Bài tập kinh tế lượng chuẩn

BÀI TẬP KINH TẾ LƯỢNG

Biên soạn:

ThS. Lê Trường Giang

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20, tháng 09, năm 2015


Mục lục
Trang
Chương 1 Tóm tắt lý thuyết
1.1 Tổng quát về kinh tế lượng .
1.2 Mô hình hồi quy đơn . . . .
1.2.1 Một số công thức cần
1.2.2 Bài toán ước lượng .
1.2.3 Bài toán kiểm định .
1.2.4 Bài toán dự báo . . .
1.2.5 Một số lưu ý . . . . .
1.3 Mô hình hồi quy bội . . . .
1.4 Hồi quy với biến giả . . . .
1.4.1 Khái niệm . . . . . .
1.4.2 Ý nghĩa . . . . . . .
1.4.3 So sánh hai mô hình
1.5 Kiểm định giả thiết mô hình
1.5.1 Đa cộng tuyến . . . .
1.5.2 Phương sai thay đổi
1.5.3 Tự tương quan . . .
1.6 Câu hỏi ôn tập . . . . . . .
Chương 2 Bài tập ứng dụng
2.1 Mô hình hồi quy hai biến .

2.2 Mô hình hồi quy bội . . .
2.3 Hồi quy với biến định tính
2.4 Bài tập tổng hợp . . . . .
2.5 Bài tập đề nghị . . . . . .

.
.
.
.
.

. . .
. . .
nhớ
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
2
2
3
3
3
4
5
6
6
6
6

7
7
8
8
8

.
.
.
.
.

12
12
25
40
48
62

Chương 3 Thực hành Eviews
77
3.1 Cài đặt Eviews 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Khởi động Eviews 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Nhập dữ liệu cho Eviews 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
i


3.4
3.5
3.6

3.7

Thống kê mô tả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ước lượng các hệ số của mô hình hồi quy . . . . . . . . . . . . . . .
Kiểm định sự vi phạm các giả thiết của mô hình hồi quy . . . . . .
3.6.1 Hiện tượng đa cộng tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Phương sai của sai số ngẫu nhiên thay đổi . . . . . . . . . .
3.6.3 Hiện tượng tự tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Kiểm định biến có cần thiết trong mô hình hay không (kiểm
định Wald) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Kiểm định biến bị bỏ sót trong mô hình . . . . . . . . . . .
3.6.6 Sai số ngẫu nhiên không có phân phối chuẩn . . . . . . . . .
3.6.7 Kiểm định Chow trong mô hình hồi quy với biến giả . . . .
Dự báo bằng mô hình hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tài liệu tham khảo

78
79
81
81
81
82
82
82
83
83
84

97

ii


Chương 1

Tóm tắt lý thuyết

1.1

Tổng quát về kinh tế lượng
Econometrics = Econo + Metrics = "Đo lường kinh tế" = "Kinh tế lượng".
Thuật ngữ kinh tế lượng được Ragnar Frisch sử dụng lần đầu tiên vào khoảng
những năm 1930.
Kinh tế lượng là môn khoa học sử dụng các công cụ toán học để củng cố về
mặt thực nghiệm cho các lý thuyết kinh tế.
Kinh tế lượng là một công cụ kết hợp giữa lý thuyết kinh tế hiện đại, thống
kê toán và máy tính nhằm định lượng (đo lường) các mối quan hệ kinh tế,
từ đó dự báo diễn biến các hiện tượng kinh tế và phân tích các chính sách
kinh tế.

P RF : E (Y /Xi ) = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ... + βk Xki
SRF : Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ... + βk Xki
P RM : Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ... + βk Xki + Ui
SRM : Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ... + βk Xki + ei
1

(Ui = Yi − E (Y /Xi ))
ei = Yi − Yi

1.2

Mô hình hồi quy đơn
1.2.1

Một số công thức cần nhớ

1 n
1 n
2
Xi − X ; X =
Xi
n i=1
n i=1
1 n
1 n
2
V ar (Y ) =
Yi − Y ; Y =
Yi
n i=1
n i=1
1 n
Cov (X, Y ) = E X − X Y − Y =
Xi − X
n i=1
Cov (X, Y )
rXY =

se (X) se (Y )
V ar (X) =

n

Cov (X, Y )
=
β2 =
V ar (X)

Yi − Y = E (XY ) − XY

n

Xi − X

Yi − Y

i=1

Xi Yi − nXY
=

n

i=1
n

Xi − X
i=1

i=1

Xi2 − nX

2

β1 = Y − β2 X
n

Yi − Y

T SS =
i=1
n

= nvar (Y )

2

Yi − Y

ESS =

2

2

= nβ2 var (X)

i=1
n

2

Yi − Yi

RSS = T SS − ESS =

= n 1 − r2 V ar (Y )

i=1

ESS
R2 =
T SS
n
RSS
σ2 =
1 − r2 V ar (Y ) =
n−2
n−2
2

var β1
var β2

var Y0

1

X
=
+
.σ 2 ⇒ se β1 = var β1
n nvar (X)
σ2
=
⇒ se β2 = var β2
nvar (X)
X0 − X
1
=
+
n
nvar (X)

