(Luận văn thạc sĩ) Tính lồi của Metric Kobayashi trên đa tạp phức Taut

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA

TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI
TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA

TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI
TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT
Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai

THÁI NGUYÊN - 2019


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Tính lồi của metric Kobayashi
trên đa tạp phức taut" không có sự sao chép của người khác. Khi viết
luận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều có nguồn gốc rõ ràng
và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nếu
có vấn đề gì tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Quỳnh Nga
Xác nhận

Xác nhận

của chủ nhiệm khoa Toán

của người hướng dẫn

TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

i


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn
chân thành nhất tới TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai. Cô đã dành nhiều thời
gian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc và giúp đỡ tôi hoàn
thành bài luận văn này.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viên
trong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.
Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đại

học Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi
hoàn thành chương trình học và bảo vệ luận văn.
Bản thân tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cố
gắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được. Tôi rất mong
được thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019
Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh Nga

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

LỜI MỞ ĐẦU

1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Đa tạp phức taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức taut . . . . . . . .

2
2
6
9

Chương 2 TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN
ĐA TẠP PHỨC TAUT
13
2.1 Metric Buseman – Kobayashi trên đa tạp phức taut . . . . .
13
2.2 Tính lồi của metric Buseman – Kobayashi trên đa tạp phức taut 17
KẾT LUẬN

32

Tài liệu tham khảo

33

iii


LỜI MỞ ĐẦU
Từ việc nghiên cứu metric Royden – Kobayashi và khoảng cách Kobayashi

trên đa tạp phức taut, Masashi Kobayashi đã chứng minh được rằng đạo
hàm của khoảng cách Kobayashi bằng metric Buseman – Kobayashi. Cụ thể
là định lý sau:
Nếu M là một đa tạp phức taut thì DdM tồn tại và DdM = FM .
Nhờ kết quả này Masashi Kobayashi đã chứng minh được một điều kiện
cần và đủ cho tính lồi của của metric Royden – Kobayashi trên đa tạp phức
taut sau:
Nếu M là một đa tạp phức taut thì FM là lồi nếu và chỉ nếu

lim

q,q →p
q=q

.

dM (q, q )
=1
d∗M (q, q )

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu trình bày lại một cách chi tiết,
rõ ràng kết quả nghiên cứu của Masashi Kobayashi về tính lồi của metric
Royden – Kobayashi trên đa tạp phức taut.
Với mục đích như trên, ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo,
nội dung chính của luận văn gồm 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình
bày một số kiến thức cơ bản về đa tạp phức, đa tạp phức taut và khoảng
cách Kobayashi trên đa tạp phức taut. Chương 2, chúng tôi trình bày một
số kiến thức bổ sung, các bổ đề cơ sở và trình bày chi tiết, rõ ràng kết quả
của Masashi Kobayashi về tính lồi của metric Royden – Kobayashi trên đa
tạp phức taut.

1


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở về đa tạp
phức, đa tạp phức taut và khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức. Các
kiến thức này được tôi tham khảo trong tài liệu ([1]).

1.1

Đa tạp phức

Định nghĩa
Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff. Cặp (U, ϕ) được gọi là một
bản đồ địa phương của X , trong đó U là tập mở trong X và ϕ : U → Cn là
ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) ϕ(U ) là tập mở trong Cn .
ii) ϕ : U → ϕ(U ) là một đồng phôi.
Họ A = {(Ui , ϕi )}i∈I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập
bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) {Ui }i∈I là một phủ mở của X .
ii) Với mọi Ui , Uj mà Ui ∩ Uj = ∅, ánh xạ ϕj ◦ ϕ−1
i : ϕi (Ui ∩ Uj ) →

ϕj (Ui ∩ Uj ) là ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlas trên X . Hai atlas A1 , A2 được gọi là tương đương nếu
hợp A1 ∪ A2 là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các
2

atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X , và
cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều.
Ví dụ 1.1. ([1]) Giả sử D là miền trong Cn . Khi đó, D là một đa tạp phức

n chiều với bản đồ địa phương {(D.IdD )}.
Ví dụ 1.2. ([1]) Đa tạp xạ ảnh Pn (C).
Xét Ui = {[z0 : z1 : . . . : zn ] ∈ Pn (C) |zi = 0} với i = 0, 1, . . . , n. Rõ
ràng {Ui }ni=1 là một phủ mở của Pn (C).
Xét các đồng phôi ϕi : Ui → Cn :

[z0 : z1 : . . . : zn ] →

zi−1 zi+1
zn
z0
, ... ,
,
, ... ,
zi
zi
zi
zi

.

