Chuyên đề máy tính bỏ túi Casio cho học sinh THCS

>>> Chuyên đề :
Kiến thức cần nhớ
.1- Công thøc tÝnh tæng:
n(n + 1)
a) 1 + 2 + 3 + ... + n =
2
c) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n( n + 1)

b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n 2
d) 12 + 22 + ... + n 2 =

n(n + 1)(2n + 1)
6

n 2 (n + 1) 2
4
.2 - Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
Cho hai bộ số bÊt k× : ( a , b), (x , y) th× ta cã:
(ax + by)2 ≤ (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 )
a b
DÊu ‘‘=’’ xảy ra =
x y
.3 - Bất đẳng thức côsi:
a+b
ab
a) Với hai số a, b 0 thì :
DÊu ‘‘=’’ x¶y ra ⇔ a = b
2
a+b+c 3
≥ abc
b) Víi ba sè a, b, c ≥ 0 th× :

DÊu ‘‘=’’ x¶y ra ⇔ a = b = c
3
a+b+c+d 4
≥ abcd
c) Víi bèn sè a, b, c, d ≥ 0 thì :
Dấu = xảy ra a = b = c = d
4
a + a + ... + an n
≥ a1.a2 ....an
e) Víi n sè a1, a2,…, an ≥ 0 thì : 1 2
Dấu = xảy ra a1 = a2 = ... = an
n
.4 - Hằng đẳng thức vạn năng:
a) a3 + b3 + c3 = (a + b +c )(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ) + 3abc
b) (a +b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c+ a)
c) (a + b)n = Cn 0 a n + Cn1a n −1.b1 + Cn 2 a n −2 .b 2 + ... + Cn n −1a1.b n −1 + Cn nb n
n!
k
(k , n ∈ Ν, 0 k n) Là tổ hợp chập k của n
Víi: Cn =
k !.(n − k )!
 .5 - C¸c định lí:
Định lý Phécma lớn: Với mọi p là số nguyên tố và với mọi a ta có:
a p a(mod p )
Định lý Phécma nhỏ: Nếu a là 1 số nguyên không chia hết cho 1 số nguyên tố p thì ta có:
ap
1
1(mod p)
Định lý ơle: NÕu a, m ∈ Ζ , m > 0 , (a , m) = 1 th× ta cã:
ψ

a ( m ) ≡ 1(mod m)
1
1
1
Víi m = p1α1 . p2α 2 ... pn n là tích các thừa số nguyên tố , Ψ ( m ) = m(1 − )(1 − )...(1 − )
p1
p2
pn
e) 13 + 23 + 33 + ... + n3 =

Tính giá trị
Dạng 1.1: Liên quan đến hàm số(có dạng đa thức)
Bài 1.1.1: Cho F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx +e (trong ®ã a, b, c, d ,e= const)
BiÕt F(1) = 1, F(2) = 3 , F(3) = 6, F(4) = 10, F(5) = 15.
TÝnh F(6), F(7), F(8), F(9).
Bµi 1.1.2: Cho F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e (trong ®ã a, b, c, d ,e= const)
BiÕt F(1) = 2, F(2) = 4 , F(3) = 6, F(4) = 8, F(5) = 10.
TÝnh F(6), F(7), F(8), F(9).
Bµi 1.1.3: Cho F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e (trong đó a, b, c, d ,e= const)
>>> Chuyên đề 1:

Các chuyên đề casio lớp 8+9

1


BiÕt F(1) = 1, F(2) = 4 , F(3) = 9, F(4) = 16, F(5) = 25.
TÝnh F(6), F(7), F(8), F(9).
Bµi 1.1.4: Cho F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e (trong ®ã a, b, c, d,e = const)
BiÕt F(1) = 0, F(2) = 3 , F(3) = 8, F(4) = 15, F(5) = 24.

TÝnh F(6), F(7), F(8), F(9).
Bµi 1.1.5: Cho P(x) = x5 + ax4+ bx3+ cx2 + dx +e . (trong ®ã a, b, c, d,e = const)
BiÕt P(1) = 4, P(2) = 16, P(3) =36 , P(4) = 64, P(5) = 100.
TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9).
Bµi 1.1.6: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d . (trong ®ã a, b, c, d = const)
BiÕt P(1) = 5 ; P(2) = 14 ; P(3) = 29 ; P(4) = 50 .
H·y tÝnh P(5) ; P(6) ; P(7) ; P(8).
Bµi 1.1.7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d . (trong ®ã a, b, c, d = const)
BiÕt P(1) = 0 ; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 .
H·y tÝnh P(2002) .
Bµi 1.1.8: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d . (trong ®ã a, b, c, d = const)
BiÕt P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; P(4) = 8 .
H·y tÝnh P(2002) ; P(2003) .
Bµi 1.1.9: Cho P(x) = x5 +ax4+ bx3+ cx2 + dx +e . (trong ®ã a, b, c, d,e = const)
BiÕt P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) =14, P(4) = 30, P(5) = 55.
TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9).
Bµi 1.1.10: Cho P(x) = x5 +ax4+ bx3+ cx2 + dx +e . (trong ®ã a, b, c, d,e = const)
BiÕt P(1) = 9, P(2) = 25, P(3) =49 , P(4) = 81, P(5) = 121.
TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9).
Bµi 1.1.11: Cho P(x) = x5 + ax4+ bx3+ cx2 + dx +e . (trong ®ã a, b, c, d,e = const)
BiÕt P(1) = 2, P(2) = 9, P(3) =28 , P(4) = 65, P(5) = 126.
TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9).
Bµi 1.1.12: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d . (trong ®ã a, b, c, d = const)
BiÕt P(1) = 1 ; P(2) = 9 ; P(3) = 25 ; P(4) = 49 .
H·y tÝnh P(5) ; P(6) ; P(7) ; P(8).
Bài 1.1.13: Cho đa thức f(x) = x5 + x2 + 1 có năm nghiệm là x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 .
Ký hiƯu p(x) = x2 - 81 . H·y t×m tÝch p = p(x1)p(x2)p(x3)p(x4)p(x5) .
Bài 1.1.14: Cho đa thức f(x) = 2x5 + 3x2 + 2010 có năm nghiệm là x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 .
Ký hiÖu p(x) = x2 - 100 . H·y t×m tÝch p = p(x1)p(x2)p(x3)p(x4)p(x5) .
Bài 1.1.15: Cho đa thức f(x) = x5 +2 x3 + 20112012 có năm nghiệm là x1;x2 ; x3 ; x4 ; x5 .Ký hiÖu p(x) = x2 .

HÃy tìm tích p = p(x1)p(x2)p(x3)p(x4)p(x5) .
Bài 1.1.16: Cho hàm sè :F(x) =50x4 +ax3 +bx2+cx+d
(trong ®ã a, b, c, d = const)
BiÕt F(1) = 3 ;F(2) = 10 ; F(3) = 29 ; F(4)=67 .
TÝnh F(100) vµ F(122).
Bµi 1.1.17: Cho ®a thøc f(x) = 3x4 +2009 x+ 2011 cã 4 nghiƯm lµ x1;x2 ; x3 ; x4 .
Ký hiƯu p(x) = x2 - 49 . H·y t×m tÝch p = p(x1)p(x2)p(x3)p(x4)p(x5) .
Bài 1.1.18: Đa thức F(x) khi chia cho x-3 th× d 10 , khi chia cho x+5 th× d 2 còn khi chia cho (x-3)(x+5) thì
đợc thơng là x2 +1 và còn d.
1/Xác định F(x).
2/Xác định đa thức d.
3/Tính F(10) ; F(1002).
Bài 1.1.19: Đa thức F(x) khi chia cho x-3 th× d 7, khi chia cho x+5 th× d -9 còn khi chia cho x2-5x+6 thì đợc
thơng là x2 +1 và còn d.
1/Xác định F(x).
2/Xác định đa thức d.
3/Tính F(10) ; F(1001).
Bài 1.1.20: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d . (trong đó a, b, c, d = const)

Các chuyên đề casio líp 8+9

2


BiÕt P(1)=10 ; P(2) = 20 ; P(3) = 30 .
1/TÝnh A = 2011.[ P(12) + P(- 8) ] .
2/TÝnh A = 20112.[ P(12) + P(- 8) ] .
Bµi 1.1.21: §a thøc F(x) khi chia cho x-2 th× d 5, khi chia cho x-3 thì d 7 còn khi chia cho 2x2-5x+6 thì đợc
thơng là 1-2x2 và còn d.
1/Xác định F(x).

2/Xác định đa thức d.
3/Tính F(10) ; F(1000).
Bài 1.1.22: Đa thøc F(x) khi chia cho x-2 th× d 2, khi chia cho x-3 thì d 7 còn khi chia cho x2-25x+16 thì đợc
thơng là 2-3x2 và còn d.
Tính F(10) ; F(1003).
Bµi 1.1.23: Cho F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e (trong ®ã a, b, c, d,e = const)
BiÕt F(1) = 3, F(2) = 9 , F(3) = 19, F(4) = 33, F(5) = 51.
TÝnh F(10), F(100), F(1000), F(10000).
Bài 1.1.24: Đa thức F(x) khi chia cho x- 3 th× d 7, khi chia cho x+5 th× d -9 , khi chia cho x- 6 th× d 19 còn
khi chia cho 2x3-5x2+6 thì đợc thơng là 3x2 +2 và còn d.
Tính F(100) ; F(1000).
Bài 1.1.25: Cho đa thức P(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e. (trong ®ã a, b, c, d = const)
BiÕt P(1)=8 ; P(2) = 14 ; P(3) = 20 ; P(4) = 26 .
1/TÝnh A = 2011.[ P(11) - P(- 6) ] .
2/TÝnh A = 20112.[ P(11) - P(- 6) ] .
Bài 1.1.26: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e. (trong ®ã a, b, c, d = const)
BiÕt P(1)=-2 ; P(2) = 1 ; P(3) = 6 ; P(4) = 13 .
1/TÝnh A = [ P(15) - P(- 10) ] :25
2/TÝnh A2,A3 ,A4.
Bµi 1.1.27: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d . (trong ®ã a, b, c, d = const)
BiÕt P(1) =1 ; P(2) = 3 ; P(3) = 7 .
1/TÝnh A = [ P(20) + P(- 16) ] :6
2/TÝnh A2 , A3 , A4.
3/ TÝnh S = A + A2 + A3 + A4 .
Bµi 1.1.28: Cho ®a thøc f(x) = 5x4 - 4x2 + 3 cã 4 nghiƯm lµ x1 ; x2 ; x3 ; x4 .
Ký hiÖu p(x) = 4x2 - 100 . H·y tìm tích p = p(x1)p(x2)p(x3)p(x4) .
Bài 1.1.29: Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17 ;P(37) = 33.
BiÕt P(N) = N + 51 .Tính N
Dạng 1.2: Tính giá trị biểu thức
Dạng 1.2.1: Tính chính xác kết quả của phép tính tràn màn hình