2

var Y0 − Y0 = σ 2 + var Y0

.σ 2 ⇒ se Y0 =

var Y0

⇒ se Y0 − Y0 =
2

var Y0 − Y0

1.2.2

Bài toán ước lượng

Loại ước lượng

Khoảng ước lượng

giá trị C

Hai phía

βj − Cse βj ≤ βj ≤ βj + Cse βj

C = t α2 (n − k)

Tối đa (pt)

βj ≤ βj + Cse βj

C = tα (n − k)

Tối thiểu (pp)

βj − Cse βj ≤ βj

C = tα (n − k)

Bảng 1: Tóm tắt công thức ước lượng

1.2.3

Bài toán kiểm định

Loại kiểm định

Giả thiết H0 : βj = βj∗ ; đối thiết H1

Bác bỏ H0
(n−k)

Kiểm định 2 phía

H1 : βj =

|t| > t α

βj∗

2

Pvalue < α
(n−k)

Kiểm định bên trái

H1 : βj < βj∗

Kiểm định bên phải

H1 : βj > βj∗
t=

Lưu ý

t < −tα
Pvalue
<α
2
(n−k)
t > tα
Pvalue
<α
2

βj − βj∗
se βj

Bảng 2: Tóm tắt công thức kiểm định t
Đặt giả thiết H0 : R2 = 0; H1 : R2 = 0
C = Fα (k − 1; n − k)
(n − k)R2
Bước 3
F =
(k − 1)(1 − R2 )
Bước 4 Nếu F > C thì bác bỏ H0 ; Nếu F ≤ C thì chưa có cơ sở bác bỏ H0
Bước 1
Bước 2

Bảng 3: Tóm tắt các bước thực hiện kiểm định F

1.2.4

Bài toán dự báo
(n−k)

Ta tính được các giá trị sau: Y0 = β1 + β2 X0 và C = t α
2

3

.


Khoảng dự báo cho giá trị trung bình E(Y /X0 )
Y0 − Cse(Y0 ); Y0 + Cse(Y0 )
Khoảng dự báo cho giá trị cá biệt Y0
Y0 − Cse(Y0 − Y0 ); Y0 + Cse(Y0 − Y0 )

1.2.5

Một số lưu ý

Kiểm định Pvalue
+ α: mức ý nghĩa→ xác suất mắc sai lầm loại 1→ xác suất bác bỏ giả thiết
H0 trong khi H0 đúng.
α = P g ∈ Wα /H0 đúng
+ Pvalue : mức xác suất nhỏ nhất mà tại đó giả thiết H0 bị bác bỏ.

• α > Pvalue : bác bỏ giả thiết H0

• α ≤ Pvalue : chưa có cơ sở bác bỏ giả thiết H0
Các dạng hàm đặc biệt
1. Hồi quy tuyến tính Logarit (log-log)
Hàm hồi quy mẫu (SRF): ln Yi = β1 + β2 ln Xi
⇒ Nếu X tăng lên 1% thì Y thay đổi một tỷ lệ là β2 %
2. Hồi quy tuyến tính bán Logarit
+ Hàm hồi quy mẫu (SRF): ln Yi = β1 + β2 Xi
⇒ Nếu X tăng lên 1 đơn vị thì Y thay đổi một lượng là β2 .100(%)
+ Hàm hồi quy mẫu (SRF): Yi = β1 + β2 ln Xi
⇒ Nếu X tăng lên 1% thì Y thay đổi một lượng là β2 .0, 01
4


1.3

Mô hình hồi quy bội

Chú ý: một số công thức được khai triển cụ thể cho trường hợp 3 biến
−1

β = XT X

XT Y


−1

XT X




XT Y = 
σ2 =

n
X2i
X3i


=

X2i
2
X2i
X2i X3i


X3i

X2i X3i 
2
X3i


Yi

X2i Yi 
X3i Yi

RSS

n−k


Cov β = σ 2 X T X

−1

2

V ar β1



=  Cov β2 , β1

Cov β3 , β1

Cov β1 , β2

Cov β1 , β3



V ar β2

Cov β2 , β3

Cov β3 , β2

V ar β3






2

Yi2 − nY ;

T SS = Y T Y − nY =
2

ESS = β T X T Y − nY ;
RSS = T SS − ESS = Y T Y − β T X T Y ;
ESS
RSS
=1−
;
T SS
T SS
n−1
2
R = 1 − 1 − R2
.
n−k
R2 =

V ar β2 − β3 = V ar β2 + V ar β3 − 2Cov β2 , β3
V ar Y0 = σ 2 X 0

T

XT X

−1

X 0 ⇒ se Y0 =

V ar Y0 − Y0 = V ar Y0 + σ 2

V ar Y0

⇒ se Y0 − Y0 =
5

V ar Y0 − Y0


1.4

Hồi quy với biến giả
1.4.1

Khái niệm

Biến giả là biến định tính, không đo được. Ví dụ: giới tính, màu sắc, khu vực,...