Ta có

ϕj ◦ ϕ−1

i : (z0 , . . . , zi−1 , zi+1 , . . . , zn ) →

zk
zj

; k = 0, . . . , m; zi = 1.
k=j

n
Rõ ràng ϕj ◦ ϕ−1
i là ánh xạ chỉnh hình. Vậy P (C) là một đa tạp phức

n chiều và gọi là đa tạp xạ ảnh n chiều.
Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức
Định nghĩa 1.1. ([1]) Giả sử M, N là các đa tạp phức. Ánh xạ liên tục

f : M → N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương
(U, ϕ) của M và mọi bản đồ địa phương (V,ψ) của N sao cho f (U ) ⊂ V
thì ánh xạ

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V)
là ánh xạ chỉnh hình.
Định nghĩa trên tương đương với với mọi x ∈ M, y ∈ N , tồn tại hai bản
đồ địa phương (U, ϕ) và (V,ψ) tại x và y tương ứng sao cho

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V)
là ánh xạ chỉnh hình.
3

Định nghĩa 1.2. ([1]) Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp
phức. Nếu f và f −1 là các ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song
chỉnh hình giữa M và N .
Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức
Giả sử M là đa tạp phức m chiều và ∆ là đĩa đơn vị trong C. Giả sử

(U, φ, ∆m là bản đồ địa phương quanh x, tức là U là một lân cận của x
và φ : U → ∆ là ánh xạ song chỉnh hình. Đặt φ = (z 1 , ..., z m ). Khi đó,

(z 1 , ..., z m ) là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quang x.
Đặt z α = xα + iy α , trong đó xα và y α là các giá trị thực. Khi đó,

(x1 , ..., xm , y 1 , ..., y m là hệ tọa độ địa phương thực quanh x, ở đó M được
xem như là đa tạp khả vi 2m chiều. Giả sử Tx M là không gian tiếp xúc của

M tại x. Khi đó Tx M là không gian vector thực 2m chiều và
∂
∂x1

∂
∂xm

, ...,

,

∂
∂y 1

, ...,

∂
∂y m

(1.1)

là một cơ sở của Tx M . Ký hiệu Tx M ⊗R C là phức hóa của Tx M . Khi đó,
(1.1) cũng là một cơ sở của không gian vector phức Tx M ⊗R C. Đặt

1
∂
=
j
∂z
2

∂
∂
−i j
j
∂x
∂y

1 ≤ j ≤ m.

,

Ta ký hiệu

Tx M =





m

ξj
j=1

∂
∂xj

; ξj ∈ C
x




.



Khi đó Tx M là một không gian con tuyến tính phức m chiều của Tx M ⊗R
C, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương (z 1 , ..., z m ).
Ta gọi Tx M là không gian tiếp xúc của đa tạp phức M tại x.
Đặt

TM =

Tx M (hợp rời)
x∈M

4


Ta định nghĩa phép chiếu π : T M → M bởi điều kiện π(Tx M ) = x. Khi đó

T M có cấu trúc của đa tạp phức 2m chiều sao cho π là ánh xạ chỉnh hình.
Cụ thể hơn, giả sử (z 1 , ..., z m ) là hệ tọa độ chỉnh hình địa phương xác định
trên một tập con mở U của M . Khi đó ta có



 m
∂
j
−1
j
; x ∈ U, ξ ∈ C .
π (U ) =
ξ


∂xj x
j=1

Ánh xạ
m

ξj
j=1

∂
∂xj

∈ π −1 (U ) → (z 1 (x), ..., z m (x), ξ 1 , ..., ξ m ) ∈ C2m
x

là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương của T M . Ta gọi T M là phân thớ
tiếp xúc chỉnh hình của đa tạp phức M .
Không gian phân thớ
Ánh xạ liên tục π : E → X giữa các không gian Hausdorff được gọi là
phân thớ K -vector bậc r nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) Với mỗi p ∈ X, Ep := π −1 (p) là K -không gian vector r chiều (Ep được
gọi là thớ trên p);
ii) Với mỗi p ∈ X , tồn tại lân cận U của p và một đồng phôi

h : π −1 (U ) → U × K r
thỏa mãn h(Ep ) ⊂ {p} × K r , và hp xác định phép hợp thành

hp : Ep → {p} × K r → K r
là một đẳng cấu K -không gian vector (cặp (U, h) được gọi là tầm thường
hóa địa phương).
Đối với một K -phân thớ vector π : E → X , E được gọi là không gian
toàn thể, X được gọi là không gian đáy, và ta thường nói E là một phân
thớ vector trên X . Ta còn ký hiệu phân thớ vector trên là (E, π, X).
5

Nếu E, X là các không gian phức và π là ánh xạ chỉnh hình toàn ánh,
và phép đồng phôi h là ánh xạ song chỉnh hình thì phân thớ vector được
gọi là phân thớ chỉnh hình.