Bài 1.2.1.1: Tính kết quả đúng của các tích sau:
a) A = 2222255555 × 2222266666
b) B = 20032003 × 20042004
c) C = 198011
Bài 1.2.1.2: Nêu một phơng pháp (kết hợp trên giấy và máy tính) để tính kết quả đúng của phép tính sau:
12578963.14375
Bài 1.2.1.3: Tính giá trị chính xác của sè:
a) B = 1234567892
b) C = 10234563
c) 201220032
Bµi 1.2.1.4: 1) Nêu một phơng pháp tính chính xác số 10384713
2)Tìm giá trị chính xác của 10384713 .
Bài 1.2.1.5: Tính chính xác c¸c phÐp tÝnh sau:
a/ A= 5555566666.6666677777
b/ B = 20!
c/ C = 1.1! +2.2! + 3.3! + …+16.16!
d/ D = 13032006.13032007
e/ E = 3333355555.3333377777

Các chuyên đề casio lớp 8+9

3


f) Tính chính xác tổng sau: S = 1 ì 1! +2 × 2! + …+10 × 10! .
g) TÝnh chính xác tổng sau: S = 1 ì 1! +2 × 2! + … +20 × 20! .
Bµi 1.2.1.6: TÝnh chÝnh x¸c c¸c phÐp tÝnh sau:
a/ A = 1322007.1322009
b/ B = 6666688888.7777799999
c/ C = 200720082

Bài 1.2.1.7: Tính chính xác giá trị của M rồi tính tổng các chữ số của M.
M = 9876543210123456789.12345
Bài 1.2.1.8: Tính chính xác giá trị của N rồi tính tổng các chữ số của N.
N = 9876543210123456789.123456789
Dạng 1.2.2: Tính giá trị của biểu thức lợng giác
Bài 1.2.2.1: HÃy tính giá trị của biểu thức:
sin 54 0 36'−sin 35 0 40'
cos 36 0 25'−cos 63017'
A=
; B=
;
sin 72 018'+sin 20 015'
cos 40 0 22'+ cos 52 010'
H = (cotg22017- cotg15016)(cos216011- sin320012)(HÃy tính chính xác đến 0,0001)
Bài 1.2.2.2:
1) Tính : A = sin220 + sin240 + … + sin2860 + sin2880
2) Chøng minh r»ng biĨu thøc sau kh«ng phơ thuéc vµo x :
P = 1994(sin6x + cos6x) - 2991(sin4x + cos4x)
Bµi 1.2.2.3: Cho cosα = 0, 7651 víi 00 < α < 900
1) TÝnh sè ®o cđa gãc α (độ , phút , giây)
2) Tính B = 8 cos4 α - 8cos2 α - cos 4 α + 1,05678
ϕ
2 cos 2 + cos
20
3 đúng đến 7 chữ số thập phân.
Bài 1.2.2.4: Cho cot =
. Tính A =

21
sin − 3sin 2ϕ

2
Bµi 1.2.2.5: TÝnh:
cos3 α .(1 + sin 3 α ) + tan 2 α
. BiÕt sin α = 0,3456 (00 < α < 900) .
1) M =
3
3
3
(cos α + sin α ).cot α
sin 2 α (1 + cos3 α ) + cos 2 α (1 + sin 3 α )
N=
. BiÕt cos2 α = 0,5678 (00 < α < 900) .
2)
3
3
4
(1 + tan α )(1 + cot α ) 1 + cos α
tan 2 α (1 + cos3 α ) + cot 2 α (1 + sin 3 α )
.
3) K =
(sin 3 α + cos 3 α )(1 + sin α + cos α )
BiÕt tan α = tan350.tan360 ...tan520. tan530. (00 < α < 900) .
Bµi 1.2.2.6: Cho sina = 0,7895 ; cosb = 0,8191 ( a , b lµ gãc nhän)
TÝnh X = a + 2b (độ và phút).
Bài 1.2.2.7: a/Tính A = 1 + 2cosα + 3cos 2α + 4cos 3α biÕt 3sin α + cosα = 2
b/ TÝnh A = 4 + 3cosα + 2cos 2α + cos 3α biÕt 2sin α + cosα = 2
c/ TÝnh A = 4 + 3sin α + 2sin 2 α + sin 3 α biÕt sin + cos = 1,5
Dạng 1.2.3: Tính giá trị biểu thức dÃy có quy luật
Bài 1.2. 3.1:

Các chuyên đề casio líp 8+9

4


1
1
1
1
+
+
+ × ×+
×
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n ( n + 1) ( n + 2 )
1
1
1
1
A=
+
+
+ × ×+
×
1.2.3 2.3.4 3.4.5
970200
5
5
5
5

A=
+
+
+ × ×+
×
1.2.3 2.3.4 3.4.5
2009.2010.2011
1
1
1
1
A=
+
+
+ × ×+
×
1.3.5 3.5.7 5.7.9
( 2n + 1) ( 2n + 3) ( 2n + 5 )
36
36
36
36
A=
+
+
+ × ×+
×
1.3.5 3.5.7 5.7.9
2009.2011.2013

1/HÃy tính giá trị của biểu thức: A =
2/HÃy tính giá trị của biểu thức:
3/HÃy tính giá trị của biểu thức:
4/HÃy tính giá trị của biểu thức:
5/HÃy tính giá trị của biểu thức:
Bài 1.2.3.2:

1
1
1 1
ì
1/Tính giá trị của biểu thức: A = 1 ÷× 1 − ÷×1 − ÷× × 1 − 2 ÷×

 3   9   16   n
1
1
1 1
ì
2/Tính giá trị của biểu thức: A = 1 ữì 1 ÷×1 − ÷× × 1 −

÷×
 3   9   16   10000 
Bµi 1.2.3.3: TÝnh tỉng và viết quy trình tính:
1/ S = 1 + 2 + 3 + ...+ 72
1 1
1 1
2/ P = 1 + + + ... + +
2 3
71 72
1

1
1
1
+
−
+ ... −
3/ Q = 1 −
2
3
4
72
4/ K = 1 + 3 + 5 + …+ 99
5/ H = 1.2 +2.3 +3.4 + …+ 49.50
6/A = 1. 2 + 2. 3 + 3. 4 + ... + 49. 50
Bµi 1.2.3.4:
1 1
1
1
+ +
+.............. +
2 6 12
n.( n +1)
1 1 1
1
2/ HÃy tính giá trị cđa biĨu thøc: A = + + + .............. +
2 6 12
9999900000

1/HÃy tính giá trị của biểu thức: A =

Bài 1.2.3.5: Tính ( làm tròn đến 6 chữ số thập ph©n):
1 / A = 1 − 2 + 3 3 − 4 4 + 5 5 − 6 6 + 7 7 − 8 8 + 9 9 − 10 10
P
1 1 1
1
2/ M =
víi P = 3 + 32 +…+ 319 ; Q = + 2 + 3 + ... + 19
Q
3 3 3
3
1
 1  1 1  1 1
ì
ì
3/ N = 1 + ữì 1 + + ữì ì 1 + + + ì ì ữ (chÝnh x¸c tíi 0,0001)

15 
 2  2 3  2 3
Bµi 1.2.3.6:
Cho S1 = 100 ; S2 = S1 + 152 ; S3 = S1 + S2 + 302
S4 = S1 + S2 + S3 +552 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +902
TÝnh S8 ; S9 ; S10 ;S20
Bµi 1.2.3.7:
Cho S1 = 100 ; S2 = S1 + 132 ; S3 = S1 + S2 + 212
S4 = S1 + S2 + S3 + 342 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +522
TÝnh S8 ; S9 ; S10 ;S30
Bµi 1.2.3.8:
Cho S1 = 196 ; S2 = S1 + 22 ; S3 = S1 + S2 + 92
S4 = S1 + S2 + S3 + 232 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 + 442

Các chuyên đề casio lớp 8+9

5


TÝnh S8 ; S9 ; S10 ;S50
Bµi 1.2.3.9:
4 − 3n
Cho d·y sè un =
.vµ Sn = u1 + u2 +…+un .
n
a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh Sn .
b/ H·y tÝnh S5;S10;S15;S20.
Bµi 1.2.3.10:
+ 7
Cho d·y sè un Víi u1 = 7 ;u2= 7 + 7 ;un = 174 4 2 + ... 7
4 43
a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh un .
b/ Tính u1000

n dấu căn

Bài 1.2.3.11:
+ 10
Cho dÃy số un.TÝnh u10000 víi u1 = 10 ;u2= 10 + 10 ;un = 110 + 10 4 ... 4
4 44 2 4 3
Bài 1.2.3.12:
Cho dÃy số un =

n dấu căn

4 + 5n
.vµ Sn = u1 + u2 +…+un .H·y tÝnh S5;S10;S15;S20.
3
n

Bµi 1.2.3.13:
3
3
15 ... + 3 15
Cho d·y sè un.TÝnh u10000 víi u1 = 3 15 ;u2= 3 15 + 3 15 ;un = 115 + 4 2+4 4 43
44

n dấu căn

Bài 1.2.3.14:
Cho d·y sè :Sn = (13+23)(13+23+33)…(13+23+33+…+n3)
a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh Sn .
b/ TÝnh Sn víi n = 1,2,3,…,10.
Bµi 1.2.3.15:
Cho d·y sè :Sn = 14+(14+24)+(14+24+34)+…+(14+24+34+…+n4)
a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh Sn .
b/ TÝnh Sn víi n = 5;10;15;20.
Bµi 1.2.3.16:
1 
1
1  
1
1
1 


n +1
×
Cho d·y sè :Sn = 1 3 ữ1 3 + 3 ữì × 1 − 3 + 3 − ... + (−1) ×3 ÷
2 
2
3 
2
3
n

a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh Sn .
b/ TÝnh Sn víi n = 5;7 .
Bµi 1.2.3.17:
Víi mỗi số nguyên dơng n > 1.Đặt Sn= 1.2 +2.3 +3.4 + … +n.(n+1)
a/ViÕt quy tr×nh tÝnh Sn
b/TÝnh S50 ; S2005 ; S20052005
2
c/ So sánh S 2005 với S20052005
Bài 1.2.3.18:
1 1
1 1
1 1
1
1
Cho S n = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 + 2 +
2 3
3 4
4 5
n (n + 1) 2

a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh Sn .
b/ TÝnh S10 ; S12 vµ S2007 ;S2011 với 6 chữ số ở phần thập phân.
Bài 1.2.3.19: Với mỗi số nguyên dơng n .

