 2
x
f2020(x) =
Vậy
1
.
1− x
BÀI TẬP
Bài 1
. Tìm giá trị của m để mọi x thuộc [-1;2] đều thuộc tập xác định của hàm
11
y=
số:
( m + 1) x − m(x + 3) + 1
2
Hướng dẫn giải
Đặt
f(x) = (m2 + 1)x − m(x + 3) + 1.
Khi đó
f(x) ≥ 0
với mọi
x ∈ [ −1;2]
thì:
2
f(−1) ≥ 0 m + 2m ≤ 0
⇔ 2
⇔ −2 ≤ m ≤ 0.
2m − 5m+ 3 ≥ 0
f(2) ≥ 0
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
x2
y= 2
x − 2x + 2002
(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2001 – 2002)
Hướng dẫn giải
- Nếu
x=0
thì
y = 0.
y=
- Nếu
y≠ 0
1
1−
thì
2 2002
+ 2
x
x
t=
. Đặt
1
x
thì:
2
2 2002
1 2001
1− + 2 = 2002t2 − 2t + 1= 2002 t −
÷ +
x
x
2002 2002
y=
Từ đó suy ra max
2001
2002
t=
khi
1
⇔ x = 2002
2002
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)
y =|2x − 3| + |2x − 1| + |2x + 1| + |2x + 3|
y=
b)
x4 + 16
,x > 2
x(x − 2)(x + 2)
Hướng dẫn giải
y = 2x − 3 + 2x − 1 + 2x + 1 + 2x + 3
a)
12
.
≥ (3− 2x) + (1− 2x) + (2x + 1) + (2x + 3) = 8 = 8.
Min
y=8
khi
3− 2x,1− 2x, 2x + 1, 2x + 3
⇔
cùng dấu
−1
1
≤ x≤ .
2
2
Chú ý: Đây là bài toán đặc biệt, nếu không đặc biệt ta xét từng khoảng
để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
b) Ta có
(x2 − 4)2 + 8x2 x2 − 4
8x
y=
=
+ 2
≥ 4 2.
x(x − 2)(x + 2)
x
x −4
Vậy min
y= 4 2
khi
x = 8+ 48.
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
x2 + 8x + 7
y=
x2 + 1
y=
b)
32
2 + 2x − x2 + 7
Hướng dẫn giải
a)
(y − 1)x2 − 8x + y − 7 = 0 (1)
3
y = 1⇔ x = − .
4
Nếu
y≠1
thì
(1)
là phương trình bậc hai ẩn
x.
Phương trình có nghiệm khi
−1≤ y ≤ 9
∆ ' = 16 − (y − 1)(y − 7) ≥ 0 ≥
y ≠ 1
b) Hàm số được xác định khi
Do đó
−x2 + 2x + 7 ≥ 0
.
2 ≤ 2 + −(x − 1)2 + 8 ≤ 2 + 2 2.
Vậy max
y = 16
khi
x = 1± 2 2,
y=
min
16
1+ 2
13
khi
x = 1.
Bài 5. Cho hàm số
y = x2 + (2m− 1)x + 3m− 5
a) Với mỗi giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
b) Khi m thay đổi, tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Hướng dẫn giải
2
a)
2m− 1 −4m2 + 16m− 21
y = x+
+
⇒
x ÷
4
y = −(m− 2)2 −
b) min
nhất bằng
−5
4
khi
5 −5
≤ .
4 4
min
21
y = − m2 − 4m+ ÷.
4
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn
m = 2.
Bài 6. Cho hàm số
y = f(x) = −x2 + 2(2m− 1)x − 2m2 + 8m+ 16
a) Với mỗi giá trị m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x)
theo m.
b) Khi m thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất trong các giá trị lớn nhất của
f(x)
.
Hướng dẫn giải
a)
f(x) = − x2 − 2(2m− 1)x + (2m− 1)2 + (2m− 1)2 − 2m2 + 8m+ 16
= − [ x − (2m− 1)] + 2m2 + 4m+ 17 ≤ 2m2 + 4m+ 17.
2
Vậy với mỗi
b)
m,
2m2 + 4m+ 17.
giá trị lớn nhất của hàm số là
2m2 + 4m+ 17 = 2(m+ 1)2 + 15 ≥ 15.
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số
Bài 7. Cho hàm số
mãn
−1 ≤ x ≤ 2
f(x)
đạt giá trị nhỏ nhất là 15 khi m =
y = f(x) = (2m− 1)x + 5− m
. Tìm m để
.