1.2

Đa tạp phức taut

Trước khi định nghĩa đa tạp phức taut, ta ký hiệu
Ký hiệu 1.1. ∆ = {ζ ∈ C|, |ζ| < 1}
Định nghĩa 1.3. ([2]) Cho X và Y là hai đa tạp phức. Một họ F các ánh
xạ chỉnh hình từ X → Y được gọi là chuẩn tắc nếu mọi dãy trong F hoặc
tồn tại dãy con hội tụ hoặc dãy con phân kì compact.
Ký hiệu X ∗ là compact hóa bởi một điểm của X . Vì X là Hausdorff,
compact địa phương, liên thông và đếm được thứ hai nên X ∗ là Hausdorff,
compact địa phương, liên thông, đếm được thứ hai và compact hóa được.
Đặc biệt, với mỗi đa tạp phức Y , không gian C 0 (Y, X ∗ ) là đếm được thứ hai,
và một tập con của C 0 (Y, X ∗ ) là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu họ F ∪ {∞} ⊂

C 0 (Y, X ∗ ) là compact tương đối, ở đó ký hiệu ∞ là điểm tại vô cùng của
X ∗ và bất kỳ ánh xạ hằng có giá trị ∞.
Cho X, Y là hai đa tạp phức. Kí hiệu Hol(X, Y ) là tập các ánh xạ chỉnh
hình từ đa tạp phức X vào đa tạp phức Y .
Định nghĩa 1.4. ([2]) Đa tạp phức X là taut nếu Hol(∆, X) là họ chuẩn
tắc.
Vì Hol(∆, X) là đóng trong C 0 (∆, X) nên điều này tương đương với

Hol(∆, X) ∪ {∞} ⊂ C 0 (∆, X ∗ ) là compact.
Định lý 1.1. ([2]) Cho X là một đa tạp phức, d là một khoảng cách trên

X tương thích với topo của nó. Giả sử Hol(∆, X) đồng liên tục với d. Khi
6


đó, Hol(Y, X) là đồng liên tục với mỗi đa tạp phức Y
Chứng minh. Giả sử ngược lại tồn tại một đa tạp phức Y sao cho Hol(Y, X)
không là đồng liên tục. Khi đó, tồn tại ε > 0, một điểm z0 ∈ Y và dãy

zν ⊂ Y và fν ⊂ Hol(Y, X) sao cho zν → z0 và d(fν (zν ), fν (z0 ) ≥ ε với mọi
ν ∈ N. Chọn hệ tọa độ địa phương thích hợp ta có thể giả sử Y là hình cầu
đơn vị Euclide B trong Cn và chọn z0 = 0.
Định nghĩa gν ∈ Hol(∆, X) bởi

gν (ζ) = fν

ζz1
.
||z1 ||

Khi đó, ||zν → 0 khi ν → ∞ và

d(gν (||zν ), gν (0)) = d(fν (zν ), fν (z0 ) ≥ ε,
với mọi ν ∈ N, và do đó Hol(∆, X) không là đồng liên tục, điều này dẫn
đến mâu thuẫn. Vậy Hol(Y, X) là đồng liên tục.
Bây giờ, ta giả sử tồn tại một đa tạp phức Y sao cho Hol(Y, X) không là
chuẩn tắc. Khi đó, Hol(Y, X) ∪ {∞} không là một tập con compact trong

C 0 (Y, X ∗ ). Vì nó là đồng liên tục tương ứng với d nên theo định lý AscoliArzela, Hol(Y, X) ∪ {∞} không đóng trong C 0 (Y, X ∗ ). Đặc biệt, tồn tại
một dãy {fν } ⊂ Hol(Y, X) hội tụ đến một ánh xạ f ∈ C 0 (Y, X ∗ ) trong

C 0 (Y, X) hoặc đến ánh xạ hằng ∞, vì Hol(Y, X) đóng trong C 0 (Y, X). Tồn
tại một điểm z0 ∈ Y sao cho f (z0 ) = ∞ và f không đồng nhất bằng ∞
trong bất kỳ lân cận nào của z0 . Do đó, chọn hệ tọa độ địa phương thích
hợp, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử Y là hình cầu đơn vị B của
Cn và z0 = 0.
Vì f không đồng nhất bằng ∞, tồn tại z1 ∈ B sao cho f (z1 ) = ∞. Định
nghĩa gν ∈ Hol(∆, X) và g ∈ C 0 (∆, X ∗ ) bởi

gν (ζ) = fν

ζz1
||z1 ||

và g(ζ) = f
7

ζz1
.
||z1 ||


Khi đó, g không thuộc C 0 (∆, X) ∪ {∞} và gν → g khi ν → ∞. Điều
đó có nghĩa là Hol(∆, X) ∪ {∞} không đóng trong C 0 (∆, X ∗ ), khi đó,