Các chuyên đề casio líp 8+9

6


§Ỉt A(n) = n +

3

2 − 3. 6 7 + 4 3 − n

9 − 4 5. 2 + 5 + n
a/Tính A(2007).
b/So sánh A(2008) với A(20072008).
Bài 1.2.3.20: Cho S1 = 81 ; S2 = S1 + 152 ; S3 = S1 + S2 + 252
S4 = S1 + S2 + S3 +392 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +572
TÝnh S8 ; S9 ; S10 .
Bµi 1.2.3.21: Tính giá trị biểu thức :
a/ A = 3 + 8 + 15 +…..+ 9800
b/ B = 1.2.3 + 3.5.7 + 5.7.9 +…+ 95.97.99
c/C=3 + 6 + 11 + 20 + 37 +…+ (2n + n) víi n = 10, n = 20, n= 30
d/D = 1 + 32 + 34 + 36 +…+ 3100
e/E = 7 + 73 + 75 + 77 +…+ 799
Bµi 1.2.3.22:
1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (1 + 2 + 3 + ... + 2008)
1/ TÝnh A =

1.2008 + 2.2007 + 3.2006 + ... + 2007.2 + 2008.1
2/ TÝnh B = 1 - 24 + 34 - 44 + …+ 494 - 504 .
1 1 1
1
×
3/ TÝnh C = 1 + + + + × ×+
.
2! 3! 4!
50!
4

4/ TÝnh D =

40 38 36... 4 2 .

5/ TÝnh E =

40 39 38... 3 2 .

6)

3

4

5

6

7

A = 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 8 − 9 9 + 20109

Bµi 1.2.3.23: TÝnh (làm tròn đến 6 chữ số thập phân):
Bài 1.2.3.24: Cho Cn =

n

n

( n −1)

( n − 1)

( n − 2)

9

8

7

6

5

C = 9 8 7 6 54 43 3 2

(n − 2)...4 3 3 2

a/ ViÕt quy tr×nh tÝnh Cn .
b/ TÝnhC50 ; C100.
2 0
2 0
2 0
2 0
2 0
2 0
Bµi 1.2.3.25: Cho Tn = ( Sin 1 ) + ( Sin 1 + Sin 2 ) + ... + ( Sin 1 + Sin 2 + ...Sin n )
a/ ViÕt quy trình tính Tn
b/Tính T100.
Bài 1.2.3.26: Tính gần đúng (làm tròn đến 6 chữ số thập phân) :
6
5
4
3
2
1
+3 4 +5 6 +7
A = 7
2
3
4
5
6
7
Bài 1.2.3.27: Với mỗi số nguyên dơng n > 1 .Đặt Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ n(n + 1)
TÝnh S100 vµ S2005 .
Bµi 1.2.4.1: Cho biểu thức:

Dạng 1.2.4: Tính giá trị biểu thức đại số
M = (4x 4 - 2x 3 + x - 1) 3

HÃy tính giá trị của biểu thức M khi x =

2
3

3 +3 7

-

2
3

Bài 1.2.4.2:

Các chuyên đề casio lớp 8+9

7


55.........5
3
1/HÃy tính giá trị của biểu thức: A = 5 +55 +555 +...+ 14 2 4
n sè 5
55.........5
3
2/H·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = 5 +55 +555 +...+ 14 2 4
12 số 5

77.........7
3
3/HÃy tính giá trị của biểu thøc: A = 7 +77 +777 +...+ 14 2 4
17 sè 7

Bµi 1.2.4.3:

1 1
1
1
+ + ..... +
+
99 100
1) H·y tÝnh giá trị của biểu thức: A = 12 3
2
98 99
+
+ ....... +
+
99 98
2
1
2) Trục căn thức ở mẫu số rồi dùng máy tính tính giá trị của biểu thức
2
B= 3
với độ chính xác càng cao càng tốt.
2 2 +2+ 3 4
Bài 1.2.4.4:

1/HÃy tính giá trị của biểu thức: P = ( 5 − 3 ). 2 + 3 + 3 + 5 − 2 


2/ TÝnh P80.
3/TÝnh P100.
Bµi 1.2.4.5: H·y tính giá trị của biểu thức: P = (4 + 15 )( 10 − 6 ). 4 − 15 .
.
2,0(1234 ) + 4,11( 98)
Bài 1.2.4.6: HÃy tính giá trị của biĨu thøc: P =
0,12( 21) − 2,2(1)
Bµi 1.2.4.7: H·y tÝnh giá trị của biểu thức:
[( 6,75 6,35) : 2,25 + 9,822.......]. 1
12,8
: 0,0125
P=
1
1
(1,2 : 36 +1 : 0,25 −1,8333.......).1
5
4
2  8

5
7,5 :
137  6,75 −  :
37  5
4
−
Bµi 1.2.4.8: HÃy tính giá trị của biểu thức: P =
6 1

 1
7,51 − 62
 7 + 2 .3
5 7
 9
 15 − 37
5+ 7
 + 6,76
−
2− 3
 2+ 3


Bµi 1.2.4.9: HÃy tính giá trị của biểu thức: P = 22,8: 

Bµi 1.2.4.10: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

(2002 2 + 1).(2004 2 + 1).(2006 2 + 1).2007
2002.2004.2006.2008
2
(2005 − 2012).(2003 2 + 4020 3).2006.2007.2008
b. B =
;
2003.2005.2020.2012

a. A =

Bài 1.2.4.11: Tính giá trị c¸c biĨu thøc sau:
A=(

B=

5-

3

).(

2+ 3

+

3+

1 1
1
1
+ + ... + +
2 3
99 2005
5 - 2 ).
1
2
2003 2004
+
+ ... +
+
2004 2003
2
1

(2007 2 − 6010 − 9).(2008 2 − 10030 − 6).(2009 2 6020 5).2010.2011
2001.2002.2003.2004.2005.2006.2007.2008

Bài 1.2.4.12:

Các chuyên đề casio lớp 8+9

8


Cho 3 ®iƯn trë R1 = 4,18 Ω , R2 = 5,23 , R3 = 6,17 đợc mắc song song trên 1 mạch điện. Tính điện trở
1 1 1
1
= +
+ )
tơng đơng Rtđ ( biết
R R1 R2 R3
Bài 1.2.4.13: a) TÝnh: A =

321930 + 291945 + 2171954 + 3041945
b) TÝnh : P(x) = 19x - 13x - 11x khi x = 1,51425367.
c) Cho : P(x) = 3x - 12x - 2002x .TÝnh P(1,0012)
 a 3 − 3ab 2 = 2

Bài 1.2.4.14: Cho a , b là các số tho¶ m·n :  3
2
b − 3a b = 11

a) Tính: P = 2010(a2 + b30)

b) Nêu một phơng pháp (kết hợp trên giấy và máy tính) để tính kết quả đúng của: Q = 2010(a30 + b2)
Bài 1.2.4.15:
7
17
3
(8 6
) ×1
1) T×m sè C , biÕt r»ng 7,5 % cña nã b»ng 55 2 110 7 217
3
( − ) :1
5 20
8
2) TÝnh b»ng m¸y tÝnh A = 12 + 22 + ...+ 102 . Cã thĨ dïng kÕt qu¶ ®ã ®Ĩ tÝnh ®ỵc tỉng S = 22 + 42 + +
202 mà không sử dụng máy tính . Em hÃy trình bày lời giải tính tổng S .
Bài 1.2.4.16: TÝnh A = π

π 2 3 (1, 263) 2

.
(3,124) 2 ì15 ì (2,36)3
Bài 1.2.4.17: Tính gần đúng đến 7 chữ sè thËp ph©n:
1 1 1 
2 2 2

 1 + 3 + 9 + 27 ÷ 2 + 3 + 9 + 27 91919191
B = 182 ì
ì
ữ:
4 4 + 4 − 4 ÷ 1 − 1 + 1 − 1 80808080
7 49 343 

7 49 343

h
ph
22 25 18 g × 2, 6 + 7 h 47 ph50 g
Bài 1.2.4.18: Tính A =
chính xác tới 5 chữ số thập phân.
9h 28 ph16 g
Bài 1.2.4.19:
2
2
2
+
+
Bài 1.2.4.20: 1) Tính A =
0,19981998... 0, 019981998... 0, 0019981998...
2) Tìm tất cả các ớc nguyên tố của số A .
Bài 1.2.4.21: Phần nguyên của x (là số nguyên lớn nhất không vợt quá x) đợc kí hiệu là [x]. Tìm [B] biết
2
B=
1 1 1
1
1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2
2 3 4
10
Bài 1.2.4.22: Viết kết quả dới dạng phân số tối giản:
1) 3124,142248
2) 5,(321)
Bài 1.2.4.23:
1) Giả sử (1 + x + x2)100 = a0 + a1x + a2x2 + …+ a200x200

H·y tÝnh E = a0 + a1 + a2 + …+ a200 .
2) Gi¶ sư (1 + x + x4)25 = a0 + a1x + a2x2 + …+ a100x100
H·y tÝnh E = a1 + a2 + …+ a99 .
1 1 1 1 1 1 1 1
Bài 1.2.4.24: 1) Phải loại các phân số nào trong tổng + + + + + + +
để đợc kết quả bằng
2 4 6 8 10 12 14 16
1.
5

Các chuyên đề casio lớp 8+9

9


2) Viết quy trình bấm phím tính giá trị của biÓu thøc : A =

2x2 + 5x − 3
3x − 1

1
1
−1
; x=
;x=
2
3
3
24
20

16
x + x + x + ... + x 4 + 1
Bµi 1.2.4.25: Cho A = 26
x + x 24 + x 22 + ... + x 2 + 1
Tính giá trị của A với x = 1,23456789 và với x = 9,87654321
Bài 1.2.4.26: Với mỗi số x , kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vợt qu¸ x .


 n  víi n = 1, 2, 3 ,….
KÝ hiƯu q(n) =
 n
 
1) TÝnh q(n) víi n = 1, 2 ,3 ,,20.
2) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho q(n) > q(n+1).
Bài 1.2.4.27Tính giá trị các biểu thức sau:
2 3 6
2
1

a/ A = 1 + 2 ÷:  1 − ÷:  1,5 + 2 + 3, 7 ÷
5  4 4 
5
 3

5  3
2
3 
b/ B = 12 :1 ì1 + 3 : 2
ữ
7 4 11 121 

1  1
6   12 10

10 × 24 − 15 ữ ì 1, 75 ữ

3 7
7 11 3

c/ C =
5
60
8


0, 25 ữì + 194
9
99

 11
1 1
+
d/ D = 0,3(4) + 1, (62) :14 7 − 2 3 : 90
11 0,8(5) 11
Bµi 1.2.4.28: Cho P(x) = 3x3 + 17x - 625 .
1) TÝnh P(2 2 ) .
2) TÝnh a ®Ĩ P(x) + a2 chia hết cho x + 3.
Bài 1.2.4.29:
Một hình vuông đợc chia thành 16 ô (mỗi cạnh 4 ô ) Ô thứ nhất đợc đặt 1 hạt thóc, Ô thứ hai đợc đặt 2 hạt
thóc, ô thứ ba đợc đặt 4 hạt thóc, ô thứ t đợc đặt 8 hạt thóc ...... cho tới ô cuối cùng. Hỏi tất cả hình vuông có
bao nhiêu hạt thóc.