1.4.2

Ý nghĩa

+ Dùng để so sánh các phạm trù khác nhau trong mô hình (muốn so sánh m
phạm trù ta sử dụng m − 1 biến giả, phạm trù gán giá trị 0 là phạm trù cơ
sở).
+ Dùng để so sánh hai hàm hồi quy.
+ Phân tích mùa.

1.4.3

So sánh hai mô hình

Để kiểm định sự khác nhau của hai mô hình ta có 2 phương pháp:
1. Phương pháp kiểm định Chow
Yi = β1 + β2 Xi → RSS
Yj = λ1 + λ2 Xj → RSS1
Yk = γ1 + γ2 Xk → RSS2
RSS = RSS1 + RSS2
Các bước cho bài toán kiểm định
+ Đặt giả thiết
H0 : hai mô hình là như nhau; H1 : hai mô hình khác nhau
+ F =

RSS − RSS (n1 + n2 − 2k)

RSS.k
+ C = Fα (k; n1 + n2 − 2k).
+ Kết luận
Nếu F > C: bác bỏ H0 . Nếu F < C: chưa có cơ sở bác bỏ H0 .
6

2. Phương pháp sử dụng biến giả
Yi = β1 + β2 Xi + β3 Di + β4 (Di Xi ) + Ui (∗)

 E (Y /Di = 0, Xi ) = β1 + β2 Xi
→

E (Y /Di = 1, Xi ) = (β1 + β3 ) + (β2 + β4 ) Xi
Chú ý: Xét hai mô hình hồi quy
Yi = λ1 + λ2 Xi + Ui
Yj = γ1 + γ2 Xj + Uj
Ta có 4 trường hợp:
i)

λ1 = γ1
: hai hàm hồi quy đồng nhất.
λ2 = γ2

ii)

λ1 = γ1
: hai hàm hồi quy cùng hệ số góc.
λ2 = γ2

iii)

λ1 = γ1
: hai hàm hồi quy cùng hệ số chặn.
λ2 = γ2

iv)

λ1 = γ1
: hai hàm hồi quy hoàn toàn khác nhau..
λ2 = γ2

Như vậy từ (*) ta suy ra để xét xem 2 mô hình có khác nhau hay không, ta
tiến hành kiểm định các giả thiết sau:
+ H0 : β3 = 0; H1 : β3 = 0
+ H0 : β4 = 0; H1 : β4 = 0

1.5

Kiểm định giả thiết mô hình
1.5.1

Đa cộng tuyến

Đa cộng tuyến là hiện tượng các biến giải thích (biến độc lập) trong mô hình
phụ thuộc tuyến tính lẫn nhau. Hay
Cov(Xi , Xj ) = 0,
7

∀i = j


1.5.2

Phương sai thay đổi

Phương sai thay đổi là hiện tượng mà phương sai của các sai số ngẫu nhiên
(Ui ) trong mô hình không cố định (thay đổi). Hay
V ar(Ui ) = σi

1.5.3

∀i

Tự tương quan

Tự tương quan là hiện tượng sai số ngẫu nhiên ở các thời điểm khác nhau có
quan hệ với nhau. Hay
Cov(Ui , Uj ) = 0, ∀i = j
+ Nếu Ui ↔ Ui−1 : hiện tượng tự tương quan bậc 1.
+ Nếu Ui ↔ Ui−1 + Ui−2 + ... + Ui−p : hiện tượng tự tương quan bậc p.

1.6

Câu hỏi ôn tập

Câu 1. Các câu sau đây câu nào đúng, câu nào sai
a. Nếu E(Ui ) = 0 thì các ước lượng sẽ bị chệch.
b. Nếu Ui không phân phối chuẩn thì các ước lượng sẽ bị chệch.
c. Nếu có đa cộng tuyến thì các ước lượng sẽ bị chệch.
d. Nếu có hiện tượng phương sai thay đổi thì các ước lượng sẽ bị chệch.
e. Nếu Ui không phân phối chuẩn thì các kiểm định t, F không còn hiệu lực.
f. Nếu có hiện tượng tự tương quan thì kiểm định t không còn chính xác.
g. Nếu mô hình bị bỏ sót biến thì các ước lượng của các hệ số hồi quy vẫn không
chệch.