Hol(∆, X) ∪ {∞} không compact trong C 0 (∆, X ∗ ) dẫn đến mâu thuẫn.
Định lý được chứng minh.
Từ định lí trên ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1.1. ([2]) Một diện Riemann là taut nếu và chỉ nếu nó là Hybebolic.
Mệnh đề 1.1. ([2]) Mọi miền taut bị chặn D ⊂ Cn là giả lồi.
Chứng minh. Cho họ F ⊂ Hol (∆, D)∩C 0 ∆, D là một họ của các ánh xạ

liên tục chỉnh hình trên ∆ , sao cho ∪ ϕ (∂, ∆) là compact tương đối trên
ϕ∈F

D. Đặc biệt ∪ ϕ (∂, ∆) là bị chặn. Do đó theo nguyên lý cực đại ∪ ϕ ∆
ϕ∈F

ϕ∈F
n

cũng bị chặn và do đó họ F là compact tương đối trong Hol (∆, C ).
Đặc biệt vì ∪ ϕ (∂, ∆) ⊆ D không có dãy con nào trong dãy F phân kì
ϕ∈F

compact. Do D là taut nên F là compact tương đối trong Hol (∆, D). Và
vì vậy F là taut trong C 0 (∆, D). Từ đó ta có ∪ ϕ ∆ ⊆ D và D là giả
ϕ∈F

lồi.
Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. ([2])
i) Một đa tạp con đóng Y của một đa tạp taut X là đa tạp taut.
ii) Tích của hai đa tạp taut là một đa tạp taut.
Chứng minh. i) Vì Y là đa tạp con đóng trong đa tạp taut X nên Hol (∆, Y )
là đóng trong Hol (∆, X). Và X là đa tạp phức taut nên Hol (∆, X) là họ
chuẩn tắc. Do đó Hol (∆, Y ) là họ chuẩn tắc. Theo định nghĩa Y là đa tạp
phức taut.
ii) Giả sử X1 , X2 là hai đa tạp taut. Kí hiệu:

p1 : X1 × X2 → X1
8

p2 : X1 × X2 → X 2
là các phép chiếu lên thành phần thứ nhất và thành phần thứ hai của

X1 × X2 . Khi đó,
Hol (∆, X1 × X2 ) = Hol (∆, X1 ) × Hol (∆, X2 )
và dãy {ϕi } ⊂ Hol (∆, X1 × X2 ) là phân kì compact nếu và chỉ nếu ít nhất
một trong những dãy {pj ◦ fi } ⊂ Hol (∆, Xj ) , j = 1; 2 là phân kì compact.
Do đó ta có khẳng định ii).

1.3

Khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức
taut

Trước hết, chúng tôi giới thiệu giả khoảng cách Kobayashi.
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X .

Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X , được trang bị
tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p0 = x, p1 , ..., pk = y của X , dãy các
điểm a1 , a2 , ..., ak của D và dãy cách ánh xạ f1 , ..., fk trong Hol(D, X) thỏa
mãn

fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k.
Tập hợp α = {p0 , ..., pk , a1 , ..., ak , f1 , ..., fk } thỏa mãn các điều kiện trên
được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X .
Ta định nghĩa
k

ρD (0; ai ), α ∈ Ωx,y

dX (x, y) = inf
α

,

i=1

trong đó, Ωx,y là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong

X.
9


Khi đó, dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X .
k

ρD (0; ai ) được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình

Tổng
i=1

α.
Định lý sau đây cho ta tính chất của khoảng cách Kobayashi.
Định lý 1.2. ([2]) Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không
gian phức thì f làm giảm khoảng cách Kobayashi, nghĩa là

dX (x, y) ≥ dY (f (x) , f (y))

∀x, y ∈ X.