Bài 1.2.4.30: Tìm GTLN của biểu thøc:
a) A = 2009x + 1010y víi 9x2 + 4y2 = 2011
b) B = 2010x4 (2009 - 3x4)
( TÝnh chÝnh xác đến 0,001)
Bài 1.2.4.31:
Bài 1.2.4.32: Tính giá trị các biểu thøc sau:
¸p dơng b»ng sè : x =

B=

20052006 + 20062007 + 20072008 + 20082009 + 20092010

Bµi 1.2.4.33: BiÕt r»ng: a + b = 2007, a.b = 2007
1 1
Tính giá trị cđa biĨu thøc:M = 3 − 3
a b
Bµi 1.2.4.34:
a/ TÝnh giá trị ( ghi ở dạng phân số ) của biểu thức:M = 0,1(23) + 0,6(92).
b/ số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,5(23) đợc phân số nào sinh ra?

Các chuyên đề casio lớp 8+9

10


Bµi 1.2.4.35: BiÕt r»ng : (2+x+2x3)15 = a0 +a1x +a2x2 + …+ a45x45.
a/TÝnh S = a0 + a1 + a2 +…+ a45.
b/TÝnh S = a1 + a2 +….+ a45.
c/ TÝnh S = a1 + a2 ++ a44.
12

Bài 1.2.4.36: Cho phơng trình bậc hai:x2 - 10 3 12 x +
=0
5
Tính giá trÞ cđa :
A = x1.x2 + 12.
B = x1 + x2 - 5.
2
2
2
C = x1 + x2
D = ( x1 − x2 )
3
E = x13 + x2

4
F = x14 + x2
1 1
H= +
x1 x2

G = x16 + x26
I=

x1 x2
+
x2 x1

2
K = x12 x2 + x1 x2

Bài 1.2.4.37: Cho phơng trình: x2 + 4 5 x - 2 4 3 =0
TÝnh giá trị của:
A = x1.x2 + 12 3 35 .
B = x1- x2 - 5.
2
C = x12 − x2

D = ( x1 − x2 )

3
E = x13 − x2

4
F = x14 − x2
1 1
H= −
x1 x2

G = x16 − x2 6
I=

x1 x2
−
x2 x1

2
K = x12 x2 − x1 x2

Bµi 1.2.4.38: Cho phơng trình: 2 x2 +
Tính giá trị của:

A = x1.x2 + 12.
2
C = x12 + x2

3

3x-

4

4 =0

B = x1 + x2 - 5.
2
D = ( x1 − x2 )

3
E = x13 + x2

7
F = x17 + x2
1
1
+
H=
x1 − 1 x2 − 1
x1
x
+ 2
K=

x1 + 1 x2 + 1
1 1
N= 3 − 3
x1 x2

G = x15 + x2 5
1 − x1 1 − x2
+
x1
x2
1 1
L= 2 − 2
x1 x2
I=

Chó ý:(x1- x2)2 = (x1 + x2)2- 4x1x2 ⇒ x1 − x2 = ±
Bµi 1.2.4.39: TÝnh B =

2

( x1 + x2 )

2

− 4 x1 x2

1 + x + x 2 + ... + x9
víi y = 1,2345 vµ x= 5,6789
1 + y + y 2 + ... + y 9

Bµi 1.2.4.40: TÝnh A = 5 3 6 32 − 3 3 9 162 − 11 6 18 + 2 3 75 50
Bµi 1.2.4.41: Cho [x] là phần nguyên của x.

Các chuyên đề casio líp 8+9

11


1/TÝnh S =  1  +  2  + ... +  65 
   


2/ TÝnh S =  1  +  2  + ... +  300 
   


2
2
2
100   99 
 51 
3/ TÝnh S = 
 +  2  + ... +  50 
 1 



Bài 1.2.4.42: Cho [x] là phần nguyên của x.
1/Tính S =  3 1  +  3 2  + ... +  3 200 
   



3 
3
3
2/TÝnh S =  1  +  2  + ... +  400 

 


Bµi 1.2.4.43:Cho a = -1,2345 ; b = 2,3456 ; c =3,4567
1
1
1
+
+
TÝnh:A=
2
2
2
( a − b) ( b − c) ( c − a)
Bµi 1.2.4.44: Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bá dÊu ngc trong biĨu thøc:
a/P(x)=(2004 - 2005x + x2)2004.( 2004+2005x + x2)2005
b/P(x)=(2011 - 2010x + 2x2)5.( 2004-2005x + 4x2)20
Bài 1.2.4.45: Tính giá trị biểu thức :
5a + 7b
a 2000
A=
với =
4a 3b

b
7
Bài 1.2.4.46: Tính giá trị biểu thøc :
A=| a - 2 | + | 3 - 2a | - |5 + a | víi a = - 8 -

2 + 3 5 + 23 3

Bµi 1.2.4.47: Tính giá trị biểu thức :
1/ A = 1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1) + n + ( n − 1) + ... + 3 + 2 + 1
2/ A = 1 + 2 + 3 + ... + 2010 + 2011 + 2010 + ... + 3 + 2 + 1
Bµi 1.2.4.48: TÝnh giá trị biểu thức :
212.35 46.92
510.73 255.492
A=

6
3
( 22.3) + 84.35 ( 125.7 ) + 59.143
x − 3y − 3 = 0
Bài 1.2.4.49: Cho hệ phơng trình: 2
2
x + y − 2x − 2 y − 9 = 0
Gäi (x1;y1) vµ (x2 ; y2) lµ nghiƯm cđa hƯ phơng trình trên .
HÃy tính giá trị của biểu thức :M = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2
Bµi 1.2.4.50:
 x4 y 4
1
=
 +
1/Cho a,b,x,y tho¶ m·n :  a

b a+b
 x2 + y2 = 1

Chøng minh r»ng:

x 2010 y 2010
2
+ 1005 =
1005
a
b
(a + b)1005

 x4 y 4
1
=
 +
b a+b
2/¸p dơng: Cho a,b,x,y tho¶ m·n :  a
 x2 + y2 = 1

2010
y 2010 
1010  x
BiÕt a=5,24 ; b = 1,29 .HÃy tính giá trị của biểu thức:A = 6,53 . 1005 + 1005 ữ .
b
a

Các chuyên ®Ị casio líp 8+9

12


Bµi 1.2.4.51: BiÕt r»ng : (3 - x + 2x2)15 = a0 + a1x + a2x2 + …+ a30x30.
a/TÝnh S = a0 + a1 + a2 +…+ a30.
b/TÝnh S = a1 + a2 +…+ a29.
c/ TÝnh S = a0 - a1 + a2 - a3 +…- a29 + a30.
Bµi 1.2.4.52:
a+b
1/ Cho 2a2 +2b2 = 5ab .TÝnh A =
a −b
2a + 3b
2/ Cho 2a2 +2b2 = 5ab vµ a > b > 0 .TÝnh A =
4a − 5b
3a + b
3/ Cho 23a2 +2b2 = 2010ab .TÝnh A =
a − 4b
>>> Chuyªn đề 2:
Toán đố
Bài 2.1:
a) Dân số nớc ta năm 2001 là 76,3 triệu ngời. Hỏi đến năm 2010, dân số nớc ta là bao nhiêu, nếu tỉ lệ tăng
dân số trung bình mỗi là 1,2%.
b) Đến năm 2020 nếu dân sè níc ta cã 100 triƯu ngêi th× tØ lƯ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?
Bài 2.2:
Hoa mua 2 loại hàng A và B phải trả tổng cộng là 120.000 đ. Trong đó đà tính 10.000đ là thuế GTGT(VAT).
Biết rằng thuế VAT với loại hàng A là 10%, đối với loại hàng B là 8%.Nếu không kể thuế VAT thì Hoa phải
trả mỗi loại hàng bao nhiêu tiền.
Bài 2.3:
a) Một ngời gửi tiết kiệm số tiền là 80 triệu đồng vào năm 2000. Hỏi đến năm 2010 số tiền trong sổ tiết kiệm
đó là bao nhiêu nếu lÃi suất là 7%.

b) Với lÃi suất nh trên thì sau bao nhiêu năm số tiên trong tài khoản của ngời đó là 309 574 757 đồng.
c) Đến năm 2020 số tiền trong tài khoản là 200 triệu đồng thì lÃi suất mỗi năm là bao nhiêu?
Bài 2.4:
1) Một ngời gửi vào ngân hàng số tiền là x đồng víi l·i st r %/th¸ng(l·i st kÐp). BiÕt r»ng ngêi đó không
rút tiền lÃi ra. Hỏi sau n tháng ngời ấy nhận đợc bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lÃi?
áp dơng b»ng sè x = 75 000 000 ®, r = 0,62 , n = 12 . (chính xác đến nghìn đồng)
2) Một ngời gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng với lÃi suất r %/tháng(lÃi suất kép). Biết rằng ngời đó không
rút tiền lÃi ra. Hỏi cuối tháng thứ n ngời ấy nhận đợc bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lÃi?
áp dụng bằng số a = 1 000 000 ®, r = 0,8 , n = 12 . (chính xác đến đồng) .
Bài 2.5:
Dân số một nớc là 65 triệu , mức tăng dân số là 2,2% mỗi năm . Tính dân số nớc này sau 15 năm .
Bài 2.6:
Có 100 ngời đắp 100 m đê chống lũ , nhóm nam đắp 5 m/ngời , nhóm nữ ®¾p
3 m/ngêi , nhãm häc sinh ®¾p 0,2 m/ngêi .TÝnh số ngời mỗi nhóm .
Bài 2.7:
1) Tính thời gian (giờ , phút , giây) để một ngời đi hết quÃng đờng ABC dài 345 km, biết rằng đoạn AB
dài 147 km đợc đI với vận tốc 37,6 km/h và đoạn BC đợc đi với vận tốc 29,7 km/h .
2) Nếu ngời ấy luôn đi với vận tốc ban đầu là 37,6 km/h thì đến B sớm hơn khoảng thời gian là bao
nhiêu ?.
Bài 2.8:
Tìm thời gian để một vật di chuyển hết quÃng đờng ABC dài 127,3 km . Biết đoạn AB dài 75,5 km vật di
chuyển với vận tốc 26,3 km/h và đoạn BC vật đó di chuyển với vận tốc 19,8 km/h .
Bài 2.9:
Để làm xong một công việc ,ngời thứ nhất làm một mình hết 5 giờ , ngời thứ hai làm một mình mất 3 giờ 15
phút . Hỏi hai ngời làm chung thì mất mấy giờ để làm xong công việc đó .