Hướng dẫn giải
14
f(x) ≥ 0
−1.
với mọi x thỏa
Đồ thị của hàm số
Vậy
f(x) ≥ 0
y = f(x)
với mọi
là một đường thẳng.
x ∈ [ 1;2] .
f(−1) ≥ 0 6 − 3m ≥ 0
⇔
⇔
⇔ −1≤ m ≤ 2.
f(2) ≥ 0
3m+ 3 ≥ 0
Bài 8. Chứng minh rằng:
y = f(x) = 5x11 + x3 + x2 + 5x + 2m− 15
a) Hàm số
y=
b)
x2 − 2x + 2
x −1
luôn nghịch biến với
luôn đồng biến.
0< x < 1
Hướng dẫn giải
a)
y = f(x) = g(x) + h(x),
Với
và
g(x) = 5x11
là hàm số luôn đồng biến.
h(x) = x3 + x2 + 5x + 2m− 15.
Với
x1 ,x2
bất kì
x1 < x2
mà ta có:
h(x2) − h(x1) = x32 − x13 + x22 − x12 + 5x2 − 5x1 = (x2 − x1)(x22 + x1x2 + x12 + x2 + x1 + 5)
1
= (x2 − x1) (x2 + x1)2 + (x2 + 1)2 + (x1 + 1)2 + 8 > 0.
2
Do đó
h(x1) < h(x2 )
⇒ y = h(x)
nên
là hàm số đồng biến. Tổng của hai số đồng biến là hàm số đồng biến
y = f(x)
b) Với
với
x1 < x2
x1,x2
là hàm số đồng biến.
thỏa mãn
y2 − y1 = x2 − x1 +
0 < x1 < x2 < 1
ta có:
1
1
−
x2 − 1 x1 − 1
15
(1− x2 )(1− x1) − 1
1
= (x2 − x1) 1−
=
(x
−
x
)
<0
2
1
(x2 − 1)(x1 − 1)
(x2 − 1)(x1 − 1)
Với
0 < x1 < x2 < 1.
(0;1).
Vậy hàm số nghịch biến trên
Bài 9. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:
y = x + 3− 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1
Hướng dẫn giải
y = ( x − 1 − 2)2 + ( x − 1 − 3)2 =
x − 1− 2 +
x − 1− 3
hay
với
1≤ x < 5
: Hàm số nghịch biến;
5 ≤ x ≤ 10
x ≥ 10
: Hàm số không đổi;
: Hàm số đồng biến.
ABC
Bài 10. Cho tam giác
BM,CN
tương ứng là
tam giác
−2 x − 1 + 5
y = 1
2 x − 1 − 5
ABC
có
A(3;1)
2x − y − 1 = 0
và
. Phương trình các đường trung tuyến
x − 1= 0
. Lập phương trình các cạnh của
.
Hướng dẫn giải
Trọng tâm
G(1;1)
Đường thẳng
BE
Từ đó tìm được
E
. Lấy
qua
C(1;5)
Phương trình các cạnh
E
đối xứng với
A
song song với
qua
CG
G
là:
thì
E(−1;1).
x = −1,
do đó
B(−1;−3),
.
AB,AC,BC
tương ứng là:
y = x − 2;y = 7 − 2x;y = 4x + 1.
Bài 11. Cho đường thẳng
( d)
có phương trình:
16
1
y = x+ 2
3
. Lập phương trình
đường thẳng
( d’)
( d)
đối xứng với
qua đường thẳng y
=x
.
Hướng dẫn giải
Xét phương trình:
⇒ A(3;3)
Lấy
1
x + 2 = x ⇒ x = 3⇒ y = 3
3
là giao điểm của đường thẳng
A(0;2) ∈ (d)
y = −x + 2
(d*)
. Đường thẳng
(d)
qua
và đường thẳng
B(0;2)
và vuông góc với
H
của
(d*)
và
(∆)
là điểm đối xứng của
Phương trình đường thẳng
Bài 12. Cho parabol
M(−1;3)
AB
có dạng:
là nghiệm của phương trình:
−x + 2 = x ⇒ x = 1⇒ y = 1⇒ H(1;1)
Gọi
(∆)
.
Hoành độ giao điểm
B'
(∆ ): y = x.
sao cho
( d)
B
(d')
H,
qua
qua
suy ra
A(3;3)
và
.
B'(0;2).
B'(2;0)
là
y = 3x − 6.