Hơn nữa, f là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ
chỉnh hình f : D → X là giảm khoảng cách.
Chứng minh. Tính giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobaysashi là
hiển nhiên, vì nếu α là dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm x và y trong X
thì f ◦ α cũng là dây chuyền chỉnh hình nối f (x) và f (y) trong Y .
Bây giờ, ta chứng minh tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi.
Lấy hai điểm x, y tùy ý trong X . Gọi

α = {fi ∈ Hol(D, Z), ai ∈ D, i − 1, ..., k}
là dây chuyền chỉnh hình nối x với y trong X . Giả sử d là giả khoảng cách
trên X có tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình từ D tới

X . Ta chứng minh dX ≥ d . Gọi pi ∈ X, i = 0, ..., k là các điểm thỏa mãn
fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi .
Khi đó, vì số dây chuyền chỉnh hình nối x với y lớn hơn số dây nối f (x)
với f (y) nên ta có
k

d (x, y) ≤

k

d (fi (0), fi (ai )) ≤
i=1

ρ(0, ai ).
i=1

10


Theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có

dX (x, y) ≥ dY (f (x) , f (y))

∀x, y ∈ X.

Vậy định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.5. ([2]) Ta định nghĩa hàm d∗M trên M × M bởi

d∗M (p, q) = inf {δ(a, b)|∃ f ∈ Hol(∆, M ), a, b ∈ ∆, f (a) = p, f (b) = q},
f

trong đó ρ là khoảng cách Poincaré trên ∆. Nếu không có đĩa giải tích nào
nối p với q thì ta đặt d∗M (p, q) = ∞. Lưu ý rằng d∗M (p, q) < ∞ nếu p đủ
gần q .
Tiếp theo với mỗi số nguyên dương l, ta đưa ra một hàm trên M × M
như sau:
( )

dM (p, q) = inf





d∗M (pj , pj+1 )|p1 = p, p2,...., p , p +1 = q ∈ M




.



j=1

Khi đó
( )

dM (p, q) = lim dM (p, q)
→∞

được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên M .
Theo đinh nghĩa này, chúng ta dễ dàng thấy rằng
(2)

( )

d∗M (p, q) ≥ dM (p, q) ≥ ... ≥ dM (p, q) ≥ ... ≥ dM (p, q)
với mọi p, q ∈ M . Lempert đã chỉ ra rằng d∗M (p, q) = dM (p, q) nếu M là
một miền lồi.
Định nghĩa 1.6. ([2]) Cho M là một đa tạp phức taut. Điểm p ∈ M được
gọi là một điểm đơn Kobayashi nếu tồn tại một lân cận mở U của p sao cho

dM (p, q) = d∗M (p, q) với mọi q ∈ U .
11

Ví dụ 1.3. ([2]) Vì nếu D là miền lồi trong Cm thì d∗D = dD nên mọi điểm
của một miền lồi D trong Cm đều là điểm đơn Kobayashi.
Với mỗi v ∈ Tp D, ta gọi F (v) là độ dài của v được định nghĩa bởi

F (v) = inf

1
: f : ∆ → D chỉnh hình, f (0) = p, f (0) = λf v, λf > 0 .
λ

12


Chương 2

TÍNH LỒI CỦA METRIC
KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP
PHỨC TAUT
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu metric Royden-Kobayashi và
khoảng cách Kobayashi trên một đa tạp phức taut. Chúng ta chứng minh
rằng đạo hàm của khoảng cách Kobayashi trùng với metric Busemann
Kobayashi. Điều này cho chúng ta điều cần và đủ cho tính lồi của metric Royden-Kobaysshi.

2.1

Metric Buseman – Kobayashi trên đa tạp
phức taut

Chúng ta nhắc lại ký hiệu:

∆ = {ζ ∈ C|, |ζ| < 1}
Hol(∆, M ) = f : ∆ → M |f là ánh xạ chỉnh hình .
S. Kobayashi đã đưa ra một giả metric vi phân mới FM trên M mà là
hai lần đối ngẫu của M được xác định như sau:
13


Định nghĩa 2.1. ([2]) Cho M là một đa tạp phức m- chiều. Khi đó,

FM (ξ) = inf t > 0|∃ f ∈ Hol(∆, M ), sao cho tf∗

d
|ζ=0
dζ

=ξ

trong đó ξ ∈ Tp M là một véc tơ tiếp xúc chỉnh hình được gọi là giả metric
Royden-Kobayashi trên M .
Định nghĩa 2.2. ([2]) Cho FM là giả metric Royden-Kobayashi trên đa tạp
phức M . Tập

IFM (p) = {ξ ∈ Tp M |FM (ξ) < 1}
được gọi là chỉ đồ của FM tại p. FM là nửa chuẩn tại p nếu và chỉ nếu chỉ
đồ của nó tại p là một tập lồi.
Định nghĩa 2.3. ([2]) Cho M là đa tạp phức. Với mọi ξ ∈ Tp M ,

FM (ξ) = inf t > 0|t−1 ξ ∈ IFM (p) ,

trong đó IFM (p) là bao lồi của IFM (p) được gọi là giả metric BusemannKobayashi trên M . Nếu M là đa tạp phức taut thì FM là một metric.
Mệnh đề 2.1. ([2] Cho M là đa tạp phức. Giả metric Busemann-Kobayashi