Các chuyên đề casio líp 8+9

13

Bài 2.10:
Dân số một nớc là 65 triệu , mức tăng dân số trong một năm bình quân là 1,2% .
1) Viết công thức tính dân số sau n năm .
2) Viết quy trình bầm phím tính dân số sau 20 năm .
3) Dân số nớc đó sau n năm sẽ vợt 100 triệu . Tìm số n bé nhất .
Bài 2.11:
1) Một ngời vào bu điện để gửi tiền cho ngêi th©n ë xa , trong tói cã 5 triệu đồng . Chi phí dịch vụ hết 0,9 %
tổng số tiền gửi đi . Hỏi ngời thân nhận đợc tối đa bao nhiêu tiền .
2) Một ngời bán một vật giá 32000000 đồng . Ông ta ghi giá bán , định thu lợi 10% với giá trên . Tuy nhiên
ông ta đà hạ giá 0,8% so với dự định . HÃy tìm :
a) Giá đề bán ;
b) Giá bán thực tế ;
c) Số tiền mà ông ta đợc lÃi .
Bài 2.12:
Bạn An đi bộ 5 km rồi đi xe đạp 30 km và lên ô tô đi 90 km , mất tổng cộng 6 giờ . Biết mỗi giờ đi xe đạp
nhanh hơn đi bộ 10 km và chậm hơn ô tô 15 km.Tìm vận tốc của bạn An khi đi bộ .
Bài 2.13:
Dân số nớc ta năm 1976 là 55 triệu với mức tăng 2,2% . Tính số dân nớc ta năm 1986 .
Bài 2.14:
Một ngời sử dụng xe có giá trị ban đầu là 10 triệu . Sau mỗi năm , giá trị của xe giảm 10% so với năm trớc đó
.
1) Tính giá trị của xe sau 5 năm .
2) Tính số năm để giá trị của xe nhỏ hơn 3 triệu .
Bài 2.15:
Một bỏ bi vào hộp theo quy tắc : Ngày đầu 1 viên , mỗi ngày sau bỏ vào số bi gấp đôi ngày trớc đó . Cùng lúc
cũng lấy bi ra khỏi hộp theo nguyên tắc : Ngày đầu và ngày thứ hai lấy 1 viên , ngày thứ 3 trở đi mỗi ngày lấy
ra số bi bằng tổng hai ngày trớc ®ã.
1) TÝnh sè bi cã trong hép sau 10 ngµy .
2) Để số bi có trong hộp lớn hơn 1000 cần bao nhiêu ngày ?

Bài 2.16:
Một bỏ bi vào hộp theo quy tắc : Ngày đầu 1 viên , mỗi ngày sau bỏ vào số bi gấp đôi ngày trớc ®ã . Cïng lóc
cịng lÊy bi ra khái hép theo nguyên tắc : Ngày đầu và ngày thứ hai lấy 1 viên , ngày thứ 3 trở đi mỗi ngày lấy
ra số bi bằng tổng hai ngày trớc đó.
1) Tính số bi có trong hộp sau 15 ngày .
2) Để số bi có trong hộp lớn hơn 2000 cần bao nhiêu ngày ?
Bài 2.17:
Ông J. muốn rằng sau 2 năm phải có 20 000 000 đ để mua xe . Hỏi phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền
nh nhau hàng tháng là bao nhiêu , biết rằng lÃi xuất tiết kiệm là 0,075%/tháng .
Bài 2.18:
Dân số xà hậu Lạc hiện nay là 1000 ngời . Ngời ta dự đoán sau 2 năm nữa dân số xà hậu Lạc là 10404 ngời .
1) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xà hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm .
2) Hỏi sau 10 năm dân số xà hậu Lạc là bao nhiêu ?
Bài 2.19:
Một ô tô có công suất của động cơ là N1 = 30 kW , khi có trọng tải nó chuyển động với vận tốc v1 = 15 m/s .
Một ô tô khác có công suất là N2 = 20 kW , cùng trọng tải nh ô tô trớc thì nó chuyển động với vận tốc v2 = 10
m/s . Nối hai ô tô bắng một sợi dây cáp . Hỏi chúng sẽ chuyển động với vận tốc nào ?
Bài 2.20:
Một hợp chất gồm 3 nguyên tố hoá häc Mg , C , O cã ph©n tư khèi là 84 đ.v.c và có tỉ lệ về khối lợng giữa
các nguyên tố thành phần là : Mg : C : O = 2 : 1 : 4 .
H·y lËp công thức hoá học của hợp chất đó.
Bài 2.21:

Các chuyên ®Ị casio líp 8+9

14


1) Một ngời hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là 100 đôla với lÃi suất là 0,35%/tháng . Hỏi sau
một năm (12 tháng) ngời ấy nhận đợc bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lÃi , biết rằng ngời ấy hàng tháng

không hề rút tiền lÃi ra .
2) Một ngời muốn rằng sau 1 năm phải có 20000 đôla để mua nhà . Hỏi phải gửi vào ngân hàng một
khoản tiền (nh nhau) hàng tháng là bao nhiêu , biết rằng lÃi suất tiết kiệm là 0,27%/tháng . Nếu tính
ra tiền Việt thì mỗi tháng ngời đó phải gửi bao nhiêu đồng , biết 100 đôla bằng 1489500 đ .
Bài 2.22:
Bốn ngời góp vốn buôn chung . Sau 5 năm , tổng số tiền lÃi nhận đợc là 9902490255 đ và đợc chia theo tỉ lệ
giữa ngời thứ nhÊt vµ ngêi thø hai 2: 3 , tØ lƯ giữa ngời thứ hai và ngời thứ ba là 4 : 5 , tỉ lệ giữa ngời thứ ba và
ngời thứ t là
6 :7 . Hỏi số tiền lÃi mỗi ngời nhận đợc là bao nhiêu ?
Bài 2.23:
Lúc 7 giờ một ngời đi ô tô khởi hành từ A với vËn tèc 70 kh/h. Sau ®ã 35 phót , ngêi thứ hai cũng đi ô tô từ
A đuổi theo với vËn tèc 80 km/h. Hái ®Õn mÊy giê , ngêi thứ hai đuổi kịp ngời thứ nhất (giờ , phút , giây ) ?
Nơi gặp nhau cách A bao nhiêu km?
Bài 2.24:
Một ô tô tải khởi hành từ A đến B víi vËn tèc 70 km/h . Sau ®ã 45 phút , một ô tô khách xuất phát từ B ®Õn A
víi vËn tèc 80 km/h . BiÕt qu·ng ®êng AB dài 100 km .
Hỏi đến mấy giờ , ngời thứ hai đuổi kịp ngời thứ nhất (giờ , phút , giây ) ? Nơi gặp nhau cách A bao nhiêu
km?
Bài 2.25:
Một thị trấn có 42436 ngời , dân số hàng năm tăng 3%.Vậy cách đây 2 năm , dân số của thị trấn đó là bao
nhiêu ?
Bài 2.26:
Ngời ta trồng dừa trên một đám đất hình vuông thành từng hàng song song , cách đều theo cả hai chiều . Biết
rằng , hàng cây ngoài cùng cách cạnh của đám đất bằng khoảng cách giữa hai hàng cây liên tiếp . Nếu chọn
khoảng cách giữa hai cây liên tiếp là 4 m thì số cây trồng trên toàn đám đất nhiều hơn số cây đợc trồng theo
cách chọn khoảng cách giữa hai cây liên tiếp là 5 m , là 136 cây .Tính cạnh của đám đất.
HD: Gọi cạnh của đám đất là x (m) .
2
2
x x

Phơng trình : 1ữ 1ữ = 136 .
4 5
>>> Chuyên đề 3:
Số d - Chia hết
Dạng 3.1: Số nguyên
Bài 3.1.1: a) Viết quy trình bấm phím để tìm số d khi chia 3523128 cho 2047
b) Tìm số d khi chia 3523128 cho 2047
Bài 3.1.2: Tìm số d khi chia 200712345678902007 cho 3456789
Bài 3.1.3: Tìm số d khi chia 987654321200820092010 cho 123456789
Bài 3.1. 4a: Tìm sè d trong phÐp chia :1234567890987654321:123456
Bµi 3.1. 4b: Chia 19082002 cho 2707 cã sè d r1 . Chia r1 cho 209 có số d là r2 .Tìm r2
Bài 3.1. 5: Viết quy trình tìm phần d của phép chia 19052010 cho 20969.
Bài 3.1. 6: Viết quy trình tìm phần d cđa phÐp chia 21021961 cho 1781989.
Bµi 3.1. 7: ViÕt quy trình bấm phím tìm thơng và số d trong phép chia 123456789 cho 23456. Tìm giá trị thơng và số d.
Bài 3.1. 8:
1) Viết một quy trình tìm thơng và số d khi chia 2002200220 cho 2001.
2) Tìm thơng và sè d khi chia 2002200220 cho 2001.
3) ViÕt mét quy trình tìm thơng và số d khi chia 200220022002 cho 2001.
4) Tìm thơng và số d khi chia 200220022002 cho 2001.
Bài 3.1. 9: Tìm thơng và số d của phép chia 3456789 cho 23456 .
Bài 3.1. 10: Tìm số d khi chia 1357902468987654321 cho 20072008.

Các chuyên đề casio lớp 8+9

15


Dạng 3.2: Đa thức
Bài 3.2.1: Cho đa thức: P(x) = 6x - 7x - 16x + m (m lµ tham số)
a) Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hÕt cho 2x + 3.

b) Víi m võa tìm đợc ở câu a) hÃy tìm số d r khi chia P(x) cho 3x - 2 .
c) Víi m vừa tìm đợc ở câu a) hÃy phân tích P(x) thành nhân tử?
d) Tìm m và n để hai đa thøc: P(x) vµ Q(x) cïng chia hÕt cho x - 2 .
víi Q(x) = 2x3 - 5x2 - 13x + n .
e) Với n vừa tìm đợc ở trên , hÃy phân tích đa thức Q(x) thành tích của các thõa sè bËc nhÊt .
Bµi 3.2.2: Cho P(x) = 15x5 - 13x4 +10x3 - 5x2 + 4x + m .
a) Tìm m để P(x) + 3
2x
b) Tìm m và n để hai đa thức:P(x) và Q(x) = 2x3 - 5x2 +13x + n cïng chia hÕt cho x - 2.
Bµi 3.2.3: Cho P(x) = 6x3- 7x2 - 16x + m
a. Tìm m để P(x) chia hết cho (2x + 3)
b. Tìm m , n để P(x) và Q(x) = 2x3 - 5x2 + 13x + n cïng chia hÕt cho (x - 2)
3

c. Tìm x Z để R(x) =

2

6x 3 - 7x 2 - 16x + 12
2 x −1

∈Z

Bµi 3.2.4: Cho H(x) = x5 + 2x4 - 5x3 + 4x2 - 7x + m
G(x) = x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + n
a) T×m m , n ®Ĩ H(x) vµ G(x) cã nghiƯm chung lµ 0,75 .
b) Khi m = 13 h·y t×m sè d khi chia H(x) cho 2x - 3 .
c) Khi n = 32 hÃy phân tích G(x) ra thừa số nguyên tố và chứng minh rằng giá trị của G(x) là số chẵn ∀ ∈
x
Z.