(P) : y = x2 − 1
. Lập phương trình đường thẳng
( P)
cắt
tại hai điểm phân biệt
A,B
và
M
( d)
đi qua
là trung điểm của
.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng
(d)
đi qua
Xét phương trình
Để
M
cắt
(P)
không song song với
Oy
có dạng
x2 − 1 = kx + k + 3 ⇔ x2 − kx − k − 4 = 0
∆ = (k + 2)2 + 12 > 0
⇒ (d)
M,
nên phương trình
tại hai điểm phân biệt
là trung điểm của
AB
thì
(1)
y = k(x + 1) + 3.
(1).
có hai nghiệm phân biệt
A,B
với
xA ,xB
là nghiệm của
xA + xB = 2xM ⇔ k = 2.(−1) = −2.
17
(1).
ABC
Bài 13. Cho tam giác
AH,BK
, cạnh
AB
có phương trình
y=
tương ứng có phương trình
trình các cạnh
AC,BC
3
2
y = x+
5
5
3
1
−2
22
x+ y=
x−
4
4
7
7
,
, các đường cao
. Hãy lập phương
.
Hướng dẫn giải
Tọa độ điểm
Do
BC
BC ⊥ AH
đi qua
B
B
là nghiệm của hệ:
nên phương trình cạnh
−2 =
nên ta có
BC
của tam giác
có dạng
ABC
tương ứng là tọa độ trung điểm các cạnh
. Tìm tọa độ các điểm
Hướng dẫn giải
a) Hai đồ thị cắt nhau tại
I
Trung điểm của
AB
A(1;1) B(−2;4).
M
,
có tọa độ
b) Phương trình đường thẳng
Tọa độ điểm
−4
x + b.
3
7
5
AC : y = x − .
2
2
M(x1;y1),N(x2;y2),P(x3;y3)
Bài 14. Cho
y=
16
−22
+ b⇒ b =
.
3
3
Tương tự ta có phương trình cạnh
BC,AC,AB
3
2
y = 5x + 5
⇒ B(−4;−2).
−
2
22
y =
x−
7
7
1 5
I − ; ÷.
2 2
IM
là nghiệm của hệ
là
y = x + 3.
y = x + 3
2
y = x
18
A,B,C
.
1− 13 7− 13
M1
;
÷
2
÷
2
y = x2
Bài 15. Cho các hàm số:
a) Xác định tọa độ giao điểm
trung điểm
I
của đoạn thẳng
b) Tìm tọa độ điểm
M
và
y = −x + 2
A,B
AB
và
1+ 13 7 + 13
M2
;
.
÷
2
÷
2
của đồ thị những hàm số đã cho và tọa độ
, biết điểm
A
có hoành độ dương.
thuộc đồ thị hàm số sao cho tam giác
AMB
cân tại
M
.
(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư Phạm, năm học 2007 – 2008)
Bài 16. Cho parabol
a) Chứng minh rằng
b) Tìm
m
(P) : y = −x2
( d)
luôn cắt
để độ dài đoạn
c) Chứng minh rằng
AOB
AB
và đường thẳng
( P)
(d): y = (m− 2)x − 1
tại hai điểm phân biệt
A,B
.
là nhỏ nhất.
là tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình
b)
x2 + (m− 2)x − 1= 0
luôn có hai nghiệm phân biệt.
A(x1,(m− 2)x1 − 1);B(x2,(m− 2)x2 − 1).
AB2 = (x2 − x1)2 + (m− 2)2.(x2 − x1)2 = (m− 2)2 + 1 (x2 − x1)2
= (m− 2)2 + 1 (x1 + x2)2 − 4x1x2 = (m− 2)2 + 1 (m− 2)2 + 4 ≥ 4
Suy ra min
c)
AB = 2
khi
m= 2
A(x1;−x12 ),B(x2;−x22)
OB: y = −x2x
. Ta có:
.
nên phương tình đường thẳng
(−x1)(−x2 ) = x1x2 = −1
Bài 17. Cho hai đường thẳng:
với
m
nên
OA : y = −x1x
và
OA ⊥ OB.
(d1) : y = (2m2 + 1)x + 2m− 1 (d2): y = m2x + m− 2
,
là tham số
19
a) Tìm tọa độ giao điểm
b) Khi
m
I
của
(d1),(d2 )
thay đổi, chứng minh điểm
I
theo
m
.
luôn thuộc một đường thẳng cố định.
(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012)
Hướng dẫn giải
I
a) Tọa độ giao điểm của
(d1), (d2 )
là
−m− 1 −3m2 + m− 2
I 2
,
÷.
m2 + 1
m +1
b) Ta có:
y1 + x1 =
−3(m2 + 1)
= −3 ⇔ I
m2 + 1
Bài 18. Cho parabol
thuộc đường thẳng có phương trình
(P) : y = x2
và đường thẳng
m
tham số. Tìm tất cả các giá trị của
hoành độ
x1,x2
. Với giá trị nào của
m
giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
để
( d)
cắt
y = −x − 3.