FM trên M có các tính chất sau:
(i) FM là một nửa chuẩn tại mỗi p ∈ M ;
(ii) FM là nửa liên tục trên;
(iii) Nếu FM là một chuẩn tại mỗi M ∈ M và liên tục trên T M thì FM
cũng là một chuẩn tại mỗi p ∈ M và cũng liên tục trên T M .
Đặt FM (υ) = 2FM (ξ), trong đó ξ ∈ Tp M với υ = ξ + ξ . Vì vậy dạng tích
phân của FM được xác định tương tự như trên. S.Kobayashi chứng minh
rằng dạng tích phân của FM trùng với dạng tích phân của FM . Royden cũng
đã chỉ ra rằng dạng tích phân của FM trùng với giả khoảng cách Kobayashi.
14


Mệnh đề sau đây cho ta các tính chất của giả metric Royden-Kobayashi
trên đa tạp phức.
Mệnh đề 2.2. ([2]) Cho FM là giả metric Royden - Kobayashi trên đa tạp
phức M . Khi đó, FM có các tính chất sau:
(i) FM (ξ) ≥ 0 với mỗi ξ ∈ Tp M ;
(ii) FM (λξ) = |λ|FM (ξ) với mỗi λC;
(iii) FM là nửa liên tục trên trên phân thớ tiếp xúc chỉnh hình Tp M , hơn
nữa nếu M là taut, thì Hol(∆, M ) là họ chuẩn tắc;
(iv) FM là liên tục trên T M ;
(v) FM (ξ) = 0 nếu và chỉ nếu ξ = 0.
Do đó chúng ta thấy rằng FM là một metric trên M , nếu M là đa tạp
phức taut.
Cho υ ∈ Tp M là véc tơ tiếp xúc thực. Khi đó, υ có thể viết được một
cách duy nhất υ = ξ + ξ với ξ ∈ Tp M . Đặt FM (υ) = 2FM (ξ).
Định nghĩa 2.4. ([2]) Cho FM là giả metric Royden-Kobayashi trên đa tạp

phức M . Khi đó, FM cảm sinh một giả khoảng cách dM trên M như sau:
 1



d
dM (p, q) = inf
dt
FM c∗


dt
0

trong đó c chạy trên tất cả các đường cong trơn từng khúc nối p với q . Giả
khoảng cách dM này được gọi là dạng tích phân của FM .
Vì điều kiện dM (p, q) = 0 không bắt buộc p = q nên trong trường hợp
tổng quát, dM không phải là khoảng cách. Tuy nhiên, Royden đã chỉ ra rằng

dM là khoảng cách nếu M là taut.
Định nghĩa 2.5. ([2]) Cho FM là giả metric Royden-Kobayashi trên đa tạp
phức M . FM được gọi là lồi tại p, nếu nó là nửa chuẩn tại p.
15


Định nghĩa 2.6. ([2]) Một metric Hermitian trên phân thớ vector phức E
của đa tạp phức M là một dạng Hermitian trơn, xác định dương trên mỗi

¯ ∗ sao cho
thớ, mỗi một metric được viết dưới dạng h ∈ Γ(E ⊗ E)

¯ = hp (ζ, η¯)
hp (η, ζ)
¯ > 0 với mỗi ζ = 0 trong Ep .
với mỗi η, ζ ∈ Ep và hp (ζ, ζ)
Một đa tạp Hermitian là một đa tạp phức với một metric Hermitian trên
không gian tiếp xúc chỉnh hình của nó.
Định nghĩa 2.7. ([2]) Cho h là một metric Hermitian trên M . Cố định
một điểm p thuộc M . Khi đó, h cảm sinh ánh xạ mũ exp : U → M , trong
đó U ⊂ T M là một lân cận mở nhỏ của 0 ∈ Tp M . Nếu tồn tại giới hạn

lim
u→υ
t→0

dM (q, exp tu)
,
|t|

trong đó u ∈ Tq M thì ta gọi giới hạn này là đạo hàm của giả khoảng cách
Kobayashi dM trên M , kí hiệu

DdM (υ) = u→υ
lim
t→0

dM (q, exp tu)
.
|t|

Chú ý rằng định nghĩa đạo hàm của giả khoảng cách Kobayashi dM trên

M là độc lập với cách chọn h. Hơn nữa, nếu đặt DdM (ξ) = 2−1 DdM (υ) với
ξ ∈ Tp M , trong đó υ = ξ + ξ thì DdM là một giả metric trên M .
Giả sử D là một miền trong Cm với metric phẳng chuẩn. Đồng nhất T D
với D × Cm . Khi đó, nếu đạo hàm DdD tồn tại thì ta có