Bµi 3.2.5: Chia P(x) = x81 + ax57+ bx41+ cx19 + 2x +1 cho x - 1 đợc số d là 5. chia P(x) cho x - 2 đợc d là - 4.
HÃy tìm cặp (M , N) biết r»ng Q(x) = x81 + ax57+ bx41 + cx19 + M + N chia hÕt cho (x - 1)(x - 2) .
Bài 3.2.6: Cho đa thức: x4 - 2x3 - 60x2 + mx + 186 .
a) Tìm m để đa thøc chia hÕt cho x + 3 .
b) Víi m vừa tìm đợc hÃy tìm nghiệm của đa thức đó.
Bài 3.2.7: Cho ®a thøc: P(x) = x3 + bx2 + cx + d vµ cho biÕt : P(1) = -15 ; P(2) = -15;
và P(3) = -9 .
a) Tìm các hƯ sè b , c , d cđa ®a thøc P(x) .
b) T×m sè d r1 trong phÐp chia P(x) cho x - 4
c) T×m sè d r2 trong phÐp chia P(x) cho 2x + 3 (Tính chính xác đến 0,01)
Bài 3.2.8:
a) Tìm a, b để x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x - 2 .
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho ®a thøc x3n+1 + x2n + 1 chia hết cho đa thức x2 + x +
1.
Bài 3.2.9: Cho ®a thøc: P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x - 50
Gọi r1 là phần d của phép chia P(x) cho x - 2 và r2 là phần d cđa phÐp chia P(x) cho x - 3 . T×m BCNN của r1
và r2 .
Bài 3.2.10: Cho đa thức P(x) = x4 - 4x3 - 19x2 + 106x + m .
1) Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho x + 5.
2) Với m vừa tìm đợc ở câu 1) hÃy tìm số d r khi chia đa thức P(x) cho x - 3
3) Với m vừa tìm đợc ở câu 1) hÃy phân tích đa thức P(x) thành tích các thừa số bậc nhất .
4) Với điều kiện nào của m và n thì (x - 3) chia hết hai đa thức P(x) và
Q(x) = x3 +15x2 + 66x + n.
5) Với n vừa tìm đợc ở trên , hÃy phân tích đa thức Q(x) thành tích các thõa sè .
Bµi 3.2.11 Cho : P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m vµ Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n .
1) Tìm giá trị của m , n để các đa thøc P(x) vµ Q(x) chia hÕt cho x - 2 .

Các chuyên đề casio lớp 8+9

16

2) XÐt ®a thøc R(x) = P(x) - Q(x) , với giá trị m , n vừa tìm đợc .
HÃy chøng tá r»ng ®a thøc R(x) chØ cã mét nghiƯm duy nhất.
Bài 3.2.12: Khi chia đa thức P(x) = 2x4 + 8x3 - 7x2 + 8x - 12 cho ®a thức x - 2 ta đợc thơng là đa thức Q(x)
có bậc là 3 . HÃy tìm hệ số của x2 trong Q(x).
Bài 3.2.13:
1) Tìm thơng và số d của phÐp chia : x9 - 2x5 + 3x2 + 4x + 1 cho x + 4,12345 .
2) Tìm thơng và sè d cña phÐp chia : x9 - 2x5 + 3x2 + 4x + 1 cho x + 2,12345 .
Bµi 3.2.14:
1)Tìm a để: x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hÕt cho x + 6 .
2) T×m số d với ba chữ số thập phân của phép chia sau :
( 3x4 - 2x3 - x2 - x + 7 ) : (x - 4,532)
x 5 − 6, 723 x 3 + 1,857 x 2 − 6, 458 x + 4,319
Bài 3.2.15: Tìm số d trong phép chia
.
x + 2,318
2
Bµi 3.2.16: Cho P(x) = x4 - 2 x3 + 5x + 7
3
1) Tìm biểu thức thơng Q(x) của phÐp chia P(x) cho x - 5 .
2) T×m sè d r cña phÐp chia P(x) cho x - 5 chính xác đến ba chữ số thập phân .
Bài 3.2.17:
1) Tìm m và n biết khi chia đa thức x2 + mx + n cho x - m vµ x - n đợc số d lần lợt là m và n .HÃy biểu
diễn cặp giá trị m và n theo th tự m trên Ox và n trên Oy thuộc mặt phẳng Oxy.Tính khoảng cách giữa
các điểm có toạ độ (m ; n) .
2) T×m sè d trong phÐp chia ®a thøc x5 - 7,834x3 + 7,581x2 - 4,568 x + 3,194 cho x - 2,652 . Tìm hệ sô
của x2 trong đa thức thơng của phép chia trên .
Bài 3.2.18: Cho hai ®a thøc P(x) = 6x4 - x3 + ax2 + bx + 4 vµ Q(x) = x2 - 4 .
1) HÃy tìm a , b để P(x) chia hÕt cho Q(x) .

2) Víi a , b võa tìm đợc , hÃy tìm đa thức thơng của phép chia trên .
Bài 3.2.19: Cho đa thức : M = x5 - 5x3 + 4x , x ∈ Z .
a) Phân tích đa thức thành nhân tử .
b) Tìm x ®Ĩ ®a thøc triƯt tiªu .
c) Chøng minh r»ng ®a thức chia hết cho 120 .
Bài 3.2.20: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x4 - 3x2 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc: x2 +4x + 3 .
Bài 3.2.21: Cho hai đa thức: P(x) = x1970 + x1930 + x1980 vµ Q(x) = x20 + x10 + 1 .
Chøng minh r»ng khi x nguyên thì P(x) chia hết cho Q(x) .
Bài 3.2.22: Biết r»ng sè d trong phÐp chia ®a thøc x5 +4x4 +3x3 +2x2- ax +7 cho (x + 5) b»ng 2010.T×m a.
Bµi 3.2.23: Cho Q(x) = x4 -2x3 - 60x2 + mx-186 chia hết cho x+3
a/Tìm m
b/Với m vừa tìm đợc hÃy tìm nghiệm của phơng trình Q(x) = 0.
Dạng 3.3: Luỹ thừa
A - Tìm số d:
Bài 3.3A.1:
a)Tìm số d khi chia 2006 10 cho 2000 .
b) T×m sè d trong phÐp chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91.
Bài 3.3A.2: Tìm số d khi chia 29455 - 3 cho 9
Bài 3.3 A.3: Tìm số d khi chia (19971998 +19981999 + 19992000)10 cho 111
Bài 3.3 A.4: Tìm số d khi chia 15325 - 1 cho 9
Bµi 3.3 A.5: 1) T×m sè d khi chia 10! cho 11
2) T×m sè d khi chia 17762003 cho 4000 .
Bµi 3.3 A.6: a) Tìm số d khi chia 13! cho 11

Các chuyên đề casio líp 8+9

17


b) Tìm số d trong phép chia: 715 : 2001

Bài 3.3 A.7: T×m sè d khi chia 570 + 750 cho 12
100
Bài 3.3 A.8: Tìm số d khi chia 512002 cho 41
Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có:
5120041 51200(mod 41) 32(mod 41)
Mặt khác:21 2(mod 41) , 22 ≡ 4(mod 41) , 23 ≡ 8(mod 41) , 24 ≡ 16(mod 41) , 25 ≡ 32(mod 41) , 26 ≡ 23(mod
41) , 27 ≡ 5(mod 41)
⇒ 2100 = 214.7+2 = (27)14.22 ≡ (5)14.22(mod 41)
Ta cã:52 ≡ 25(mod 41) , 53 ≡ 2(mod 41)
⇒ 514 = 53.4 +2 =(53)4.52 ≡ 24.52(mod 41) ≡ 31(mod 41)
Nªn: 2100 ≡ (5)14.22(mod 41) ≡ 31.22(mod 41) ≡ 1(mod 41)
⇒VABC 2100 = 41q +1 (q ∈ N)
100
VËy: 512002 =5120041q +1 = (5120041)q.51200 ≡ (32)q .51200(mod 41)
≡ (32)q .32(mod 41) ≡ (32)q+1 (mod 41) (q N)
Cách này không ra!
Cách khác:Ta có:5120040 1(mod 41) ,51200 ≡ 32(mod 41)
Mµ: 22 ≡ -1(mod5) ⇒ (22)48 ≡ 1 (mod5)
⇒ (22)48 .2 ≡ 1.2 (mod5)
⇒ 297 ≡ 2 (mod5)
⇒ 297 .23 ≡ 2.23 (mod5.23)
⇒ 2100 ≡ 16 (mod 40)
100
Nªn: 2 = 40q +16
100
Cho nªn: 512002 =5120040q +16 = (5120040)q.5120016 ≡ 3216(mod 41)
Mµ: 3216 = 280 = (240)2 ≡ 1(mod 41)
100
VËy: 512002 ≡ 1(mod 41)
Bµi 3.3 A.9: a) ViÕt quy tr×nh t×m sè d khi chia (515 + 1) cho (212 +1)

b) HÃy tìm số d r .
Bài 3.3 A.10: Tính phần d của các số 70 ; 71 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 ; 79 ; 710 ; 711 khi chia cho 13 và
điền vào bảng sau:
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
710
711
Số d
Bài 3.3 A.11:
a) T×m sè d khi chia 19972008 cho 2003
b/ T×m sè d khi chia 19972001cho 2003
c/ T×m sè d khi chia 2100 cho 100
d/ T×m sè d khi chia 9100 cho 100
e/ T×m sè d khi chia 11201 cho 100
Bài 3.3 A.12: Tìm số d khi chia 102007200708 cho 111007
B - Chøng minh chia hÕt:
Bµi 3.3B.1:
1) Chøng minh r»ng: 42n+1 + 3n+2 13 .
2) Chøng minh r»ng víi bÊt kì số nguyên dơng n thì biểu thức:
[7.52n + 12.6n] 
19
Bµi 3.3B.2:

a/ Chøng minh r»ng: 24n - 1 15
b/ Chøng minh r»ng: 6969+1919 44
Bµi 3.3 B.3: a)Chøng minh r»ng: 18901930 + 19451975 7
b) 192007+132004 5
Bµi 3.3 B.4: Chøng minh r»ng: 220 11969 + 119 69 220 +69 220119 102