(d) : y = mx − m3 + 3
, với
( P)
m
là
tại hai điểm phân biệt có
thì là độ dài các cạnh góc vuông của tam
5
2
?
(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012)
Hướng dẫn giải
Xét phương trình:
(d)
cắt
P
x2 = mx − m2 + 3 ⇔ x2 − mx + m2 − 3 = 0 (1).
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
(1)
có hai nghiệm phân biệt:
⇔ −2 < m < 2.
Theo định lí Vi-ét ta có
x1 + x2 = m,x1.x2 = m2 − 3.
Theo yêu cầu của đề bài ta phải có
x1,x2 > 0
20
và
5
x12 + x22 = .
2
Do đó
Bài 19. Cho điểm
A ( −2;4)
m > 0
2
7
⇔ m=
.
m − 3
2
5
(x1 + x2 )2 − 2x1x2 =
2
. Tìm điểm
B
thuộc parabol sao cho tam giác
OAB
A
vuông tại .
Hướng dẫn giải
Phương trình cạnh
Phương trình cạnh
Tọa độ điểm
OA
AB
là
là
y = −2x.
1
y = x + 5.
2
5 25
B ; ÷.
2 4
Bài 20. a) Cho hàm số
y = x2 − 2x + m2 − 6m+ 13
. Tìm các điểm trên trục
Oy
mà
đồ thị hàm số không thể đi qua.
b) Chứng minh rằng đường thẳng
cắt parabol có phương trình
điểm
I
của đoạn thẳng
AB
( d)
có phương trình
y = x2 − x − 7
y = x + m2 + 2m+ 2
tại hai điểm phân biệt
A,B
luôn
và trung
thuộc một đường thẳng cố định.
Hướng dẫn giải
M(0;b)
thuộc
Oy
mà đồ thị hàm số có thể đi qua
⇔ b = m2 − 6m+ 13 = (m− 3)2 + 4 ≥ 4.
Vậy các điểm thuộc
Oy
có tung độ nhỏ hơn 4 thì đồ thị hàm số không thể đi
qua.
b) Phương trình hoành độ giao điểm là
x2 − 2x − m2 − 2m− 9 = 0.
21
∆ ' = m2 + 2m+ 10 = (m+ 1)2 + 9 > 0
parapol
I
(P)
với mọi
AB
xA + xB
= 1.
2
x1 =
thì
x = 1.
I
Vậy điểm thuộc đường thẳng
Bài 21. Cho parabol
(P): y = x2
a) Chứng minh rằng với mọi
do đó đường thẳng luôn cắt
A,B.
tại hai điểm phân biệt
là trung điểm của
m,
và đường thẳng
k
( d)
đi qua
( d)
thì đường thẳng
A ( 1;2)
luôn cắt
có hệ số góc
( P)
k
tại hai điểm
phân biệt.
b) Với
k=2
, chứng minh rằng
( d)
cắt
( P)
tại hai điểm nhận A làm trung điểm.
(THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ), năm học 2007 - 2008)
Hướng dẫn giải
a)
(d)
có phương trình
Phương trình
y = kx + 2 − k.
x2 − kx − 2 + k = 0
có
∆ = (k − 2)2 + 4 > 0
với mọi
k
nên luôn có hai
nghiệm biệt.
b) Khi
(d)
cắt
k = 2, d: y = 2x.
(P)
tại hai điểm
O(0;0)
và
Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ
điểm của
BC
Oxy
. Phương trình cạnh
2x + 6y + 3 = 0
M(2;4)
A
là trung điểm của
cho tam giác
AB,AC
. Tìm tọa độ các điểm
nên
ABC
tương ứng là
A,B,C
. Gọi
OM.
M ( −1;1)
x+ y− 2= 0
là trung
và
.
Hướng dẫn giải
Dễ thấy
15 −7
A ; ÷.
4 4
Gọi
N
là trung điểm
22
AC
thì
MN
song song với
AB
phương
trình đường thẳng
MN
là:
3 −3
x + y = 0 ⇒ N ; ÷.
4 4
(P) : y =
Bài 23. Cho parabol
qua
M
có hệ số góc
k
a) Tìm
b) Tìm
điểm
( d)
để
k
để
A,B
và
( d)
−1 2
x
2
và điểm
M(0;2)
. Gọi
( d)
là đường thẳng đi
k
( P)
cắt
tiếp xúc nhau.
( P)
A,B
tại hai điểm
phân biệt thỏa mãn
AB = 12
và các
có hoành độ là các số dương.