DdD (p, ξ) =

lim
(q,η)→(p,ξ)
t→0

dD (q, q + tη)
.
2 |t|

Đạo hàm của giả khoảng cách metric Kobayashi trên M không phải luôn
luôn tồn tại. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng nếu D là một miền trong Cm ,
16


thì

lim
(q,η)→(p,ξ)
t→0

dM (q, q + tη)
≤ FD (p, ξ),
2 |t|

với mỗi (p, υ) ∈ D × Cm . Mặt khác, M.Y.Pang đã chứng minh rằng nếu D
là một miền taut trong Cm thì

d∗D (p, p + tξ)
2FD (p, ξ) = lim
,
t→0
|t|
với mỗi ξ ∈ Cm .

2.2

Tính lồi của metric Buseman – Kobayashi
trên đa tạp phức taut

Masashi Kobayashi đã chứng minh được một kết quả quan trọng về đạo
hàm của khoảng cách Kobayashi đó là đạo hàm của khoảng cách Kobayashi
trùng với metric Busemann Kobayashi. Điều này cho chúng ta điều cần và
đủ cho tính lồi của metric Royden-Kobaysshi. Để trình bày kết quả này của
Masashi Kobayashi ta cần một số khái niệm sau:
Định nghĩa 2.8. ([2]) Cho đa tạp phức taut M , p, q ∈ M và ξ ∈ Tp M .
i) Một ánh xạ chỉnh hình f ∈ O(∆, M ) được gọi là ánh xạ cực trị đối
với các điểm p, q ∈ M nếu tồn tại t ∈ [0, 1) sao cho f (0) = p, f (t) = q và

d∗M (p, q) = ρ(0, t).
ii) Một ánh xạ chỉnh hình f ∈ O(∆, M ) được gọi là ánh xạ cực trị đối
với véc tơ tiếp xúc chỉnh hình ξ ∈ Tp M nếu FM (ξ)f∗

d

dζ |ζ

= 0 = ξ.

Định nghĩa trên chỉ cho mỗi cặp điểm p, q ∈ M (một ξ ∈ Tp M ). Tổng
quát, ánh xạ cực trị đối với tất cả các cặp điểm p, q ∈ M hoặc tất cả các

ξ ∈ Tp M không nhất thiết tồn tại.
M.Y.Pang đã chứng minh được kết quả sau:
17


Định lý 2.1. (M.Y. Pang [3]) Cho D ⊂ Cm là một miền chứa điểm gốc,

{pn } ⊂ D và {qn } ⊂ D là các dãy hội tụ tới điểm gốc. Giả sử fn ∈ O (∆, D)
là các ánh xạ cực trị đối với pn , qn ∈ D và hội tụ tới f ∈ O (∆, D) đều trên
các tập con compact. Khi đó f (0) = 0 và f là ánh xạ cực trị đối với

(0, f (0)). Hơn nữa đồng nhất sau là đúng:
d∗D (pn , qn ) 2FD (0, f (0))
=
,
lim
n→∞ pn − qn
f (0)
m

trong đó z =

zj

2

với mọi z = (z 1 , ..., z m ) ∈ Cm .

j=1

Chứng minh. Giả sử {pn } , {qn } là hai dãy trong D cùng hội tụ đến 0. Do
tính cực trị của fn nên ta có thể tìm tn ∈ (0; 1) sao cho fn (0) = pn , fn (tn ) =

qn và δ(0, tn ) = d∗ (pn , qn ). Rõ ràng tn → 0 khi n → ∞.
Trước hết ta chứng minh f (0) = 0. Chọn hình cầu mở B(0; r) ⊂ D
là hình cầu tâm 0 bán kính r nhỏ. Do tính compact của hình cầu đóng
r
B 0; , ta có thể tìm một hằng số C sao cho
2
r
dB(0;r) (z1 , z2 ) ≤ C||z1 − z2 || với z1 , z2 ∈ B 0;
.
2
Ta nhắc lại bất đẳng thức d∗D ≤ d∗B(0;r) . Do đó, với n đủ lớn ta có bất
đẳng thức

δ(0, tn ) d∗D (fn (tn )), fn (0))
=
tn
tn
dB(0;r) (fn (tn )), fn (0))
≤
tn

fn (tn )), fn (0)
≤
tn
Điều này có nghĩa là f (0) = 0 vì thành phần thứ nhất hội tụ đến 1 trong
khi thành phần cuối hội tụ đến f (0).
Để chứng minh f là ánh xạ cực trị, ta nhắc lại rằng metric F˜ trùng với
metric F thông thường. Do đó, với ε > 0 tồn tại một ánh xạ chỉnh hình
18