h. Nếu chấp nhận giả thiết H0 : β = 0 thì điều đó có nghĩa là β = 0.
i. Phương sai của Yi và của Ui là như nhau.
j. Phương sai các ước lượng của các hệ số hồi quy phụ thuộc vào phương sai
của Ui .
k. Hệ số hồi quy chắc chắn nằm trong khoảng tin cậy của nó.
8


l. Các hệ số ước lượng bằng OLS được xác định bằng cách tối thiểu hóa tổng
bình phương giá trị của biến phụ thuộc.
m. Xét mô hình hồi quy tổng thể ngẫu nhiên Yi = E(Y /Xi ) + Ui . Ta có Ui được
gọi là nhiễu (sai số ngẫu nhiên) và có tính chất E(Ui ) < 0.
n. Kiểm định t-test chỉ có ý nghĩa khi các ước lượng β1 ; β2 tuân theo phân
phối chuẩn.
o. Các ước lượng theo OLS vẫn có tính chất không chệch ngay cả khi nhiễu
không tuân theo phân phối chuẩn.
p. Trong mô hình hồi quy mẫu Yi = β1 + β2 Xi + ei , ta có

ei = 0.

q. Giá trị của σ 2 càng lớn thì var β2 càng lớn.
r. Giả sử hàm hồi quy mẫu có dạng Yi = −7 + 6Xi và R2 = 0.85. Ta nói: "Hàm
hồi quy mẫu dự đoán chính xác 85% giá trị của Y".
Đáp Số

a. Đúng b. Sai c. Sai d. Sai e. Đúng f. Đúng
g. Sai h. Sai i. Đúng
j. Đúng k. Sai l. Sai m. Sai n. Đúng 0. Đúng p. Đúng q. Sai r. Sai
Câu 2. Phân tích hồi quy là gì? Cho 2 thí dụ minh họa.
Câu 3. Sự khác nhau giữa quan hệ thống kê và quan hệ hàm số? Lấy thí dụ minh

họa.
Câu 4. Xét hàm hồi quy tổng thể E (Y /Xi ) = β1 + β2 Xi
a. Hãy nêu ý nghĩa của các β1 , β2 và E (Y /Xi )?
b. Trình bày phương pháp OLS để ước lượng hàm hồi quy tổng thể trên?
c. Viết dạng ngẫu nhiên của hàm hồi quy tổng thể trên?
d. Viết hàm hồi quy mẫu tương ứng với hàm hồi quy tổng thể nêu trên và nói
rõ ý nghĩa của các ký hiệu trong hàm hồi quy mẫu này.
e. Định nghĩa hệ số xác định. Tại sao có thể dùng hệ số xác định để đánh giá
mức độ phù hợp của mô hình hồi quy mẫu?
9


Câu 5. Nêu các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển?
Câu 6. Phát biểu và chứng minh định lý Gauss - Markov (đối với hàm hai biến).
Câu 7. Nêu định nghĩa, ý nghĩa và các tính chất của hệ số tương quan. Minh họa
các tính chất bằng đồ thị.
Câu 8. Xét hàm hồi quy tuyến tính hai biến E (Y /Xi ) = β1 + β2 Xi
a. Chứng minh công thức tìm dự báo khoảng cho giá trị trung bình của Y .
b. Tại sao khi dự báo khoảng cho giá trị trung bình của Y , nếu X0 càng xa X
thì độ chính xác của dự báo càng giảm?
c. Chứng minh công thức tìm dự báo khoảng cho giá trị cá biệt của Y .
d. Trong hai dự báo: dự báo khoảng cho giá trị trung bình của Y và dự báo
khoảng cho giá trị cá biệt của Y , với cùng độ tin cậy và X0 như nhau thì dự
báo nào có độ chính xác cao hơn? Vì sao?
Câu 9.
a. Định nghĩa hệ số co giản và nêu ý nghĩa?
b. Nêu định nghĩa và các tính chất của hệ số tương quan. Minh họa các tính
chất bằng đồ thị.
Câu 10. Xét hàm sản xuất Cobb - Douglas:
α β Ui

Yi = γX2i
X3i e

Trong đó Y là sản lượng; X2 là lượng lao động; X3 là lượng vốn và Ui là sai số
ngẫu nhiên. Hãy nêu ý nghĩa của α, β; ý nghĩa của α + β.
Câu 11. Cho biết sự khác nhau giữa cộng tuyến hoàn hảo và cộng tuyến không
hoàn hảo. Trình bày tóm tắt cách phát hiện mô hình có đa cộng tuyến.
Câu 12. Trình bày tóm tắt cách phát hiện mô hình có hiện tượng phương sai thay
đổi?
Câu 13. Trình bày tóm tắt cách phát hiện mô hình có hiện tượng tự tương quan?
Câu 14. Các tiêu chuẩn của một mô hình tốt. Trình bày tóm tắt các loại sai lầm
khi chọn mô hình.
Câu 15. Trình bày tóm tắt cách phát hiện sự có mặt của biến không cần thiết và
10


kiểm định các biến bị bỏ sót.
Câu 16. Xét hàm hồi quy hai biến E (Y /Xi ) = β1 + β2 Xi . Hãy nêu các quy tắc
kiểm định giả thiết H0 : β2 = 0; H1 : β2 = 0 bằng các phương pháp:
a. Phương pháp khoảng tin cậy;
b. Phương pháp mức ý nghĩa;
c. Phương pháp kiểm định bằng p-value.
Câu 17. Hãy nêu các quy tắc kiểm định giả thiết H0 : βj = βj0 ; H1 : βj = βj0
1, 2, ..., k) bằng các phương pháp:
a. Phương pháp khoảng tin cậy;
b. Phương pháp kiểm định mức ý nghĩa;
c. Phương pháp kiểm định bằng p-value.
Câu 18. Xét mô hình hồi quy
Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + Ui
Hãy trình bày phương pháp OLS để ước lượng hàm này.