(THPT Chuyên Đại học Sư phạm TP Hồ Chí minh, năm học 2008 – 2009)
Hướng dẫn giải
a)
(d)
(d)
M
qua
và có hệ số góc k:
tiếp xúc với
(P)
y = kx + 2.
khi phương trình
x2 + 2kx + 4 = 0(1)
có nghiệm kép
⇔ ∆ ' = k2 − 4 = 0 ⇔ k = ±2.
b)
(d)
cắt
(P)
tại hai điểm
nghiệm dương phân biệt
A,B
phân biệt có hoành độ dương
⇔ (1)
có hai
⇔ k < −2.
A(x1;kx1 + 2),B(x2;kx2 + 2)
với
x1 + x2 = −2k,x1x2 = 4.
AB2 = (x2 − x1)2 + k2(x2 − x1)2 = (k2 + 1)(x2 − x1)2
= (k2 + 1) (x2 + x1)2 − 4x1x2 = (k2 + 1)(4k2 − 16) = 144
⇒ k2 = −5
(loại) hoặc
k2 = 8 ⇒ k = ±2 2.
Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ
parabol
Oxy
Vậy
k = −2 2.
cho đường thẳng
(P) : y = (k − 1)x2,k > 1
23
(d): y = 2x − k2 + 2k − 1
và
a) Tìm
A,B
k
( d)
để
( P)
cắt
nằm ở bên phải trục
x1,x2
b) Gọi
tại hai điểm phân biệt
Oy
A,B
. Chứng minh rằng khi đó
.
là hoành độ các điểm
A,B
M=
. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
1
+
.
x1 + x2 x1.x2
Hướng dẫn giải
a) Phương trình
(k − 1)x2 − 2x + (k − 1)2 = 0
∆ = −1− (k − 1)2 > 0 ⇔ k < 2.
A(x1;y1),B(x2;y2 )
Do
x1 > 0,x2 > 0
M=
b)
A,B
nên
2
>0
k −1
x1x2 = k − 1 > 0
và
ở bên phải trục
Oy.
4
1
1
+
= 2(k − 1) +
≥ 2 2.
x1 + x2 x1x2
k −1
Suy ra Min
M=2 2
k = 1+
khi
Bài 25. Cho hàm số
độ lần lượt là
−1
y = x2
1
2
b) Vẽ đồ thị
( P)
.
có đồ thị
( P)
A,B
và hai điểm
thuộc
có hoành
2
AB
và tìm tọa độ điểm
.
M
thuộc cung
AB
của
( P)
có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a)
( P)
và .
a) Viết phương trình đường thẳng
AMB
1< k < 2.
Kết hợp với điều kiện ta có
x1 + x2 =
thì
có hai nghiệm phân biệt khi
A(−1;1),B(2;4)
và phương trình đường thẳng
24
AB
là
y = x + 2.
sao cho tam giác
b) Gọi
(d)
(d) : y = x + m
tiếp xúc với
Khi đó
(P)
1 1
M ; ÷
2 4
là đường thẳng song song với
x = x+ m
AB.
2
khi phương trình
là tiếp điểm của
(d)
và
(P)
có nghiệm kép
thì tam giác
AMB
1
⇔ m= − .
4
có diện tích lớn
nhất.
Bài 26. Trong mặt phẳng tọa độ
k
a) Với giá trị nào của
y = 3x
b) Tìm
Oxy
( d)
thì đường thẳng
Khi đó hãy tĩnh góc tạo bởi
k
, cho đường thẳng
( d)
và tịa
để khoảng cách từ gốc tọa độ đến
Ox
( d)
( d) : 2kx + ( k − 1) y = 2
song song với đường thẳng
.
là lớn nhất.
(THPT Chuyên – TP. Hà Nội, năm học 2004-2005)
Hướng dẫn giải
a) Nếu
Nếu
k =1
k≠1
thì
(d)
y=
thì
trở thành
x=1
không song song với đường thẳng
−2k
2
x+
,
k −1
k −1
−2k
k − 1 = 3
⇒ k = 3 2− 3 .
2
≠0
k − 1
(
(d)
song song với
Góc nhọn tạo bởi
y = 3x.
y = 3x
(d)
b) Khoảng cách từ
O
khi
với tia
đến
(
Ox
(d)
là
α
thì tan
lớn nhất là
)
5
α = 3 ⇔ α = 600.
khi
y = m2 − 3 3m+ 1 x
Bài 27. Cho hàm số
25
)
. Tìm
1
k= .
5
m
để đồ thị hàm số đi qua điểm