ϕ : B → D sao cho
F (f (0)) ≤

1
< F (f (0)) + ε,
λϕ

∂
= λϕ (f (0)) và đặt det(ϕ∗ )0 = 0. Theo định lý ánh
∂x1
xạ ngược ta có thể chọn lân cận U của 0 thuộc B sao cho hạn chế ϕ|U là
ϕ(0) = 0, ϕ∗

song chỉnh hình từ U đến một tập mở V của 0 ∈ D. Không mất tính tổng
quát, ta có thể giả sử pn , qn ∈ V , vì ϕ|U là song chỉnh hình từ U đến một
tập mở V , tồn tại dãy p˜n , q˜n ∈ U sao cho ϕ(˜
pn ) = pn , ϕ(˜
qn ) = qn . Với mỗi

n, ta có thể lấy (duy nhất) ánh xạ cực trị hn : ∆ → B vào hình cầu với p˜n

và q˜n sao cho p˜n = hn (0) và q˜n = hn (sn ) với sn ∈ (0; 1). Chú ý rằng p˜n , q˜n
q˜n − p˜n
= v = 0 vì
và tn thỏa mãn điều kiện lim p˜n = lim p˜n = 0 và lim
n→∞
n→∞
n→∞
tn
dãy p˜n , q˜n hội tụ đến 0 trong B và

q˜n − p˜n
ϕ−1 (qn ) − ϕ−1 (pn )
=
lim
n→∞
tn
tn
−1
ϕ (fn (tn )) − ϕ−1 (fn (0))
=
→ (ϕ−1 ◦ f )) (0) = 0
tn
khi n → ∞. Do đó, dãy {hn } hội tụ đến ánh xạ cực trị duy nhất h :

∆ → B.
Với mỗi n, hai ánh xạ ϕ ◦ hn : ∆ → D và fn nối pn và qn , tức là

ϕ ◦ hn (0) = ϕ(˜
pn ) = pn = fn (0),
ϕ ◦ hn (sn ) = ϕ(˜

qn ) = qn = fn (tn ).
Nhắc lại rằng fn là cực trị tại pn và qn , do đó

δ(0, tn ) = d∗ (pn , qn ) = d∗ (ϕ ◦ hn (0), ϕ ◦ hn (sn )) ≤ δ(0, sn ).
sn
tn
Vì fn hội tụ đều đến f trên mỗi tập compact nên ta có

Điều đó có nghĩa là tn ≤ sn và do đó 1 ≤

fn (tn ) − fn (0)
qn − pn
= lim
n→∞
n→∞
tn
tn

f (0) = lim

19


ϕ ◦ hn (sn ) − ϕ ◦ hn (0) sn
. .
n→∞
sn
tn

= lim

Nhưng vì

ϕ ◦ hn (sn ) − ϕ ◦ hn (0)
= (ϕ ◦ hn ) (0) = 0,
n→∞
sn
lim

dãy

sn
hội tụ đến một hằng số A > 1, do đó, ta có
tn
f (0) = A(ϕ ◦ hn (0)) = Aϕ∗ (h (0)).

Mặt khác, ϕ∗

∂
∂x1

= λϕ f (0) nên
Ah (0) =

1 ∂
.
λϕ ∂x1

h là ánh xạ cực trị nên FB (h (0)) = 1, ta có Aλϕ = 1.
1≤A=

1
< F (f (0)) + ε
λϕ

Nhắc lại bất đẳng thức F (g (0)) ≤ 1 đúng với mỗi g ∈ D(∆). Đặc biệt,

F (f (0)) ≤ 1 và vì ε > 0 trong bất đẳng thức được chọn tùy ý, ta có
F (f (0)) = 1. Điều đó chứng tỏ f là cực trị theo hướng của f (0).
Để chứng minh đẳng thức trong định lý, ta nhắc lại

qn − pn
.
n→∞
tn

f (0) = lim

δ(0, tn )
= 1. Hơn nữa, f là
n→∞
tn

Thêm vào đó, δ(0, tn ) = d∗ (pn , qn ) và lim
ánh xạ cực trị (tức là F (f (0)) = 1) nên

d∗ (qn , pn )
δ(0, tn )/tn
1
F (f (0))
= lim

=
=
.
n→∞ ||qn − pn ||
n→∞ qn − pn
||f (0)||
||f (0)||
tv
lim

d∗D (pn , qn ) 2FD (0, f (0))
Vậy lim
=
.
n→∞ pn − qn
f (0)
20