Các chuyên ®Ị casio líp 8+9

18


Bµi 3.3 B.5: Chøng minh r»ng:
a) 25n - 1 31
b) (n2 + n - 1)2 - 1 24
Bµi 3.3 B.6: Chøng minh r»ng: 2 25 + 1 461
Bµi 3.3 B.7: Chøng minh r»ng:
a) 1n + 2n + 3n +...+ mn ≡ 0 (mod m ) .
b) A = n8 - n6 - n4 + n2 chia hÕt cho 5760 víi n là số tự nhiên lẻ.
c) B = 9n3 + 9n2 + 3n - 16 kh«ng chia hÕt cho 343 víi mäi sè nguyªn n.
Bài 3.3 B.8: Chứng minh rằng: 22225555 + 55552222 7
Gi¶i: Ta cã:2222 ≡ 3(mod7) , 5555 4(mod7)
Mặt khác:22226 1(mod7) , 5555 = 5(mod6)
5555 = 6q +5 (q ∈ N) nªn 22225555 = 22226q +5 = (22226)q.22225 ≡ 3(mod7)
T¬ng tù: 55552222 ≡ 4(mod7)
VËy: 22225555 + 55552222 ≡ 7(mod7) ≡ 0(mod7) ⇒ ®pcm
Bài 3.3 B.9: Chứng minh rằng: ∀ n ∈ N* ta cã:
n
n
n
a) 42 + 22 + 1M

b) 22 + 15n − 1M
7
9
2n
2n
21
21
Gi¶i:a) Víi n = 1 th×: 4 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 21M
7
k
k
Giả sử mệnh đề ®óng víi n = k (k ∈ N , k ≥ 1) tøc lµ: 42 + 22 + 1M
7
2k +1
2k +1
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tøc lµ: 4 + 2 + 1M
7
2k+1
ThËt vậy: 4 2 nếu k chẵn và 4 nếu k lẻ
k+1
22 4 nếu k chẵn và 2 nÕu k lỴ
k +1
k +1
VËy: 42 + 22 + 1M với k *
7
đpcm
Bài 3.3 B.10: CMR:
10 n+1
6 n+ 2
a) 222 n+1 +3 

7
b) 22 + 19M
c) 22 + 21M
23
37
36
Giải: c) Ta có:2
1 (mod 37)
Mà: 26 ≡ 1(mod 9) nªn:(26)n ≡ 1(mod 9)
⇒ (26)n .22 ≡ 1.22 (mod9. 22)
⇒ 26n +2 ≡ 4 (mod36)
⇒ 26n +2 =36q +4 (q ∈ N)
Nªn: 226 n+2 = 236q+ 4 =(236)q.24 ≡ 16 (mod 37)
6 n+4

VËy: 22 + 21 ≡ 16 + 21(mod 37) ≡ 0(mod 37) ⇒ dpcm
Bµi 3.3 B.11: Sè 312 - 1 chia hÕt cho hai sè tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó.
Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng:
a/20012004 + 20032006 10
b/ 7 + 72 + 73+ …+72008 
400
Bµi 3.3 B.12: Chøng minh rằng: Với mọi số nguyên dơng n thì :
3n+2 - 2n+2 +3n - 2n 
10
C - Sè tËn cïng:
Ta cã: abcde = a.104 + b.103 + c.102 + d .101 + e
Cho nên:
- Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng d mod 101
- Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 102
- Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 103

- Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 10n
Bài 3.3C. 1:
a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:9 99

Các chuyên đề casio lớp 8+9

19


b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 14 1414
c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 521
Bài 3.3 C. 2: Tìm chữ số tận cùng của số:2 34
Bài 3.3 C. 3: Tìm chữ số tận cùng của số:14 1414
Giải:Ta có:14 4(mod 10)
Mà: 14 - 1 (mod 5) ⇒ 1413 ≡ - 1 (mod 5)
⇒ 1413 .7 ≡ - 1.7 (mod 5)
⇒ 1413 .7 .2 ≡ - 1.7.2 (mod 5.2)
⇒ 1414 ≡ - 14 (mod 10) ≡ 6 (mod 10)
Nªn: 1414 =10q +6 (q ∈ N)
VËy: 14 1414 = 1410q +6 = 14(5q+3).2 = (145q +3)2
V× : q N nên 145q +3 luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6
Do đó: (145q +3)2 luôn có chữ số hàng đơn vị là 6
Cách 2: Ta cã:142 ≡ 6 (mod 10)
Nªn: (142)7 ≡ 67 (mod 10) ≡ 6 (mod 10)
⇒ 1414 = 10 q +6 (q ∈ N)
⇒ 14 1414 = 1410q +6 = (142)5q .146 ≡ 6. 146 (mod 10)
≡ 6. (142)3 (mod 10)
≡ 6. 63 (mod 10)
≡ 64 (mod 10)
≡ 6 (mod 10)

VËy: Chữ số tận cùng là 6.
Bài 3.3 C. 4: Tìm 2,3,4,5, 6 ch÷ sè tËn cïng cđa sè:521
HD: 521=514 .54 .53 203125 (mod 106)
Bài 3.3 C. 5: Tìm 8 chữ số tận cùng của số:51995
Bài 3.3 C. 6: a) Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9 99
9

b)Tìm 2 chữ số tận cùng của: 1199
1
1
Giải: a) Vì 100 = 22.52 nªn: Ψ (100) = 100(1 − )(1 − ) = 40
2
5
40
Ta có: 9
1(mod 100)
Mặt khác: 92 1(mod 40)
⇒ (92)4 ≡ 1(mod 40)
⇒ (92)4 .9 ≡ 1.9(mod 40)
⇒ 99 = 40q + 9 (q ∈ N)
VËy: 9 99 = 940q + 9 = (940)q.99 ≡ 99 (mod 100) ≡ 89 (mod 100)
KL: Hai ch÷ sè tËn cïng cđa 9 99 lµ:89
b) Ta cã: 9 99 ≡ 89 (mod 100) nªn 9 99 = 100k + 89 (k ∈ N)
9
⇒ 1199 = 11100k + 89 = (11100)k .1189 mµ 115 ≡ 51(mod 100)
⇒ (115 )2 ≡ 1(mod 100)
⇒ (1110 )10 ≡ 1(mod 100)
⇒ 11100
≡ 1(mod 100)
99

89
40.2+9
Nªn: 119 ≡ 11 (mod 100) ≡ 11
(mod 100) ≡ (1140)2.119(mod 100)
≡ 119(mod 100)
≡ 91 (mod 100)
9
99 là: 91
KL: Hai chữ số tận cùng của 11
Bài 3.3 C. 7: Tìm chữ số tận cùng cđa 21 + 35 + 49 +...+ 20048009
Bµi 3.3 C. 8: Tìm số tận cùng của các số: 6713 và 21000
Bài 3.3 C. 9: Tìm hai số tận cùng của số: 21999 + 22000 + 22001

Các chuyên đề casio lớp 8+9

20


Bài 3.3 C.10: Tìm hai số tận cùng của số:2999.
702010

Bài 3.3 C.11: T×m 3 sè tËn cïng cđa sè: A = 22418

2011
190

+ 195
Bài 3.3 C.12: Tìm chữ số tận cùng của số:2007200820072008.
9
Bài 3.3 C.13: Tìm hai số tận cùng của số: 999 + 999

Bài 3.3 C.14: Tìm hai số tận cùng của số:1012 + 1023+1034+1045 .
>>> Chuyên đề 4:
Hình học
Bài 4.1:
Cho tam giác ABC có chu vi là 95,3768 cm. Tỉ lệ các cạnh của tam giác là 3 : 5 : 7 . Tính độ dài các cạnh
của tam giác( Tính chính xác đến 0,001) .
Bài 4.2:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết BC = 10,26cm .
Tính các cạnh góc vuông và diện tích tam giác ABC ( Tính chính xác đến 0,001) .
Bài 4.3:
Cho hình chữ nhËt cã chu vi lµ 15,356 cm. Tû sè hai kích thớc là

5
.Tính độ dài đờng chéo? (HÃy tính
7

chính xác đến 0,0001) .
Bài 4.4:
Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 3,74 cm , AC = 4,51 cm.
a) Tính đờng cao AH
b) Tính góc B của tam giác ABC theo độ và phút.
c) Kẻ phân giác của góc A cắt BC tại I. Tính BI ?
Bài 4.5:
Cho tam giác ABC cân tại A,đơng cao AH = 6 cm, BC = 8 cm.Đờng vuông góc với AC tại C cắt đờng thẳng
AH tại D .
a) Chứng minh các điểm B, C thuộc đờng tròn đờng kính AD .
b) Tính độ dài AD ? (HÃy tính chính xác đến 0,001) .
Bài 4.6:
Cho tam giác ABC, góc A bằng 1200 , AC = 8cm, AB = 3cm. AD là đờng phân giác trong của góc A ( D
BC), Tính AD.

Bài 4.7 :
Chu vi ABC là

100000
cm. Tỉ lệ các cạnh của tam giác đó là3:5:7
51

Tính độ dài các cạnh của tam giác . Tính diện tích tam giác đó.
( Tính chính xác đến 0,00001. Biết S = p.( p a ).( p −b).( p −c) , p lµ nưa chu vi)
Bµi 4.8:
Tính thể tích V của hình cầu có bán kính R = 3,173 cm biÕt V =

4
Π . R3
3

Bµi 4.9:
·
Cho hình chữ nhật ABCD , BH AC , ( H ∈ AC ) , biÕt: BH = 2,268 cm, BAC = 37 0 28'50'' . H·y tÝnh diƯn
tÝch h×nh chữ nhật trên.
Bài 4.10:
Cho đờng tròn (0 ; R) và (0 , r) tiếp súc ngoài tại I . Vẽ tiếp tuyến AB và DC với 2 đờng tròn.Vẽ BH ⊥ AD .
BiÕt R = 8,65 cm, r = 5,12 cm .
a) ViÕt c«ng thøc tÝnh AB , BH , Chu vi P và diện tích S của tứ giác ABCD theo R và r.
b) Viết quy trình bấm phím liên tục trên máy để tính P và S .
Bài 4.11:
Ã
Hình vẽ bên cho biết AD và BC cùng vuông gãc víi AB , ·
AED = BCE ; AE = 15 cm , BE = 12 cm , AD = 10
cm.