11

(j =


Chương 2

Bài tập ứng dụng
2.1

Mô hình hồi quy hai biến

Bài 2.1. Cho bảng số liệu sau về tỷ lệ lạm phát (X : %) và lãi suất ngân hàng
(Y : %)
X
Y

7.2 4.0 3.1 1.6 4.8
51 2.0 6.6 4.4
11.9 9.4 7.5 4.0 11.3 66.3 2.2 10.3 7.6

1. Tìm hàm hồi quy mẫu và giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ số hồi quy?
2. Tìm hệ số xác định mô hình và cho biết ý nghĩa của nó? Tính hệ số xác định
có hiệu chỉnh?
3. Với mức ý nghĩa 5%, hãy tìm khoảng tin cậy cho các hệ số hồi quy?
4. Kiểm định ý nghĩa của biến X trong mô hình (lạm phát có ảnh hưởng đến
lãi suất không)?
5. Kiểm định sự phù hợp của mô hình? (mô hình có phù hợp với thực tế không?)
6. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết khoảng dự báo trung bình và cá biệt của

lãi suất ngân hàng với mức lạm phát X0 = 5%.
7. Tính hệ số co dãn của tỷ lệ lạm phát đối với lãi suất ngân hàng tại điểm
(x, y) và nêu ý nghĩa kinh tế.
Giải
12


Sử dụng máy tính bỏ túi (570ES, 570ES Plus, 570ES Plus II,...) hoặc phần mềm
thống kê (Eviews, SPSS, STATA,... ) ta tính được các giá trị sau đây từ bảng số
liệu:
Xi Yi − nXY
β2
=
2 = 1, 249406687;
Xi2 − n X
β1
= Y − β2 X = 2, 74169485;
T SS = nvar (Y ) = 3102, 04;
2

ESS = nβ2 var (X) = 3081, 211806;
RSS = T SS − ESS = n 1 − r2 var (Y ) = 20, 82819405;
R2
σ2

ESS
= 0, 9932856462;
T SS
n
RSS

=
1 − r2 var (Y ) =
= 2, 975456293.
n−2
n−2
=

2

1
X
σ 2 = 0, 4641186156;
+
n n.var (X)

var β1

=

se β1

=

var β1 = 0, 681263;

var β2

=

σ2

= 0, 001507433;
nvar (X)

se β2

=

var β2 = 0, 038826;
X0 − X
1
+
n
nvar (X)

2

σ 2 = 0, 359937849;

var Y0

=

se Y0

=

var Y0 − Y0

= σ 2 + var Y0 = 3, 335394142;

se Y0 − Y0

=

var Y0 = 0, 599948275;

var Y0 − Y0 = 1, 826306147.

1. Tìm mô hình hồi quy
Y = β1 + β2 X
⇒ LS = 2, 7417 + 1, 2494LP
13


Ý nghĩa: khi tỷ lệ lạm phát tăng 1% thì lãi suất ngân hàng tăng 1,2494%.
2. Tính hệ số xác định mô hình và nêu ý nghĩa. Tính hệ số xác định có hiệu chỉnh
ESS
= 0, 9932856462. Ý nghĩa: cho biết sự biến thiên của lạm phát
T SS
giải thích được 99,33% sự biến thiên của lãi suất ngân hàng.

+ R2 =

2

+ R = 1 − 1 − R2

9−1
n−1
= 1 − (1 − 0, 9933)

= 0, 9923.
n−k
9−2

3. Tìm khoảng tin cậy cho các hệ số hồi quy
Áp dụng: βi − C.se βi ≤ βi ≤ βi + C.se βi . Trong đó
C = t α2 (n − k) = t0,025 (9 − 2) = 2, 365
+ Khoảng tin cậy của β1
2, 7417 − 2, 365.0, 6813 ≤ β1 ≤ 2, 7417 + 2, 365.0, 6813
⇒ 1, 1304

≤ β1 ≤

4, 353

+ Khoảng tin cậy của β2
1, 2494 − 2, 365.0, 0388 ≤ β2 ≤ 1, 2494 + 2, 365.0, 0388
⇒ 1, 1576

≤ β2 ≤

1, 3412

4. Kiểm định ý nghĩa của biến X trong mô hình
+ Đặt giả thiết H0 : β2 = 0; H1 : β2 = 0.
(n−k)

+ C = tα
2

+T =

= t0,025 (9 − 2) = 2, 365.

β2
se β2

=

1,2494
0,03883

= 32, 2.

+ |T | > C suy ra bác bỏ H0 . Vậy lạm phát có ảnh hưởng đến lãi suất.
5. Mô hình có phù hợp với thực tế không
+ Đặt giả thiết H0 : R2 = 0; H1 : R2 = 0.
+ Với α = 0, 05, C = Fα (k − 1; n − k) = F0,05 (2 − 1; 9 − 2) = 5, 59.
14


+F =

(n − k) R2
(9 − 2) 0, 993285647
=
= 1035, 543
2
(k − 1) (1 − R )
(2 − 1) (1 − 0, 993285647)

+ F > C nên bác bỏ H0 . Vậy mô hình phù hợp.
6. Khoảng dự báo cho biến phụ thuộc
+ Y0 = β1 + β2 X0 = 2, 7417 + 1, 2494.5 = 8, 9887.
(n−k)

+ C = tα
2

= t0,025 (9 − 2) = 2, 365.

Khoảng dự báo cho giá trị trung bình E(Y /X0 = 5)
Y0 − Cse Y0

≤ E (Y /X0 = 5) ≤

Y0 + Cse Y0

⇒ 8, 9887 − 2, 365.0, 5999 ≤ E (Y /X0 = 5) ≤ 8, 9887 + 2, 365.0, 5999
⇒ 7, 5699

≤ E (Y /X0 = 5) ≤

10, 4074

Khoảng dự báo cho giá trị cá biệt Y0
Y0 − Cse Y0 − Y0

≤ Y0 ≤

Y0 + Cse Y0 − Y0

⇒ 8, 9887 − 2, 365.1, 8263 ≤ Y0 ≤ 8, 9887 + 2, 365.1, 8263
⇒ 4, 6695

≤ Y0 ≤

13, 30789

7. Tính hệ số có dãn
Hệ số co giản của tỷ lệ lạm phát theo lãi suất tại điểm (x, y) là
εY =
X

dY X
X
9, 411
= β2 = 1, 2494.
= 0, 8109
dX Y
14, 5
Y

Ý nghĩa: khi lãi suất của ngân hàng tăng (hoặc giảm) 1% thì tỷ lệ lạm phát
tăng (hoặc giảm) 0,8109% .
Bài 2.2. Giả sử có số liệu về chi tiêu mặt hàng A (Y triệu đồng/tháng) và thu
nhập của người tiêu dùng(X triệu đồng/tháng) như sau:
Y
X

0.1 0.15 0.18 0.2 0.25
1.0 1.5 2.0 2.5 4.0
15


1. Hãy ước lượng mô hình hồi quy tuyến tính mô tả quan hệ giữa chi tiêu mặt
hàng A và thu nhập của người tiêu dùng. Nêu ý nghĩa kinh tế của các hệ số
hồi quy được ước lượng?
2. Tìm hệ số xác định mô hình và cho biết ý nghĩa của nó? Tính hệ số xác định
có hiệu chỉnh?
3. Xét xem thu nhập có ảnh hưởng đến chi tiêu mặt hàng A hay không với mức
ý nghĩa 1%.
4. Dự đoán mức chi tiêu trung bình và cá biệt cho mặt hàng A khi thu nhập là
3 triệu đồng/tháng với độ tin cậy 99%.
5. Tính hệ số co dãn của chi tiêu loại hàng A đối với thu nhập tại điểm (x, y)
và nêu ý nghĩa kinh tế.
6. Hãy viết hàm hồi quy mẫu khi đơn vị tính của chi tiêu là đồng/tháng và đơn
vị tính của thu nhập là ngàn đồng/tháng?

Giải

Sử dụng máy tính bỏ túi (570ES, 570ES Plus, 570ES Plus II,...) hoặc phần mềm
thống kê (Eviews, SPSS, STATA,... ) ta tính được các giá trị sau đây từ bảng số
liệu:
β2
β1

=

Xi Yi − nXY

2 = 0, 047;
Xi2 − n X
= Y − β2 X = 0, 0726;

T SS = nvar (Y ) = 0, 01252;
2

ESS = nβ2 var (X) = 0, 01171;
RSS = T SS − ESS = n 1 − r2 var (Y ) = 0, 00081;
R2
σ2

ESS
= 0, 935;
T SS
n
RSS
=
1 − r2 var (Y ) =
= 0, 00027.
n−2
n−2

=

16


2

1
X
+
σ 2 = 0, 0003;
n n.var (X)

var β1

=

se β1

=

var β1 = 0, 0173;

var β2

=

σ2
= 0, 00005;
nvar (X)

se β2

=

var β2 = 0, 0071;

var Y0

=

se Y0

=

X0 − X
1
+
n
nvar (X)

2

σ 2 = 8, 66038.10−5 ;

var Y0 = 0, 009306;

1. Tìm mô hình hồi quy
Y = 0, 0726 + 0, 047X
Ý nghĩa: khi thu nhập của người tiêu dùng tăng 1 triệu đồng/tháng thì mức
chi tiêu mặt hàng A trung bình tăng 0,047 triệu đồng/tháng (tương ứng
giảm).
2. Tính hệ số xác định mô hình và nêu ý nghĩa.
R2 =

ESS

= 0, 935
T SS

Ý nghĩa: cho biết thu nhập giải thích được 93,5% sự thay đổi chi tiêu của
mặt hàng A .
3. Kiểm định ý nghĩa của biến X trong mô hình
+ Đặt giả thiết H0 : β2 = 0; H1 : β2 = 0.
(n−k)

+ C = tα
2

+T =

= t0,025 (5 − 2) = 5, 841.