Các chuyên đề casio lớp 8+9

21


a) TÝnh sè ®o gãc DEC
b) TÝnh diƯn tÝch tø giác ABCD và diện tích tam giác DEC
c) Tính tỉ số phần trăm giữa SVDFC và S ABCD (Chính xác đến hai chữ số ở phần thập phân)

Bài 4.12:
Hình thang ABCD (AB//CD) có đờng chéo BD hợp với tia BC mét gãc b»ng gãc DAB. BiÕt r»ng : AB = 12,5
cm, DC = 28,5 cm .
a) TÝnh BD (TÝnh chÝnh xác đến hai chữ số ở phần thập phân) .
b) Tính tỉ số phần trăm giữa SVABD và SVBDC (Tính chính xác đến hai chữ số ở phần thập phân) .
Bài 4.13:
Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 14,25 cm ; AC = 23,5 cm .
AM , AD theo thứ tự là các đờng trung tuyến và đờng phân giác của tam giác ABC
a) Tính độ dài BD , CD (Tính chính xác đến hai chữ số ở phần thập phân) .
b) Tính SVADM (Tính chính xác đến hai chữ số ở phần thập phân) .
Bài 4.14:
1) HÃy tính diện tích hình thang ABCD có hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau.Biết đờng cao
bằng 12,12 cm , BD = 15,15 cm (H·y tÝnh chÝnh xác đến 0,01).
à
à
2) Tính số đo các góc của tam giác ABC biết rằng : 21 à = 14 B = 6 C .
A
Bài 4.15:
Cho tam giác ABC vuông tại A cã AB = 16 cm, BC = 20 cm . Kẻ đờng phân giác BD.
a) Tính CD và AD.

b) Từ C kẻ CH vuông góc với BD tại H. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác HCD.
c) Tính diện tích (chính xác đến 0,001 chữ số) của tam giác HCD.
Bài 4.16:
Cho tam giác ABC vuông tại A víi AB = 15 cm , BC = 26 cm . Kẻ đờng phân giác trong BD (D nằm trên
AC ) .Tính DC .
Bài 4.17:
Cho hình thang cân có hai đờng chéo vuông góc với nhau, đáy nhỏ dài 15,34 cm , cạnh bên dài 20,35 cm
.Tìm độ dài đáy lớn.
Bài 4.18
Một hình thoi có cạnh bằng 24,13 cm, khoảng cách giữa hai cạnh là 12,25 cm
1) Tính các góc của hình thoi ( độ , phút , giây).
2) Tính diện tích của hình tròn (0) nội tiếp hình thoi chính xác đến chữ số thập phân thứ ba.
3) Tính diện tích tam giác đều ngoại tiếp đờng tròn (0).
Bài 4.19:
Hai tam giác ABC và DEF đồng dạng . biết tỉ số diện tích tam giác ABC và DEF là 1,0023; AB = 4,79 cm
.Tính DE chính xác đến chữ số thập phân thứ t.

Các chuyên đề casio lớp 8+9

22


Bài 4.20:
Độ dài tính bằng cm của ba cạnh của bốn tam giác I , II , III, IV lần lỵt nh sau:
I) 3; 4; 5
II)7;
24; 25
III) 4; 7,5; 8,5
IV) 3,5; 4,5 ; 5,5.
Trong bốn tam giác này có tam giác nào không phải là tam giác vuông ?

Bài 4.21:
Cho đờng tròn tâm O , bán kính R = 3,15 cm . Từ điểm A ở ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B
và C thuộc đờng tròn (0)) .
1) Tính góc BOC và diện tích S của phần mặt phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB vµ AC vµ cung nhá
BC biÕt AO = 7,85 cm .
1 Ã
2) Viết quy trình bấm phím liên tục trên máy để tính đợc góc = BOC và tính diện tích S (đà nói ở
2
trên) .
Bài 4.22:
Cho hình thang vuông ABCD có góc nhọn BCD = ngoại tiếp đờng tròn tâm O , bán kính r .
1) Viết công thức tính độ dài các cạnh của hình thang ABCD theo r và .
2) Tìm công thức tính chu vi P của hình thang ABCD và công thức tính diện tích S của phần mặt phẳng
giới hạn bởi đờng tròn (O) và hình thang ABCD .
Cho biết α = 650 vµ r = 3,25 cm . TÝnh P và S .

Bài 4.23: Cho hình vẽ:
1) Tính chu vi h×nh thang ABCD.
2) TÝnh diƯn tÝch cđa h×nh thang ABCD.
3) Tính các góc còn lại của tam giác ADC .
Biết rằng AB ; BC có đơn vị là (cm)
Bài 4.24:
à
Tam giác ABC có B = 1200 , AB = 6,25 cm ; BC = 12,50 cm.
Đờng phân giác của góc B cắt AC tại D .
1) Tính độ dài đoạn thẳng BD.
2) Tính tỉ số diện tích của các tam giác ABD và ABC .
3) Tính diện tích tam giác ABD.
Bài 4.25:
a/Tính chu vi và diện tích của hình tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh a = 4,6872 cm.

a/Tính chu vi và diện tích của hình tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh a = 4,6872cm.
Bài 4.26:
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 4,6892 cm ; BC = 5,8516 cm .
1) TÝnh gãc B (độ và phút).
2) Tính đờng cao AH.
3) Tính độ dài đờng phân giác CI.
Bài 4.27:
Cho tam giác ABC vuông t¹i A , BC = 8,3721 cm, gãc C = 27043.
Tính diện tích của tam giác ABC.
Bài 4.28:

Các chuyên đề casio líp 8+9

23


1) Cho tam giác ABC vuông tại A , BC = 8,916 cm và AD là đờng phân giác trong cña gãc A. BiÕt BD =
3,178 cm , tÝnh hai cạnh AB và AC.
2) Cho tam giác ABC , phân giác trong AD , D thuộc cạnh BC .
a) HÃy viÕt quy tr×nh chøng minh: AD = AB.BC – BD.DC .
b) Tính AD khi biết các cạnh của tam giác BC ≈ 6,136257156 cm ; CA ≈ 5,488186567 cm ; AB
5,019637936 cm .
Bài 4.29:
Cho hình chữ nhật ABCD có đờng chéo AC = 50,17 cm và cạnh AC tạo víi c¹nh AB gãc 31034’ .
1) TÝnh diƯn tÝch cđa hình chữ nhật.
2) Tính chu vi hình chữ nhật.
Bài 4.30:
Cho hình thang cân có hai dờng chéo vuông góc với nhau. Hai đáy có độ dài là:15,34 cm và 24,35 cm .
1) Tính độ dài cạnh bên của hình thang.
2) Tính diện tích của hình thang.

Bài 4.31:
Cho tam giác ABC víi AB = 7,624 cm ; BC = 8,751 cm ; AC = 6,318 cm . Tính gần đúng với bảy chữ số thập
phân độ dài của đờng cao AH , đờng phân giác trong AD và bán kính đờng tròn nội tiếp r của tam giác ABC .
Bài 4.32:
Cho tam giác ABC với các đỉnh A(4,324 ; 7,549) ; B(12,542 ; 13,543) ;
C(-5,768 ; 7,436) .
1) TÝnh sè ®o(®é , phút , giây) của góc A .
2) Tính giá trị gần đúng với ba chữ số thập phân của diện tích tam giác ABC .
Bài 4.33:
Cho tam giác AHM vuông tại H. Kẻ phân giác MN (N AH) .Vẽ tia AE MN tại E.AE cắt MH tại B.
BiÕt AM = p ,AN = q .
a/ TÝnh S ∆ ABM ; S ∆ ABH theo p,q
b/ ¸p dơng:p=10,05 cm ;q=4,12 cm.TÝnh S ∆ ABM ; S ∆ ABH
HD:

·
·
a/ Ta cã: ·
AME = BME = BAC vµ EA = EB ; MA = MB
Ta có : AHB đồng dạng víi ∆AEN (g.g)
AH AB
AB AB 2
⇒
=
⇒ AH = AE ×
=
AE AN
AN
2q
Ta lại có: : AHB đồng dạng với MEA (g.g)

AB BH
AB AB 2
⇒
=
⇒ BH = AE ×
=
MA EA
MA 2 p
XÐt tam giác ABH vuông tại H ta có:

Các chuyên đề casio líp 8+9

24


4 p2q2
AB = AH +BH ⇒ AB = 2
p + q2
2 p2q
2q 2 p
VËy: AH = 2
; BH = 2
p + q2
p + q2
1
p 3 .q
Do ®ã: S ∆ABM = ×AH ×MB = 2
(§VDT)
2
p + q2

1
2 p 3 .q 3
S ABH = ìAH ìBH = 2
(ĐVDT)
2
( p + q 2 )2
b/ Víi p =10,05 cm ;q =4,12 cm th× ta có:

Bài 4.34:
Cho tam giác ABC có AB = 3 5 cm;BC = 5 5 cm; AC = 4 5 cm . Tính độ dài đờng trung tuyến AM và
diện tích của tam giác ABC.
Bài 4.35:
Cho tam giác ABC có đờng trung tuyến CM , AN , BP cắt nhau tại G .
Gi¶ sư AB = 3,2 ; CM = 2,4 ; AN = 1,8 .
H·y tÝnh:
a/ §êng cao GH cđa tam giác AGM
b/Diện tích tam giác ABC
c/Tính độ dài đờng trung tuyến còn lại của tam giác ABC.
d/Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác ABC.
Bài 4.36:
Cho hình thang cân ABCD , CD = 10 cm , đáy nhỏ bằng đờng cao,đờng chéo vuông góc với cạnh bên.Tính
độ dài đờng cao.
Bài 4.37:
Cho tam giác ABC ,BC = 40 cm , đờng phân giác AD = 45 cm , ®êng cao AH = 36 cm.TÝnh BD , CD.
2

2

2

2

D·y sè

>>> Chuyên đề 5:

Dạng 5.1: Khi biết 2 hoặc 3 số hạng đầu tiên

U 0 = U1 = 1
Bài 5.1.1: Cho 
 U n+ 1 = U n + U n− 1
a) TÝnh U6 .
b) LËp quy tr×nh tÝnh Un?

 U1 = 1,U 2 = 2
Bµi 5.1.2: Cho 
 U n+ 1 = 2008U n + U n− 1
a) TÝnh U10
b) Lập quy trình tính Un+1?
Bài 5.1.3: Cho U1 = 1 , U2 = 3,Un+2 = 3Un+1- 2Un
a) LËp quy tr×nh tÝnh Un
b) TÝnh U17 , U18 , U25 , U27 .
Bµi 5.1.4: Cho U1 = - 3 ;U2 = 4 ; Un+2 = Un + Un+1 , n = 1 ,2 , 3 ...
1) ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm liên tục để tính Un , n 3 .

Các chuyên đề casio lớp 8+9

25