β2
se β2

=

0, 047
= 6, 6197.
0, 0071

+ |T | > C suy ra bác bỏ H0 . Vậy thu nhập có ảnh hưởng đến chi tiêu.
4. Khoảng dự báo cho biến phụ thuộc
+ Y0 = β1 + β2 X0 = 0, 2136.
17

(n−k)

+ C = tα
2

= t0,025 (5 − 2) = 5, 841.

Khoảng dự báo cho giá trị trung bình Y0 (E(Y /X0 = 3))
Y0 − Cse Y0

≤ E (Y /X0 = 3) ≤

Y0 + Cse Y0

⇒ 0, 2136 − 5, 841.0, 009306 ≤ E (Y /X0 = 3) ≤ 0, 2136 + 5, 841.0, 009306
⇒ 0, 1592

≤ E (Y /X0 = 3) ≤

0, 268

5. Tính hệ số có dãn
Hệ số co giản của chi tiêu theo thu nhập tại điểm (x, y) là
εY =
X

dY X
X
2, 2

= β2 = 0, 047.
= 0, 5875
dX Y
0, 176
Y

Ý nghĩa: khi thu nhập trung bình của người tiêu dùng tăng 1% thì mức chi
tiêu trung bình về mặt hàng A tăng 0,59% (tương ứng giảm).
6. Đổi đơn vị
+ Đơn vị tính của Y là đồng/tháng
⇒ Y ∗ = 1000000Y
⇒ k1 = 1000000
⇒ β1∗ = k1 β1 = 72600
+ Đơn vị của X là ngàn đồng/tháng
⇒ X ∗ = 1000X
⇒ k2 = 1000
⇒ β2∗ =

k1
β2 = 47
k2

Vậy
Y ∗ = β1∗ + β2∗ X ∗ = 72600 + 47X ∗
Bài 2.3. Người ta muốn phân tích và đánh giá kết quả về năng suất lúa của đồng
bằng sông cửu long trong thời gian 10 năm từ 1988 - 1997 đã tiến hành thu thập
một mẫu số liệu gồm các giá trị quan sát về 2 đại lượng Y, X như sau
18

Y
X

40 44 46 48 52 58 60 68 74 80
6 10 12 14 16 18 22 24 26 32

1. Ước lượng hàm hồi quy tuyến tính mẫu Yi = β1 + β2 Xi ?
2. Nêu ý nghĩa của các hệ số hồi quy đã ước lượng được. Các giá trị đó có phù
hợp với lý thuyết kinh tế hay không?
3. Tìm khoảng tin cậy của β2 với độ tin cậy 95% và nêu ý nghĩa?
4. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết mức phân bón có thực sự ảnh hưởng đến
năng suất lúa hay không?
5. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết hệ số góc của mô hình hồi quy bằng 2
được không?
2

6. Tính R2 và R . Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy với mức ý nghĩa 1%?
7. Dự báo năng suất lúa trung bình của đồng bằng sông cửu long khi mức phân
bón là 20 tạ/ha với độ tin cậy 95%. Câu hỏi tương tự cho năng suất lúa cá
biệt.
Giải
Ta có:
β2
β1

=

Xi Yi − nXY

2 = 1, 6597;

Xi2 − n X
= Y − β2 X = 27, 125;

T SS = nvar (Y ) = 1634;
2

ESS = nβ2 var (X) = 1586, 6519;
RSS = T SS − ESS = n 1 − r2 var (Y ) = 47, 3480;
R2
σ2

ESS
= 0, 971;
T SS
n
RSS
=
1 − r2 var (Y ) =
= 5, 9185.
n−2
n−2
=

19


var β2

=

se β2

=

σ2
= 0, 0103;
nvar (X)
var β2 = 0, 1014;
X0 − X
1
+
n
nvar (X)

2

σ 2 = 0, 6329;

var Y0

=

se Y0

=

var Y0 − Y0

= σ 2 + var Y0 = 6, 5514;

se Y0 − Y0

=

var Y0 = 0, 7956;

var Y0 − Y0 = 2, 5596.

1. Ước lượng hàm hồi quy tuyến tính mẫu
Y = 27, 125 + 1, 6597X
2. Ý nghĩa của các hệ số hồi quy đã ước lượng được
+ β1 = 27, 125: với số liệu của mẫu khi mức phân bón bằng 0, thì năng suất
trung bình của lúa tối thiểu là 27,125 (tạ/ha).
+ β2 = 1, 6597 > 0: với mẫu số liệu trên, mức phân bón và năng suất lúa có
quan hệ đồng biến. Với điều kiện các yếu tố khác không đổi, nếu mức phân
bón tăng 1 (tạ/ha) thì năng suất trung bình của lúa tăng 1,6597 (tạ/ha).
+ Ý nghĩa các hệ số trên là phù hợp với lý thuyết kinh tế.
3. Khoảng tin cậy của β2 với độ tin cậy 95%
Áp dụng: βi − C.se βi ≤ βi ≤ βi + C.se βi . Trong đó
(n−k)

C = tα
2

= t0,025 (10 − 2) = 2, 306

Khoảng tin cậy của β2
β2 − C.se β2
⇒ 1, 4259

≤ β2 ≤ β2 + C.se β2
≤ β2 ≤

1, 8935

Ý nghĩa: khi mức phân bón tăng lên 1 (tạ/ha), với điều kiện các yếu tố
khác không đổi, năng suất trung bình của lúa tăng lên trong khoảng (1,4259;
1,8935) (tạ/ha) với độ tin cậy 95%.
20


4. Mức phân bón có thực sự ảnh hưởng đến năng suất lúa hay không?
+ Đặt giả thiết H0 : β2 = 0; H1 : β2 = 0.
(n−k)

+ C = tα
2

= t0,025 (10 − 2) = 2, 306.

β2

+T =

= 16, 3679.

se β2
+ |T | > C suy ra bác bỏ H0 . Vậy với mức ý nghĩa 5%, mức phân bón thực
sự ảnh hưởng đến năng suất lúa.
5. Với α = 5%, hãy cho biết hệ số góc của mô hình hồi quy bằng 2 được không?

+ Đặt giả thiết H0 : β2 = 2; H1 : β2 = 2.
(n−k)

+ C = tα
2

= t0,025 (10 − 2) = 2, 306.

β2 − 2

+T =

= 3, 356.

se β2
+ |T | > C suy ra bác bỏ H0 . Vậy ý kiến trên là không đúng.
2

6. Tính R2 và R . Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy với mức ý nghĩa 1%?
∗ R2 =

ESS
= 0, 971
T SS

Ý nghĩa: mức phân bón giải thích 97,1% sự biến động về năng suất lúa.
Mức phù hợp của mô hình cao.

2

∗ R = 1 − 1 − R2

n−1
10 − 1
= 1 − (1 − 0, 971)
= 0, 9673.
n−k
10 − 2

∗ Kiểm định
+ Đặt giả thiết H0 : R2 = 0; H1 : R2 = 0.
+ Với α = 0, 05, C = Fα (k − 1; n − k) = F0,01 (2 − 1; 10 − 2) = 11, 3.
(10 − 2) 0, 971
(n − k) R2
+F =
=
= 267, 8621
2
(k − 1) (1 − R )
(2 − 1) (1 − 0, 971)
+ F > C nên bác bỏ H0 . Vậy mô hình phù hợp với mức ý nghĩa 1%.
21


7. Dự báo năng suất lúa trung bình và cá biệt.
+ Y0 = β1 + β2 X0 = 27, 125 + 1, 6597.20 = 60, 3194.
(n−k)

+ C = tα
2

= t0,025 (10 − 2) = 2, 306.

Khoảng dự báo cho giá trị trung bình Y0 (E(Y /X0 = 20))
Y0 − Cse Y0

≤ E (Y /X0 = 20) ≤

Y0 + Cse Y0

⇒ 60, 3194 − 2, 306.0, 7956 ≤ E (Y /X0 = 20) ≤ 60, 3194 + 2, 306.0, 7956
⇒ 58, 4847

≤ E (Y /X0 = 20) ≤

62, 1541

Khoảng dự báo cho giá trị cá biệt Y0
Y0 − Cse Y0 − Y0

≤ Y0 ≤

Y0 + Cse Y0 − Y0

⇒ 60, 3194 − 2, 306.2, 5596 ≤ Y0 ≤ 60, 3194 + 2, 306.2, 5596
⇒ 54, 4169

≤ Y0 ≤

66, 2218

Bài 2.4. Bảng sau cho số liệu về chi tiêu cho tiêu dùng (Y-USD/tuần) và thu nhập
hàng tuần (X-USD/tuần) của một mẫu gồm 10 hộ gia đình
Y
X

70 65 90 95 110 115 120 140 155 150
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

1. Tìm mô hình hồi quy mẫu và cho biết ý nghĩa của các hệ số hồi quy?
2. Tìm khoảng tin cậy cho các hệ số hồi quy với độ tin cậy 95%?
3. Thu nhập có ảnh hưởng đến chi tiêu hay không với mức ý nghĩa 5%? (kiểm
định ý nghĩa của biến X trong mô hình)
4. Mô hình có phù hợp với thực tế không? (kiểm định sự phù hợp của mô hình)
5. Dự báo khi thu nhập ở mức 100 USD/tuần với độ tin cậy 95%?
Giải
22